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CAPÍTULO 4 – EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio 1: Dos cargas Puntuales están, separadas por una distancia de 10𝑐𝑚, si 𝑞1 = 2𝜇𝐶 y 𝑞2 = −4𝜇𝐶, determine la magnitud de la fuerza que se ejercen entre ellas. Ejercicio 2: Tres cargas de 2𝜇𝐶, −3𝜇𝐶, −5 𝜇𝐶, se encuentran ubicadas en (4𝑐𝑚, 3𝑐𝑚); (8𝑐𝑚, −2𝑐𝑚); (−5𝑐𝑚; −6𝑐𝑚) respectivamente, encuentre la fuerza resultante sobre la carga de −3𝜇𝐶. Ejercicio 3: Determine la fuerza resultante sobre la carga 𝑞1 Ejercicio 4: Dos cargas de 2𝜇𝐶 y −6𝜇𝐶 se encuentran separadas por una distancia de 60cm. ¿A qué distancia de la segunda y sobre la línea que las une se debe colocar una tercera carga 𝑞3 positiva para que la fuerza resultante sobre esta sea nula? Ejercicio 5: Demuestre que si dos esferas de igual masa 𝑚 y carga 𝑞 se encuentran colgadas de hilos de la misma longitud 𝑙, la separación 𝑑 ≪ 1 entre dichas cargas viene dada por: 2. 𝑘. 𝑞 2 . 𝑙 √ 𝑑= 𝑚𝑔 𝒍 𝒍 3 𝒅 Prof. Williams Marín Ley de Coulomb y Campo Eléctrico 1 CAPÍTULO 4 – EJERCICIOS PROPUESTOS Problema 1.1-Dos cargas puntuales de 60µ𝐶 y −20µ𝐶, se ejercen mutuamnente una fuerza atractiva de magnitud 350𝑁. Determine ¿Qué distancia separa a las dos cargas?. 2µ𝐶 Problema 1.2- Tres cargas eléctricas se encuentran ubicadas en los vértices de un triángulo rectángulo, tal y cómo se muestra en la Fig. 1. Determine la fuerza resultante sobre cada una de las cargas. 3𝑐𝑚 −3µ𝐶 4µ𝐶 4𝑐𝑚 Fig.1 Problema 1.3-Una carga eléctrica de 20µ𝐶 ejerce sobre otra carga de −40µ𝐶 una fuerza eléctrica de (−2𝐷𝑦𝑛, 4𝐷𝑦𝑛, −6𝐷𝑦𝑛), a) determine el vector posición entre ambas cargas, b) si la primera se encuentra ubicada en (−20𝑐𝑚, 40𝑐𝑚, −10𝑐𝑚), ¿dónde se ubicaría la segunda carga?. Problema 1.4-¿Qué sucede con la fuerza eléctrica? Si: a) El valor de una de las cargas se triplica b) El valor de ambas cargas se duplican. c) La distancia que separa a las cargas se reduce a un octavo de la distancia original. d) La distancia entre las cargas de cuadruplica. Problema 1.5-Cuatro cargas de igual magnitud y signo se encuentran ubicadas en los vértices de un rectángulo. Determine la fuerza eléctrica sobre una tercera carga ubicada en el centro del mismo. (puede dar cualquier valor a las cargas) Problema 1.6-Tres cargas puntales de 2µ𝐶, −3µ𝐶 𝑦 − 5µ𝐶, se encuentran ubicadas en los vértices superior, izquierdo y derecho, de un triángulo equilátero de altura 2cm. Determine la fuerza resultante sobre la carga del vértice superior. Problema 1.7- Tres cargas 𝑞1 = 2𝑥10−5 𝐶, 𝑞2 = 3𝑥10−6 𝐶, 𝑞3 = 10−7 𝐶 se encuentran ubicadas en (2𝑚, 4𝑚); (−2𝑚, −9𝑚); (−7𝑚, 6𝑚), respectivamente. Determine la fuerza resultante sobre cada una de las cargas, su magnitud y su dirección. Prof. Williams Marín Ley de Coulomb y Campo Eléctrico 2 CAPÍTULO 4 – EJERCICIOS PROPUESTOS Problema 1.8-Dada la Fig. 2 con: 𝑞1 = 2µ𝐶,𝑞2 = 10µ𝐶, 𝑞3 = −4µ𝐶, 𝑞4 = −6µ𝐶, a) Determine la fuerza resultante sobre 𝑞0 = −5µ𝐶. b) ¿Qué valor debería tener 𝑞0 para que la fuerza resultante sobre ella sea nula? c) ¿Qué valor debería tener 𝑞0 para que la fuerza resultante sobre esta sea de 60𝑁𝑖 − 24𝑁𝑗 Problema 1.9-Dada la Fig. 3, y sabiendo que |𝑞| = 50µ𝐶, determine la fuerza resultante sobre: a) la carga 𝑞2 . b) La carga 𝑞3 c) La carga 𝑞6 Fig. 2 Fig. 3 Problema 1.10-Dos cargas eléctricas de 5µ𝐶 y masa despreciable se atan a los extremos de un muelle de constante 𝑘 = 0.2𝑁/𝑐𝑚. Determine la longitud final del muelle cuya longitud inicial es de 20𝑐𝑚. Problema 1.11-Dos cargas eléctricas de 2µ𝐶 y 9µ𝐶 se encuentran separadas por una distancia de 6𝑐𝑚, determine a que distancia de la primera y sobre la línea que las une se debe colocar una tercera carga para que la fuerza resultante sobre esta sea nula. Problema 1.12 – Si la Tierra y la Luna estuvieran cargadas con cargas de 2𝐶 y 1𝐶 respectivamente. Determine la fuerza de repulsión que existiría entre ellas y compárela con la fuerza de atracción gravitacional. Prof. Williams Marín Ley de Coulomb y Campo Eléctrico 3 CAPÍTULO 4 – EJERCICIOS PROPUESTOS Problema 1.13- Una esfera de masa 𝑚 y carga 𝑞 se cuelga al extremo de un hilo de longitud 𝑙 como se muestra en la Fig. 4. Demuestre que, si a una distancia 𝑑 se coloca una segunda carga −2𝑞, para que la primera carga se mueva 𝑑/8 horizontalmente desde la posición inicial, 𝑞 debe tener un valor de: 𝑙 𝑞 −2𝑞 𝑑/8 𝑑 8 𝑑 𝑞 = 𝑑√ 7 2𝑘√64𝑙 2 − 𝑑2 Fig.4 Problema 2.1-Una carga eléctrica de 𝑞1 = 2µ𝐶 genera un campo eléctrico de 60𝑁/𝐶 𝑖 − 20𝑁/𝐶𝑗 + 14𝑁/𝐶𝑘 medido en un punto P ubicado en una posición 𝑟⃗ respecto a dicha carga. Determine la posición del punto P. Problema 2.2-Dos Cargas eléctricas de −20µ𝐶 y −90µ𝐶 se encuentran ubicadas en (2𝑐𝑚, 4𝑐𝑚) y (−2𝑐𝑚, 8𝑐𝑚) respectivamente. Determine el campo eléctrico que generan en un punto ubicado en (−5𝑐𝑚, −16𝑐𝑚). Problema 2.3-Cuatro cargas puntuales del mismo valor y signo se encuentran ubicadas en los vértices de cuadrado de lado 𝑎. Demuestre que el campo eléctrico en un ponto P ubicado a la mitad del lado superior del cuadrado viene dado por: ⃗⃗⃗ = 𝔈 16 𝑘𝑞 √125 𝑎 2 𝑗̂ 𝑦(𝑐𝑚) 𝑃 Problema 2.4-Dada la distribución de cargas mostrada en la Fig.6. Determine el campo 𝑞1 𝑞2 eléctrico resultante en el punto P, su 𝑥(𝑐𝑚) magnitud y sentido. Con 𝑞1 = 20µ𝐶, 𝑞2 = −80µ𝐶, 𝑞3 = 50µ𝐶 y una escala de 1: 30𝑐𝑚 𝑞3 Problema 2.5-tres cargas del mismo valor se Fig.6 encuentran ubicadas en los vértices de un triángulo rectángulo de base 4cm y altura 2cm. Determine la posición relativa al vértice inferior izquierdo en la cual el campo eléctrico es nulo (dos vértices a la izquierda y uno a la derecha) Prof. Williams Marín Ley de Coulomb y Campo Eléctrico 4 CAPÍTULO 4 – EJERCICIOS PROPUESTOS Problema 2.6-Si la magnitud del campo eléctrico generado por una carga 𝑞 a una distancia 𝑟 es 𝔈, entonces ¿Qué sucede con el campo? si: a) se duplica la distancia 𝑟 b) Se cuadruplica la carga eléctrica. Además c) el campo eléctrico aumenta 16 veces (todos los casos posibles) Problema 2.7-Una carga eléctrica de −450µ𝐶 se encuentra inmersa en un material desconocido, se sabe que ésta genera un campo de magnitud 5,1𝑥107 𝑁/𝐶 a una distancia de 3,5𝑐𝑚. ¿En qué𝑎 material se encuentra inmersa la carga? Problema 2.9-Demuestre que el trabajó que debe realizar un campo eléctrico uniforme de magnitud 𝔈, para alinear un dipolo de momento dipolar 𝑝 que se encuentra formando un ángulo 𝜃 con respecto al mismo viene dado por: 𝑊 = 𝑝𝔈(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) Problema 2.10-Un dipolo con momento dipolar de magnitud 65𝑁𝑚/𝐶 se encuentra ubicado en el eje vertical y centrado en el origen, suponiendo un 𝑎 muy pequeño. Determine el campo eléctrico generado por este en un punto P ubicado en 16𝑐𝑚𝑖 − 18𝑐𝑚𝑗. 𝜃 𝑦 Problema 2.11-Demuestre que la línea ⃗ ⃗ Fig.8 semi-infinita de la Fig. 8, genera un campo 𝑑𝔈 eléctrico que forma un ángulo de 45𝑜 con 𝑦 𝜃 𝑑𝑞 𝑥 respecto a los ejes en cualquier punto 𝑥 𝑑𝑥 ubicado sobre el eje 𝑦. Problema 2.12-Dos líneas infinitas con densidades 𝑦 de carga 𝜆1 = 120µ𝐶/𝑐𝑚 y 𝜆2 = −40µ𝐶/𝑐𝑚, se encuentran ubicadas sobre los ejes 𝑃 𝑥 𝑥 y 𝑦 respectivamente interceptándose en el origen. 𝜃 Determine el campo eléctrico resultante sobre un 𝑑𝛼 𝛼 punto P ubicado en 4𝑚𝑖 − 65𝑚𝑗. 𝑑𝑞 Problema 2.13-Demuestre que el campo eléctrico Fig.9 generado sobre el punto P por el arco con densidad de carga 𝜆 uniforme de la Fig.9, viene dado por: 2𝑘𝜆 𝜃 ⃗𝔈⃗ = 𝑠𝑒𝑛 ( ) 𝑗 𝑅 2 Encuentre las expresiones para 𝜃 = 180𝑜 𝑦 360𝑜 Fig.10 Prof. Williams Marín Ley de Coulomb y Campo Eléctrico 5 CAPÍTULO 4 – EJERCICIOS PROPUESTOS Problema 2.14-Evalue la Ec.17 para 𝑧 = 0 y compárela con las obtenidas en el problema anterior. Problema 2.18-Determine el campo 𝑦 eléctrico generado por un anillo con densidad de carga uniforme 2 −8µ𝐶/𝑐𝑚 , ubicado en el plano 𝑥𝑦, a 𝑥 𝑃 una distancia de 40𝑐𝑚 sobre el eje 𝑧. 𝜍 𝑑𝜍 𝑥 Problema 2.19-Demuestre que el 𝑜 campo eléctrico generado por la línea Fig.13 finita mostrada en la Fig.13 sobre el punto P, viene dado: 𝑘𝑄 a) Por ⃗⃗⃗ 𝔈= 𝑖 cuando 𝜆 = 𝑐𝑡𝑡𝑒 𝑥𝑜 (𝑥𝑜 −𝐿) 2 𝑥 +𝐿 2 b) Por ⃗⃗⃗ 𝔈 = 𝑘𝑄 [𝐿2 ln ( 𝑜𝑥 ) − 𝐿(𝑥 +𝐿)] 𝑖 cuando 𝜆 = 𝑛𝑥, 𝑛 = 𝑜 Prof. Williams Marín 𝑜 Ley de Coulomb y Campo Eléctrico 6 CAPÍTULO 4 – EJERCICIOS PROPUESTOS Prof. Williams Marín Ley de Coulomb y Campo Eléctrico 7