Download Problema – 4.03-05

aletos
CAMPO
ELÉCTRICO
TEOREMA
Física para Ciencias e Ingeniería
DE
GAUSS
1
Determine la magnitud del campo eléctrico en la superficie de un núcleo de plomo-208, el cual contiene
82 protones y 126 neutrones.
Suponga que el núcleo de plomo tiene un volumen 208 veces el de un protón, y considere un protón
como una esfera de radio r = 1.20 x 10-15 m .
SOLUCIÓN:
El volumen de un protón de radio r es
v=
4 3
πr
3
[1]
y el del núcleo de plomo,
4
v ' = 208v = 208. πr 3
3
[2]
y suponiendo que su radio es r’
v'=
4
πr '3
3
[3]
Igualando los segundos miembros de [2] y [3]
4
4
πr '3 = 208. πr 3
3
3
de donde, simplificando y despejando r’,
r ' = 5, 925r
[4]
El flujo del campo eléctrico a través de la superficie esférica del núcleo de plomo, teniendo en cuenta que
la carga que contiene es positiva, es
 
Φ = ∫ E ⋅da = Eda cos 0º = E.4 πr '2
[5]
S
y, por otra parte, aplicando el teorema de Gauss a dicha superficie,
Φ=
1
1
Σq = 82e
ε 0 i ε0
[6]
siendo e la carga del protón. Igualando los segundos miembros de [5] y [6] y despejando el módulo del campo
E=
1 82e
4πε 0 r '2
[7]
Se puede obtener directamente la expresión [7], si se recuerda la propiedad que se deduce del teorema de
Gauss, que establece que
El campo electrostático creado en un punto exterior por una esfera uniformemente cargada, situado en reposo,
en el vacío, es el mismo que el que produciría su carga, supuesta concentrada en su centro, como si fuera una
carga puntual.
Sustituyendo valores numéricos en [7]
E=
1
4 πε0
82
e
r '2
= 9.109.82.
e
5, 9252 r 2
= 9.109.82
1, 602.10−19
5, 9252 (1.2.10−15 )2
≈ 2.34.10−19 Nc -1