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Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Caracterización de antenas lineales usando el Método de los Momentos Prof. A. Zozaya, Dr.1 1 Laboratorio de Electromagnetismo Aplicado (LABEMA) Departamento de Electrónica y Comunicaciones Universidad de Carabobo Valencia, junio/2010 a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Contenido Introducción Ecuación integral del campo eléctrico Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Introducción 2 En un problema de radiación de antenas lineales, se desea, conocidas las fuentes impresas o primarias, (e.g. el voltaje en los bornes de alimentación) conocer: a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Introducción 2 En un problema de radiación de antenas lineales, se desea, conocidas las fuentes impresas o primarias, (e.g. el voltaje en los bornes de alimentación) conocer: 2 por un lado: la distribución de corriente I (u) en los alambres, a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Introducción 2 En un problema de radiación de antenas lineales, se desea, conocidas las fuentes impresas o primarias, (e.g. el voltaje en los bornes de alimentación) conocer: 2 por un lado: la distribución de corriente I (u) en los alambres, 2 por el otro: los campos de radiación E y H. a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Introducción 2 En un problema de radiación de antenas lineales, se desea, conocidas las fuentes impresas o primarias, (e.g. el voltaje en los bornes de alimentación) conocer: 2 por un lado: la distribución de corriente I (u) en los alambres, 2 por el otro: los campos de radiación E y H. 2 pero: la distribución de corriente es una función de los campos y éstos de la corriente. a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Introducción 2 En un problema de radiación de antenas lineales, se desea, conocidas las fuentes impresas o primarias, (e.g. el voltaje en los bornes de alimentación) conocer: 2 por un lado: la distribución de corriente I (u) en los alambres, 2 por el otro: los campos de radiación E y H. 2 pero: la distribución de corriente es una función de los campos y éstos de la corriente. ¿Cómo proceder? a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Ecuación integral del campo eléctrico –EFIE– 2 El campo radiado por una antena lineal se puede calcular, mediante el Teorema de Equivalencia, integrando las corrientes equivalentes (inducidas) en los alambres: „ E = `|! 1+ « 1 rr´ A »2 donde a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Ecuación integral del campo eléctrico –EFIE– 2 El campo radiado por una antena lineal se puede calcular, mediante el Teorema de Equivalencia, integrando las corrientes equivalentes (inducidas) en los alambres: „ E = `|! 1+ « 1 rr´ A »2 donde A= siendo g(r ; r 0 ) = — 4ı Z Js (r 0 )g(r ; r 0 ) ds 0 S0 0 e `j»jr `r j jr `r 0 j a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Ecuación integral del campo eléctrico –EFIE– 2 Sustituyendo A = se obtiene — 4ı R |!— E =` 4ı S0 “ Js (r 0 )g(r ; r 0 ) ds 0 en E = `|! 1 + Z Js (r 0 ) ´ S0 „ I+ 1 rr »2 « g(r ; r 0 ) ds 0 donde I = ax ax + ay ay + az az es la diádica de Green. a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM ” 1 rr´ »2 A, Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Ecuación integral del campo eléctrico –EFIE– 2 Sustituyendo A = se obtiene — 4ı R |!— E =` 4ı S0 “ Js (r 0 )g(r ; r 0 ) ds 0 en E = `|! 1 + Z Js (r 0 ) ´ S0 „ I+ 1 rr »2 « ” 1 rr´ »2 A, g(r ; r 0 ) ds 0 donde I = ax ax + ay ay + az az es la diádica de Green. 2 Esta ecuación se conoce como Ecuación Integral del Campo Eléctrico, EFIE (por sus siglas en inglés) a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Ecuación integral del campo eléctrico –EFIE– 2 Sustituyendo A = se obtiene — 4ı R |!— E =` 4ı S0 “ Js (r 0 )g(r ; r 0 ) ds 0 en E = `|! 1 + Z Js (r 0 ) ´ S0 „ I+ 1 rr »2 « ” 1 rr´ »2 A, g(r ; r 0 ) ds 0 donde I = ax ax + ay ay + az az es la diádica de Green. 2 Esta ecuación se conoce como Ecuación Integral del Campo Eléctrico, EFIE (por sus siglas en inglés) 2 En general, la corriente Js , cuyo valor viene dado por an ˆ H(SC ), se desconoce: el campo H forma parte, en conjunto con E , de las incógnitas del problema. a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 En la figura se muestra la apariencia general de una antena lineal alimentada en un punto central. a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 En la figura se muestra la apariencia general de una antena lineal alimentada en un punto central. 2 Para caracterizar esta antena (e.g. conocer su impedancia de entrada y su diagrama de radiación), es necesario conocer la distribución de corriente. a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 En la figura se muestra la apariencia general de una antena lineal alimentada en un punto central. 2 Para caracterizar esta antena (e.g. conocer su impedancia de entrada y su diagrama de radiación), es necesario conocer la distribución de corriente. 2 Como ejercicio de aplicación programaremos el método de los momentos para estimar la distribución de corriente de esta antena lineal. a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 En la figura se muestra la apariencia general de una antena lineal alimentada en un punto central. 2 Para caracterizar esta antena (e.g. conocer su impedancia de entrada y su diagrama de radiación), es necesario conocer la distribución de corriente. 2 Como ejercicio de aplicación programaremos el método de los momentos para estimar la distribución de corriente de esta antena lineal. 2 Premisas que aplicarán en nuestro análisis: a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 En la figura se muestra la apariencia general de una antena lineal alimentada en un punto central. 2 Para caracterizar esta antena (e.g. conocer su impedancia de entrada y su diagrama de radiación), es necesario conocer la distribución de corriente. 2 Como ejercicio de aplicación programaremos el método de los momentos para estimar la distribución de corriente de esta antena lineal. 2 Premisas que aplicarán en nuestro análisis: 2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con su longitud L: a fi L. a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 En la figura se muestra la apariencia general de una antena lineal alimentada en un punto central. 2 Para caracterizar esta antena (e.g. conocer su impedancia de entrada y su diagrama de radiación), es necesario conocer la distribución de corriente. 2 Como ejercicio de aplicación programaremos el método de los momentos para estimar la distribución de corriente de esta antena lineal. 2 Premisas que aplicarán en nuestro análisis: 2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con su longitud L: a fi L. 2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con la longitud de onda –: a fi –. a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 En la figura se muestra la apariencia general de una antena lineal alimentada en un punto central. 2 Para caracterizar esta antena (e.g. conocer su impedancia de entrada y su diagrama de radiación), es necesario conocer la distribución de corriente. 2 Como ejercicio de aplicación programaremos el método de los momentos para estimar la distribución de corriente de esta antena lineal. 2 Premisas que aplicarán en nuestro análisis: 2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con su longitud L: a fi L. 2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con la longitud de onda –: a fi –. 2 El conductor se asume perfecto (ff ! 1), por esta razón la corriente se distribuye superficialmente: ff " ) J ! JS . a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 En la figura se muestra la apariencia general de una antena lineal alimentada en un punto central. 2 Para caracterizar esta antena (e.g. conocer su impedancia de entrada y su diagrama de radiación), es necesario conocer la distribución de corriente. 2 Como ejercicio de aplicación programaremos el método de los momentos para estimar la distribución de corriente de esta antena lineal. 2 Premisas que aplicarán en nuestro análisis: 2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con su longitud L: a fi L. 2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con la longitud de onda –: a fi –. 2 El conductor se asume perfecto (ff ! 1), por esta razón la corriente se distribuye superficialmente: ff " ) J ! JS . 2 La alimentación de la antena se efectúa a través de un «gap» ∆“ muy pequeño comparado con –: ∆“ fi – a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal Campo impreso 2 Admitimos que en nuestro problema el campo eléctrico consiste de dos partes: E = Es + Ei a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal Campo impreso 2 Admitimos que en nuestro problema el campo eléctrico consiste de dos partes: E = Es + Ei 2 E i es el campo impreso, debido a la excitación, que es distinto de cero solo en el gap de alimentación: Ei = ∆V az ; ∆“ a.z. @ ‘abema 8z < j∆“=2j Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal Campo disperso 2 E s es el campo disperso, debido a la corriente inducida en la superficie de la antena. a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal Campo disperso 2 E s es el campo disperso, debido a la corriente inducida en la superficie de la antena. 2 El campo E s se relaciona con la corriente según la ecuación E s = ` |!— 4ı a.z. @ ‘abema R S0 Js (r 0 ) ´ “ I+ ” 1 rr »2 Antenas lineales con MoM g(r ; r 0 ) ds 0 Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal Campo disperso 2 E s es el campo disperso, debido a la corriente inducida en la superficie de la antena. 2 El campo E s se relaciona con la corriente según la ecuación E s = ` |!— 4ı R S0 Js (r 0 ) ´ “ I+ ” 1 rr »2 g(r ; r 0 ) ds 0 2 Como Js ! I (z 0 )az , con I az = Js 2ıa, a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal Campo disperso 2 E s es el campo disperso, debido a la corriente inducida en la superficie de la antena. 2 El campo E s se relaciona con la corriente según la ecuación E s = ` |!— 4ı R S0 Js (r 0 ) ´ “ I+ ” 1 rr »2 g(r ; r 0 ) ds 0 0 2 Como Js ! R I (z )a R z , con I az = Js 2ıa, 2 Entonces S 0 ! L0 , ds 0 ! dz 0 . a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal Campo disperso 2 E s es el campo disperso, debido a la corriente inducida en la superficie de la antena. 2 El campo E s se relaciona con la corriente según la ecuación E s = ` |!— 4ı R S0 Js (r 0 ) ´ “ I+ ” 1 rr »2 g(r ; r 0 ) ds 0 0 2 Como Js ! R I (z )a R z , con I az = Js 2ıa, 2 Entonces S 0 ! L0 , ds 0 ! dz 0 . @ 2 Así las cosas, az ´ I = az , y az ´ r = @z , a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal Campo disperso 2 E s es el campo disperso, debido a la corriente inducida en la superficie de la antena. 2 El campo E s se relaciona con la corriente según la ecuación E s = ` |!— 4ı R S0 Js (r 0 ) ´ “ I+ ” 1 rr »2 g(r ; r 0 ) ds 0 0 2 Como Js ! R I (z )a R z , con I az = Js 2ıa, 2 Entonces S 0 ! L0 , ds 0 ! dz 0 . @ 2 Así las cosas, az ´ I = az , y az ´ r = @z , p 0 2 2 `j» (z `z ) + e 2 y como g(r ; r 0 ) ” p , resulta: 0 2 2 (z `z ) + |!— E =` 4ı Z L 2 s `L 2 „ « `j»p(z `z 0 )2 +2 1 @ e I (z ) az + 2 r p dz 0 » @z (z ` z 0 )2 + 2 0 donde – a. a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 Nos consta que Et ı 0 en = a: (E i + E s ) ´ az j=a = 0 por tanto: a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 Nos consta que Et ı 0 en = a: (E i + E s ) ´ az j=a = 0 por tanto: |!— R [ ∆V ‹(z )az ` 4ı L0 I (z 0 ) ∆“ a.z. @ ‘abema „ « az + 12 @ r g(r ; r 0 ) dz 0 ] ´ az = 0 » @z Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 Nos consta que Et ı 0 en = a: (E i + E s ) ´ az j=a = 0 por tanto: |!— R [ ∆V ‹(z )az ` 4ı L0 I (z 0 ) ∆“ „ « az + 12 @ r g(r ; r 0 ) dz 0 ] ´ az = 0 » @z y R L0 “ I (z 0 ) »2 + @2 @z 2 ” g(r ; r 0 ) dz 0 = ` |4ı» ” resultando: a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM ∆V ∆“ ‹(z ) Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 Nos consta que Et ı 0 en = a: (E i + E s ) ´ az j=a = 0 por tanto: |!— R [ ∆V ‹(z )az ` 4ı L0 I (z 0 ) ∆“ „ « az + 12 @ r g(r ; r 0 ) dz 0 ] ´ az = 0 » @z y R L0 “ I (z 0 ) »2 + @2 @z 2 ” g(r ; r 0 ) dz 0 = ` |4ı» ” ∆V ∆“ ‹(z ) resultando: Z L 2 `L 2 I (z 0 ) „ »2 + @2 @z 2 « p 0 2 2 e `j» (z `z ) +a |4ı» ∆V dz 0 = ` ‹(z ) p ” ∆“ (z ` z 0 )2 + a2 a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 En la ecuación: R L0 “ I (z 0 ) »2 + @2 @z 2 ” g(r ; r 0 ) dz 0 = ` |4ı» ” I (z 0 ) se desconoce. a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM ∆V ∆“ ‹(z ) Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 En la ecuación: R L0 “ I (z 0 ) »2 + @2 @z 2 ” g(r ; r 0 ) dz 0 = ` |4ı» ” I (z 0 ) se desconoce. 2 I (z 0 ) se puede estimar usando el MoM. a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM ∆V ∆“ ‹(z ) Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 En la ecuación: R L0 “ I (z 0 ) »2 + @2 @z 2 ” g(r ; r 0 ) dz 0 = ` |4ı» ” ∆V ∆“ ‹(z ) I (z 0 ) se desconoce. 2 I (z 0 ) se puede estimar usando el MoM. 2 Para P ello será necesario una expansión del tipo: 0 I (z 0 ) ı n In fn (z ). a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 En la ecuación: R L0 “ I (z 0 ) »2 + @2 @z 2 ” g(r ; r 0 ) dz 0 = ` |4ı» ” ∆V ∆“ ‹(z ) I (z 0 ) se desconoce. 2 I (z 0 ) se puede estimar usando el MoM. 2 Para P ello será necesario una expansión del tipo: 0 I (z 0 ) ı n In fn (z ). 2 Establecer un procedimiento de prueba hwm ; Lfn i. a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 En la ecuación: R L0 “ I (z 0 ) »2 + @2 @z 2 ” g(r ; r 0 ) dz 0 = ` |4ı» ” ∆V ∆“ ‹(z ) I (z 0 ) se desconoce. 2 I (z 0 ) se puede estimar usando el MoM. 2 Para P ello será necesario una expansión del tipo: 0 I (z 0 ) ı n In fn (z ). 2 Establecer un procedimiento de prueba hwm ; Lfn i. 2 Un dominio fuente. a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 En la ecuación: R L0 “ I (z 0 ) »2 + @2 @z 2 ” g(r ; r 0 ) dz 0 = ` |4ı» ” ∆V ∆“ ‹(z ) I (z 0 ) se desconoce. 2 I (z 0 ) se puede estimar usando el MoM. 2 Para P ello será necesario una expansión del tipo: 0 I (z 0 ) ı n In fn (z ). 2 Establecer un procedimiento de prueba hwm ; Lfn i. 2 Un dominio fuente. 2 Un dominio de observación. a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 En la ecuación: R L0 “ I (z 0 ) »2 + @2 @z 2 ” g(r ; r 0 ) dz 0 = ` |4ı» ” ∆V ∆“ ‹(z ) I (z 0 ) se desconoce. 2 I (z 0 ) se puede estimar usando el MoM. 2 Para P ello será necesario una expansión del tipo: 0 I (z 0 ) ı n In fn (z ). 2 Establecer un procedimiento de prueba hwm ; Lfn i. 2 Un dominio fuente. 2 Un dominio de observación. Discretización de los dominios de interés: a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 En la ecuación: R L0 “ I (z 0 ) »2 + @2 @z 2 ” g(r ; r 0 ) dz 0 = ` |4ı» ” ∆V ∆“ ‹(z ) I (z 0 ) se desconoce. 2 I (z 0 ) se puede estimar usando el MoM. 2 Para P ello será necesario una expansión del tipo: 0 I (z 0 ) ı n In fn (z ). 2 Establecer un procedimiento de prueba hwm ; Lfn i. 2 Un dominio fuente. 2 Un dominio de observación. Discretización de los dominios de interés: 2 Discretizamos ahora el dominio físico de las fuentes en un número N (par) de tramos, y seleccionamos N + 1 puntos fzn0 g con una separación constante h = L=N: zn0 = nh, con n = 0; ˚1; ˚2; : : : ˚ N . 2 a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 En la ecuación: R L0 “ I (z 0 ) »2 + @2 @z 2 ” g(r ; r 0 ) dz 0 = ` |4ı» ” ∆V ∆“ ‹(z ) I (z 0 ) se desconoce. 2 I (z 0 ) se puede estimar usando el MoM. 2 Para P ello será necesario una expansión del tipo: 0 I (z 0 ) ı n In fn (z ). 2 Establecer un procedimiento de prueba hwm ; Lfn i. 2 Un dominio fuente. 2 Un dominio de observación. Discretización de los dominios de interés: 2 Discretizamos ahora el dominio físico de las fuentes en un número N (par) de tramos, y seleccionamos N + 1 puntos fzn0 g con una separación constante h = L=N: zn0 = nh, con n = 0; ˚1; ˚2; : : : ˚ N . 2 2 Hacemos lo propio con el dominio físico de observación el cual se localiza en la superficie de la antena: fzm g: zm = mh con m = 0; ˚1; ˚2; : : : ˚ N . 2 a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 Selección de las funciones bases y de peso. a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 Selección de las funciones bases y de peso. 2Seleccionamos la siguiente familia de funciones bases: fn (z 0 ) = 8 > < > : sin »[z 0 `h(n`1)] ; sin »h sin »[h(n+1)`z 0 ] ; sin »h 0; hn > z 0 > (h ` 1)n; h(n + 1) > z 0 > hn; para el resto. con n = 0; ˚1; ˚2; : : : ; ˚ N 2 a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 Selección de las funciones bases y de peso. 2Seleccionamos la siguiente familia de funciones bases: fn (z 0 ) = 8 > < > : sin »[z 0 `h(n`1)] ; sin »h sin »[h(n+1)`z 0 ] ; sin »h 0; hn > z 0 > (h ` 1)n; h(n + 1) > z 0 > hn; para el resto. con n = 0; ˚1; ˚2; : : : ; ˚ N 2 2 Seleccionamos la siguiente familia de funciones de peso: w = ‹(z ` mh) con m = 0; ˚1; ˚2; : : : ; ˚ N 2 a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 Llenado de la matriz del sistema o matriz de impedancias y del vector de valores conocidos: a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 Llenado de la matriz del sistema o matriz de impedancias y del vector de valores conocidos: 2 Dado que Zm;n = hw; Lfn i, tenemos: a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 Llenado de la matriz del sistema o matriz de impedancias y del vector de valores conocidos: 2 Dado que R Zm;n = hw; Lfn i, tenemos: 2 Zm;n = L ‹(z ` mh)Lfn dz , así: a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 Llenado de la matriz del sistema o matriz de impedancias y del vector de valores conocidos: 2 Dado que R Zm;n = hw; Lfn i, tenemos: 2 Zm;n = L ‹(z ` mh)Lfn dz , así: 2 Zm;n = Lfn jmh , esto es: a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 Llenado de la matriz del sistema o matriz de impedancias y del vector de valores conocidos: 2 Dado que R Zm;n = hw; Lfn i, tenemos: 2 Zm;n = L ‹(z ` mh)Lfn dz , así: 2 Zm;n = Lfn jmh , esto es: Zm;n = R a.z. @ ‘abema L0 fn (z 0) “ »2 + @2 @z 2 ” g(r ; r 0 )jmh dz 0 Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 Llenado de la matriz del sistema o matriz de impedancias y del vector de valores conocidos: 2 Dado que R Zm;n = hw; Lfn i, tenemos: 2 Zm;n = L ‹(z ` mh)Lfn dz , así: 2 Zm;n = Lfn jmh , esto es: Zm;n = R L0 fn (z 0) “ »2 + @2 @z 2 ” g(r ; r 0 )jmh dz 0 Así se tiene: Z L 2 Zm;n = `L 2 fn (z 0 ) „ « `j»p(z `z 0 )2 +a2 ˛˛ e @2 ˛ dz 0 »2 + ˛ p @z 2 (z ` z 0 )2 + a2 ˛z =mh a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 Aproximando @2f @2z ı a.z. @ ‘abema @2f @2z 1 [f h2 mediante diferencias finitas: (z ` h) ` 2f (z ) + f (z + h)] Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 Aproximando @2f @2z ı @2f @2z 1 [f h2 mediante diferencias finitas: (z ` h) ` 2f (z ) + f (z + h)] se obtiene Zm;n = " # `j»Rm`1 `j»Rm+1 R L `j»Rm e 2 f (z 0 ) 1 dz 0 + (h2 »2 ` 2) e + e n 2 R R R L m m+1 h m`1 `2 a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 Aproximando @2f @2z ı @2f @2z 1 [f h2 mediante diferencias finitas: (z ` h) ` 2f (z ) + f (z + h)] se obtiene Zm;n = " # `j»Rm`1 `j»Rm+1 R L `j»Rm e 2 f (z 0 ) 1 dz 0 + (h2 »2 ` 2) e + e n 2 R R R L m m+1 h m`1 `2 donde Rm = p (mh ` z 0 )2 + a2 . 2 La integral en z 0 se puede resolver asumiendo que (»2 + mantiene uniforme en el subdominio fuente. a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM @2 )g(r ; r 0 ) @z 2 se Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 Aproximando @2f @2z ı @2f @2z 1 [f h2 mediante diferencias finitas: (z ` h) ` 2f (z ) + f (z + h)] se obtiene Zm;n = " # `j»Rm`1 `j»Rm+1 R L `j»Rm e 2 f (z 0 ) 1 dz 0 + (h2 »2 ` 2) e + e n 2 R R R L m m+1 h m`1 `2 donde Rm = p (mh ` z 0 )2 + a2 . 2 La integral en z 0 se puede resolver asumiendo que (»2 + mantiene uniforme en el subdominio fuente. En efecto: Zm;n = 1 h2 h e `j»Rm`1;n Rm`1;n + (h2 »2 ` 2) e a.z. @ ‘abema `j»Rm;n Rm;n + e `j»Rm+1;n Rm+1;n Antenas lineales con MoM iR @2 )g(r ; r 0 ) @z 2 L 2 `L 2 fn (z 0 ) dz 0 se Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 Aproximando @2f @2z ı @2f @2z 1 [f h2 mediante diferencias finitas: (z ` h) ` 2f (z ) + f (z + h)] se obtiene Zm;n = " # `j»Rm`1 `j»Rm+1 R L `j»Rm e 2 f (z 0 ) 1 dz 0 + (h2 »2 ` 2) e + e n 2 R R R L m m+1 h m`1 `2 donde Rm = p (mh ` z 0 )2 + a2 . 2 La integral en z 0 se puede resolver asumiendo que (»2 + mantiene uniforme en el subdominio fuente. En efecto: Zm;n = 1 h2 h donde Rm;n = e `j»Rm`1;n Rm`1;n p + (h2 »2 ` 2) e `j»Rm;n Rm;n + e `j»Rm+1;n Rm+1;n [(m ` n)h]2 + a2 . a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM iR @2 )g(r ; r 0 ) @z 2 L 2 `L 2 fn (z 0 ) dz 0 se Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 Como: a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 Como: L 2 fn (z 0 ) dz 0 = `L 2 R nh sin »[z 0 `h(n`1)] (n`1)h sin »h R a.z. @ ‘abema dz 0 + R (n+1)h nh Antenas lineales con MoM sin »[h(n+1)`z 0 ] sin »h dz 0 Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 Como: L 2 fn (z 0 ) dz 0 = `L 2 R nh sin »[z 0 `h(n`1)] (n`1)h sin »h R dz 0 + R (n+1)h nh sin »[h(n+1)`z 0 ] sin »h 2 Al resolver las integrales, se obtiene: Z L 2 `L 2 a.z. @ ‘abema fn (z 0 ) dz 0 = 4 sin2 ( »h ) 2 » sin »h Antenas lineales con MoM dz 0 Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 Como: L 2 fn (z 0 ) dz 0 = `L 2 R nh sin »[z 0 `h(n`1)] (n`1)h sin »h R dz 0 + R (n+1)h nh sin »[h(n+1)`z 0 ] sin »h dz 0 2 Al resolver las integrales, se obtiene: Z L 2 `L 2 fn (z 0 ) dz 0 = 4 sin2 ( »h ) 2 » sin »h 2 Finalmente Zmn tiene la forma: Zm;n = 1 h2 » e `j»Rm`1;n e `j»Rm+1;n e `j»Rm;n + (h2 »2 ` 2) + Rm`1;n Rm;n Rm+1;n a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM – 4 sin2 ( »h ) 2 » sin »h Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal 2 Como: L 2 fn (z 0 ) dz 0 = `L 2 R nh sin »[z 0 `h(n`1)] (n`1)h sin »h R dz 0 + R (n+1)h nh sin »[h(n+1)`z 0 ] sin »h dz 0 2 Al resolver las integrales, se obtiene: Z L 2 `L 2 fn (z 0 ) dz 0 = 4 sin2 ( »h ) 2 » sin »h 2 Finalmente Zmn tiene la forma: Zm;n = e `j»Rm`1;n e `j»Rm+1;n e `j»Rm;n + (h2 »2 ` 2) + Rm`1;n Rm;n Rm+1;n p = [(m ` n)h]2 + a2 . 1 h2 donde Rm;n » a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM – 4 sin2 ( »h ) 2 » sin »h Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal ∆V 2 Dado que Vm = hwm ; ` |4ı» i, al poner: ” ∆“ a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal ∆V 2 Dado que Vm = hwm ; ` |4ı» i, al poner: ” ∆“ 2 ∆V = 1, y a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal ∆V 2 Dado que Vm = hwm ; ` |4ı» i, al poner: ” ∆“ 2 ∆V = 1, y 2 ∆“ = h, a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal ∆V 2 Dado que Vm = hwm ; ` |4ı» i, al poner: ” ∆“ 2 ∆V = 1, y 2 ∆“ = h, se obtiene: Z L 2 „ ‹(z ` mh) Vm = `L 2 a.z. @ ‘abema ` |4ı» 1 ” h Antenas lineales con MoM « dz Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Aplicación del método en una antena lineal ∆V 2 Dado que Vm = hwm ; ` |4ı» i, al poner: ” ∆“ 2 ∆V = 1, y 2 ∆“ = h, se obtiene: Z L 2 „ ‹(z ` mh) Vm = ` `L 2 |4ı» 1 ” h 2 Y: Vm = 1 ` |4ı» ; ” h 0; a.z. @ ‘abema m = N+1 ; 2 para el resto. Antenas lineales con MoM « dz Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Distribución de corriente Resultados −3 8 −3 x 10 0 x 10 7 −1 6 −2 Im{i(z′)} Re{i(z′)} 5 4 −3 3 −4 2 −5 1 0 −0.25 −0.2 −0.15 −0.1 <fI (z 0 )g vs. −0.05 0 z′/λ 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 z0 – −6 −0.25 −0.2 −0.15 −0.1 =fI (z 0 )g vs. a.z. @ ‘abema −0.05 0 z′/λ z0 – Antenas lineales con MoM 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Diagrama de radiación 2 El patrón de radiación F („) viene dado por: F („) = a.z. @ ‘abema jN„ („)j jN„ (ı=2)j Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Diagrama de radiación 2 El patrón de radiación F („) viene dado por: F („) = jN„ („)j jN„ (ı=2)j donde N„ („) = [ a.z. @ ‘abema R L0 I (z 0 )az e|»z Antenas lineales con MoM 0 cos „ dz 0 ] ´ a„ Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Diagrama de radiación 2 El patrón de radiación F („) viene dado por: F („) = jN„ („)j jN„ (ı=2)j donde N„ („) = [ R L0 I (z 0 )az e|»z 0 cos „ dz 0 ] ´ a„ 2 F („) se puede estimar, numéricamente, para un conjunto de K valores del ángulo „: „ = f„0 ; „1 ; ´ ´ ´ ; „K g. a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Diagrama de radiación 2 El patrón de radiación F („) viene dado por: F („) = jN„ („)j jN„ (ı=2)j donde N„ („) = [ R L0 I (z 0 )az e|»z 0 cos „ dz 0 ] ´ a„ 2 F („) se puede estimar, numéricamente, para un conjunto de K valores del ángulo „: „ = f„0 ; „1 ; ´ ´ ´ ; „K g. P 0 2 Para ello se reemplaza I (z 0 ) por su aproximación: I (z 0 ) ı n In fn (z ): N„ („) = ` sin „ R L0 P n In fn (z 0) e|»z 0 cos „ dz 0 con „ = f„0 ; „1 ; ´ ´ ´ ; „K g. a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Diagrama de radiación R P 0 |»z 0 cos „ se puede 2 La integral IN = L0 n In fn (z ) e resolver numéricamente. a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Diagrama de radiación R P 0 |»z 0 cos „ se puede 2 La integral IN = L0 n In fn (z ) e resolver numéricamente. R P 2 Intercambiando los operadores n ! L0 , a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Diagrama de radiación R P 0 |»z 0 cos „ se puede 2 La integral IN = L0 n In fn (z ) e resolver numéricamente. R P 2 Intercambiando los operadores n ! L0 , 2 Llamando ‘0n el sub-dominio de integración de fn (z 0 ): IN ı P n In R ‘0n fn (z 0) e|»z con „ = f„0 ; „1 ; ´ ´ ´ ; „K g. a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM 0 cos „ dz 0 Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Diagrama de radiación R P 0 |»z 0 cos „ se puede 2 La integral IN = L0 n In fn (z ) e resolver numéricamente. R P 2 Intercambiando los operadores n ! L0 , 2 Llamando ‘0n el sub-dominio de integración de fn (z 0 ): IN ı P n In R ‘0n fn (z 0) e|»z 0 cos „ dz 0 con „ = f„0 ; „1 ; ´ ´ ´ ; „K g. 2 Sub-dividiendo ‘0n en M sub-tramos de longitud ∆. a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Diagrama de radiación R P 0 |»z 0 cos „ se puede 2 La integral IN = L0 n In fn (z ) e resolver numéricamente. R P 2 Intercambiando los operadores n ! L0 , 2 Llamando ‘0n el sub-dominio de integración de fn (z 0 ): IN ı P n In R ‘0n fn (z 0) e|»z 0 cos „ dz 0 con „ = f„0 ; „1 ; ´ ´ ´ ; „K g. 2 Sub-dividiendo ‘0n en M sub-tramos de longitud ∆. 2 Aproximando IN : IN ı P n In c0 m fn (zm ) PM c0 e|»zm cos „ ∆ 0 c donde zm es la coordenada z 0 del centro del tramo m-ésimo, y „ = f„0 ; „1 ; ´ ´ ´ ; „K g. a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM Introducción EFIE Aplicación del método en una antena lineal Funciones base y de peso Distribución de corriente Diagrama de radiación Diagrama de radiación Resultados 0 π/6 π/6 π/3 π/3 1 0.8 0.6 π/2 0.4 0.2 π/2 2π/3 2π/3 5π/6 5π/6 π N=i2.*exp(1j*2*pi*Zpctheta); N=sum(N,2); Nz=N'.*-sin(theta).*Delta; a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM