Download Caracterización de antenas lineales usando el Método de los

Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Caracterización de antenas lineales
usando el Método de los Momentos
Prof. A. Zozaya, Dr.1
1 Laboratorio
de Electromagnetismo Aplicado (LABEMA)
Departamento de Electrónica y Comunicaciones
Universidad de Carabobo
Valencia, junio/2010
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Contenido
Introducción
Ecuación integral del campo eléctrico
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Introducción
2 En un problema de radiación de antenas lineales, se desea, conocidas las fuentes impresas
o primarias, (e.g. el voltaje en los bornes de alimentación) conocer:
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Introducción
2 En un problema de radiación de antenas lineales, se desea, conocidas las fuentes impresas
o primarias, (e.g. el voltaje en los bornes de alimentación) conocer:
2 por un lado: la distribución de corriente I (u) en
los alambres,
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Introducción
2 En un problema de radiación de antenas lineales, se desea, conocidas las fuentes impresas
o primarias, (e.g. el voltaje en los bornes de alimentación) conocer:
2 por un lado: la distribución de corriente I (u) en
los alambres,
2 por el otro: los campos de radiación E y H.
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Introducción
2 En un problema de radiación de antenas lineales, se desea, conocidas las fuentes impresas
o primarias, (e.g. el voltaje en los bornes de alimentación) conocer:
2 por un lado: la distribución de corriente I (u) en
los alambres,
2 por el otro: los campos de radiación E y H.
2 pero: la distribución de corriente es una función
de los campos y éstos de la corriente.
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Introducción
2 En un problema de radiación de antenas lineales, se desea, conocidas las fuentes impresas
o primarias, (e.g. el voltaje en los bornes de alimentación) conocer:
2 por un lado: la distribución de corriente I (u) en
los alambres,
2 por el otro: los campos de radiación E y H.
2 pero: la distribución de corriente es una función
de los campos y éstos de la corriente.
¿Cómo proceder?
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Ecuación integral del campo eléctrico –EFIE–
2 El campo radiado por una antena lineal se puede calcular, mediante el
Teorema de Equivalencia, integrando las corrientes equivalentes (inducidas)
en los alambres:
„
E = `|!
1+
«
1
rr´
A
»2
donde
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Ecuación integral del campo eléctrico –EFIE–
2 El campo radiado por una antena lineal se puede calcular, mediante el
Teorema de Equivalencia, integrando las corrientes equivalentes (inducidas)
en los alambres:
„
E = `|!
1+
«
1
rr´
A
»2
donde
A=
siendo g(r ; r 0 ) =
—
4ı
Z
Js (r 0 )g(r ; r 0 ) ds 0
S0
0
e `j»jr `r j
jr `r 0 j
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Ecuación integral del campo eléctrico –EFIE–
2 Sustituyendo A =
se obtiene
—
4ı
R
|!—
E =`
4ı
S0
“
Js (r 0 )g(r ; r 0 ) ds 0 en E = `|! 1 +
Z
Js (r 0 ) ´
S0
„
I+
1
rr
»2
«
g(r ; r 0 ) ds 0
donde I = ax ax + ay ay + az az es la diádica de Green.
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
”
1
rr´
»2
A,
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Ecuación integral del campo eléctrico –EFIE–
2 Sustituyendo A =
se obtiene
—
4ı
R
|!—
E =`
4ı
S0
“
Js (r 0 )g(r ; r 0 ) ds 0 en E = `|! 1 +
Z
Js (r 0 ) ´
S0
„
I+
1
rr
»2
«
”
1
rr´
»2
A,
g(r ; r 0 ) ds 0
donde I = ax ax + ay ay + az az es la diádica de Green.
2 Esta ecuación se conoce como Ecuación Integral del Campo Eléctrico, EFIE (por sus siglas en inglés)
a.z. @ ‘abema
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EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Ecuación integral del campo eléctrico –EFIE–
2 Sustituyendo A =
se obtiene
—
4ı
R
|!—
E =`
4ı
S0
“
Js (r 0 )g(r ; r 0 ) ds 0 en E = `|! 1 +
Z
Js (r 0 ) ´
S0
„
I+
1
rr
»2
«
”
1
rr´
»2
A,
g(r ; r 0 ) ds 0
donde I = ax ax + ay ay + az az es la diádica de Green.
2 Esta ecuación se conoce como Ecuación Integral del Campo Eléctrico, EFIE (por sus siglas en inglés)
2 En general, la corriente Js , cuyo valor viene dado por an ˆ H(SC ), se
desconoce: el campo H forma parte, en conjunto con E , de las incógnitas
del problema.
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
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EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 En la figura se muestra la apariencia general de
una antena lineal alimentada en un punto central.
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 En la figura se muestra la apariencia general de
una antena lineal alimentada en un punto central.
2 Para caracterizar esta antena (e.g. conocer su
impedancia de entrada y su diagrama de radiación),
es necesario conocer la distribución de corriente.
a.z. @ ‘abema
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Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 En la figura se muestra la apariencia general de
una antena lineal alimentada en un punto central.
2 Para caracterizar esta antena (e.g. conocer su
impedancia de entrada y su diagrama de radiación),
es necesario conocer la distribución de corriente.
2 Como ejercicio de aplicación programaremos el
método de los momentos para estimar la distribución de corriente de esta antena lineal.
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
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EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 En la figura se muestra la apariencia general de
una antena lineal alimentada en un punto central.
2 Para caracterizar esta antena (e.g. conocer su
impedancia de entrada y su diagrama de radiación),
es necesario conocer la distribución de corriente.
2 Como ejercicio de aplicación programaremos el
método de los momentos para estimar la distribución de corriente de esta antena lineal.
2 Premisas que aplicarán en nuestro análisis:
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
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EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 En la figura se muestra la apariencia general de
una antena lineal alimentada en un punto central.
2 Para caracterizar esta antena (e.g. conocer su
impedancia de entrada y su diagrama de radiación),
es necesario conocer la distribución de corriente.
2 Como ejercicio de aplicación programaremos el
método de los momentos para estimar la distribución de corriente de esta antena lineal.
2 Premisas que aplicarán en nuestro análisis:
2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con su longitud L:
a fi L.
a.z. @ ‘abema
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EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 En la figura se muestra la apariencia general de
una antena lineal alimentada en un punto central.
2 Para caracterizar esta antena (e.g. conocer su
impedancia de entrada y su diagrama de radiación),
es necesario conocer la distribución de corriente.
2 Como ejercicio de aplicación programaremos el
método de los momentos para estimar la distribución de corriente de esta antena lineal.
2 Premisas que aplicarán en nuestro análisis:
2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con su longitud L:
a fi L.
2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con la longitud de
onda –: a fi –.
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
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Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 En la figura se muestra la apariencia general de
una antena lineal alimentada en un punto central.
2 Para caracterizar esta antena (e.g. conocer su
impedancia de entrada y su diagrama de radiación),
es necesario conocer la distribución de corriente.
2 Como ejercicio de aplicación programaremos el
método de los momentos para estimar la distribución de corriente de esta antena lineal.
2 Premisas que aplicarán en nuestro análisis:
2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con su longitud L:
a fi L.
2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con la longitud de
onda –: a fi –.
2 El conductor se asume perfecto (ff ! 1), por esta razón la corriente
se distribuye superficialmente: ff " ) J ! JS .
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
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Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 En la figura se muestra la apariencia general de
una antena lineal alimentada en un punto central.
2 Para caracterizar esta antena (e.g. conocer su
impedancia de entrada y su diagrama de radiación),
es necesario conocer la distribución de corriente.
2 Como ejercicio de aplicación programaremos el
método de los momentos para estimar la distribución de corriente de esta antena lineal.
2 Premisas que aplicarán en nuestro análisis:
2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con su longitud L:
a fi L.
2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con la longitud de
onda –: a fi –.
2 El conductor se asume perfecto (ff ! 1), por esta razón la corriente
se distribuye superficialmente: ff " ) J ! JS .
2 La alimentación de la antena se efectúa a través de un «gap» ∆“ muy
pequeño comparado con –: ∆“ fi –
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
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Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Campo impreso
2 Admitimos que en nuestro problema el campo
eléctrico consiste de dos partes:
E = Es + Ei
a.z. @ ‘abema
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Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Campo impreso
2 Admitimos que en nuestro problema el campo
eléctrico consiste de dos partes:
E = Es + Ei
2 E i es el campo impreso, debido a la excitación, que es distinto de cero
solo en el gap de alimentación:
Ei =
∆V
az ;
∆“
a.z. @ ‘abema
8z < j∆“=2j
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Campo disperso
2 E s es el campo disperso, debido a la corriente
inducida en la superficie de la antena.
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
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EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Campo disperso
2 E s es el campo disperso, debido a la corriente
inducida en la superficie de la antena.
2 El campo E s se relaciona con la corriente según
la ecuación
E s = ` |!—
4ı
a.z. @ ‘abema
R
S0
Js (r 0 ) ´
“
I+
”
1
rr
»2
Antenas lineales con MoM
g(r ; r 0 ) ds 0
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Campo disperso
2 E s es el campo disperso, debido a la corriente
inducida en la superficie de la antena.
2 El campo E s se relaciona con la corriente según
la ecuación
E s = ` |!—
4ı
R
S0
Js (r 0 ) ´
“
I+
”
1
rr
»2
g(r ; r 0 ) ds 0
2 Como Js ! I (z 0 )az , con I az = Js 2ıa,
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Campo disperso
2 E s es el campo disperso, debido a la corriente
inducida en la superficie de la antena.
2 El campo E s se relaciona con la corriente según
la ecuación
E s = ` |!—
4ı
R
S0
Js (r 0 ) ´
“
I+
”
1
rr
»2
g(r ; r 0 ) ds 0
0
2 Como Js !
R I (z )a
R z , con I az = Js 2ıa,
2 Entonces S 0 ! L0 , ds 0 ! dz 0 .
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
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Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Campo disperso
2 E s es el campo disperso, debido a la corriente
inducida en la superficie de la antena.
2 El campo E s se relaciona con la corriente según
la ecuación
E s = ` |!—
4ı
R
S0
Js (r 0 ) ´
“
I+
”
1
rr
»2
g(r ; r 0 ) ds 0
0
2 Como Js !
R I (z )a
R z , con I az = Js 2ıa,
2 Entonces S 0 ! L0 , ds 0 ! dz 0 .
@
2 Así las cosas, az ´ I = az , y az ´ r = @z
,
a.z. @ ‘abema
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Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
Campo disperso
2 E s es el campo disperso, debido a la corriente
inducida en la superficie de la antena.
2 El campo E s se relaciona con la corriente según
la ecuación
E s = ` |!—
4ı
R
S0
Js (r 0 ) ´
“
I+
”
1
rr
»2
g(r ; r 0 ) ds 0
0
2 Como Js !
R I (z )a
R z , con I az = Js 2ıa,
2 Entonces S 0 ! L0 , ds 0 ! dz 0 .
@
2 Así las cosas, az ´ I = az , y az ´ r = @z
,
p
0
2
2
`j»
(z `z ) +
e
2 y como g(r ; r 0 ) ” p
, resulta:
0 2
2
(z `z ) +
|!—
E =`
4ı
Z
L
2
s
`L
2
„
« `j»p(z `z 0 )2 +2
1 @
e
I (z ) az + 2
r p
dz 0
» @z
(z ` z 0 )2 + 2
0
donde  – a.
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
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Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 Nos consta que Et ı 0 en  = a:
(E i + E s ) ´ az j=a = 0
por tanto:
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
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Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 Nos consta que Et ı 0 en  = a:
(E i + E s ) ´ az j=a = 0
por tanto:
|!— R
[ ∆V ‹(z )az ` 4ı L0 I (z 0 )
∆“
a.z. @ ‘abema
„
«
az + 12 @ r g(r ; r 0 ) dz 0 ] ´ az = 0
» @z
Antenas lineales con MoM
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Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 Nos consta que Et ı 0 en  = a:
(E i + E s ) ´ az j=a = 0
por tanto:
|!— R
[ ∆V ‹(z )az ` 4ı L0 I (z 0 )
∆“
„
«
az + 12 @ r g(r ; r 0 ) dz 0 ] ´ az = 0
» @z
y
R
L0
“
I (z 0 ) »2 +
@2
@z 2
”
g(r ; r 0 ) dz 0 = ` |4ı»
”
resultando:
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
∆V
∆“
‹(z )
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 Nos consta que Et ı 0 en  = a:
(E i + E s ) ´ az j=a = 0
por tanto:
|!— R
[ ∆V ‹(z )az ` 4ı L0 I (z 0 )
∆“
„
«
az + 12 @ r g(r ; r 0 ) dz 0 ] ´ az = 0
» @z
y
R
L0
“
I (z 0 ) »2 +
@2
@z 2
”
g(r ; r 0 ) dz 0 = ` |4ı»
”
∆V
∆“
‹(z )
resultando:
Z
L
2
`L
2
I (z 0 )
„
»2 +
@2
@z 2
«
p
0 2
2
e `j» (z `z ) +a
|4ı» ∆V
dz 0 = `
‹(z )
p
” ∆“
(z ` z 0 )2 + a2
a.z. @ ‘abema
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Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 En la ecuación:
R
L0
“
I (z 0 ) »2 +
@2
@z 2
”
g(r ; r 0 ) dz 0 = ` |4ı»
”
I (z 0 ) se desconoce.
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
∆V
∆“
‹(z )
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Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 En la ecuación:
R
L0
“
I (z 0 ) »2 +
@2
@z 2
”
g(r ; r 0 ) dz 0 = ` |4ı»
”
I (z 0 ) se desconoce.
2 I (z 0 ) se puede estimar usando el MoM.
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
∆V
∆“
‹(z )
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Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 En la ecuación:
R
L0
“
I (z 0 ) »2 +
@2
@z 2
”
g(r ; r 0 ) dz 0 = ` |4ı»
”
∆V
∆“
‹(z )
I (z 0 ) se desconoce.
2 I (z 0 ) se puede estimar usando el MoM.
2 Para P
ello será necesario una expansión del tipo:
0
I (z 0 ) ı
n In fn (z ).
a.z. @ ‘abema
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Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 En la ecuación:
R
L0
“
I (z 0 ) »2 +
@2
@z 2
”
g(r ; r 0 ) dz 0 = ` |4ı»
”
∆V
∆“
‹(z )
I (z 0 ) se desconoce.
2 I (z 0 ) se puede estimar usando el MoM.
2 Para P
ello será necesario una expansión del tipo:
0
I (z 0 ) ı
n In fn (z ).
2 Establecer un procedimiento de prueba
hwm ; Lfn i.
a.z. @ ‘abema
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Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 En la ecuación:
R
L0
“
I (z 0 ) »2 +
@2
@z 2
”
g(r ; r 0 ) dz 0 = ` |4ı»
”
∆V
∆“
‹(z )
I (z 0 ) se desconoce.
2 I (z 0 ) se puede estimar usando el MoM.
2 Para P
ello será necesario una expansión del tipo:
0
I (z 0 ) ı
n In fn (z ).
2 Establecer un procedimiento de prueba
hwm ; Lfn i.
2 Un dominio fuente.
a.z. @ ‘abema
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Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 En la ecuación:
R
L0
“
I (z 0 ) »2 +
@2
@z 2
”
g(r ; r 0 ) dz 0 = ` |4ı»
”
∆V
∆“
‹(z )
I (z 0 ) se desconoce.
2 I (z 0 ) se puede estimar usando el MoM.
2 Para P
ello será necesario una expansión del tipo:
0
I (z 0 ) ı
n In fn (z ).
2 Establecer un procedimiento de prueba
hwm ; Lfn i.
2 Un dominio fuente.
2 Un dominio de observación.
a.z. @ ‘abema
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Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 En la ecuación:
R
L0
“
I (z 0 ) »2 +
@2
@z 2
”
g(r ; r 0 ) dz 0 = ` |4ı»
”
∆V
∆“
‹(z )
I (z 0 ) se desconoce.
2 I (z 0 ) se puede estimar usando el MoM.
2 Para P
ello será necesario una expansión del tipo:
0
I (z 0 ) ı
n In fn (z ).
2 Establecer un procedimiento de prueba
hwm ; Lfn i.
2 Un dominio fuente.
2 Un dominio de observación.
Discretización de los dominios de interés:
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
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Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 En la ecuación:
R
L0
“
I (z 0 ) »2 +
@2
@z 2
”
g(r ; r 0 ) dz 0 = ` |4ı»
”
∆V
∆“
‹(z )
I (z 0 ) se desconoce.
2 I (z 0 ) se puede estimar usando el MoM.
2 Para P
ello será necesario una expansión del tipo:
0
I (z 0 ) ı
n In fn (z ).
2 Establecer un procedimiento de prueba
hwm ; Lfn i.
2 Un dominio fuente.
2 Un dominio de observación.
Discretización de los dominios de interés:
2 Discretizamos ahora el dominio físico de las fuentes en un número N
(par) de tramos, y seleccionamos N + 1 puntos fzn0 g con una separación
constante h = L=N: zn0 = nh, con n = 0; ˚1; ˚2; : : : ˚ N
.
2
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 En la ecuación:
R
L0
“
I (z 0 ) »2 +
@2
@z 2
”
g(r ; r 0 ) dz 0 = ` |4ı»
”
∆V
∆“
‹(z )
I (z 0 ) se desconoce.
2 I (z 0 ) se puede estimar usando el MoM.
2 Para P
ello será necesario una expansión del tipo:
0
I (z 0 ) ı
n In fn (z ).
2 Establecer un procedimiento de prueba
hwm ; Lfn i.
2 Un dominio fuente.
2 Un dominio de observación.
Discretización de los dominios de interés:
2 Discretizamos ahora el dominio físico de las fuentes en un número N
(par) de tramos, y seleccionamos N + 1 puntos fzn0 g con una separación
constante h = L=N: zn0 = nh, con n = 0; ˚1; ˚2; : : : ˚ N
.
2
2 Hacemos lo propio con el dominio físico de observación el cual
se localiza en la superficie de la antena: fzm g: zm = mh con m =
0; ˚1; ˚2; : : : ˚ N
.
2
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 Selección de las funciones bases y de peso.
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 Selección de las funciones bases y de peso.
2Seleccionamos la siguiente familia de funciones
bases:
fn (z 0 ) =
8
>
<
>
:
sin »[z 0 `h(n`1)]
;
sin »h
sin »[h(n+1)`z 0 ]
;
sin »h
0;
hn > z 0 > (h ` 1)n;
h(n + 1) > z 0 > hn;
para el resto.
con n = 0; ˚1; ˚2; : : : ; ˚ N
2
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 Selección de las funciones bases y de peso.
2Seleccionamos la siguiente familia de funciones
bases:
fn (z 0 ) =
8
>
<
>
:
sin »[z 0 `h(n`1)]
;
sin »h
sin »[h(n+1)`z 0 ]
;
sin »h
0;
hn > z 0 > (h ` 1)n;
h(n + 1) > z 0 > hn;
para el resto.
con n = 0; ˚1; ˚2; : : : ; ˚ N
2
2 Seleccionamos la siguiente familia de funciones de peso:
w = ‹(z ` mh)
con m = 0; ˚1; ˚2; : : : ; ˚ N
2
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 Llenado de la matriz del sistema o matriz de
impedancias y del vector de valores conocidos:
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 Llenado de la matriz del sistema o matriz de
impedancias y del vector de valores conocidos:
2 Dado que Zm;n = hw; Lfn i, tenemos:
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 Llenado de la matriz del sistema o matriz de
impedancias y del vector de valores conocidos:
2 Dado que
R Zm;n = hw; Lfn i, tenemos:
2 Zm;n = L ‹(z ` mh)Lfn dz , así:
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 Llenado de la matriz del sistema o matriz de
impedancias y del vector de valores conocidos:
2 Dado que
R Zm;n = hw; Lfn i, tenemos:
2 Zm;n = L ‹(z ` mh)Lfn dz , así:
2 Zm;n = Lfn jmh , esto es:
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 Llenado de la matriz del sistema o matriz de
impedancias y del vector de valores conocidos:
2 Dado que
R Zm;n = hw; Lfn i, tenemos:
2 Zm;n = L ‹(z ` mh)Lfn dz , así:
2 Zm;n = Lfn jmh , esto es:
Zm;n =
R
a.z. @ ‘abema
L0 fn (z
0)
“
»2 +
@2
@z 2
”
g(r ; r 0 )jmh dz 0
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 Llenado de la matriz del sistema o matriz de
impedancias y del vector de valores conocidos:
2 Dado que
R Zm;n = hw; Lfn i, tenemos:
2 Zm;n = L ‹(z ` mh)Lfn dz , así:
2 Zm;n = Lfn jmh , esto es:
Zm;n =
R
L0 fn (z
0)
“
»2 +
@2
@z 2
”
g(r ; r 0 )jmh dz 0
Así se tiene:
Z
L
2
Zm;n =
`L
2
fn (z 0 )
„
« `j»p(z `z 0 )2 +a2 ˛˛
e
@2
˛
dz 0
»2 +
˛
p
@z 2
(z ` z 0 )2 + a2 ˛z =mh
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 Aproximando
@2f
@2z
ı
a.z. @ ‘abema
@2f
@2z
1
[f
h2
mediante diferencias finitas:
(z ` h) ` 2f (z ) + f (z + h)]
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 Aproximando
@2f
@2z
ı
@2f
@2z
1
[f
h2
mediante diferencias finitas:
(z ` h) ` 2f (z ) + f (z + h)]
se obtiene
Zm;n =
"
#
`j»Rm`1
`j»Rm+1
R L
`j»Rm
e
2 f (z 0 ) 1
dz 0
+ (h2 »2 ` 2) e
+ e
n
2
R
R
R
L
m
m+1
h
m`1
`2
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 Aproximando
@2f
@2z
ı
@2f
@2z
1
[f
h2
mediante diferencias finitas:
(z ` h) ` 2f (z ) + f (z + h)]
se obtiene
Zm;n =
"
#
`j»Rm`1
`j»Rm+1
R L
`j»Rm
e
2 f (z 0 ) 1
dz 0
+ (h2 »2 ` 2) e
+ e
n
2
R
R
R
L
m
m+1
h
m`1
`2
donde Rm =
p
(mh ` z 0 )2 + a2 .
2 La integral en z 0 se puede resolver asumiendo que (»2 +
mantiene uniforme en el subdominio fuente.
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
@2
)g(r ; r 0 )
@z 2
se
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 Aproximando
@2f
@2z
ı
@2f
@2z
1
[f
h2
mediante diferencias finitas:
(z ` h) ` 2f (z ) + f (z + h)]
se obtiene
Zm;n =
"
#
`j»Rm`1
`j»Rm+1
R L
`j»Rm
e
2 f (z 0 ) 1
dz 0
+ (h2 »2 ` 2) e
+ e
n
2
R
R
R
L
m
m+1
h
m`1
`2
donde Rm =
p
(mh ` z 0 )2 + a2 .
2 La integral en z 0 se puede resolver asumiendo que (»2 +
mantiene uniforme en el subdominio fuente. En efecto:
Zm;n =
1
h2
h
e `j»Rm`1;n
Rm`1;n
+ (h2 »2 ` 2) e
a.z. @ ‘abema
`j»Rm;n
Rm;n
+
e `j»Rm+1;n
Rm+1;n
Antenas lineales con MoM
iR
@2
)g(r ; r 0 )
@z 2
L
2
`L
2
fn (z 0 ) dz 0
se
Introducción
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Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 Aproximando
@2f
@2z
ı
@2f
@2z
1
[f
h2
mediante diferencias finitas:
(z ` h) ` 2f (z ) + f (z + h)]
se obtiene
Zm;n =
"
#
`j»Rm`1
`j»Rm+1
R L
`j»Rm
e
2 f (z 0 ) 1
dz 0
+ (h2 »2 ` 2) e
+ e
n
2
R
R
R
L
m
m+1
h
m`1
`2
donde Rm =
p
(mh ` z 0 )2 + a2 .
2 La integral en z 0 se puede resolver asumiendo que (»2 +
mantiene uniforme en el subdominio fuente. En efecto:
Zm;n =
1
h2
h
donde Rm;n =
e `j»Rm`1;n
Rm`1;n
p
+ (h2 »2 ` 2) e
`j»Rm;n
Rm;n
+
e `j»Rm+1;n
Rm+1;n
[(m ` n)h]2 + a2 .
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
iR
@2
)g(r ; r 0 )
@z 2
L
2
`L
2
fn (z 0 ) dz 0
se
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 Como:
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
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Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 Como:
L
2
fn (z 0 ) dz 0 =
`L
2
R nh
sin »[z 0 `h(n`1)]
(n`1)h
sin »h
R
a.z. @ ‘abema
dz 0 +
R (n+1)h
nh
Antenas lineales con MoM
sin »[h(n+1)`z 0 ]
sin »h
dz 0
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 Como:
L
2
fn (z 0 ) dz 0 =
`L
2
R nh
sin »[z 0 `h(n`1)]
(n`1)h
sin »h
R
dz 0 +
R (n+1)h
nh
sin »[h(n+1)`z 0 ]
sin »h
2 Al resolver las integrales, se obtiene:
Z
L
2
`L
2
a.z. @ ‘abema
fn (z 0 ) dz 0 =
4 sin2 ( »h
)
2
» sin »h
Antenas lineales con MoM
dz 0
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 Como:
L
2
fn (z 0 ) dz 0 =
`L
2
R nh
sin »[z 0 `h(n`1)]
(n`1)h
sin »h
R
dz 0 +
R (n+1)h
nh
sin »[h(n+1)`z 0 ]
sin »h
dz 0
2 Al resolver las integrales, se obtiene:
Z
L
2
`L
2
fn (z 0 ) dz 0 =
4 sin2 ( »h
)
2
» sin »h
2 Finalmente Zmn tiene la forma:
Zm;n =
1
h2
»
e `j»Rm`1;n
e `j»Rm+1;n
e `j»Rm;n
+ (h2 »2 ` 2)
+
Rm`1;n
Rm;n
Rm+1;n
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
–
4 sin2 ( »h
)
2
» sin »h
Introducción
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Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
2 Como:
L
2
fn (z 0 ) dz 0 =
`L
2
R nh
sin »[z 0 `h(n`1)]
(n`1)h
sin »h
R
dz 0 +
R (n+1)h
nh
sin »[h(n+1)`z 0 ]
sin »h
dz 0
2 Al resolver las integrales, se obtiene:
Z
L
2
`L
2
fn (z 0 ) dz 0 =
4 sin2 ( »h
)
2
» sin »h
2 Finalmente Zmn tiene la forma:
Zm;n =
e `j»Rm`1;n
e `j»Rm+1;n
e `j»Rm;n
+ (h2 »2 ` 2)
+
Rm`1;n
Rm;n
Rm+1;n
p
=
[(m ` n)h]2 + a2 .
1
h2
donde Rm;n
»
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
–
4 sin2 ( »h
)
2
» sin »h
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
∆V
2 Dado que Vm = hwm ; ` |4ı»
i, al poner:
”
∆“
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
∆V
2 Dado que Vm = hwm ; ` |4ı»
i, al poner:
”
∆“
2 ∆V = 1, y
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
∆V
2 Dado que Vm = hwm ; ` |4ı»
i, al poner:
”
∆“
2 ∆V = 1, y
2 ∆“ = h,
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
∆V
2 Dado que Vm = hwm ; ` |4ı»
i, al poner:
”
∆“
2 ∆V = 1, y
2 ∆“ = h, se obtiene:
Z
L
2
„
‹(z ` mh)
Vm =
`L
2
a.z. @ ‘abema
`
|4ı» 1
” h
Antenas lineales con MoM
«
dz
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Aplicación del método en una antena lineal
∆V
2 Dado que Vm = hwm ; ` |4ı»
i, al poner:
”
∆“
2 ∆V = 1, y
2 ∆“ = h, se obtiene:
Z
L
2
„
‹(z ` mh)
Vm =
`
`L
2
|4ı» 1
” h
2 Y:

Vm =
1
` |4ı»
;
” h
0;
a.z. @ ‘abema
m = N+1
;
2
para el resto.
Antenas lineales con MoM
«
dz
Introducción
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Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Distribución de corriente
Resultados
−3
8
−3
x 10
0
x 10
7
−1
6
−2
Im{i(z′)}
Re{i(z′)}
5
4
−3
3
−4
2
−5
1
0
−0.25 −0.2
−0.15 −0.1
<fI (z 0 )g vs.
−0.05
0
z′/λ
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
z0
–
−6
−0.25 −0.2
−0.15 −0.1
=fI (z 0 )g vs.
a.z. @ ‘abema
−0.05
0
z′/λ
z0
–
Antenas lineales con MoM
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Diagrama de radiación
2 El patrón de radiación F („) viene dado
por:
F („) =
a.z. @ ‘abema
jN„ („)j
jN„ (ı=2)j
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
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Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Diagrama de radiación
2 El patrón de radiación F („) viene dado
por:
F („) =
jN„ („)j
jN„ (ı=2)j
donde
N„ („) = [
a.z. @ ‘abema
R
L0
I (z 0 )az e|»z
Antenas lineales con MoM
0
cos „
dz 0 ] ´ a„
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Diagrama de radiación
2 El patrón de radiación F („) viene dado
por:
F („) =
jN„ („)j
jN„ (ı=2)j
donde
N„ („) = [
R
L0
I (z 0 )az e|»z
0
cos „
dz 0 ] ´ a„
2 F („) se puede estimar, numéricamente, para un conjunto de K valores
del ángulo „: „ = f„0 ; „1 ; ´ ´ ´ ; „K g.
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Diagrama de radiación
2 El patrón de radiación F („) viene dado
por:
F („) =
jN„ („)j
jN„ (ı=2)j
donde
N„ („) = [
R
L0
I (z 0 )az e|»z
0
cos „
dz 0 ] ´ a„
2 F („) se puede estimar, numéricamente, para un conjunto de K valores
del ángulo „: „ = f„0 ; „1 ; ´ ´ ´ ; „K g.
P
0
2 Para ello se reemplaza I (z 0 ) por su aproximación: I (z 0 ) ı
n In fn (z ):
N„ („) = ` sin „
R
L0
P
n In fn (z
0)
e|»z
0
cos „
dz 0
con „ = f„0 ; „1 ; ´ ´ ´ ; „K g.
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Diagrama de radiación
R P
0
|»z 0 cos „ se puede
2 La integral IN = L0
n In fn (z ) e
resolver numéricamente.
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
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Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Diagrama de radiación
R P
0
|»z 0 cos „ se puede
2 La integral IN = L0
n In fn (z ) e
resolver numéricamente.
R
P
2 Intercambiando los operadores
n ! L0 ,
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
EFIE
Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Diagrama de radiación
R P
0
|»z 0 cos „ se puede
2 La integral IN = L0
n In fn (z ) e
resolver numéricamente.
R
P
2 Intercambiando los operadores
n ! L0 ,
2 Llamando ‘0n el sub-dominio de integración de
fn (z 0 ):
IN ı
P
n In
R
‘0n fn (z
0)
e|»z
con „ = f„0 ; „1 ; ´ ´ ´ ; „K g.
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
0
cos „
dz 0
Introducción
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Aplicación del método en una antena lineal
Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Diagrama de radiación
R P
0
|»z 0 cos „ se puede
2 La integral IN = L0
n In fn (z ) e
resolver numéricamente.
R
P
2 Intercambiando los operadores
n ! L0 ,
2 Llamando ‘0n el sub-dominio de integración de
fn (z 0 ):
IN ı
P
n In
R
‘0n fn (z
0)
e|»z
0
cos „
dz 0
con „ = f„0 ; „1 ; ´ ´ ´ ; „K g.
2 Sub-dividiendo ‘0n en M sub-tramos de longitud
∆.
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
Introducción
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Funciones base y de peso
Distribución de corriente
Diagrama de radiación
Diagrama de radiación
R P
0
|»z 0 cos „ se puede
2 La integral IN = L0
n In fn (z ) e
resolver numéricamente.
R
P
2 Intercambiando los operadores
n ! L0 ,
2 Llamando ‘0n el sub-dominio de integración de
fn (z 0 ):
IN ı
P
n In
R
‘0n fn (z
0)
e|»z
0
cos „
dz 0
con „ = f„0 ; „1 ; ´ ´ ´ ; „K g.
2 Sub-dividiendo ‘0n en M sub-tramos de longitud
∆.
2 Aproximando IN :
IN ı
P
n In
c0
m fn (zm )
PM
c0
e|»zm
cos „
∆
0
c
donde zm
es la coordenada z 0 del centro del tramo m-ésimo, y „ =
f„0 ; „1 ; ´ ´ ´ ; „K g.
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM
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Funciones base y de peso
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Diagrama de radiación
Diagrama de radiación
Resultados
0
π/6
π/6
π/3
π/3
1
0.8
0.6
π/2
0.4
0.2
π/2
2π/3
2π/3
5π/6
5π/6
π
N=i2.*exp(1j*2*pi*Zpctheta);
N=sum(N,2);
Nz=N'.*-sin(theta).*Delta;
a.z. @ ‘abema
Antenas lineales con MoM