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UNI-FIEE ANTENAS MARCIAL LOPEZ TAFUR 1. Ecuaciones de Maxwell y condiciones de frontera: Sea: E = Campo Eléctrico B = Flujo de campo magnético H = Intensidad magnética D = Campo eléctrico de desplazamiento J = Densidad de corriente ρ = densidad de carga ∇× E = − jω B ∇× H = jω D + J ∇ gD = ρ ∇ gB = 0 ∇× J = − jωρ (Ley de Faraday) (Ley de Ampere generalizada) (Ley de Gauss) (Continuidad de flujo magnético) (Ley de continuidad) En el espacio libre (vacío): D = ε 0E ε 0 = 10 −9 /36π F / m permitividad del espacio libre B = µ0H µ 0 = 4π ×10−7 Hr / m permeabilidad del espacio libre JC = σ E D = εE ( J C : corriente de conducción, σ : En un medio con pérdidas ( ε , σ ) ∇× H = ( jωε + σ ) E + J = jω conductividad ) σ ε + E +J jω 1424 3 PermitividadCompleja En general sí σ fuera cero ε = ε '− j ε '' A menudo es necesario encontrar soluciones a las ecuaciones de Maxwell en regiones no homogéneas para los casos: La frontera de un conductor perfecto La frontera de un conductor imperfecto La frontera entre dos medios dieléctricos diferentes.99 Conductor paralelo muy largo, su circuito equivalente para un dz es: Aplicando Kirchof: 1 UNI-FIEE ANTENAS MARCIAL LOPEZ TAFUR ∂v ∂i dz ) = (iR + L ) dz ∂z ∂t ∂i ∂v i − (i + dz ) = (vG + C ) dz ∂z ∂t v − (v + ó ∂v ∂i = − iR + L ∂z ∂t ∂i ∂v = − vG + C ∂z ∂t donde: R es resistencia por metro L es inductancia por metro C es capacitancia en paralelo por metro G es conductancia en paralelo por metro Para estado estacionario sinusoidal, usando análisis fasorial: dV = − ( R + j ωL ) I dz dI = −(G + j ωC )V ........(α ) dz Formando d2 V/dz2 y usando (α) para reemplazar dI/dz, obtenemos: d ²V = ( R + jωL )(G + j ωC )V dz ² Que tiene por solución: V =V+e −γ z + γz +V − e donde : γ = jβ + α = ( R + j ωL)( G + j ωC) V+ y V- son las amplitudes complejas de la onda propagándose en las direcciones +z y –z respectivamente, como en la mayoría de los casos R << ωL y G << ωC, se puede: R G 1 + γ ≈ j ω LC 1 + 2 jωL 2 j ωC 1 C L γ ≈ j ω LC + R +G 2 L C 2 UNI-FIEE ANTENAS MARCIAL LOPEZ TAFUR En el caso teórico de una línea libre de pérdidas, es decir sí R = G = 0, tenemos: γ = j β = jω LC ω j ω µ 0 ε 0 = j = jK 0 c + V − j βz V − + jβz I= − ZC e ZC e Z= L C Z es la impedancia característica de la línea de transmisión Para una línea coaxial y una línea bifilar: 2b D 2a d 2a Z C = 120Cosh −1 ε b Z C = 60 0 Ln ε a D d Frontera de un conductor Imperfecto: 1 n En un conductor real, el campo electromagnético penetra un poco, con una amplitud que cae exponencialmente de acuerdo a: e − z / δ S , donde: z es la distancia dentro del conductor y 1/2 e-1 δS z 2 δS = es la profundidad del efecto ωµ oσ pelicular (SKIN DEEPH). La Resistencia superficial (RS) es la RDC de un cuadrado de 1 lado l y espesor δ S. RS = σδ S -7 Ejemplo: Para el Cu: σ = 5.8×10 S/m 6.6 ×10 −3 cm @ 1MHz δS = −4 2.1× 10 cm @ 1GHz RS l l δS 3 UNI-FIEE ANTENAS MARCIAL LOPEZ TAFUR Para propósitos prácticos el campo E.M. se considera que no penetra en un buen conductor, como en los metales. Aunque el hecho de que el metal tiene una σ ≠ ∞implica que existe disipación ó pérdida óhmica en el metal. Cuando es necesario calcular esta pérdida, se usa en siguiente procedimiento aproximado, el cual es ampliamente usado para encontrar la atenuación en líneas de transmisión, guías de onda: 1º se asume conductividad perfecta (σ = ∞) y JS = n×H, el campo eléctrico actual tangente a la superficie está relacionado a su densidad de corriente por la relación: n × E = Z S n × JS 1+ j 1 donde ZS es la impedancia de superficie del conductor: Z S = , donde: es la σδ S σδ S equivalente estática o resistencia DC de una hoja cuadrada de metal de espesor igual a δ S y con conductividad σ. Hay un componente inductivo igual debido a la penetración del campo magnético. La pérdida de potencia ocurre por unidad de área y está dado por la parte real del vector de Poynting complejo de flujo, normal a la superficie y es: Ρ = − 12 Re {n gE × H ∗ } = − 12 Re {n × E gH ∗ } = Ρ = − 12 Re { Z S n × J S gH ∗ } 2 JS Ρ = Re { Z S J S gn × H } = Re { Z S Jg J } = σδ S El signo (-) al comienzo es debido al que n está siendo dirigido hacia fuera, el (*) denota valor complejo conjugado, cuando σ → ∞, δ S , Z S y la pérdida se desvanecen comparada con ∗ 1 2 ∗ 1 2 1 2 Z0 = µ0 / ε0 = 377Ω del espacio libre, para el Cu @ 1 MHz Z S = 2.6 × 10−4 (1 + j ) Ω , esto es válido sí: d ≥ 3δ S , es decir: δS d Ejemplo: Calcular ZAC de un alambre, D = 2a = 0.4 cm @ 1 MHz l R 1 δS R= → = 2a l 2π aσδ S ( 2π aδ S ) σ E Sí D > 66δ S J S = , donde E es el campo ZS eléctrico axial a lo largo del alambre la E I TOTAL = I = 2π aJ S y la caída de voltaje por unidad l de longitud a lo largo del alambre iguala a E en valor. Por lo tanto: 4 UNI-FIEE ANTENAS MARCIAL LOPEZ TAFUR E ZS ó , numéricamente: I 2π a 2.6 ×10 −4 (1 + j) Ω = = 0.0207(1 + j) −3 2π × 2× 10 m ZAC por unidad de longitud es: Z AC Frontera entre dos medios dieléctricos: En su frontera los componentes tangenciales de los ε1 ε2 campos son iguales, es decir: n × E1 = n × E 2 n × H 1 = n × H2 n en adición , el flujo eléctrico normal es contínuo: ng D1 = ngD2 Potenciales Escalares y Vectoriales: D = ε 0 E (Ley de Ampere) y para espacio libre B = µ 0 H y ∇× E = − jω B (Ley de Faraday) Sq: ∇× H = jω D + J y que: ∇ × ∇ × E = − jω∇ × B = K0 E = − jωµ 0 J , donde: K0 = ω ( µ0 ε 0 ) es el número de onda del espacio libre, la ecuación se debe resolver para encontrar el campo eléctrico directamente en términos de una determinada fuente de corriente J. En la práctica se resuelve introduciendo el vector potencial A y el potencial escalar φ. Desde que: ∇ gB = 0 y B = ∇ × A 1/2 2 ∇× ( E + jω A ) = 0 Cualquier función con rotacional cero puede ser expresada como el gradiente de una función escalar, luego podemos asumir que: E + jω A =−∇ φ ∇× µ 0 H = ∇ × ∇ × A = jωµ 0 ε 0 E + µ 0 J = jωµ 0ε 0 ( − jω A − ∇φ ) + µ 0J usando la expansión: ∇ × ∇ × A =∇∇ gA − ∇2 A obtenemos después de un rearreglo de 2 términos:∇ 2 A + K 0 A = −µ 0 J + ∇ ( ∇ g A + jωµ 0ε 0φ ) y como B = ∇ × A nosotros podemos libremente especificar la divergencia de A escogiendo: ∇ gA = − jωµ 0ε 0φ (Condición de Lorentz), ahora nuestra ecuación para A llega a convertirse en la ecuación no homogénea de 2 2 Helmholtz: ∇ 2 A + K 0 A = −µ 0 J , con igual procedimiento: ∇ 2φ + K0 φ = ρ / ε 0 , sin embargo, la carga no es una fuente independiente para campos variables en el tiempo, desde que está relacionado a la corriente por la ecuación de continuidad ∇ gJ = − jωρ y no es necesario resolverlo para φ. Usando la condición de Lorentz ( ∇ gA = − jωµ 0ε 0φ ) en: E + jω A =−∇ φ , podemos encontrar el campo eléctrico en términos del vector potencial A sólo por medio de la ∇∇gA relación: E = − jω A + jωµ0 ε 0 5 UNI-FIEE ANTENAS MARCIAL LOPEZ TAFUR Esta simplificación obtenida por la introducción de A puede ser apreciada por considerar el caso de una fuente de corriente: J = J S a z en la cual A = Azaz y Az es una solución de la ( ) ecuación escalar: ∇ 2 + K 0 2 Az = − µ 0J z Esta ecuación satisfecha por el campo eléctrico, es una ecuación vectorial aun cuando la corriente sólo tiene un componente. Radiación de un pequeño elemento de corriente: z ar az aφ θ θ aθθ r Idl x ar y θ aθθ φ ( ) Para esta fuente A solo tiene Az es decir: ∇ 2 + K 0 2 Az = µ 0J z . . . . . (α ) I , dS : es la sección de área perpendicular del filamento de corriente de dS longitud dl y dV = dSdl, como existe simetría esférica en la distribución de la fuente: 1 ∂r 2 ∂Az Az = f( r ) para r ≠ 0 se tendrá: 2 + K0 2 Az = 0 (en coordenadas esféricas) r ∂r ∂r χ dAz 1 d χ χ Sí: Az = y = − r dr r dr r 2 d 2χ ∴ + K0 2 χ = 0 , ecuación de movimiento armónico con soluciones: C1e − j K0r , C2e j K0r 2 dr escogiendo la 1ª solución y restaurando el factor tiempo, obtenemos: χ( r ,t ) = C1e − j K0 r + j ωt , ahora K0 = ω / c , donde: c = µ0 ε 0 (velocidad de la luz) Donde: J z = χ( r ,t ) = C1e jω (t −r /c ) Esta es la solución de onda correspondiente a una onda propagándose hacia fuera; desde que la fase esta relacionada por el factor K0 r y el retardo de tiempo correspondiente es r / c , C1e − j K0 r , en razón de relacionar C1 a la fuente, integramos ambos lados de r sobre un pequeño volumen esférico de radio r0 (∇ 2 Az = ∇g∇Az ) y usando el teorema de tendremos: Az = (α ) la divergencia: ∫ ∇ 2 Az dV = ∫ ∇g∇Az dV = Ñ∫ ∇Az ga r r0 sen θ d θ dφ = −K 0 2 V dV = r sen θ d θ d φdr , 2 V S 2 ∫ V Azd V − µ 0 ∫ J z dV V Az varía como 1/ r , sí escogemos r0 muy pequeño, la integral de 2 volumen que es proporcional a r0 será despreciable. La integral de volumen J z da: J z dSdl = Idl , el cual es la intensidad de la fuente, también: 6 UNI-FIEE ANTENAS MARCIAL LOPEZ TAFUR ∂Az e− j K0 r ∇Az gar = = − (1 + jK 0 ) C1 2 ∂r r y lim ∫ 2π r0 →0 0 π ∫ − (1 + jK r ) C e 0 0 0 1 − j K0 r0 sen θ dθ dφ = −4π C1 = −µ 0 I e − j K0r az 4π r El vector potencial es una onda esférica propagándose hacia fuera con su amplitud decreciendo inversamente con la distancia. La superficie de fase constante o retardo de tiempo constante es esférica de radio fijo r centrado en la fuente, la velocidad de fase de la onda es la velocidad de la luz, la distancia que corresponde a un cambio de fase de 2π es la longitud de onda λ0 (K 0 λ0 = 2π) 2π c c λ0 = = = K0 ω / 2π f ∇∇gA Sq: B = ∇ × A y E = − jω A + jωµ0 ε 0 Como: a z = a r cosθ − aθ sen θ µ Jdl − j K0 r y: A = 0 e ( ar cos θ − aθ sen θ ) 4π r 1 Idl sen θ jK0 1 − j K0 r B =∇× A y H = ∇× A = + 2 e aφ µ0 4π r r ∴ A = µ 0 Idl K 2 jK jZ0 Idl jK 1 jZ Idl 1 cos θ 2 0 + 3 ar − 0 sen θ − 0 + 2 0 + 3 e − j K0 r aθ 2π K 0 r 4π K 0 r r r r e j K0 r e j K0 r como r ? λ0 → E = jZ 0 IdlK 0 sen θ aθ y H = jIdlK 0 sen θ aφ 4π r 4π r para zonas alejadas E y H son perpendiculares al radio vector Eθ µ0 iguala a la impedancia intrínseca Z0 = Hφ ε0 E= E z ar H y x Región de la fuente E = −Z 0 ar × H H = Y0 ar × H , donde Y0 = Z0 7 −1 UNI-FIEE ANTENAS MARCIAL LOPEZ TAFUR Notamos que: Eθ y Eφ varían con senθ → que el campo radiante no es simétricamente esférico como lo es A. El vector de Poynting complejo para el campo radiante es: Z ( dl ) K0 Ρ = E× H = I × I 0 sen 2 θ ar 32π 2 r 2 que es real puro y en dirección radial hacia fuera. 2 1 2 ∗ 2 ∗ Analizaremos los otros términos de E y H, es decir los que varían en función de 1/ r 2 y 1/ r 3 , los que se volverán predominantes cuando r < λ0 y forman en la zona cercana campos reactivos, es decir en esta zona Ρ es imaginario puro, indicando potencia reactiva en vez de potencia real radiada. Sí K0 r es muy pequeño e − j K0r → 1 , luego el campo de zona cercana Idl sen θ será: H = aφ . . . . . . . . . . . . . ( β ) 4π r 2 IdlZ0 cos θ 1 sen θ 1 E= 1+ ar + 2 1+ a 2 4π r jK 0 r r jK 0 r θ 1 1 para K0 r = 1 : 1 + ; jK0 r jK0 r la carga Q al final del filamento de corriente debe cambiar de acuerdo a jω Q = I y desde que la corriente es la razón de cambio de la carga se tendrá: jω Q ( µ 0 / ε 0 ) IZ 0 = 1/2 jK0 jω ( µ 0ε 0 ) 1/2 Qdl 2cosθ 4π r 3 De ( β ) y (γ ) se puede reconocer como corriente corto y de un dipolo eléctrico, no contribuye a la potencia radiada, magnética en el espacio inmediatamente este campo cercano no de mucho interés. E= = Q ε0 senθ a θθ . . . . . . . . (γ ) r3 la distribución de campo estático de un filamento de respectivamente. Aunque la zona de campo cercano representa almacenamiento de energía eléctrica y cercano a la antena, excepto para el cálculo de Z, ar + Parámetros básicos de la antena: La radiación producida por un pequeño filamento de corriente es comúnmente llamado radiación de un dipolo, el cual puede ser visto como una antena elemental, del cual analizaremos sus parámetros. Patrón de Radiación: Es la distribución relacionada con la potencia radiada como una función de la dirección en el espacio. Para un dipolo elemental la potencia radiada va acorde al sen2 θ 8 UNI-FIEE ANTENAS MARCIAL LOPEZ TAFUR y z z Eθθ Hφφ x El haz de media potencia esta dado por el ángulo entre los puntos en el cual la potencia radiada es la mitad de la máxima, para este caso es de 90º en el plano E y en el H es un patrón circular constante. Ganancia y Directividad: Directividad: D (θθ ,φφ) La intensidad de la radiación es la potencia radiada por unidad de ángulo sólido y es obtenida multiplicando el flujo del vector de Poynting por r2 . Para un dipolo: d Pr 1 2 2 sen 2 θ = 2 r Re E × H ∗ gar = I × I ∗ Z0 ( dl ) K0 2 (Pot. radiada por unidad de ángulo sólido) dΩ 32π 2 d Pr/ d Ω d Pr/ d Ω D(θ ,φ ) = = 4π Pr: Potencia radiada total Pr/4π Pr Para un dipolo computaremos la potencia Pr integrando el flujo de potencia del vector de Poynting a través de una superficie esférica cerrada alrededor del dipolo. Esto es equivalente a integrar la intensidad sobre el ángulo sólido de una esfera. II ∗ Z 0 ( dl ) 2 K 0 2 2 π π Pr = sen 2 θ sen θ dθ dφ 2 ∫ ∫ 0 0 32π desde que: d Ω = sen θ d θ d φ y sen 2 θ = 1 − cos2 θ I × I ∗ Z 0 ( K0 dl ) Pr = 12π ∴ D(θ , φ ) = 1.5sen2 θ (La máxima directividad es 1.5 y ocurre en θ = π/2) 2 La máxima directividad o “directividad” solamente, es la medida de la habilidad de una antena de concentrar la potencia radiada en una determinada dirección. Para la misma cantidad de potencia radiada el dipolo produce 1.5 veces la densidad de potencia en θ = π/2 que la que produciría un radiador isotrópico. Un radiador isotrópico ó antena isotrópica, es una antena ficticia que radia uniformemente en todas direcciones y se usa como referencia. Ganancia: G(θ,φ): Potencia radiada por unidad de ángulo sólido G(θ , φ ) = 4π Potencia de entrada 9 UNI-FIEE ANTENAS MARCIAL LOPEZ TAFUR Pr : Potencia radiada total Pr = ηPin η : eficiencia Pin: Potencia de entrada total d Pr/ d Ω G(θ , φ ) = 4π = η D(θ , φ) Pin EIRP: (Effective Isotropic Radiated Power) Es el producto de la potencia de entrada por la máxima ganancia. p.e.: G1 = 10, P1 = 1W < > G2 = 2, P2 = 5W es decir el producto es 10 en ambos casos. Resistencia de Radiación: Es la resistencia equivalente que disiparía la misma cantidad de potencia que la antena radiaría cuando la corriente en esa resistencia iguala la corriente de entrada a los terminales de la antena. Para un dipolo la Ra se obtiene de la relación: 12 I 2 Ra = Pr dl Z ( K dl ) 2 ∴ Ra = 0 0 = 80π 2 6π λ0 2 p.e.: Z0 = 120π , K0 = 2π / λ0 , dl = 1m, f = 1MHz → λ0 = 300m y Ra = 0.0084Ω aunque el dipolo del ejemplo no es una antena práctica, ilustra que la Ra de una antena que es una pequeña fracción de una λ grande, es muy pequeña. Tales antenas presentan una reactancia muy alta y una eficiencia muy pobre, lo que significa muy poca ganancia. En antenas pequeñas, mucho de la potencia de entrada se disipa en pérdidas óhmicas, en vez de ser radiada. Para que sea eficiente una antena, su tamaño debe ser comparable a su λ de trabajo. Esta es la razón por la cual las antenas a baja frecuencia son torres muy altas, como las usadas en radiodifusión de AM de 530 a 1600 KHz con λ del orden de 600 a 200 metros. Radiación de una pequeña espira de corriente: Sí r0 = λ0 la espira implica ser una fuente puntual (Dipolo magnético) Con: M = π r0 Ia z (Momento magnético del dipolo), lo que implica que existe Eφ y Hθ aφφ = −a x sen φ '+ a y cosφ ' 2 µ 0 Idle− j K0 r az 4π r Para una contribución Ir0 dφ ' µ Ir d φ ' La contribución será: 0 0 −a x sen φ '+ a y cos φ ') e− j K0 r ( 4π R 1/2 2 2 Donde: R = ( x − r0 cos φ ' ) + ( y − r0 sen φ ') + z 2 Luego A se obtiene integrando sobre la espira de corriente: µ Ir 2π e − j K0R A= 0 0 ∫ ( −ax sen φ '+ ay cos φ ') dφ ' (∗ ) 4π 0 R Sq: A = 10 UNI-FIEE ANTENAS MARCIAL LOPEZ TAFUR Integral difícil de evaluar a menos que hagamos ciertas aproximaciones en R, consideremos la zona de campo lejano r ? λ0 y r0 = λ0 lo que implica que R se cambia por r en (1/R) y x = r sen θ cos φ e y = r sen θ sen φ y r 2 = x 2 + y 2 + z 2 , luego: R = r 2 + r0 − 2rr0 sen θ ( cos φ cos φ ' + sen φ sen φ ') 1/2 2 r0 2 indicado relativo a r 2 y (1 + u ) 1/2 ; 1 + u /2 para u = 1 ∴ R ; r − r0 sen θ ( cos φ cos φ '+ sen φ sen φ ') en e − j K0 r tenemos un término K0 r0 cuando sustituimos en nuestra expresión aproximada para R pero como K0 r0 = 1 y e u ; 1 + u para u = 1 se obtiene: e − j K0 R ≈ e − jK 0r 1 + jK0 r0 sen θ ( cos φ cos φ '+ sen φ sen φ ') reemplazando en (*) 2π µ Ir A = 0 0 e − j K0 r ∫ ( −ax sen φ '+ ay cos φ ') × 1 + jK0 r0 sen θ ( cos φ cos φ ' + sen φ sen φ ') d φ ' 0 4π R los únicos términos que no integran a cero son cos 2 φ ' y s e n 2 φ ' , ambos tiene un factor de π, A= ( ) sen θ e j µ 0 K0 π r0 2 I − j K0 r aφφ; aφφ = −ax sen φ + ay cos φ 4π r 1 1 ∂ MK 0 2 sen θ − j K0 r Luego: H = ∇× A = − ( rAφ ) a φφ = − 4π r e aφφ µ0 µ 0 r ∂r Donde: M = π r0 I 2 y E = − Z0 ar × H MZ0 K0 sen θ − j K0 r e a φφ 4π r estas expresiones muestran el rol de los campos E y H y el caso de intercambio de la radiación de un dipolo magnético por el de la radiación de un dipolo eléctrico, el patrón de radiación ni la directividad han cambiado. 2π π M 2 Z 0 K0 4 2 π π M 2Z 0K 0 4 ∗ 2 2 1 Pr = 2 Re∫ ∫ Eφ Hθ r sen θ dθ dφ = sen θ sen θ d θ dφ = 0 0 16π 2 ∫0 ∫0 12π 2 1 La Ra de una espira se puede encontrar igualando: 2 I Ra = Pr ∴ E= 2 r r = 10cm Luego: Ra = 320π 0 p.e.: 0 → Ra = 3.8 ×10 −9 Ω (Pobre radiación) λ0 f = 1MHz Si se usan N vueltas Ra se incrementa en N2 , antenas tipo espira pequeña, son usadas como antenas receptoras en los radios portátiles, aunque son muy ineficientes, tienen aceptable performance por gran señal de entrada. La ganancia de una antena de espira pequeña es muy baja porque la resistencia óhmica del alambre es generalmente mucho mayor que Ra 4 6 Radiación de una distribución arbitraria de corriente: Consideraremos la zona de campo lejano r ? λ0 , tenemos un volumen V con J(r’): 11 UNI-FIEE ANTENAS MARCIAL LOPEZ TAFUR r r z R R r’ d y ar d =r − R d = r 'gar r’ x El elemento de corriente J ( r ') dV ' contribuirá con: µ 0 J (r ')dV ' e − j K0 R al A total donde: 4π R R = r − r ' , en la zona lejana r ? r ' , por consiguiente: ∴ R ; r − a r gr ' , quedando: µ0 e − j K0 r J e − jK 0a r gr 'dV ' 4π r ∫V (r ) Ecuación que súper impone los efectos de cada elemento de corriente y toma en cuenta el ángulo de fase relativo o retardo de fase en la longitud del trayecto de cada contribución. ∇∇ g A 1 Sq: B = ∇ × A y E = − jω A + y considerando sólo los términos : jωµ 0ε 0 r A (r ) = jK0 Z 0e − j K0 r E( r ') = ar g J( r ')a r − J ( r ') e − jK0a r gr 'dV ' y H = Y0 a r × E ∫ V 4π R La forma del integrando de esta expresión muestra que en determinadas direcciones, como la especificada por ar, sólo la corriente perpendicular a ésta contribuye al campo radiante, la razón para esto es que el campo radiante a lo largo del elemento de corriente es cero. Cuando la corriente es una línea de corriente I a lo largo de un contorno C, E(r) se puede expresar como: jK0 Z 0e − j K0 r E( r ') = ( a r ga ) a r − a I (l ') e− jK0 ar g r 'dl ' ∫ C 4π R a está a lo largo de C en la dirección de la corriente. jK Z e − j K0 r Resumiendo: E(r ') = 0 0 f (θ ,φ ) 4π R Donde: f (θ ,φ ) describe la amplitud del patrón de radiación ó la dependencia angular de la distribución radiada en el espacio. e − j K0 r y es la onda esférica propagándose hacia fuera. 4π R 12 UNI-FIEE ANTENAS MARCIAL LOPEZ TAFUR Antena tipo dipolo de media onda: z r θ I(z’)dz’ y z’ I0 cosK0 z x − ar r θ λ0 λ ≤z≤ 0 4 4 Sí: λ0 = r a = az , r' = z az y ar ga z = cosθ jK 0 I 0Z 0 − j K0 r λ0 / 4 E= e ar cos θ − a z ) cos K0 z ' e jK 0z 'cosθ dz ' ( ∫ − λ / 4 0 4π r a z = a r cos θ − aθθ sen θ → ( a r cos θ − a z ) = aθθ sen θ j K z' − jK 0z ' λ0 / 4 e 0 + e jK 0 I 0Z 0 − j K0 r e a θθ sen θ ∫ e j K0 z 'cosθ dz ' − λ / 4 0 4π r 2 jI 0 Z 0 − j K0 r cos ( π2 cos θ ) E= e a θθ 2π r sen θ jI 0 − j K0 r cos ( π2 cosθ ) H = Hφ aφφ = e aφφ 2π r sen θ El flujo de potencia por unidad de área: E = Eθ a θθ = j I 0 Z0 cos ( π2 cos θ ) Re { E × H gar } = Eθ H φ = 8π 2 r 2 sen θ La potencia radiada total se obtiene integrando sobre la superficie de una esfera de radio r: 2 2 1 2 1 2 ∗ I Z 2π π cos ( π2 cos θ ) Pr = 0 2 0 ∫0 ∫0 sen θ d θ d φ 8π sen θ integral que se evalúa en términos de la integral de coseno ∞ cos u 2 ci x = −∫ du Resultado que esta tabulado , obteniéndose Pr = 36.565 I 0 , x u 2 1 como: 2 I 0 Ra = Pr → Ra = 73.13Ω → Z LT = 73.14Ω . 2 2 cos ( π2 cosθ ) 4π d Pr Sq: D(θ ,φ ) = → D(θ ,φ ) = 1.64 Pr d Ω sen θ Dmax = 1.64, para dipolo de λ0 / 2 contra 1.5 del dipolo corto, pero su Ra es mayor (73.13Ω) 2 13 UNI-FIEE ANTENAS MARCIAL LOPEZ TAFUR La ganancia es G = 1.64, dado que su reactancia es cero → Zin ≈ Ra z 78º y Calculo de la Impedancia de la Antena de forma experimental: El caso ideal: Zc = Zin = Za = Ra , en la práctica esto se consigue para un pequeño ancho de banda Z − Zc 1+ Γ Γ= a y VSWR = , aceptable sí VSWR < 1.5 ó Za + Zc 1−Γ Γ= 0.2 (4% de coeficiente de reflexión). Pr + Pd + 2 jω (Wm −We ) , ∗ 1 2 I0 I0 donde: Pr: Potencia radiada Pd : Potencia disipada en pérdidas óhmicas Wm : Energía magnética promedio We: Energía eléctrica promedio almacenada en el campo cercano reactivo I0 : Corriente de entrada en los terminales de la antena. Za = Γ ↵ Zc Za Cuando las energías magnéticas y eléctricas almacenadas son iguales, una condición de resonancia existe y Za se desvanece. Para un dipolo delgado esto ocurre cuando la longitud de la antena es cerca de un múltiplo de media longitud de onda (λ/2) Calcularemos la resistencia óhmica encontrando la potencia disipada por el efecto pelicular (Skin) usando resultados anteriores, consideremos un dipolo de λ/2 hecho de una barra de cobre de radio r0 , la IT = I0 cosK0 z, la densidad de corriente superficial es (I0 /2πr0 )cosK0 z (asumiendo que I0 es real): Pd = 1 2 ∫ π 0 2 I cos2 K 0 z r0 dφ ∫− λ / 4 0 dz 0 σδ S 2π r0 λ0 / 4 2 λ I 1 λ0 2 Pd = 2π r0 0 0 = 12 I 0 R , donde R = 8 2π r0 σδ S 8π r0 σδ S ejemplo: r0 = 0.5cm, λ0 = 3cm (100MHz ) → δ S = 6.6 ×10 −6 m, en el Cu. y R = 0.062Ω el cual es R = Ra ( Ra = 73.13Ω ) Sí la corriente sobre la antena fuera uniforme como en el primer ejemplo la 14 UNI-FIEE ANTENAS MARCIAL LOPEZ TAFUR l λ0 = , la ecuación de R es de un factor de 50% menos debido a la 2π r0σδ S 4π r0σδ S variación cosinusoidal de la corriente. El valor promedio de cos 2 K0 z reduce a la mitad la disipación y consecuentemente la resistencia óhmica efectiva. R= l / λ0 ≈ 0.48 → X a = 0 → Ra ≈ 73Ω We = Wm l / λ0 ≈ 0.8a0.9 , en este punto la resistencia de radiación es grande porque la corriente es muy pequeña, desde que la onda estacionaria de corriente en la antena ahora tiene un mínimo en vez de un máximo en los terminales de entrada. R in (Ω) Za l l/d = 400 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 l/d = 100 l/d = 20 l/λ0 d 0.25 0.5 0.75 1.0 1.25 Sí el grosor de la antena se hace más pequeño el segundo punto de resonancia se mueve hacia l/λ0 = 1 y la resistencia de radiación alcanza valores de miles de ohmios. Para una antena maciza la RR y X son más uniformes con cambios en l/λ0 , característica deseable si la antena va a ser operada sobre una banda de frecuencias. Resonancias adicionales ocurren con cada incremento de l en λ0 /2. Note también que la antena con l/λ0 << 0.5 tiene resistencia de radiación muy pequeña y gran reactancia capacitiva. La antena puede ser sintonizada a resonancia con un inductor al punto de alimentación, pero la pérdida óhmica adicional en el inductor reduce la eficiencia. El ancho de banda es también reducido siempre que la antena tenga una gran reactancia de entrada que deba ser sintonizada X in (Ω) 600 400 200 0 -200 -400 -600 -800 -1000 l/d = 400 l/d = 100 l/λ0 0.25 0.5 0.75 1.0 1.25 l/d = 20 15 Curvas medidas por Brown y Woodward