Download Guia

1
GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS:
INTERACCIÓN RADIACIÓN-MATERIA
1.- Demostrar que el potencial generalizado de una carga puntual q en un campo electromagnético es
v
U = qV − q A.
el potencial vector.
donde V es el potencial escalar y A
2.- En el gauge de radiación (V = 0), la solución de la ecuación de Schrödinger dependiente
del tiempo de un electrón en un campo electromagnético independiente de la posición se
puede escribir como
eik.r
ψ(r, t) =
(2π)3/2
i
e− S(t)
a) Hallar S(t) en el caso general.
b) Calcular S(t) en el caso de un campo sinusoidal: E(t)
= E0 sin ωt ẑ (láser linealmente
polarizado).
3.- Probar que en el gauge de Coulomb (∇2 χ = 0), la invariancia de gauge
′ = A
+ ∇χ
A → A
∂χ
V → V′ = V −
∂t
q
es compatible con la rotación de la función de onda: Ψ → Ψ′ = Ψei χ .
4.- Sea ψ n (x) las autofunciones de un oscilador armónico unidimensional:
H=
1 2 1
p̂ + mω2 x2 ,
2m
2
1
Hψ n = (n + )ωψ n
2
Mostrar que los operadores
a† = (2ω)−1/2 (ωx − ip̂),
a = (2ω)−1/2 (ωx + ip̂)
actúan como operadores de creación y aniquilación de cuantos, y con una adecuada elección
de las fases de los autoestados ψ n , están dados por
a† ψ n =
√
n + 1ψ n+1 ,
Hint: Calcular los conmutadores de a† y a con H.
aψ n =
√
nψ n−1
2
5.- Calcular la vida media del estado 2p del átomo de hidrógeno con respecto al decaimiento electromagnético.
¯
fnf lf ni li = 1 se puede descomponer en
6.- La regla de suma
nf lf
¯
1 (li + 1)(2li + 3)
fnf li +1ni li =
3
2li + 1
nf lf
¯
1 li (2li − 1)
fnf li −1ni li = −
3 2li + 1
nf lf
(1)
(2)
a) Mostrar que la transición dipolar electromagnética en la que el número cuántico principal n y el número cuántico magnético l cambian en el mismo sentido (ambos crecen o
ambors decrecen) tienden a ser más probables que las transiciones en los que n y l cambian
en sentido opuesto.
b) Calcular las fuerzas de oscilador para las transiciones 2p → 3s y 2p → 3d en el
hidrógeno.
7.- Considerar un átomo de radio n2 a0 , donde a0 es el radio de Bohr. Estimar la potencia
en W/cm2 que debe tener un láser para que la energía del campo electromagnético en el
volumen ocupado por el átomo sea del orden de la energía de ligadura.
8.- Un fotón (masa en reposo cero) se comporta como una partícula con energía E = ω
y momento p = ω/c. Mostrar que el electrón no puede absorver o emitir un fotón sin violar
la conservación de energía y momento.
10.- ¿Cómo escalea la probabilidad de transición de un átomo de Rydberg de carga Z y
2
número cuántico principal n a un estado vecino inferior? Hint: Estimar rif
en la transición
n → n − 1.
11.- Regla de suma de Thomas-Reiche-Kuhn: Probar que para el caso de un electrón en
un átomo
fif = 1
f
donde fif =
2m
ω r2 .
3 if f i
12.- Encontrar las reglas de selección para un campo eléctrico linealmente polarizado.
Hint: elegir el eje de cuantificación paralelo a la dirección del campo eléctrico.
13.- (a) Considere un recipiente cerrado que contiene átomos y radiación en equilibrio a
una temperatura T . Los estados atómicos a y b están no degenerados y tienen energía Ea
y Eb , tal que Eb > Ea . Deducir los coeficientes de Einstein de absorción Ba→b , de emisión
3
espontánea Ab→a y de emisión estimulada Bb→a de la ecuación maestra
ṅa→b = Ba→b na ρ(ω ba )
ṅb→a = Aa→b nb + Ba→b nb ρ(ω ba )
donde ρ(ωba ) es la densidad de energía de la radiación, ω ba = (Eb − Ea )/, ṅi→j es el número
de átomos haciendo la transicion i → j por unidad de tiempo debido a absorción o emisión
de radiación y ni es el número total de átomos en el estado i. Hint: Considerar distribución
de Boltzman para los niveles atómicos y de Planck para la radiación.
(b) Generalizar el resultado de (a) al caso que Ea y/o Eb estén degenerados.
14.- Ejercicio Numérico: (para entregar)
(a) Calcular la acción clásica S de un electrón inicialmente ligado a un átomo de hidrógeno
que se ioniza a tiempo tj debido a la interacción con un campo eléctrico sinusoidal en el
tiempo.
(b) Hallar la dependencia de los tiempos de ionización en función de la energía cinética
final del electrón.
(c) El término de interferencia en el espectro fotoelectrónico se puede escribir como:
N
dP
exp[−iS(tj )] .
∝
dE j
Calcular numéricamente (usando Mathematica) dP/dE cuando N = 1, 2, 3, ... Determinar
el ancho de los picos en función de N.