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FORMACIÓN UNIVERSITARIA
C/ Gral. Ampudia, 16
Teléf.: 91 533 38 42 - 91 535 19 32
28003 MADRID
EXÁMEN FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA UCM
SEPTIEMBRE 2007
PROBLEMA 1
Se distribuye una carga Q de manera uniforme en el volumen de una esfera hueca de radio
interno R y radio externo 2R. El potencial creado por la esfera hueca en puntos r>2R viene
dado por la expresión Veh =
Q
4πε 0 r
. A continuación se coloca una carga puntual q en el centro de
la esfera hueca.
Sabiendo que ahora el potencial eléctrico en un punto P que dista 4R de la carga puntual es
cero:
a) Calcular, en función de q y R, el valor de la carga Q distribuida en la esfera hueca, así
como el valor de la densidad volumétrica de carga en dicha esfera.
b) Calcular, en función de q y R, la expresión general del campo eléctrico en las siguientes
regiones:
Región A: 2R< r < infinito
Región B: R < r < 2R
Región C: 0 < r < R
c) Si se añadiera ahora una línea recta e infinita de carga uniformemente distribuída,
paralela al eje Z y que pase por el punto (0,4R,0) ¿cuál debería ser el valor de su
densidad lineal de carga para que el campo eléctrico total en el punto (0,-R/2,0) fuese
nulo? Utilizar este apartado los valores R = 2 cm y q = 3 μC
z
R
y
q
Q
2R
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Apartado a)
VQ (4 R) + Vq (4 R) = 0
Q
4πε 0 r
=
r =4 R
Q
4πε 0 4 R
q
=0
Q+q
=0⇔
4πε 0 4 R
=−
q
4πε 0 4 R
Q
4πε 0 4 R
+
Q
La densidad volumétrica de carga será
ρ=
3Q
3q
Q
Q
=
=
=−
3
Voleh 4 π (2 R )3 − R 3 28πR
28πR 3
3
[
]
Apartado b) Aplicamos el teorema de Gauss.
qint
∫ E.dS = ε
0
Región A:
2R < r < ∞
Q+q
Q+q
⇒ E (r ) =
E.4πr 2 =
ur
4πε 0 r 2
ε0
Q = −q
E (r ) = 0
Región B:
R < r < 2R
Q'+ q
E.4πr 2 =
ε0
(
)
)
(
)
q
3q ⎞⎛ 4
⎛
⎞
Q' = ρV ' = ⎜ −
π r 3 − R3 ⎟ = − 3 r 3 − R3 ⇒
3 ⎟⎜
7R
⎝ 28πR ⎠⎝ 3
⎠
q r 3 − R3
q−
8R 3 − r 3 q
7R3
⇒ E.4πr 2 =
⇒ E (r ) =
ur
ε0
28πε 0 R 3 r 2
(
(
)
Región C:
0<r< R
E.4πr 2 =
q
ε0
⇒ E (r ) =
q
4πε 0 r 2
ur
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Apartado c) Aplicamos el principio de superposición:
⎛ R ⎞
E ⎜ 0, ,0 ⎟ = E esfera + E línea
⎝ 2 ⎠
−q
E esfera =
j
2
⎛R⎞
4πε 0 ⎜ ⎟
⎝2⎠
Aplicamos Gauss para calcular el campo creado por la línea infinita cogiendo como superficie
gaussiana un cilindro de altura h.
λh
ε0
λh
9R
E.2π
h=
ε0
2
E.2πRcil h =
R ⎞ 9R
⎛
Rcil = ⎜ 4 R + ⎟ =
2⎠ 2
⎝
−λ
E linea =
j
9πε 0 R
0=
q
C
λ
9q
+
⇒λ =−
= −1,35.10 −3
2
R
m
πε 0 R 9πε 0 R
PROBLEMA 2
Dado el circuito de la figura:
a) Calcular el valor de la fem ξ así como el resto de las corrientes del circuito. Dibujar los
sentidos de las corrientes en el esquema.
b) Calcular la diferencia de potencial entre los puntos a y b, expresada como Va-Vb
c) Calcular la potencia Joule que se disipa en el circuito.
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Apartado a)
Aplicando las leyes de Kirchoff.
Nudo c) I1 = I 2 + I 3 = 2 + I 3
malla 1) 12 = ( 4 + 8 )I1 + I 3 = 12 I1 + I 3
malla 2) ε = ( 6 + 3 )I 2 − I 3 = 18 − I 3
Sustituyendo (1) en (2)
12 = 12(2 + I 3 ) + I 3 = 24 + 13I 3 ⇒ I 3 = −0,923 A
I1 = 2 + I 3 = 1,077 A
ε = 18 − I 3 = 18,92V
Apartado b)
Vb = Va − (2 x3) − (1,077 x8) = Va − 14,62
Va − Vb = 14,62V
Apartado c)
P = ∑ I 2 R = I12 (8 + 4) + I 22 (6 + 3) + I 32
P = 50,8W
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PROBLEMA 3
Dos conductores rectilíneos, paralelos y muy largos, separados una distancia 2d, transportan
corrientes de igual intensidad y sentidos contrarios como se indica la figura. Calcular:
a) El campo magnético B creado por los citados conductores en el punto P(d,d).
b) La fuerza que ejercen entre sí los conductores por unidad de longitud.
PROBLEMA 4
A un generador de corriente alterna de V=120 V y w=50 rad/s, se han conectado una resistencia
en serie con un condensador y luego en paralelo una bobina. Determinar:
a) La impedancia de cada rama.
b) La intensidad que circula por cada rama del circuito.
c) La impedancia total equivalente a la asociación dada y la intensidad total que circula por la
línea.
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Apartados a) y b)
Z RserieC = R +
1
1 + j ωC
=
j ωC
jωCR
Z L = j ωL
1 + ω 2C 2
Z RserieC =
ω 2C 2 R 2
ωC
θ1 = arctg
1
θ2 =
π
2
1 + ω 2C 2 j (θ1 −θ 2 )
Z RserieC =
.e
ω 2C 2 R 2
V
120 cos 50t
120.e j 50t
120
I RserieC =
=
=
=
e j (50t −θ1 +θ 2 )
j (θ1 −θ 2 )
2
2
Z RserieC
Z RserieC
Z RserieC .e
1+ ω C
ω 2C 2 R 2
120
I RserieC =
cos(50t − θ1 + θ 2 )
1 + ω 2C 2
ω 2C 2 R 2
De la misma forma se calcula la corriente que circula por la bobina:
V 120 cos 50t 120.e j 50t 120 j ( 50t − π2 )
IL =
=
=
=
e
π
j
ZL
ZL
ω
C
Z L .e 2
IL =
120
π
cos(50t − )
2
ωC
Apartado c)
La impedancia total será el paralelo de la impedancia de la bobina con la impedancia total de la
resistencia en serie con el condensador.
Z TOTAL = Z RserieC // Z L
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