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DELTA – MASTER FORMACIÓN UNIVERSITARIA C/ Gral. Ampudia, 16 Teléf.: 91 533 38 42 - 91 535 19 32 28003 MADRID EXÁMEN FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA UCM SEPTIEMBRE 2007 PROBLEMA 1 Se distribuye una carga Q de manera uniforme en el volumen de una esfera hueca de radio interno R y radio externo 2R. El potencial creado por la esfera hueca en puntos r>2R viene dado por la expresión Veh = Q 4πε 0 r . A continuación se coloca una carga puntual q en el centro de la esfera hueca. Sabiendo que ahora el potencial eléctrico en un punto P que dista 4R de la carga puntual es cero: a) Calcular, en función de q y R, el valor de la carga Q distribuida en la esfera hueca, así como el valor de la densidad volumétrica de carga en dicha esfera. b) Calcular, en función de q y R, la expresión general del campo eléctrico en las siguientes regiones: Región A: 2R< r < infinito Región B: R < r < 2R Región C: 0 < r < R c) Si se añadiera ahora una línea recta e infinita de carga uniformemente distribuída, paralela al eje Z y que pase por el punto (0,4R,0) ¿cuál debería ser el valor de su densidad lineal de carga para que el campo eléctrico total en el punto (0,-R/2,0) fuese nulo? Utilizar este apartado los valores R = 2 cm y q = 3 μC z R y q Q 2R Fundamentos Físicos de la Informática UCM – Septiembre 2007 Luis Miguel Olivas 1 DELTA – MASTER FORMACIÓN UNIVERSITARIA C/ Gral. Ampudia, 16 Teléf.: 91 533 38 42 - 91 535 19 32 28003 MADRID Apartado a) VQ (4 R) + Vq (4 R) = 0 Q 4πε 0 r = r =4 R Q 4πε 0 4 R q =0 Q+q =0⇔ 4πε 0 4 R =− q 4πε 0 4 R Q 4πε 0 4 R + Q La densidad volumétrica de carga será ρ= 3Q 3q Q Q = = =− 3 Voleh 4 π (2 R )3 − R 3 28πR 28πR 3 3 [ ] Apartado b) Aplicamos el teorema de Gauss. qint ∫ E.dS = ε 0 Región A: 2R < r < ∞ Q+q Q+q ⇒ E (r ) = E.4πr 2 = ur 4πε 0 r 2 ε0 Q = −q E (r ) = 0 Región B: R < r < 2R Q'+ q E.4πr 2 = ε0 ( ) ) ( ) q 3q ⎞⎛ 4 ⎛ ⎞ Q' = ρV ' = ⎜ − π r 3 − R3 ⎟ = − 3 r 3 − R3 ⇒ 3 ⎟⎜ 7R ⎝ 28πR ⎠⎝ 3 ⎠ q r 3 − R3 q− 8R 3 − r 3 q 7R3 ⇒ E.4πr 2 = ⇒ E (r ) = ur ε0 28πε 0 R 3 r 2 ( ( ) Región C: 0<r< R E.4πr 2 = q ε0 ⇒ E (r ) = q 4πε 0 r 2 ur Fundamentos Físicos de la Informática UCM – Septiembre 2007 Luis Miguel Olivas 2 DELTA – MASTER FORMACIÓN UNIVERSITARIA C/ Gral. Ampudia, 16 Teléf.: 91 533 38 42 - 91 535 19 32 28003 MADRID Apartado c) Aplicamos el principio de superposición: ⎛ R ⎞ E ⎜ 0, ,0 ⎟ = E esfera + E línea ⎝ 2 ⎠ −q E esfera = j 2 ⎛R⎞ 4πε 0 ⎜ ⎟ ⎝2⎠ Aplicamos Gauss para calcular el campo creado por la línea infinita cogiendo como superficie gaussiana un cilindro de altura h. λh ε0 λh 9R E.2π h= ε0 2 E.2πRcil h = R ⎞ 9R ⎛ Rcil = ⎜ 4 R + ⎟ = 2⎠ 2 ⎝ −λ E linea = j 9πε 0 R 0= q C λ 9q + ⇒λ =− = −1,35.10 −3 2 R m πε 0 R 9πε 0 R PROBLEMA 2 Dado el circuito de la figura: a) Calcular el valor de la fem ξ así como el resto de las corrientes del circuito. Dibujar los sentidos de las corrientes en el esquema. b) Calcular la diferencia de potencial entre los puntos a y b, expresada como Va-Vb c) Calcular la potencia Joule que se disipa en el circuito. Fundamentos Físicos de la Informática UCM – Septiembre 2007 Luis Miguel Olivas 3 DELTA – MASTER FORMACIÓN UNIVERSITARIA C/ Gral. Ampudia, 16 Teléf.: 91 533 38 42 - 91 535 19 32 28003 MADRID Apartado a) Aplicando las leyes de Kirchoff. Nudo c) I1 = I 2 + I 3 = 2 + I 3 malla 1) 12 = ( 4 + 8 )I1 + I 3 = 12 I1 + I 3 malla 2) ε = ( 6 + 3 )I 2 − I 3 = 18 − I 3 Sustituyendo (1) en (2) 12 = 12(2 + I 3 ) + I 3 = 24 + 13I 3 ⇒ I 3 = −0,923 A I1 = 2 + I 3 = 1,077 A ε = 18 − I 3 = 18,92V Apartado b) Vb = Va − (2 x3) − (1,077 x8) = Va − 14,62 Va − Vb = 14,62V Apartado c) P = ∑ I 2 R = I12 (8 + 4) + I 22 (6 + 3) + I 32 P = 50,8W Fundamentos Físicos de la Informática UCM – Septiembre 2007 Luis Miguel Olivas 4 DELTA – MASTER FORMACIÓN UNIVERSITARIA C/ Gral. Ampudia, 16 Teléf.: 91 533 38 42 - 91 535 19 32 28003 MADRID PROBLEMA 3 Dos conductores rectilíneos, paralelos y muy largos, separados una distancia 2d, transportan corrientes de igual intensidad y sentidos contrarios como se indica la figura. Calcular: a) El campo magnético B creado por los citados conductores en el punto P(d,d). b) La fuerza que ejercen entre sí los conductores por unidad de longitud. PROBLEMA 4 A un generador de corriente alterna de V=120 V y w=50 rad/s, se han conectado una resistencia en serie con un condensador y luego en paralelo una bobina. Determinar: a) La impedancia de cada rama. b) La intensidad que circula por cada rama del circuito. c) La impedancia total equivalente a la asociación dada y la intensidad total que circula por la línea. Fundamentos Físicos de la Informática UCM – Septiembre 2007 Luis Miguel Olivas 5 DELTA – MASTER FORMACIÓN UNIVERSITARIA C/ Gral. Ampudia, 16 Teléf.: 91 533 38 42 - 91 535 19 32 28003 MADRID Apartados a) y b) Z RserieC = R + 1 1 + j ωC = j ωC jωCR Z L = j ωL 1 + ω 2C 2 Z RserieC = ω 2C 2 R 2 ωC θ1 = arctg 1 θ2 = π 2 1 + ω 2C 2 j (θ1 −θ 2 ) Z RserieC = .e ω 2C 2 R 2 V 120 cos 50t 120.e j 50t 120 I RserieC = = = = e j (50t −θ1 +θ 2 ) j (θ1 −θ 2 ) 2 2 Z RserieC Z RserieC Z RserieC .e 1+ ω C ω 2C 2 R 2 120 I RserieC = cos(50t − θ1 + θ 2 ) 1 + ω 2C 2 ω 2C 2 R 2 De la misma forma se calcula la corriente que circula por la bobina: V 120 cos 50t 120.e j 50t 120 j ( 50t − π2 ) IL = = = = e π j ZL ZL ω C Z L .e 2 IL = 120 π cos(50t − ) 2 ωC Apartado c) La impedancia total será el paralelo de la impedancia de la bobina con la impedancia total de la resistencia en serie con el condensador. Z TOTAL = Z RserieC // Z L Fundamentos Físicos de la Informática UCM – Septiembre 2007 Luis Miguel Olivas 6