Download Condensadores y Dieléctricos CAPACIDAD Para agrupar varias

Condensadores y Dieléctricos
CAPACIDAD
Para agrupar varias cargas es necesario realizar trabajo exterior, esto es consecuencia de
las fuerzas de repulsión mutua entre cargas iguales. Un caso de interés especial es aquel
donde las cargas se encuentran sobre un cuerpo conductor o sobre un grupo de cuerpos
conductores, resulta de importancia una magnitud llamada CAPACIDAD del sistema.
“La capacidad de un conductor o de un conjunto de conductores, se mide por la cantidad
de cargas que se debe comunicar para elevar su potencial eléctrico en un voltio”.
A esta propiedad de almacenamiento de carga se le denomina capacidad o capacitancia.
En el Sistema internacional de unidades se mide en Faradios (F), siendo 1 faradio la
capacidad de un condensador en el que, sometidas sus armaduras a una d.d.p. de 1
voltio, éstas adquieren una carga eléctrica de 1 culombio.
La capacidad de 1 faradio es mucho más grande que la de la mayoría de los
condensadores, por lo que en la práctica se suele indicar la capacidad en micro- µF = 106
, nano- F = 10-9 o pico- F = 10-12 -faradios. Los condensadores obtenidos a partir de
super condensadores (EDLC) son la excepción. Están hechos de carbón activado para
conseguir una gran área relativa y tienen una separación molecular entre las "placas".
Así se consiguen capacidades del orden de cientos o miles de faradios.
El valor de la capacidad viene definido por la fórmula siguiente:
en donde:
C: Capacidad
Q: Carga eléctrica
V: Diferencia de potencial
En cuanto al aspecto constructivo, tanto la forma de las placas o armaduras como la
naturaleza del material dieléctrico es sumamente variable. Existen condensadores
formados por placas, usualmente de aluminio, separadas por aire, materiales cerámicos,
mica, poliéster, papel o por una capa de óxido de aluminio obtenido por medio de la
electrolisis.
CONDENSADOR:
En electricidad y electrónica, un condensador o capacitor es un dispositivo que esta
formado por un par de conductores, generalmente en forma de tablas, esferas o láminas,
separados por un material dieléctrico (siendo este utilizado en un condensador para
disminuir el campo eléctrico, ya que actúa como aislante) o por el vacío, que, sometidos
a una diferencia de potencial (d.d.p.) adquieren una determinada carga eléctrica.
Ing. Magno Cuba A.
Condensadores y Dieléctricos
CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR
Tomemos dos conductores paralelos de áreas iguales “A” si la distancia “d”es pequeña
comparada con las dimensiones de las placas el campo eléctrico entre ellos será
uniforme.
Utilizando la Ley de Gauss, analicemos la superficie gaussiana, en la base superior del
cilindro el Φ E = 0 , no existe campo eléctrico, en el área lateral del cilindro el flujo
Φ E = 0 es cero, despreciando las irregularidades de las líneas de fuerza en los bordes,
en la base del cilindro que se encuentra en el espacio entre placas se tiene:
Φ E = ∫ E.d s
Pero: q = ε o ∫ E.d s donde E y d s forman cero grados
q = ε o ∫ Eds cos θ = ε o E ∫ ds
Pero E = cons tan te y ∫ ds = A
q = ε o EA
Trabajo necesario para llevar una carga de prueba q o de una placa negativa (-) a otra
positiva (+)
W = ∫ F . d L = − ∫ qo E . d L = − qo ∫ E . d L = qo Ed
W = q oV = q o Ed ⇒ V = Ed
o EA
C = Vq = ε Ed
= ε odA
⇒ C=
εo A
d
++++ + + + ++ + + + +
Asociaciones de condensadores
Al igual que la resistencias, los condensadores pueden asociarse en serie (figura 4),
paralelo (figura 5) o de forma mixta. En estos casos, la capacidad equivalente resulta ser
para la asociación en serie:
Ing. Magno Cuba A.
Condensadores y Dieléctricos
y para la asociación en paralelo:
Es decir, la media armónica de las capacidades de cada condensador.
Es fácil demostrar estas dos expresiones, para la primera solo hay que tener en cuenta
que la carga almacenada en las placas es la misma en ambos condensadores (se tiene
que inducir la misma cantidad de carga entre las placas y por tanto cambia la diferencia
de potencial para mantener la capacitancia de cada uno), y por otro lado en la asociación
en ""paralelo"", se tiene que la diferencia de potencial entre ambas placas tiene que ser
la misma (debido al modo en el que están conectados), así que cambiará la cantidad de
carga. Como esta se encuentra en el numerador (C = Q / V) la suma de capacidades será
simplemente la suma algebraica.
Para la asociación mixta se procederá de forma análoga que con las resistencias.
CONDENSADORES DE PLACAS PARALELAS CON DIELECTRICOS
εo A
La capacidad de un condensador de placas paralelas es ⇒ C = d en el vacío, si
colocamos un material dieléctrico entre dichas placas como: mica, aceite,
vidrio, etc.
EXPERIENCIA DE FARADAY.
Faraday construyó dos condensadores idénticos, colocando en una de ellos un material
dieléctrico el otro en vacío, La batería B suministra la misma diferencia de potencial a
cada uno de los capacitores, encontrandose que la carga en el condensador con
dieléctrico entre las placas del condensador se aumenta la carga si se llena se tiene:
C d = kC
Donde: k es la constante dieléctrica del material.
En vez de mantener con la misma diferencia de potencial se le suministra la misma
carga, experimentalmente se nota que la diferencia de potencial con dielectrico es
menor que el otro.
Vd = 1k Vo
⇒
Vd = Vko
Ing. Magno Cuba A.
Condensadores y Dieléctricos
POLARIZACIÓN DEL DIELÉCTRICO.
Se utiliza un condensador de placas paralelas, que tienen una carga fija “q”, produce un
campo eléctrico uniforme E o en el cual colocamos una placa dieléctrica.
E’
E
+-+-+-+-++-+-+-+-++-+-+-+-++-+-+-+-+-
----------
a
++
+++
+++
++
c
b
+
+
+
+
+
Eo
E o = Campo eléctrico externo
E ' = Campo producido por las c arg as sup erficiales inducidas.
E = Campo resul tan te.
a.- Material dieléctrico con una distribución aleatoria de sus cargas.
b.- Campo eléctrico Eo que se establece al interior del material ente las placas de un
capacitor.
c.- Las cargas superficiales establecidas por el campo E’ se opone al campo externo Eo
⇒
E = Eo + E '
Si se introduce un dieléctrico entre las placas de un capacitor cargado de placas
paralelas se cumple:
Eo
E
=k
LEY DE GAUSS CON DIELECTRICOS.
Material
Dieléctrico
q = ε o ∫ E . d s = ε o Eo A
q
E o = EA
q − q ' = ε o ∫ E . d s = ε o EA
E=
q-q’ = Carga neta dentro de la superficie Gaussiana
Ing. Magno Cuba A.
q
εo A
'
− εqo A
Condensadores y Dieléctricos
- q’ = Carga superficial inducida.
Eo
Pero : E
q
k
= q − q'
=k =
q
εA
q
q'
−
ε o A ηo A
⇒ q ' = q (1 − 1k )
Carga inducida.
Aplicando Gauss cuando existe dieléctrico:
ε o ∫ E . d s = q − q ' = qk
q = ε o k ∫ E . d s Carga Neta.
Energía almacenada
El condensador almacena energía eléctrica en forma de campo eléctrico cuando
aumenta la diferencia de potencial en sus terminales, devolviéndola cuando ésta
disminuye. Matemáticamente se puede obtener que la energía, Ep, almacenada por un
condensador con capacidad C, que es conectado a una diferencia de potencial V, viene
dada por:
Este hecho es aprovechado para la fabricación de memorias, en las que se aprovecha la
capacidad que aparece entre la puerta y el canal de los transistores MOS para ahorrar
componentes.
Problemas resueltos:
1.- Disponemos de dos condensadores de 3 y 5 microfaradios cargados a 500 y 700 voltios
respectivamente. Permaneciendo cargados se unen las placas del mismo signo. Determinar la d.d.p.
que se establecerá y la carga de cada condensador.
La carga de cada condensador independiente es q = C. V
Ing. Magno Cuba A.
Condensadores y Dieléctricos
q1 = C1.V1 = 3.500 = 1500 µ C
q2 = C2.V2 = 5.700 = 3500 µ C
Al unir los dos condensadores por sus placas del mismo signo, la carga no desaparece ni contrarresta; la
carga del condensador equivalente debe ser igual a la suma de cargas:
q = q1 + q2 = 1500 + 3500 = 5000 µ C
La capacidad equivalente del conjunto en paralelo es la suma:
C = C1 + C2 = 3 + 5 = 8 µ F
La d.d.p. que aparecerá entre las placas de este conjunto será:
V = q / C = 5000 / 8 = 625 Voltios
y la carga de cada condensador será q = C.V
q'1 = 3. 625 = 1875 µ C
q'2 = 5. 625 = 3125 µ C
2.- Un condensador está formado por dos placas de superficies 120 cm2 y sometidas a una d.d.p. de
200 voltios. Determinar qué fuerza hay que hacer en cada placa para mantenerlas separadas 2 cm.
El campo eléctrico en el interior del condensador se debe a las dos placas y su valor es: E = σ / ε
Pero el campo en la superficie de una placa sólo se debe a la otra placa y su valor es: E = σ / (2ε)
siendo:
q carga de la placa o carga almacenada por el condensador
σ =q/S
densidad superficial de carga
ε = 1 /(4.π.k) constante dieléctrica del medio entre las placas
La carga almacenada por el condensador es: q = C. V
siendo C la capacidad del condensador: C = ε . S / d
La fuerza que actúa sobre una placa, debida a la otra, es:
F = q. E = q. σ / (2ε) = q2 /(2. S. ε) = (C.V)2 /(2. S. ε) = ε2 . S2 .V2 / (d2.2. S. ε) = ε . S .V2 / (2.d2)
F = ε . S .V2 / (2.d2) = S .V2 / (8.π.k.d2) = 0'012. 2002 / (8. π. 9.199 .0'022) = 5 ' 3 . 10-6 Newtons.
3.- Determinar la relación que existe entre las capacidades de dos condensadores si conectados en
serie tiene una capacidad cuatro veces menor que conectados en paralelo.
Ing. Magno Cuba A.
Condensadores y Dieléctricos
La capacidad equivalente de dos condensadores en paralelo es:
y en serie:
Cp = C1 + C2
Cs = 1 / (1/C1 + 1/C2)
Si la capacidad en serie es cuatro veces menor que en paralelo, tenemos:
1 / (1/C1 + 1/C2) = ( C1 + C2 ) /4
4. C1 . C2 = C12 + C22 + 2. C1. C2
→ 4. C1 . C2 = ( C1 + C2 )2
→
→ C12 + C22 - 2. C1. C2 = 0 ϖ→ ( C1 - C2 )2 = 0 →
C1 = C2
4.- Cuatro condensadores iguales de 30 microfaradios se conectan según la figura adjunta.
Determinar la capacidad equivalente del conjunto y la d.d.p. a que está sometido y la carga que
almacena cada condensador si conectamos los puntos A y B a una d.d.p. de 500 voltios.
Solución:
C2 y C3 están en paralelo por lo que su capacidad equivalente
es:
C5 = C2 + C3 = 30 + 30 = 60 m F
El resultado, C5, está en serie con C1, por lo que la capacidad equivalente es:
C6 = 1 / ( 1 / C1 + 1 / C5 ) = 1 / ( 1 / 30 + 1 / 60 ) = 60 /3 = 20 m F
El resultado, C6, está en paralelo con C4 por lo que la capacidad equivalente de todo el sistema será:
C = C4 + C6 = 30 + 20 = 50 m F
La relación entre la carga almacenada por un condensador y su d.d.p. es la capacidad del condensador, es
decir: Q = C. (V1 - V2)
La carga total almacenada por el sistema será: Q = 50.500 = 25000 m C
Las cargas almacenadas y la d.d..p. en cada condensador serán:
Q4 = C4.(VA - VB) = 30 . 500 = 15000 m C
Q6 = C6.(VA - VB) = 20 . 500 = 10000 m C
Como C1 y C5 están en serie cada uno almacena la misma carga que el condensador equivalente:
Ing. Magno Cuba A.
Condensadores y Dieléctricos
Q1 = Q5 = Q6 = 10000 m C
VA - VD = Q1 / C1 = 10000 / 30 = 333'3 Voltios
Q2 = C2.(VD - VB) = 30 . 166'7 = 5000 m C
VD - VB = 500 - 333'3 = 166'7 Voltios
Q3 = C3.(VD - VB) = 30 . 166'7 = 5000 m C
5.- Entre dos placas planas existe una diferencia de potencial de 15 V y la intensidad del campo
eléctrico es 30 N /C. Determinar:
a) La separación entre las placas.
b) La aceleración que experimenta una partícula de 5 gramos y carga +2'5.10-9 C situada entre las
placas.
c) La variación de la energía potencial al pasar la partícula de una placa a la otra.
De las definiciones de Intensidad de campo y Diferencia de potencial entre dos puntos se infiere que la
separación d entre las placas es:
d = (V1 - V2) / E = 15 / 30 = 0'5 m
La fuerza que experimenta una partícula cargada situada en el interior del condensador es:
F = q. E = 2'5.10-9 . 30 = 7'5.10-8
y su aceleración será:
a = F / m = 7'5.10-8 / 5.10-3 = 1'5.10-5 m /s2
La variación de energía potencial si la partícula fuera de una placa a la otra sería:
Ep = q.(V1 - V2) = 2'5.10-9 . 15 = 3'75.10-8 Julios
6.- Una partícula de 2 gramos con carga eléctrica de + 50 m C lleva una velocidad horizontal de 40
m/s en el instante en que entra entre las armaduras de un condensador, por su eje central. El
condensador plano tiene sus armaduras paralelas a la superficie terrestre, suficientemente extensas,
separadas 10 cm, la superior es la positiva, y sometidas a una d.d.p. de 500 Voltios. Determinar la
trayectoria de la partícula y el punto de impacto con la placa, si lo hubiere.
El campo eléctrico uniforme que crea el condensador es:
E = V / d = 500 / 01 = 5000 N /C
Ing. Magno Cuba A.
Condensadores y Dieléctricos
Este campo actúa sobre la partícula provocando una aceleración de valor:
ae = F / m = q. E / m = 50.10-6 .5000 / 2.10-3 = 126 m /s2
hacia la placa negativa, placa inferior.
Por tanto la partícula se ve sometida a la aceleración de la gravedad y a la aceleración electrostática,
siendo la aceleración total vertical, hacia abajo, y de valor:
ay = 9'8 + 125 = 134'8 m /s2
Las ecuaciones del movimiento, tomando como origen de tiempos y coordenadas el punto de entrada en
el condensador, serán:
ax = 0
ay = - 134'8
vx = 40
vy = - 134'8. t
x = 40. t
y = - ½. 134'8. t2
ecuaciones que se corresponden a las de un movimiento parabólico, pues la trayectoria es:
y = - ½. 134'8. t2 = - ½. 134'8. (x /40)2 = - 0,042125. x2
Para determinar el punto de impacto con la placa basta imponer la condición y = - 0'05 m
- 0'05 = - 0,042125. x2
→
x = (0'05 /0'042125)1/2 = 1'09 m
7. Calcular la capacidad equivalente del sistema de la figura. Calcular la carga y la
diferencia de potencial entre las placas de cada condensador. La energía
electrostática del sistema. Dato la diferencia de potencial entre el extremo A y el
extremo B es de 3000 V.
8.- Deducir de forma razonada la fórmula de la capacidad de un condensador cilíndrico
formado por dos armaduras consistentes en láminas conductoras coaxiales de longitud
L, y radios a (exterior) y b (interior
9.- Calcular la capacidad de un condensador cilíndrico de radio interior b = 3 cm,
exterior a = 5 cm. y longitud L = 30 cm.
10.- Supongamos ahora, dos condensadores idénticos que se conectan en paralelo,
cargándose a una diferencia de potencial de 100 V, después de lo cual se aíslan de la
batería. A continuación, se introduce en uno de los condensadores un dieléctrico (k = 3)
que llena completamente el espacio entre las placas. Calcular:
Ing. Magno Cuba A.
Condensadores y Dieléctricos
•
•
La carga de cada condensador antes y después de introducir el dieléctrico.
La diferencia de potencial después de introducir el dieléctrico
•
La energía de cada condensador antes y después de introducir el dieléctrico.
Ing. Magno Cuba A.