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“CUARTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA DE CIENCIAS BÁSICAS” Facultad de Ingeniería Universidad de San Carlos de Guatemala 2010 Facultad de Ingeniería Universidad de San Carlos de Guatemala Junta Directiva Ing. Murphy Olympo Paiz Recinos Inga. Glenda Patricia García Soria Inga. Alba Maritza Guerrero de López Ing. Miguel Ángel Dávila Br. Luis Pedro Ortíz de León Agr. José Alfredo Ortíz Herincx Ing. Hugo Humberto Rivera Pérez DECANO VOCAL PRIMERO VOCAL SEGUNDO VOCAL TERCERO VOCAL CUARTO VOCAL QUINTO SECRETARIO 2 ÍNDICE 1. PRESENTACIÓN 04 2. CUARTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA DE LAS CIENCIAS BÁSICAS 05 2.1 Antecedentes de actividades realizadas (Facultad de Ingeniería USAC) 2.2 Niveles de competencia 2.3 Pruebas 2.4 Inscripción 2.5 Premios 2.6 Financiamiento y patrocinio 2.7 Comisión organizadora 2.8 Colaboradores académicos 3. CONTENIDOS DE LAS PRUEBAS 3.1 3.2 3.3 3.4 Área de Matemática Área de Física Área de Química Área de Biología 4. PRUEBAS Y SOLUCIONES 4.1 Matemática 4.2 Física 4.3 Química 4.4 Biología 5. PARTICIPANTES 5.1 Matemática 5.2 Física 5.3 Química 5.4 Biología 05 05 06 06 06 07 07 07 09 09 10 11 11 13 13 47 67 90 110 114 116 118 3 1. PRESENTACIÓN La Facultad de Ingeniería de la Universidad de San Carlos de Guatemala con el apoyo de la Secretaria Nacional de Ciencia y Tecnología –SENACYT- organizó la Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas, evento académico cuyo propósito fue generar un espacio para la divulgación, socialización y disfrute de las Ciencias Básicas por lo estudiantes universitarios de carreras técnico científicas de las diferentes universidades del país, y constituyó una competencia científica en la que se evaluaron las habilidades específicas en las áreas de matemática, física, química y biología. Por otro lado, con la finalidad de tener un intercambio de ideas y experiencias entre los profesores universitarios de Ciencias Básicas, el 7 de octubre de 2010 se realizó con la presencia de Dr. Mario Blanco investigador del Instituto Tecnológico de California –CALTECH- Pasadena, C. A. Estados Unidos de América, el “Taller con profesores Universitarios de Ciencias Básicas”, en el cual se discutieron aspectos relacionados con: a) Principales problemáticas en la enseñanza de las ciencias básicas; b) Programas o experiencias innovadoras ensayadas en la educación científica en cada universidad; c) Necesidades formativas para los docentes; y d) Acciones conjuntas para resolver la problemática y necesidades detectadas. Como resultado del taller se llegaron a las siguientes conclusiones: a) Definir propuestas de contenidos a enseñar en el nivel medio; b) Realizar talleres con profesores universitarios para unificar programas de los cursos de Ciencias Básicas; c) Crear un Consejo Académico Interuniversitario que arbitre lo que se hace en Ciencias Básicas; d) Realizar un encuentro anual con profesores de Ciencias Básicas; e) Programar cursos, talleres, seminarios de actualización dirigido a docentes de las Ciencias Básicas; f) Crear vínculos entre universidades y Ministerio de Educación que permitan establecer los perfiles de egreso del nivel medio e ingreso a las universidades. La Olimpiada se realizó el 9 de octubre de 2010 en las instalaciones de la Universidad del Valle de Guatemala Campus Central, Universidad del Valle Campus Sur, Santa Lucía Cotzumalguapa, Escuintla, Universidad del Valle de Guatemala Campus Altiplano, Sololá y Universidad de San Carlos de Guatemala Centro Universitario de Occidente –CUNOC- Quetzaltenango, con una participación total de 256 estudiantes. Para la organización de la Cuarta Olimpiada, se contó con la participación de profesores y profesionales de las diferentes universidades del país y con el patrocinio de empresas privadas. La realización de la Cuarta Olimpiada se enmarca dentro de la misión del Plan de Ciencia, Tecnología e Innovación 2005-2014 en el que se contempla “Apoyar la formación de recursos Humanos de alto nivel académico y técnico”. El presente documento incluye información general de la actividad, las pruebas realizadas y sus respectivas soluciones. “ ID Y ENSEÑAD A TODOS “ Ing. Edwin Adalberto Bracamonte Orozco Coordinador IV Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 .4 2. CUARTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA DE LAS CIENCIAS BÁSICAS 2.1 Antecedentes de actividades realizadas (Facultad de Ingeniería de la USAC) En el año 2004 la Licenciatura en Matemática Aplicada organizó un certamen denominado Juego Matemático en el que participaron 60 estudiantes de las distintas carreras que se imparten en la Facultad de Ingeniería. El evento se organizó en tres niveles de participación que incluían un problema por nivel que debía ser resuelto usando calculadoras graficadoras Texas Instruments. Posteriormente, en el 2006, la Dirección de la Escuela de Ciencias de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de San Carlos de Guatemala, con la colaboración de los departamentos de Matemática y Física y el respaldo del Decano, organizaron un certamen de Matemática y Física con el objetivo de promover el interés de los estudiantes de ingeniería por profundizar y mejorar el aprendizaje de la Matemática y Física, además de tener el fin de localizar a estudiantes con alta capacidad y conocimientos de estas ciencias. En este evento la participación de los estudiantes se organizó en dos niveles y fueron premiados los ganadores de los tres primeros lugares. Para el año 2007 se decidió en ampliar la convocatoria de todos los estudiantes de la USAC y de otras universidades del país, incluyendo la Química entre las áreas de la competencia, denominando al evento Primera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas. En el año 2008 se amplió la convocatoria, incluyendo Biología entre las áreas de la competencia, denominando al evento Segunda Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas, con un incremento del 77% de participación en el evento. El año pasado se extendió a las sedes departamentales y otras universidades, denominando la actividad Tercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas y en el presente año se han consolidado las expansiones realizadas por el evento denominándolo Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas. 2.2 Niveles de competencia La competencia se realizó en dos niveles en cada área, definidos de la siguiente manera: Nivel 1: En él participaron únicamente los estudiantes que ingresaron a cualquier universidad nacional en los años 2009 ó 2010 (año actual y uno anterior) y estén cursando primero ó segundo año de la carrera. Nivel 2: En él participaron los estudiantes universitarios que no hayan cerrado pensum en una carrera con el grado de licenciatura. Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 .5 2.3 Pruebas Las pruebas fueron escritas y se realizaron simultáneamente en el campus de la Universidad del Valle el 09 de octubre de 2010, a partir de las 14:00 horas. Cada estudiante participo únicamente en un área (Matemática, Física, Química y Biología), en uno de los dos niveles indicados. Cada prueba incluyó temas a desarrollar con una duración estimada de 2.5 horas, en esta cuarta versión de la olimpiada las pruebas incluyeron problemas de un nivel accesible a sectores amplios de la población estudiantil universitaria y otros que requieren de conocimientos y habilidades más desarrolladas. Para efectos de calificación es tan importante el razonamiento y los procedimientos utilizados para resolver los problemas planteados como la forma en que se escriban y estructuren las soluciones propuestas por los participantes. 2.4 Inscripción El estudiante que participó pudo inscribirse a través de la página de la Facultad de Ingeniería – USAC – ( http://www.ingenieria-usac.edu.gt ) Únicamente se pudo participar en un área (Matemática, Física, Química o Biología), en unos de los dos niveles indicados. 2.5 Premios A todos los estudiantes que participaron en la olimpiada se les otorga un diploma de participación. En cada uno de los niveles descritos para cada área se otorgarán premios correspondientes al primer, segundo y tercer lugar. Mención honorífica al cuarto y quinto lugar de cada nivel. Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 .6 2.6 Financiamiento y patrocinio SENACYT a través de la línea del fondo de apoyo a la ciencia y tecnología – FACYT Universidad de San Carlos de Guatemala FUNSIN Cervecería Centroamericana S. A. 2.7 Comisión Organizadora Personas que participaron y contribuyeron en la organización e implementación de la Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas. Ing. Murphy Olympo Paiz Recinos, Decano Facultad de Ingeniería USAC Ing. Edwin Bracamonte, Coordinador de la Olimpiada Ing. Arturo Rodrigo Samayoa Dardón Ing. Otto Miguel Hurtarte Hernández Dra. Casta Zeceña Zeceña Licda. Ana Fortuny Inga. Helen Ramírez de Reyes Srita. Clyda Susana González Girón 2.8 Colaboradores Académicos Universidad de San Carlos de Guatemala, Facultad de Ingeniería Departamento de Matemática Ing. Miguel Angel Castillo Carías Inga. Vera Gladis Marroquín Argueta Inga. Silvia Patricia Hurtarte Hernández Inga. Glenda Patricia García Soria Inga. Ericka Johanna Cano Díaz Ing. José Alfredo González Díaz Ing. Juan Orlando López Orozco Ing. Oscar Humberto Montes Estrada Ing. César Ariel Villela Rodas Ing. Carlos Alberto Garrido López Ing. José Alberto Boy Piedrasanta Ing. Francisco Javier García Flores Ing. Douglas Kenedy Román Avila Ing. César Armando Del Cid Juárez Lic. Francisco Raúl De La Rosa Lic. Gustavo Adolfo Santos Orozco Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 .7 Departamento de Física Lic. Ricardo Enrique Contreras Folgar Lic. César Antonio Izquierdo Merlo Br. Bárbara Yaeggy Srita. Rebeca Chavarría Departamento de Química General Ing. Byron René Aguilar Uck Ing. Edgar Gamaliel de León Hernandez Ing. Alberto Arango Sieckavizza Universidad Rafael Landivar Ing. Álvaro Zepeda, Decano Facultad de Ingeniería Licda. Beatriz Cosenza Ing. Eddy Roldán Manzo Inga. Miriam Chávez Ing. Salvador Tuna Universidad del Valle de Guatemala Dr. Adrían Francisco gil Méndez, Decano Facultad de Ciencias y Humanidades Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 .8 3. CONTENIDO DE LAS PRUEBAS 3.1 Área de Matemática Nivel I Escuela de Ciencias Departamento de Matemática Contenido Ecuaciones y desigualdades Funciones y graficas Geometría Funciones polinomiales y racionales Funciones exponencial y logarítmica Funciones trigonométricas Trigonometría analítica Geometría analítica Límites y derivadas Reglas de derivación Aplicaciones de la derivada Nivel II Escuela de Ciencias Departamento de Matemática Contenidos Integrales Técnicas de integración Aplicaciones de la Integral Ecuaciones paramétricas, coordenadas polares y ecuaciones de las cónicas en polares Sucesiones y series infinitas Vectores y geometría analítica en el espacio Funciones vectoriales y derivadas parciales Integrales múltiples Calculo vectorial Ecuaciones diferenciales de primer orden Modelos matemáticos y métodos numéricos Ecuaciones lineales de orden superior Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 .9 3.2 Área de Física Nivel I Mecánica Escuela de Ciencias Departamento de Física Contenidos Física y mediciones Vectores Movimiento en una dimensión Movimiento en dos dimensiones Las leyes del movimiento Movimiento circular y otras aplicaciones de las leyes de Newton. Energía y transferencia de energía Energía potencial Cantidad de movimiento lineal y colisiones Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo. Cantidad de movimiento angular Equilibrio Elasticidad Gravitación universal Mecánica de fluidos Mecánica de fluidos dinámica Movimiento oscilatorio Energía de oscilador armónico simple Nivel II Electricidad y Magnetismo Escuela de Ciencias Departamento de Física Contenidos Ley de Coulumb Campo eléctrico Ley de Gauss Potencial eléctrico Capacitadotes y dieléctricos Corrientes y resistencia Circuitos eléctricos Fuerza magnética Ley de Ampere Ley de Faraday y la ley de inducción Inductancia Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 10 3.3 Área de Química Nivel I Escuela de Ciencias Área de Química General Contenidos Ciencia química y medición Teoría atómica: el núcleo Teoría atómica: el electrón Nivel II Escuela de Ciencias Área de Química General Contenidos Estequiometría de las reacciones Soluciones Cinética química Equilibrio químico Electroquímica Termodinámica 3.4 Área de Biología Nivel I Facultad de Farmacia Área de Biología Contenidos Introducción al estudio de los seres vivos Bases químicas de la vida Las células Procesos energéticos fundamentales División y muerte celular Genética Mecanismos de la evolución Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 11 Nivel II Facultad de Farmacia Área de Biología Contenidos Introducción al estudio de los seres vivos Bases químicas de la vida Las células Procesos energéticos fundamentales División y muerte celular Genética Mecanismos de la evolución Diversidad de los seres vivos Estructura y función de los sistemas del cuerpo humano Ecología Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 12 4. PRUEBAS Y SOLUCIONES 4.1 Matemática UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE CIENCIAS, DEPARTAMENTO DE MATEMATICA CUARTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE MATEMATICA NIVEL I Instrucciones: A continuación se le presenta una serie de problemas, resuélvalos correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 100 minutos. Problema 1: (20 puntos) Resuelva las siguientes ecuaciones por el método que considere conveniente 1.1 x 2 48 10 x 4 3 3 x x2 1.2 x2 x 6 x 1 6 Problema 2: (15 puntos) Un reloj marca las 2:00 pm. Determine el área del triángulo formado entre el minutero y el segundero, cuando la aguja horaria y el minutero forman un ángulo recto y la aguja horaria se encuentre entre las 2 y las 3 de la tarde. La aguja del minutero tiene 3 centímetros de longitud y la del segundero 5 centímetros. Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 13 Problema 3: (15 puntos) La figura muestra una circunferencia de 8 centímetros de radio que tiene inscritas tres circunferencias. Las dos circunferencias pequeñas tienen radio de 3 centímetros y son tangentes a la circunferencia mayor y al diámetro mostrado con línea discontinua. La otra circunferencia tiene radio desconocido y es tangente a las dos circunferencias pequeñas y a la circunferencia mayor, teniendo ambas un diámetro en el mismo segmento. Determine el valor del área sombreada. Problema 4: (15 puntos) Encuentre las constantes k y b tal que 3 lim kx b x 2 1 0 x x 1 Problema 5: (20 puntos) Un triángulo ABC está formado por una cuerda BC de la parábola 𝑦 = 𝑘𝑥 2 y las rectas tangentes AB y AC que pasan por cada extremo de la cuerda. Si BC permanece perpendicular al eje de la parábola y se aproxima al vértice a una razón de 2 unidades por segundo. Encuentre la razón a la cual varía el área del triángulo cuando la cuerda BC está a 4 unidades por encima del vértice. Problema 6: (15 puntos) Una esfera de radio R está inscrita en una pirámide de base cuadrada, de tal forma que la esfera toca la base de la pirámide y cada uno de los cuatro lados. Encuentre las dimensiones de la pirámide de volumen mínimo posible y calcule su volumen. Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 14 SOLUCION DE LA PRUEBA Problema 1 Resuelva las siguientes ecuaciones por el método que considere conveniente 1.1 x 2 48 10 x 4 3 3 x x2 1.2 x2 x 6 x 1 6 Solución 1.1 Multiplicandoambos lados de la ecuación por 3x 2 se obtiene x 4 144 10x 3 120x x 4 10x 3 120x 144 0 Las posibles raíces racionales de la ecuación polinomial anterior son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144 Usando división sintética con x 2 1 10 0 120 144 2 2 24 48 144 1 12 24 72 0 De donde se concluye que x 2 es una solución de la ecuación. Utilizando división sintética ahora con x 6 se tiene 1 12 24 72 6 6 36 72 1 6 12 0 De donde x 6 es una solución de la ecuación. Al resolver la ecuación cuadrática x 2 6x 12 0 usando fórmula cuadrática, se obtienen las otras dos soluciones de la ecuación. Todas las soluciones de la ecuación son: x 2, x 6, Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 x 3 21 . 15 1.2 Una forma de resolver ésta ecuación consiste en redefinir las expresiones que tienen valor absoluto, al hacer esto se obtiene que si x 2 x 6 2 2 x x 6 x x 6 si x 2 x 6 si x 2 2 x 3 x 3 De la misma forma 1 x x 1 x 1 si x 1 si x 1 Al reescribir la ecuación de forma que no contenga valor absoluto, se obtienen 4 posibilidades (a) Si x 2 ( x 2 x 6) (1 x ) 6 x 2 2x 11 0 Al resolver la ecuación cuadrática se tiene x 1 2 3yx 1 2 3 De las cuales solamente x 1 2 3 satisface la ecuación original. (b) Si 2 x 1 ( x 2 x 6) (1 x ) 6 x2 1 0 Al resolver la ecuación cuadrática se tiene x 1 y x 1 Siendo ambas soluciones de la ecuación original. (c) Si 1 x 3 ( x 2 x 6) ( x 1) 6 x 2 2x 1 0 Al resolver la ecuación cuadrática se tiene x 1 Que es solución de la ecuación original. Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 16 (d) Si x 3 ( x 2 x 6) ( x 1) 6 x 2 13 0 Al resolver la ecuación cuadrática se tiene x 13 y x 13 De las cuales solamente x 13 satisface la ecuación original. Por lo tanto las soluciones de la ecuación son x 1 2 3, x 1, x 1, Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 x 13 . 17 Problema 2 Un reloj marca las 2:00 pm. Determine el área del triángulo formado entre el minutero y el segundero, cuando la aguja horaria y el minutero forman un ángulo recto y la aguja horaria se encuentre entre las 2 y las 3 de la tarde. La aguja del minutero tiene 3 centímetros de longitud y la del segundero 5 centímetros. Solución La figura siguiente muestra un reloj a las 2 en punto y otro entre las 2 y las 3 de la tarde, en el momento quelas agujas horaria y minutero forman un ángulo de 90 grados Velocidad a la que gira la aguja horaria: w1 1 rev 720 min w2 1 rev 60 min Velocidad a la que gira la aguja del minutero: Si t es el tiempo en minutos transcurrido a partir de las 2 de la tarde, entonces el ángulo en revoluciones, recorrido por la aguja horaria en revoluciones w1t El ángulo recorrido por la aguja del minutero es w2t Como el ángulo entre las dos agujas debe ser de 1/4 de revolución y la aguja horaria ya inicialmente estaba desplazada 1/6 de revolución con respecto al minutero se tiene que 1 w t 1 wt 2 1 4 6 Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 18 Al despejar el tiempo en la ecuación anterior se obtiene que w2 w1 t 1 1 4 6 5 t 12(w2 w1 ) 5 1 12 1 60 720 300 27.273 min 11 Suponiendo que tanto el minutero como el segundero tienen movimientos continuos, se tiene que el ángulo en grados, recorrido por el minutero en 27.273 minutos es 6 1 (27.237) 360 163.64º El ángulo recorrido por el segundero en 0.273 minutos es 1 2 (0.273) 360 98.28º El ángulo entre las dos agujas es 1 2 163.64º 98.28º 65.36º Una de las alturas del triángulo es h 5sen 5sen(65.36º ) 4.54 cm El área del triángulo es A 1 bh 1 (3)(4.54) 6.82 cm2 2 2 Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 19 Problema 3 La figura muestra una circunferencia de 8 centímetros de radio que tiene inscritas tres circunferencias. Las dos circunferencias pequeñas tienen radio de 3 centímetros y son tangentes a la circunferencia mayor y al diámetro mostrado con línea discontinua. La otra circunferencia tiene radio desconocido y es tangente a las dos circunferencias pequeñas y a la circunferencia mayor, teniendo ambas un diámetro en el mismo segmento. Determine el valor del área sombreada. Solución En la siguiente figura se han trazado algunos segmentos que muestran las relaciones entre los radios de las circunferencias. Por medio del teorema de Pitágoras se obtiene la ecuación (8 R) 42 (3)2 (3 R)3 Resolviendo la ecuación anterior para R 144 24 R R2 9 9 6 R R2 30 R 144 R 144 24 30 5 Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 20 El área sombreada en la figura es As (8)2 2 (3)2 24 5 574 cm2 25 Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 2 64 18 576 25 . 21 Problema 4 Encuentre las constantes k y b tal que 3 lim kx b x 2 1 0 x x 1 Solución 3 kx ( x 2 1) b( x 2 1) ( x 3 1) lim kx b x 2 1 lim x x 1 x x2 1 3 2 ( k 1)x bx kx b 1 lim x x2 1 Para que el límite anterior sea cero, el grado del numerador debe ser menor que el grado del denominador en la función racional, de donde se obtiene que k 1yb 0. Al calcular el límite con éstos valores se tiene 3 ( k 1)x 3 bx 2 kx b 1 lim kx b x 2 1 lim x x 1 x x2 1 lim x2 1 x x 1 0 De donde los valores buscados son k 1 y b 0 . Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 22 Problema 5 Un triángulo ABC está formado por una cuerda BC de la parábola 𝑦 = 𝑘𝑥 2 y las rectas tangentes AB y AC que pasan por cada extremo de la cuerda. Si BC permanece perpendicular al eje de la parábola y se aproxima al vértice a una razón de 2 pies por segundo. Encuentre la razón a la cual varía el área del triángulo cuando la cuerda BC está a 4 pies por encima del vértice. Solución En la siguiente figura se muestra la parábola y el triángulo formado por la recta horizontal y las dos rectas tangentes. xo B C h H yo A Las coordenadas de los puntos A, B y C son A(0, y0 ) , B( x0 , h) y C( x0 , h) . El área del triángulo está dada por A 1 (2x0 )H 2 1 (2x0 ) h y0 2 x0 h y0 La pendiente de la recta tangente es m f ( x0 ) 2kx0 , por lo que la ecuación de la recta tangente está dada por y h 2kx0 ( x x0 ) Sustituyendo x 0 en la ecuación de la tangente podemos despejar y0 y0 2kx02 h Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 23 Sustituyendo el resultado anterior en la expresión del área del triángulo A x0 h y0 x0 h 2kx02 h x0 2kx02 2kx03 Como h kx02 , se obtiene que x0 h k El área del triángulo se puede expresar como 3 A 2k h k Derivando la ecuación con respecto al tiempo dA 6k h dt 2 k 1/ 2 1 dh 3 h k dt k 1/ 2 dh dt pies Evaluando cuando h 4 pies y dh 2 dt seg dA 3 4 ( 2) 12 dt k k pies2 Por lo tanto el Área del triángulo disminuye a razón de 12 k Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 seg . 24 Problema 6 Una esfera de radio R está inscrita en una pirámide de base cuadrada, de tal forma que la esfera toca la base de la pirámide y cada uno de los cuatro lados. Encuentre las dimensiones de la pirámide de volumen mínimo posible y calcule su volumen. Solución La siguiente figura muestra una sección transversal de la esfera inscrita en la pirámide de base cuadrada de lado 2a y altura h. h R R 2a El volumen de la pirámide está dado por V 1 (2a )2 h 4 a2h 3 3 Relacionando los lados proporcionales de triángulos semejantes y despejando a 2 se obtiene a R a 2 h2 hR a( h R ) R a 2 h 2 a 2 (h R )2 R2 ( a 2 h2 ) a 2h2 2a 2hR a 2 R2 a 2 R2 R2h2 a 2 (h2 2hR ) R2h2 a2 Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 R 2 h2 R2h h 2R h2 2hR . 25 Sustituyendo en la expresión de volumen y simplificando se obtiene 2 V 4 a 2h 4 R h h 3 3 h 2R 2 2 V (h) 4 R h 3 h 2R El dominio de la función anterior es el intervalo (2R, ) Derivando con respecto a h y simplificando (h 2R ) 2R2h R2h2 (1) V (h) 4 3 (h 2R )2 2 2 3 2 2 4 2R h 4 R h 2 R h 3 (h 2R ) 4 R2h h 4 R 3(h 2R )2 El único valor crítico de la primera derivada es h 4R Al realizar la prueba de la primera derivada se obtiene que V (h) es decreciente si 2R h 4R y es creciente si h 4R , por lo tanto la función tiene un mínimo absoluto cuando h 4R . El volumen mínimo de la pirámide es 2 2 R2 (4 R)2 Vmin 4 R h 4 3 h 2R 3 4 R 2R 4 64 R 32 R3 6R 3 Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 26 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE CIENCIAS, DEPARTAMENTO DE MATEMATICA CUARTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE MATEMATICA NIVEL II Instrucciones: A continuación se le presenta una serie de problemas, resuélvalos correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 100 minutos. Problema 1 (10 puntos) 1. Resolver la integral: 2. Resolver la integral: x p 1 sin x p cos x p dx tan x 1 dx tan 2 x 1 Problema 2 (15 puntos) El círculo de radio unitario mostrado en la figura es tangente a la curva y 2x . dos veces. Encuentre el área de la región que yace entre las dos curvas y x Problema 3 (10 puntos) Determinar el área interior a r 2 sin y exterior a r sin cos Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 27 Problema 4 (15 puntos) F z 2 i x j 3z k hacia arriba a través de Encuentre el flujo del campo vectorial la superficie del cilindro y 4 z cortada por los planos x 0 , x 1 & z 0 Problema 5 (15 puntos) 2 Compruebe el teorema de Green para el campo vectorial F y xi x j donde R es la región acotada por las circunferencias de radio 1 y radio 4 con centro en el origen. Problema 6 (15 puntos) Un tanque contiene, en un principio 40 litros de salmuera con 8 kilos de sal en solución. Entra en el tanque, a razón de 8 litros por minuto salmuera conteniendo 1/8 kilo de sal por litro. La mezcla bien agitada para que sea homogénea, sale del tanque a razón de 4 litros por minuto. a) Calcular la cantidad de kilos de sal que hay en el tanque a los 5 minutos. b) A los 10 minutos se modifica la concentración de entrada de sal a 18 + c kilos de sal por litro. Si se mantienen los otros datos, calcule c de modo que a los 20 minutos la concentración de sal en el tanque sea de 256 kilos de sal por litro. Problema 7 (10 puntos) Halle las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto (3, 6, 4), corta al eje z y es paralela al plano x 3 y 5z 6 . Problema 8 (10 puntos) Después de que una masa que pesa 20 libras se sujeta a un resorte de 10 pies, éste llega a medir 12.5 pies. Esta masa se retira y se sustituye con una de ½ slug. A continuación se coloca al sistema en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 4 veces la velocidad instantánea. La masa se suelta desde un punto que está 6 pulgadas sobre la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo de V0 pie/ segundo. Determine los valores de V0 de modo que posteriormente la masa pase por la posición de equilibrio. Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 28 SOLUCION DE LA PRUEBA Problema 1 (10 puntos) 1. Resolver la integral: x p 1 sin x p cos x p dx Solución: u sin x p Efectuando la sustitución x p 1 sin x p cos x p ; du px p 1 cos x p dx sin 2 x p 1 u2 dx udu C C p 2p 2p Otra forma, usando la identidad del doble ángulo se tiene p 1 p p x sin x cos x dx 1 2 x p 1 sin 2 x p dx u 2 x p ; du 2 px p1dx Efectuando la sustitución Se transforma en: = 1 1 sin u du cos u c 4p 4p Restableciendo la variable: 2. Resolver la integral: x p 1 sin x p cos x p dx tan x 1 dx tan 2 x 1 1 cos 2 x p C 4p Solución: tan x 1 tan x 1 1 dx dx dx 2 x 1 tan x 1 tan x 1 tan x 1 tan sec2 x sec 2 x dx dx sec2 x tan x 1 1 tan 2 x tan x 1 Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 29 u tan x Efectuando sustitución du sec 2 xdx 1 u u 1 du Queda: 2 Al separar en fracciones parciales queda: 1 1 u u 1 2 A Bu C 2 u 1 u 1 2 Por lo cual. 1 A u 1 Bu C u 1 2 Desarrollando los productos: 1 A B u B C u A C Escribiendo el sistema de ecuaciones correspondiente: 0 A B 0 B C 1 A C 1 1 , C 2 2 1 1 1 u 1 2 2 22 2 1 u u 1 u 1 u 1 Al resolver el sistema queda A Por lo que: Por lo tanto: 1 u 1 2 u 1 1 , 2 B du 1 2 1 2 du 1 u 1 2(2) du 1 u 1 2 u 1 du u2 1 2u 1 du u2 1 2 du u2 1 1 1 1 ln u 1 ln u 2 1 arctan u C 2 4 2 1 1 1 ln tan x 1 ln tan 2 x 1 arctan tan x C 2 4 2 1 1 1 ln tan x 1 ln tan 2 x 1 x C 2 4 2 Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 30 Problema 2 (15 puntos) El círculo de radio unitario mostrado en la figura es tangente a la curva y 2x . dos veces. Encuentre el área de la región que yace entre las dos curvas y x Solución: La figura es simétrica, por lo tanto se puede trabajar únicamente en el primer cuadrante, con lo siguiente. y C P x Encontrando la pendiente entre C (0, k ) y P (a, k 1 a 2 ) , utilizando la 2 ecuación de la circunferencia x y k 1 2 Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 31 mcp k 1 a2 k a0 1 a2 a Como la tángente a un círculo, es perpendicular al radio, por lo que el producto de la pendiente mcp con pendiente (2) de la recta dada es menos uno, queda: 1 a2 2 1 a 2 1 a2 12 2 Elevando al cuadrado, ambos lados a 4 1 a 2 a 2 4 5a 2 a 4 5 Al trabajar del lado derecho del círculo tomamos a coordenadas x a 2 , 5 y 4 5 4 por lo que el punto P tiene 5 que al sustituirlas en la ecuación de la 2 4 4 k 1 circunferencia queda: 5 5 2 4 1 k 5 5 4 1 k 5 5 resolviendo para k queda: k Nota: Como k y p entonces: k 4 1 así que k 5 5 5 2 Por lo que la ecuación del círculo es: x y 5 De tal manera que: y 5 1 x 4 1 5 5 2 1 2 Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 32 Por lo tanto la integral Area 2 para calcular el área pedida es: 2 5 1 x 2 2 x dx 5 0 Separando en tres integrales queda: Area 2 2 5 5 dx 2 0 2 1 x dx 4 5 2 0 2 5 xdx 0 a B c Resolviendo cada integral independientemente. 2 a) 2 2 5 0 2 b) 5 2 5 dx 2 5 0 4 5 1 x 2 dx se resuelve utilizando sustitución trigonométrica 0 1 x sin x dx cos d cos 1 x 2 1 x2 Sustituyendo 2 1 x 2 dx 2 1 x 2 dx 1 cos 2 d 2 1 x 2 dx 2 2 en la integral queda: cos 2 d 1 d cos 2 d 1 sin 2 c 2 1 1 x 2 dx 2 sin cos c 2 1 x 2 dx Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 33 Que al regresar a la variable inicial, queda: 2 2 2 2 2 2 1 x dx arcsin x x 1 x 2 0 5 2 0 2 2 2 2 2 2 1 x dx arcsin 1 arcsin 0 0 1 0 5 5 5 5 2 0 2 2 2 54 1 x 2 dx arcsin 5 5 5 5 0 2 2 2 1 x 2 dx arcsin 5 5 5 0 c) 4 2 5 0 4 0 5 2 4 x dx x 2 2 2 5 0 2 2 8 5 x dx 2 5 5 Al sumar las integrales, el área pedida es: 2 2 8 Area 4 arcsin 5 5 5 Area 2 arcsin 2 .8929 5 Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 34 Problema 3 (10 puntos) Determinar el área interior a r 2 sin y exterior a r sin cos Solución: Gráfica θ=π/2 θ=π/4 r 2 sin r sin cos r Igualando las ecuaciones y resolviendo para encontrar las intersecciones de las curvas 2 sin sin cos sin cos tan 1 arctan 1 4 Determinar los ángulos para los cuales las curvas tocan el polo Si r1 0 2 sin 0 acr sin0 0, Si r2 0 sin cos 0 tan 1 3 4 Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 35 Por lo que el área está dada por: 1 Area 2 2 sin 2 4 1 d 2 3 4 sin cos 2 d 4 a b Resolviendo la integral “a” 1 2 a) 1 2 1 2sin d 2 sin d 1 cos 2 d sin 2 2 4 4 4 2 1 3 1 4 2 4 2 2sin d 0 2 4 2 Resolviendo la integral “b” 1 b) 2 1 2 3 4 sin cos 4 2 1 d 2 3 4 4 1 1 2sin cos d 2 3 3 4 sin cos 4 2 1 1 d cos 2 2 2 Entonces el área pedida es Area 1 2 2 4 4 3 4 1 sin 2 d 4 1 3 1 0 0 2 4 4 2 2 4 3 1 Area 2 4 4 Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 36 4 Problema 4 (15 puntos) F z 2 i x j 3z k hacia arriba a través de Encuentre el flujo del campo vectorial y la superficie del cilindro 4 z cortada por los planos x 0 , x 1 & z 0 Solución: z y x Solución: y 4 z z y2 4 ; z y2 g g z y2 y 0 2 yj k 4 y2 1 Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 37 F dS S dydx F k̂ R 2 xy 3z 4 y2 1 R dydx 1 4 y2 1 2xy 3z dydx R 2 xy 3 ( 4 y 2 ) dydx R Flujo 2xy 3y 1 2 0 0 2 12 dydx 2 1 ( xy 2 y 3 12 y ) 0 0 1 ( xy 2 2 y 3 12 y ) 0 1 dx dx 0 4x 16 dx 0 2 x 2 16 x 1 2 16 14 0 Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 38 Problema 5 (15 puntos) Compruebe el teorema de Green para el campo vectorial F y 2 xi x j donde R es la región acotada por las circunferencias de radio 1 y radio 4 con centro en el origen. Solución: Teorema de Green c Mdx Ndy ( N M ) dxdy x y R y x r 4 Mdx Ndy r 1 Mdx Ndy ( N M ) dxdy x y R Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 39 Las ecuaciones paramétricas de las circunferencias r( t ) 4 costi 4sent j r( t ) costi sentj circunferencia de radio 4 circunferencia de radio 1 2 Mdx Ndy Mdx Ndy 256 Mdx Ndy 256 ( 4sent )2 4 cos t 4sentdt 4 cos t 4 cos tdt 0 r 4 2 2 Mdx Ndy 256 2 sen3t cos tdt 16 0 r 4 2 2 sen3t cos tdt 8 1 cos 2t dt 0 3 sen t cos tdt 8 0 r 4 cos 2 tdt 0 0 r 4 2 1dt 4 0 2 cos 2t 2dt 0 2 sen4t 2 2 Mdx Ndy 256 8 t 4 sen2t 0 0 4 0 r 4 Mdx Ndy 16 r 4 Mdx Ndy Mdx Ndy r 1 r 1 Mdx Ndy Mdx Ndy 2 ( sent )2 cos tsentdt cos t cos tdt 0 r 1 r 1 2 0 sen3t cos tdt 2 cos 2 tdt 0 Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 40 2 Mdx Ndy 2 Mdx Ndy 1 2 1 cos 2t dt 2 0 sen3t cos tdt 0 r 1 1 2 1 2 1dt cos 2t 2dt 2 0 4 0 3 sen t cos tdt 0 r 1 2 2 sen4t 1 2 1 Mdx Ndy t 0 sen2t 4 2 4 0 0 r 1 Mdx Ndy r 1 Mdx Ndy Mdx Ndy 16 15 r 4 r 1 Por Coordenadas Polares: ( N M ) dxdy x y R 2 4 1 4 1 2 1 r 2r 3 cos sen d dr 0 2r cos rsen rd dr 0 4 2 rdr r 2 1 4 1 15 Entonces: r 4 Mdx Ndy r 1 Mdx Ndy ( N M ) dxdy 15 x y R Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 41 Problema 6 (15 puntos) Un tanque contiene, en un principio 40 litros de salmuera con 8 kilos de sal en solución. Entra en el tanque, a razón de 8 litros por minuto salmuera conteniendo 1/8 kilo de sal por litro. La mezcla bien agitada para que sea homogénea, sale del tanque a razón de 4 litros por minuto. a) Calcular la cantidad de kilos de sal que hay en el tanque a los 5 minutos. b) A los 10 minutos se modifica la concentración de entrada de sal a 18 + c kilos de sal por litro. Si se mantienen los otros datos, calcule c de modo que a los 20 minutos la concentración de sal en el tanque sea de 256 kilos de sal por litro. Solución: a): V0 = 40 litros de solución hay inicialmente en el tanque. Q0 = 8 kilos de sal hay al inicio en la solución. 1 b = ingresan en una solución 8 kilos de sal por litro. e = entran 8 litros de salmuera por minuto f = la solución bien mezclada sale a razón de 4 litros/min. Con estos datos se puede plantear la ecuación diferencial siguiente: dQ 4Q 1 dt 40 4t dQ Q 1 dt 10 t o bien: Esta es una ecuación lineal y su factor integrante se calcula así: dt ln 10t 10 t F .I . e e 10 t por lo que se tiene: Q(10 t ) 2 10 t (10 t )dt k 2 despejando para Q: Q 10 t k 2 10 t ec. 1, luego se sustituye Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 t 0, Q 8, en ec. 1, así: . 42 8 10 k 10 t 30 , entonces k 30 , de donde: Q 2 10 2 10 t ec. 2 Luego se calcula la cantidad de sal en el tanque a los 5 y 10 minutos, sustituyendo estos tiempos en 2: Q t 5 Q t 10 10 5 30 9.5 2 10 5 10 10 30 11.5 2 10 10 kilos kilos b): Como ya pasaron 10 minutos de iniciado el proceso entonces en el tanque hay 40 litros más de solución. V0 = 80 litros de solución hay inicialmente en el tanque. Q0 = 11.5 kilos de sal hay al inicio en la solución. 1 b = ingresan en una solución 8 c kilos de sal por litro. e = entran 8 litros de salmuera por minuto f = la solución bien mezclada sale a razón de 4 litros/min. Por lo que la nueva ecuación diferencial es: dQ 4Q Q 818 c 1 8c dt 80 4t 20 t , o escrita de otra forma: dQ Q 1 8c dt 20 t El factor integrante es: F .I . e 20t 20 t dt entonces: (20 t ) 2 Q(20 t ) (1 8c) (20 t )dt (1 8c) n 2 Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 43 o bien: Q (1 8c)(20 t ) n 2 20 t Luego, para encontrar n, se sustituye 11.5 ec. 3 t 0, Q 11.5 , en ec. 3: (1 8c)(20) n , de donde 2 20 20 11.5 200 1600 c n o bien n 30 1600 c , sustituyendo en 3 se tiene: Q (1 8c)(20 t ) 30 1600c 2 20 t ec. 4 Para encontrar el valor de c, se sabe que Q debe ser 6 256 kilos de sal por litro, o bien 25 120 28.8 kilos de sal a los 20 minutos de iniciado todo el proceso, o sea 10 minutos de iniciada la parte (b), por lo que el volumen de solución también aumento otros 40 litros o sea llegó a 120 litros, sustituyendo estos datos en 4 se obtiene: 28.8 (1 8c)(20 10) 30 1600c , 2 20 10 así se tiene que c 0.19 . Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 44 Problema 7 (10 puntos) Halle las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto (3, 6, 4), corta al eje z y es paralela al plano x 3 y 5z 6 . Solución: Ya que la recta corta al eje z , entonces la recta pasa por el punto (0, 0, q ) y como además pasa por (3, 6, 4) se puede encontrar un vector que una estos puntos B 3, 6, 4 q . Luego la recta es paralela al plano x 3 y 5z 6 , entonces es perpendicular al vector normal del plano N 1, 3,5 , por lo que los vectores B & N son perpendiculares. Ya que los vectores son perpendiculares, entonces su producto punto debe ser igual cero, por lo que: 3, 6, 4 q 1, 3, 5 3 18 20 5q 0 , de donde q 1 , por lo tanto B 3, 6, 3 que es el vector director de la recta, de donde las ecuaciones simétricas de la recta son: x 3 y 6 z 4 3 6 3 Problema 8 (10 puntos) Después de que una masa que pesa 20 libras se sujeta a un resorte de 10 pies, éste llega a medir 12.5 pies. Esta masa se retira y se sustituye con una de ½ slug. A continuación se coloca al sistema en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 4 veces la velocidad instantánea. La masa se suelta desde un punto que está 6 pulgadas sobre la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo de V0 pie/ segundo. Determine los valores de V0 de modo que posteriormente la masa pase por la posición de equilibrio. Solución: Definición de variable: x(t) posición de la masa en el tiempo t (segundos) La constante del resorte: 20 = k(2.5) k= 8 lb/pie Ecuación Diferencial y condiciones iniciales (PVI) que modela el problema: d 2x dx m 2 kx 0 dt dt Ecuación de movimiento libre amortiguado Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 45 1 d 2x dx 4 8x 0 2 dt 2 dt sujeto a las condiciones iniciales: x(0)= - ½ pie, x´(0)= V0 pie/seg Pregunta a responder: Vo = ? Resolución de la ED aplicando condiciones iniciales: d 2x dx 8 16 x 0 2 dt dt Ecuación auxiliar m2 8m 16 0 (m 4)2 0 m1 m2 4 Aplicando condiciones iniciales x(t ) C1e4t C2te4t 1 1 C1e4(0) C2 (0)e4(0) C1 2 2 1 x(t ) e4t C2te4t x´(t ) 2e4t C2e4t 4C2te4t 2 V0 2e4(0) C2e4(0) 4C2 (0)e4(0) V0 2 C2 C2 V0 2 1 x(t ) e4t (V0 2)te 4t 2 pasa por la posición de equilibrio 1 1 1 0 e4t (V0 2)t (V0 2)t t 2(V0 2) 2 2 Como t = 0 fue el tiempo inicial, para que t > 0, tenemos que tener V0 > 2. Conclusión: Para que la masa pase posteriormente por la posición de equilibrio V0 > 2. Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 46 4.2 Física UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE CIENCIAS, DEPARTAMENTO DE FISICA CUARTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE FISICA NIVEL I Problema No. 1 Un objeto que se encuentra en caída libre y a partir del reposo, cae la 2da mitad del recorrido en un tiempo . Deduzca una expresión general para determinar el tiempo que dura su caída en términos del tiempo . Calcúlelo para = 10 s. Problema No. 2 Una barra delgada de longitud L se articula del punto C ubicado a una distancia b de su centro G, como se muestra en la figura. La barra se suelta desde el reposo en posición horizontal y oscila libremente. Determine la distancia b para la cual la velocidad angular de la barra cuando pasa por su posición vertical es máxima. C G b L Problema 3 Un péndulo físico es un buen método para realizar mediciones precisas de la gravedad. Se diseña el siguiente experimento: se coloca un péndulo físico con dos puntos de pivote posibles; uno con una posición fija p y el otro p´ ajustable a lo largo de la longitud del péndulo, como se muestra en la figura. El período del péndulo cuando está suspendido en el pivote fijo es T = 1.10s. El péndulo luego es invertido y suspendido Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 47 del pivote ajustable. La posición de este pivote p´ se mueve hasta que por medio de pruebas sucesivas el péndulo tiene el mismo período T que en el pivote fijo. El nuevo pivote se encuentra a una distancia l=30 cm del pivote fijo. Encuentre el valor de la aceleración de la gravedad. p d l cm p´ Problema No. 4 El vector de posición de un electrón que se mueve bajo la acción de un campo eléctrico y magnético esta dado por : r ( RtCoswn t )iˆ ct ˆj ( RtSenw n t )kˆ (1) La curva espacial que describe el electrón es una hélice cónica. Determine el radio de curvatura de la trayectoria que describe el electrón cuando t = 0, asumiendo que ese instante describe una trayectoria semejante a la circular. Ayuda Cuando un objeto se mueve con rapidez constante pero a lo largo de una trayectoria que no es un línea recta, se producen cambios en el vector velocidad, ya que su dirección y sentido constantemente están cambiando, este cambio de velocidad lo produce una aceleración que será perpendicular a la trayectoria. Para un movimiento circular esta aceleración corresponde con la aceleración centrípeta y el radio de la circunferencia corresponde con el radio de curvatura., es decir: v2 ac r en donde r radio de curvatura Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 48 SOLUCION DE LA PRUEBA Problema No. 1 Un objeto que se encuentra en caída libre y a partir del reposo, cae la 2da mitad del recorrido en un tiempo . Deduzca una expresión general para determinar el tiempo que dura su caída en términos del tiempo . Calcúlelo para = 10 s. Solución: La segunda mitad del recorrido lo realiza en un tiempo . Al momento de ir a la mitad de la caída llevará un tiempo ( t - )s, donde t es el tiempo total de la caída. Analizando el objeto desde su punto de partida hasta la mitad de su recorrido tenemos: y vo t 12 gt 2 h 2 h 12 g (t ) 2 ( I ) Analizando el objeto desde su punto de partida hasta el final de su recorrido: 0 h 12 gt 2 ( II ) Al resolver la ecuación ( I ) y ( II ) : t 2 4 t 2 2 0 De manera que la ecuación general de tiempo es: t (2 2 ) Y calculada para = 10 s nos da: t 34.14 s Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 49 Problema No. 2 Una barra delgada de longitud L se articula del punto C ubicado a una distancia b de su centro G, como se muestra en la figura. La barra se suelta desde el reposo en posición horizontal y oscila libremente. Determine la distancia b para la cual la velocidad angular de la barra cuando pasa por su posición vertical es máxima. G b L Solución: La energía se conserva en todo momento, por lo que identifiquemos dos estados: C C G b Nivel de referencia b L G L Estado A Estado B Por la conservación de la energía: E A EB 0 mgb 1 2 I C 2 I C I G mb 2 IC 1 12 mL2 mb 2 Al realizar las sustituciones correspondientes obtenemos para la velocidad angular: 2 gb 1 2 2 12 L b Para obtener b para la cual la velocidad es máxima es necesario realizar: d 0, db Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 50 1 d d 2 gb De manera que: 0 db db 121 L2 b 2 2 Al realizar la derivada y despejar b obtenemos: b L 12 Problema 3 Un péndulo físico es un buen método para realizar mediciones precisas de la gravedad. Se diseña el siguiente experimento: se coloca un péndulo físico con dos puntos de pivote posibles; uno con una posición fija p y el otro p´ ajustable a lo largo de la longitud del péndulo, como se muestra en la figura. El período del péndulo cuando está suspendido en el pivote fijo es T = 1.10s. El péndulo luego es invertido y suspendido del pivote ajustable. La posición de este pivote p´ se mueve hasta que por medio de pruebas sucesivas el péndulo tiene el mismo período T que en el pivote fijo. El nuevo pivote se encuentra a una distancia l=30 cm del pivote fijo. Encuentre el valor de la aceleración de la gravedad. p d l cm p´ Solución El período de un péndulo físico viene definido como T 2 Ip Mgd , de manera que si despejamos la gravedad obtenemos: 4 2 I p (1) g 2 T Md Determinemos ahora el momento de inercia. Analicemos las oscilaciones del péndulo respecto al eje p´. Si en el eje p´ el período de oscilación es el mismo que en el eje p, quiere decir que p´ es el punto de oscilación, cuya definición indica el lugar en donde se puede concentrar toda la masa para que el péndulo oscile como un péndulo simple, cuerda – masa , de manera que recordando la ecuación que relaciona la longitud del centro de oscilación y un péndulo físico tenemos: Ip l I p lMd Md Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 51 Si sustituimos el momento de inercia en la ecuación (1) obtenemos: g g 4 2 I p T 2 Md 4 2 Mdl T 2 Md 4 2 l 4 2 (0.3m) T2 (1.10s) 2 g 9.78 sm2 Note que el valor de g no depende del momento de inercia del objeto. Problema No. 4 Un electrón se mueve bajo la acción de un campo eléctrico y magnético de manera que su vector posición esta definido por : r ( RtCoswn t )iˆ ct ˆj ( RtSenw n t )kˆ La curva espacial que describe el electrón es una hélice cónica. Determine el radio de curvatura de la trayectoria que describe cuando t = 0. Solución: Recordemos que para una partícula que se mueve en el espacio la aceleración total se puede escribir como: a (r r 2 )rˆ (r 2r)ˆ (I) Ahora tomando la ecuación dada para r, obtenemos al derivar y elevar al cuadrado: r 2 R 2 R 2 w2 t C 2 r 2 t 0 R2 C 2 ( II ) Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 52 Para la aceleración obtenemos al derivar dos veces la ecuación ( I ) r (2RwSenwt rw2 tCoswt )iˆ (2RwCoswt Rtw 2 Senwt )kˆ r t 0 2Rwkˆ ( III ) El radio de curvatura lo obtenemos de la componente apropiada de la aceleración de la ecuación ( I ): r 2 a rˆ r 2 r radio de curvatura r r R2 C 2 2 Rw Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 53 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE CIENCIAS, DEPARTAMENTO DE FISICA CUARTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE FISICA NIVEL II Problema 1 Considere el corte transversal de un cilindro sólidono conductor largo, el cual posee una densidad volumétrica de carga 𝜌 = 4.18 𝑛𝐶/𝑚3 , está centrado en el origen de coordenadas, su radio vale 𝑅= 10 cm. Este cilindro posee un agujero en forma de cilindro paralelo a su eje, el cual está centrado en el punto (−5, −4) 𝑐𝑚 , tiene un radio 𝑏 = 3 cm. Calcular el campo eléctrico en el punto (4, −6) 𝑐𝑚. Problema 2 Un anillo no conductor posee una carga 𝑄 = +5.0𝐶 , el anillo es un disco de radio 𝑅 = 6 𝑚𝑚 con un agujero de radio 𝑅/2 , como se muestra en la figura. Un electrón se coloca a lo largo del eje del anillo (eje 𝑥) a una distancia 𝑥 = 12 𝑚𝑚, se suelta a partir del reposo, el electrón se mueve a lo largo del eje del anillo, para el instante que pasa por el centro del anillo (en 𝑥 = 0) encuentre la rapidez que lleva el electrón. Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 54 Problema 3 Un electrón viaja en la dirección del eje 𝑥 con una rapidez constante 𝑣𝑜𝑥 , en el instante que el electrón pasa por el origen se activa un campo magnético 𝑩 = 𝐵𝑧 𝒌 T. Siendo 𝐵𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 a) Escribir las ecuaciones de movimiento del electrón. b) Resolver las ecuaciones de movimiento bajo las condiciones iniciales ,en el instante 𝑡 = 0𝑠 , la posición inicial es cero 𝒓0 = 0,0,0 la velocidad inicial es 𝑣𝑜 = 𝑣𝑜𝑥 , 0,0 y mostrar que el movimiento se da en el plano (𝑥, 𝑦) c) Demostrar que la trayectoria del electrón es un círculo en el plano (𝑥, 𝑦) centrado en 0 , 𝑣𝑜𝑥 𝜔 y que gira con una rapidez angular 𝜔 = 𝑒 𝐵𝑧 𝑚 . Problema 4 Una espira conductora cuadrada de lado 𝐿, de 𝑁 vueltas, posee una resistencia eléctrica 𝑅 y masa 𝑚. La espira esta pivoteada sobre el eje 𝑧 (ver figura) y puede girar libremente. En el instante 𝑡 = 0 𝑠 se activa un campo magnético constante 𝑩 = 𝐵𝑦 𝒋 𝑇 , la espira se encuentra paralela al eje 𝑥, y se deja caer, encontrar el momento (o torque) cuando la espira ha girado un ángulo respecto al eje 𝑥. Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 55 SOLUCION DE LA PRUEBA Problema 1 Considere el corte transversal de un cilindro sólido no conductor largo, el cual posee una densidad volumétrica de carga 𝜌 = 4.18 𝑛𝐶/𝑚3 , está centrado en el origen de coordenadas, su radio vale 𝑅= 10 cm. Este cilindro posee un agujero en forma de cilindro paralelo a su eje, el cual está centrado en el punto (−5, −4) 𝑐𝑚, tiene un radio 𝑏 = 3 cm. Calcular el campo eléctrico en el punto (4, −6) 𝑐𝑚. Solución: Por el principio de superposición el campo en el punto (4, −6 ) 𝑐𝑚 es la suma vectorial del campo debido al cilindro de radio 𝑅 más el campo debido al cilindro hueco, el cual se considera como un cilindro sólido con densidad de carga igual que la del cilindro de radio 𝑅, ahora, como realmente no es un cilindro sólido entonces el campo eléctrico del hueco se resta al del cilindro sólido, de tal manera que: 𝑬 = 𝑬𝑠 − 𝑬 Siendo: 𝐸 el campo eléctrico en el punto (4, −6) 𝑐𝑚 𝐸𝑠 el campo eléctrico debido al cilindro sólido en el punto (4, −6) 𝑐𝑚 𝐸 el campo eléctrico debido al cilindro hueco en el punto (4, −6) 𝑐𝑚 Se calcula primero el campo eléctrico dentro y fuera de un cilindro no conductor con densidad volumétrica de carga: Dentro: Fuera: 𝐸 ∙ 𝑛 𝑑𝐴 = 𝐸 ∙ 𝑛 𝑑𝐴 = 𝑞 𝑒𝑛𝑐 𝜖𝑜 𝑞 𝑒𝑛𝑐 𝜖𝑜 ⇒ ⇒ 𝐸2𝜋𝑟𝑙 = 𝐸2𝜋𝑟𝑙 = 𝜌𝜋 𝑟 2 𝑙 ⇒ 𝜖𝑜 𝜌𝜋 𝑅 2 𝑙 𝜖𝑜 ⇒ Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 𝜌𝑟 𝐸 = 2𝜖 𝐸= 𝑜 𝜌𝑟𝑅 2 2𝜖 𝑜 𝑟 𝜌𝑟 ∴ 𝑬 = 2𝜖 𝒓 ∴ 𝑬 = 2𝜖 𝑟 𝒓 𝑜 𝜌𝑅 2 𝑜 . 56 Calculemos ahora el campo eléctrico para el cilindro sólido: 𝜌𝑟 𝐸𝑠 = 𝒓 2𝜖𝑜 𝑟 = 4, −4 su magnitud 𝑟 = 42 + 62 = 52 = 7.21 𝑐𝑚 4 −6 ∴ 𝒓= , = 0.55, −0.83 5.66 5.66 𝜌𝑟 4.18𝐸 − 9 7.21𝐸 − 2 𝑁 = = 17.03 2𝜖𝑜 2 8.85𝐸 − 12 𝐶 𝑬𝑠 = 17.03 0.55, −0.83 = 9.44, −14.17 ∴ 𝑁 𝐶 Calculemos ahora el campo eléctrico para el cilindro hueco: 𝜌𝑏 2 ´ 𝑬 = 𝑟 2𝜖𝑜 𝑟 ´ Según la figura 𝒂 + 𝒓´ ′ = 𝒓 ∴ 𝒓´ = 𝒓 − 𝒂 = 4, −6 — 5, −4 = 9 , −2 𝑐𝑚 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑟′ = 92 + 22 = 9.22 𝑐𝑚 9 −2 𝜌𝑏 2 4.18𝐸 − 9 0.03 2 𝑁 ´ 𝒓 = , = 0.98 , −0.22 = = 2.31 9.22 9.22 𝐶 2𝜖𝑜 𝑟 ´ 2 8.85𝐸 − 12 (9.22𝐸 − 2) 𝑁 𝐸 = 2.31 0.98 , −0.22 ∴ 𝑬 = 2.25 , −0.50 𝐶 Por lo tanto 𝑬 = 𝑬𝑠 − 𝑬 = 9.44, −14.17 − 2.25 , −0.50 𝑵 𝑬 = 𝟕. 𝟏𝟗 , −𝟏𝟑. 𝟔𝟕 𝑪 Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 57 Problema 2 Un anillo no conductor posee una carga 𝑄 = +5.0𝐶 , el anillo es un disco de radio 𝑅 = 6 𝑚𝑚 con un agujero de radio 𝑅/2 , como se muestra en la figura. Un electrón se coloca a lo largo del eje del anillo(eje 𝑥) a una distancia 𝑥 = 12 𝑚𝑚, se suelta a partir del reposo, el electrón se mueve a lo largo del eje del anillo, para el instante que pasa por el centro del anillo (en 𝑥 = 0) encuentre la rapidez que lleva el electrón. Solución: El trabajo necesario para mover al electrón está dado por: 𝑊 = −𝑞∆𝑉 Por el teorema de trabajo y energía 𝑊 = ∆𝐾 , sustituyendo: 1 ∆𝐾 = −𝑞∆𝑉 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞 = −𝑒 𝑦 𝐾 = 𝑚𝑣 2 2 1 1 𝑚𝑣 2 − 𝑚𝑣𝑜2 = − −𝑒 𝑉𝑓 − 𝑉𝑜 2 𝑓 2 Al inicio el electrón se encuentra en la posición 𝑥 = 12 𝑚𝑚 y su rapidez es cero 𝑣𝑜 = 0,en el estado final su posición es 𝑥 = 0 y su rapidez vale 𝑣𝑓 . 2𝑒 𝑉𝑓 − 𝑉𝑜 1 𝑚𝑣𝑓2 = 𝑒 𝑉𝑓 − 𝑉𝑜 ⇒ 𝑣𝑓 = 2 𝑚 Procedamos a calcular el potencial eléctrico debido al anillo a una distancia 𝑥 del eje. Para realizar este cálculo imaginemos que el disco está formado por un por un conjunto de anillos delgados infinitesimales, ∴ Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 58 Para un anillo delgado 𝑉= 1 4𝜋𝜖𝑜 𝑑𝑞 1 = 𝑟 4𝜋𝜖𝑜 𝑎2 𝑑𝑞 + 𝑥2 1/2 1 𝑄 4𝜋𝜖𝑜 𝑎2 + 𝑥 2 𝑉 𝑥 = = 1 𝑄 2 4𝜋𝜖𝑜 𝑎 + 𝑥 2 1/2 1/2 Consideremos sobre el anillo, un anillo delgado infinitesimal 𝑑𝑉 = 𝑅 1 𝑉= 4𝜋𝜖𝑜 𝑅 2 𝑅2 Siendo 𝑄 = 𝜍 𝜋𝑅 2 − 𝜋 4 1 𝑑𝑞 4𝜋𝜖𝑜 𝑦 2 + 𝑥 2 1/2 = 1 𝜍2𝜋𝑦 𝑑𝑦 4𝜋𝜖𝑜 𝑦 2 + 𝑥 2 1/2 𝜍2𝜋𝑦 𝑑𝑦 2𝜍𝜋 = 4𝜋𝜖𝑜 𝑦 2 + 𝑥 2 1/2 = 3𝜍𝜋 𝑅 2 4 𝑉 𝑥 = + 𝑥2 𝑅2 − + 𝑥2 4 4𝑄 ⇒ 2𝑄 3𝜋𝜖𝑜 𝑅2 𝑅2 𝜍 = 3𝜋𝑅 2 , sustituyendo: 𝑅2 + 𝑥 2 − 𝑅2 + 𝑥2 4 Evaluando : 2 5𝐸 − 9 𝑉𝑜 = 3𝜋 8.85𝐸 − 12 6𝐸 − 3 2 6𝐸 − 3 2 + 12𝐸 − 3 6𝐸 − 3 2 2 2 − 6𝐸 − 3 4 2 + 12𝐸 − 3 2 = 3.49𝐸03 𝑉 2 5𝐸 − 9 𝑉𝑓 = 3𝜋 8.85𝐸 − 12 6𝐸 − 3 2 + 0 Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 − 6𝐸 − 3 4 2 + 0 2 = 9.99𝐸03 𝑉 . 59 La rapidez final vale: 𝑣𝑓 = 2𝑒 𝑉𝑓 − 𝑉𝑜 = 𝑣𝑓 = 𝑚 2 1.6𝐸 − 19 9.99𝐸03 − 3.49𝐸03 = 4.78𝐸07 𝑚/𝑠 9.11𝐸 − 31 𝒗𝒇 = 𝟒. 𝟕𝟖𝑬𝟎𝟕 𝒎/𝒔 Problema 3 Un electrón viaja en la dirección del eje 𝑥 con una rapidez constante 𝑣𝑜𝑥 , en el instante que el electrón pasa por el origen se activa un campo magnético 𝑩 = 𝐵𝑧 𝒌 T. Siendo 𝐵𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 a) Escribir las ecuaciones de movimiento del electrón. b) Resolver las ecuaciones de movimiento bajo las condiciones iniciales ,en el instante 𝑡 = 0𝑠 , la posición inicial es cero 𝒓0 = 0,0,0 la velocidad inicial es 𝑣𝑜 = 𝑣𝑜𝑥 , 0,0 y mostrar que el movimiento se da en el plano (𝑥, 𝑦) c) Demostrar que la trayectoria del electrón es un círculo en el plano (𝑥, 𝑦)centrado en 0 , 𝑣𝑜𝑥 𝜔 y que gira con una rapidez angular 𝜔 = 𝑒 𝐵𝑧 𝑚 . Solución: Inciso a) Consideremos la siguiente figura que muestra al electrón en el instante inicial. La fuerza que actúa sobre el electrón es 𝑭 = 𝑞 𝒗 × 𝑩 𝒊 𝒋 𝒌 𝑭 = −𝑒 𝑣𝑥 𝑣𝑦 𝑣𝑧 = −𝑒 𝑖 𝑣𝑦 𝐵𝑧 − 0 − 𝑗 𝑣𝑥 𝐵𝑧 − 0 + 𝑘 0 0 0 𝐵𝑧 𝑭 = −𝑒 𝑣𝑦 𝐵𝑧 𝒊 + 𝑒 𝑣𝑥 𝐵𝑧 𝒋 + 0 𝒌. Aplicando la segunda ley : 𝑭 = 𝑚𝒂 ⇒ 𝑭 = −𝑒 𝑣𝑦 𝐵𝑧 𝒊 + 𝑒 𝑣𝑥 𝐵𝑧 𝒋 + 0 𝒌 = 𝑚𝑎𝑥 𝒊 + 𝑚𝑎𝑦 𝒋 + 𝑚𝑎𝑧 𝒌 Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 60 Siendo 𝑚 la masa del electrón. Igualando los vectores, obtenemos las ecuaciones de movimiento −𝒆 𝒗𝒚 𝑩𝒛 = 𝒎𝒂𝒙 𝒆 𝒗𝒙 𝑩𝒛 = 𝒎𝒂𝒚 𝟎 = 𝒎𝒂𝒛 Inciso b) Rescribiendo la primera ecuación: 𝑑𝑦 𝑑𝑣𝑥 −𝑒 𝑣𝑦 𝐵𝑧 = 𝑚𝑎𝑥 ⇒ −𝑒 𝐵𝑧 = 𝑚 ⇒ −𝑒 𝐵𝑧 𝑑𝑦 = 𝑚 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Integrando: 𝑦 −𝑒 𝐵𝑧 𝑣𝑥 𝑑𝑦 = 𝑚 0 𝑑𝑣𝑥 ; −𝑒𝐵𝑧 𝑦 = 𝑚𝑣𝑥 − 𝑚𝑣𝑜𝑥 𝑣𝑜𝑥 De donde: 𝑚𝑣𝑥 = −𝑒𝐵𝑧 𝑦 + 𝑚𝑣𝑜𝑥 Tomando la segunda ecuación de movimiento :𝑒 𝑣𝑥 𝐵𝑧 = 𝑚𝑎𝑦 , 𝑣𝑥 = 𝑚𝑎𝑦 𝑒 𝐵𝑧 𝑎𝑦 = − Reordenando 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒 𝐵𝑧 2 𝑚 𝑦+ 𝑒 𝐵𝑧 𝑚 𝑣𝑜𝑥 𝑚 despejando 𝑣𝑥 𝑚𝑎𝑦 = −𝑒𝐵𝑧 𝑦 + 𝑚𝑣𝑜𝑥 𝑒 𝐵𝑧 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝜔= 𝑒 𝐵𝑧 𝑚 La cual es la frecuencia angular o la rapidez angular del electrón, reescribiendo: 𝑑2𝑦 𝑑𝑡 2 + 𝜔2 𝑦 = 𝑒 𝐵𝑧 𝑚 𝑒𝐵 𝑣𝑜𝑥 .Cuya solución es 𝑦 = 𝐶1 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 + 𝐶2 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑚 𝜔𝑧2 𝑣𝑜𝑥 Aplicando las condiciones iniciales: 𝑦 = 𝐶1 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 + 𝐶2 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑦 = 𝐶1 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 − 𝑣𝑜𝑥 𝜔 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 0 𝑦 = 0 𝑣𝑜𝑥 𝑣𝑜𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝜔 𝜔 Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 ∴ 𝐶2 = − 𝑣𝑜𝑥 𝜔 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 0 𝑙𝑎 𝑣𝑜𝑦 = 0 . 61 Sacando la primera derivada y aplicando esta condición: 𝑣𝑦 = 𝜔𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝜔 𝑣𝑜𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 0 𝑙𝑎 𝑣𝑜𝑦 = 0 𝑣 La solución particular es: 𝑦 = − 𝜔𝑜𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + ---------------------------------------------------------- ∴ 𝐶1 = 0 𝑣𝑜𝑥 𝜔 Rescribiendo la segunda ecuación: 𝑒 𝑣𝑥 𝐵𝑧 = 𝑚𝑎𝑦 ⇒ 𝑒 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑥 𝐵𝑧 = 𝑚 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ⇒ 𝑒 𝐵𝑧 𝑑𝑥 = 𝑚 𝑑𝑣𝑦 Integrando: 𝑥 𝑒 𝐵𝑧 𝑣𝑥 𝑑𝑥 = 𝑚 0 𝑑𝑣𝑦 𝑒𝐵𝑧 𝑥 = 𝑚𝑣𝑦 0 De donde 𝑚𝑣𝑦 = 𝑒𝐵𝑧 𝑥 Tomando la primera ecuación de movimiento −𝑒 𝑣𝑦 𝐵𝑧 = 𝑚𝑎𝑥 despejando 𝑣𝑦 𝑚𝑎𝑥 𝑚𝑎𝑥 𝑣𝑦 = − 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑚 − = 𝑒𝐵𝑧 𝑥 𝑎𝑥 = −𝜔2 𝑥 𝑒 𝐵𝑧 𝑒 𝐵𝑧 Reescribiendo 𝑑2𝑥 𝑑𝑡 2 + 𝜔2 𝑥 = 0 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 𝐶3 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 + 𝐶4 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 0 𝑥𝑜 = 0 𝐶4 = 0 Sacando la primera derivada𝑣𝑥 = 𝜔𝐶3 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 0 𝑣𝑜𝑥 = 𝜔𝐶3 𝑣 La solución particular es 𝑥 = 𝜔𝑜𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 ----------------------------------------------------------------Tomando la tercera ecuación de movimiento 𝑑𝑣𝑧 𝑎𝑧 = 0 ⇒ = 0 ⇒ 𝑣𝑧 = 𝐶 ó 𝑑𝑡 Aplicando las condiciones iniciales 𝑡 = 0 𝑧𝑜 = 0 ⇒ 𝑑𝑧 =𝐶 𝑑𝑡 ∴ 𝑧 = 𝐶𝑡 + 𝑏 𝑏=0 Su primera derivada 𝑣𝑧 = 𝐶 𝑡 = 0 𝑣𝑜𝑧 = 0 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑦𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝐶 = 0. Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 62 Por lo tanto el movimiento se da en el plano (𝑥, 𝑦) siendo sus ecuaciones paramétricas: 𝒗𝒐𝒙 𝒗𝒐𝒙 𝒗𝒐𝒙 𝒙= 𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕 , 𝒚 = − 𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 + 𝝎 𝝎 𝝎 Inciso c) Procedamos a elevar al cuadrado 𝑥 y 𝑦 , y luego sumemos: 𝑣𝑜𝑥 2 𝑣𝑜𝑥 2 𝑣𝑜𝑥 2 𝑣𝑜𝑥 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑠𝑒𝑛2 𝜔𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜔𝑡 − 2 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝜔 𝜔 𝜔 𝜔 𝑥2 + 𝑦2 = 2 De la ecuación 𝑦 = − 𝑣𝑜𝑥 𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑣𝑜𝑥 𝑣𝑜𝑥 𝜔 2 −2 𝑣𝑜𝑥 𝜔 2 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜔 𝑣𝑜𝑥 𝑜𝑥 𝜔 , 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = 𝑣 𝜔 2 −𝑦 Sustituyendo: 𝑥2 + 𝑦2 = 2 𝑣𝑜𝑥 𝜔 2 −2 𝑣𝑜𝑥 𝜔 2 𝜔 𝑣𝑜𝑥 𝑣𝑜𝑥 −𝑦 =2 𝑣𝑜𝑥 𝜔 𝜔 𝑥2 + 𝑦2 − 2 Completando cuadrados:𝑥 2 + 𝑦 2 − 2 𝑣𝑜𝑥 2 −2 𝑣𝑜𝑥 𝜔 2 +2 𝑣𝑜𝑥 𝑦 𝜔 𝑣𝑜𝑥 𝑦=0 𝜔 𝑣 2 𝑦 + 𝜔𝑜𝑥 − 𝜔 𝑣𝑜𝑥 2 𝑣𝑜𝑥 𝑥2 + 𝑦 − = 𝜔 𝜔 𝑣𝑜𝑥 2 𝜔 2 =0 Esta ecuación representa la trayectoria del electrón, la cual es un círculo centrado en el 𝑣 𝑣 punto 0 , 𝜔𝑜𝑥 y radio 𝑅 = 𝜔𝑜𝑥 . Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 63 Problema 4 Una espira conductora cuadrada de lado 𝐿, de 𝑁 vueltas, posee una resistencia eléctrica 𝑅 y masa 𝑚. La espira esta pivoteada sobre el eje 𝑧 (ver figura) y puede girar libremente. En el instante 𝑡 = 0 𝑠se activa un campo magnético constante 𝑩 = 𝐵𝑦 𝒋 𝑇, la espira se encuentra paralela al eje 𝑥, y se deja caer, encontrar el momento (o torque) cuando la espira ha girado un ángulo respecto al eje 𝑥. Solución: El torque que experimenta la espira es debido primero, a su propio peso, 𝜏𝑔 = 𝑟 × 𝑚𝑔 , luego en el instante qque empieza a girar , el flujo de campo magnético que pasa a través del área que encierra la espira empieza a variar, y por la ley de inducción de Faraday se inducirá una corriente en la espira, lo cual es la causa de que la espira experimente otro torque 𝜏𝐵 = 𝜇 × 𝐵 . El torque neto será entonces:𝜏 = 𝜏𝑔 + 𝜏𝐵 . Caculemos el torque debido al peso: Consideremos la espirando girando y en cierto instante En que ha recorrido un angulo 𝜃 (ver figura adjunta) 𝐿 𝐿 𝑟 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑖 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑗 𝑚 , 2 2 𝝉𝑔 = 𝒓 × 𝑚𝒈 = 𝑚𝑔 = 𝑚𝑔 −𝑗 𝒊 𝒋 𝐿 𝑐𝑜𝑠𝜃 2 0 𝐿 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 2 −𝑚𝑔 𝑁 𝒌 𝐿 0 = 𝒊 0 − 𝒋 0 + 𝒌 −𝑚𝑔 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 64 𝑚𝑔𝐿𝑐 𝑜𝑠𝜃 𝝉𝑔 = −𝒌 𝑁𝑚 el torque debido al peso hace girar la espira en contra de las 2 manecillas de un reloj. Torque debido al campo magnético 𝜏𝐵 = 𝜇 × 𝐵. Siendo 𝜇 el momento dipolar magnético cuya magnitud vale 𝜇 = 𝑁𝐼𝐴 𝑁 = Número de vueltas de la espira, 𝐴 = área que encierra la espira, ya que es un cuadrado 𝐴 = 𝐿2 y 𝐼 = es la corriente eléctrica inducida según la ley de faraday. La ley de Inducción de Faraday dice. 𝑑Φ𝐵 ℰ = −𝑁 𝑑𝑡 ℰ = es la fem inducida = 𝑅𝐼 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑅 = la resistencia de la espira. Φ𝐵 = 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑚𝑎𝑔𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑜 = 𝐵 ∙ 𝑛 𝑑𝑎 = 𝐵 ∙ 𝑛𝐿2 ver figura 𝛼 + 90 − 𝜃 = 90 ⟹ 𝛼 = 𝜃 𝐵 ∙ 𝑛 = 𝐵𝑦 1 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝐵𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑Φ 𝑑𝜃 𝐵 Φ𝐵 = 𝐵𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐿2 ∴ = −𝐵𝑦 𝐿2 𝑠𝑒𝑛𝜃 = −𝐵𝑦 𝐿2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜔 = −𝜔𝐵𝑦 𝐿2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑁𝜔𝐵𝑦 𝐿2 𝑠𝑒𝑛𝜃 ℰ = −𝑁 −𝜔𝐵𝑦 𝐿2 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑅𝐼 ⇒ 𝐼 = 𝑅 Por lo tanto la magnitud del momento dipolar magnético vale: 𝑁𝜔𝐵𝑦 𝐿2 𝑠𝑒𝑛𝜃 2 𝑁 2 𝜔𝐵𝑦 𝐿4 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜇 = 𝑁𝐼𝐴 = 𝑁 𝐿 = 𝑅 𝑅 Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 𝐴𝑚2 . 65 El torque debido al campo magnético vale 𝜏𝐵 = 𝜇 × 𝐵, los vectores se visualizan en la figura: Como se mostro𝜃 = 𝛼 𝑖 𝑗 𝑘 𝝉𝐵 = 𝝁 × 𝑩 = 𝜇 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜇 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 = 𝑖 0 − 𝑗 0 + 𝑘 𝐵𝑦 𝜇𝑠𝑒𝑛𝜃 0 𝐵𝑦 0 𝝉𝐵 = 𝐵𝑦 𝜇 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑘 𝑁𝑚 , el torque debido al campo magnético hace girar la espira en contra de las manecillas de un reloj. El torque total vale : 𝐿 𝜏 = 𝜏𝑔 + 𝜏𝐵 = −𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑘 + 𝐵𝑦 𝜇𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑘 2 Sustitullendo el valor del momento dipolar magnético: 𝑁 2 𝜔𝐵𝑦 𝐿4 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐿 𝜏 = −𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐵𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑘 2 𝑅 𝑵𝟐 𝝎𝑩𝒚 𝟐 𝑳𝟒 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒎𝒈𝑳𝒄𝒐𝒔𝜽 𝝉= − + 𝒌 𝑵𝒎 𝟐 𝑹 Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 66 4.3 Química UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE CIENCIAS, ÁREA DE QUÍMICA GENERAL CUARTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE QUIMICA NIVEL I Instrucciones. A continuación se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones y valor adjunto. Está permitido el uso de Tabla Periódica, tabla de factores de conversión, ecuacionario y calculadora. No está permitido el uso de celular. Primera Serie (50 puntos). Consta de 20 preguntas de selección múltiple todas corresponden a la parte teórica. Subraye la respuesta correcta. Si necesita razonar una respuesta, hágalo en la parte de atrás de la hoja, indicando el número de inciso que se razona. 1. La Temperatura es uno de los Observables Primarios; es decir, los observables creados en el Big Bang. Otros son el espacio, el tiempo (concebidos como uno solo en la Relatividad) y la materia. El observable Temperatura, se puede reducir sin embargo, un observable derivado de los anteriormente citados; de esta manera, se puede considerar como: a. La cantidad de calor que posee un sistema b. La sensación de “frío” o “caliente” que un sistema transmite al entorno c. La energía cinética de las partículas del sistema d. La energía química potencial de las partículas del sistema e. a y b son correctas f. a, b y c son correctas g. todas son correctas Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 67 2. Suponga que mezcla un líquido A con un líquido B, siendo A > B. Si las masas de A y B son iguales, entonces: a. La densidad de la mezcla está más cerca de la densidad de A b. La densidad de la mezcla está más cerca de la densidad de B c. La densidad de la mezcla es el promedio de las dos densidades 3. Una reempe sólo puede albergar a dos electrones, nunca a más de dos; estos es así porque: a. Los electrones son bosones b. Los electrones son fermiones c. El Número de simetría es fraccionario d. Existe el Principio de exclusión de Pauli e. Existe el Principio de Mínima Energía de Yeu Ta f. a y e son correctas g. c y d son correctas h. b, c, y d son correctas 4. Para los metales de transición interna, el electrón diferenciante tiene un número de impulso angular igual a: a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 5.Los anfígenos tienen en común los siguientes números cuánticos: a. n y l b. l y m (ml) c. l, m (ml) y ms d. ms y S e. S y C Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 68 6. ¿Cuál de los siguientes elementos tiene al menos 2 electrones de igual energía mecánica? a. Litio b. Berilio c. Boro d. Carbono e. a y b son correctas f. b y c son correctas g. b, c y d son correctas h. todas son correctas 7. Esencialmente, dos núcleos isotópicos se diferencian entre sí por: a. Su carga b. Su masa c. Su carga y su masa 8. La masa y carga son “propiedades internas” de la materia. Otra “propiedad interna” es el espín. Las propiedades internas se manifiestan al exterior como campos (por ejemplo, la masa crea el campo gravitatorio, la carga en movimiento crea el campo electromagnético). Se conocen cinco campos, cuál de ellos es creado por el espín: a. Gravitatorio b. Eléctrico c. Magnético d. Nuclear fuerte e. Nuclear débil f. Ninguno 9. ¿Cuál es la máxima cantidad de elementos que puede haber en un período, cuáles períodos tienen ese número? a) 18, tienen ese número los períodos 4, 5 6 y 7 b) 18, poseen ese número los períodos 4 y 5 c) 32, poseen ese número los período 6 y 7 d) 32, ese número lo posee solamente el período 6 e) Ninguna es correcta Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 69 10. Considere el elemento Tannium, Tnn, que se ha descubierto en el lejano planeta Bactricuo. Una muestra representativa consta medio mol de átomos de Tnn, repartidos así: doscientos mil trillones son de 254Tnn, trece por cien son de 255Tnn y el resto es de 256Tnn ¿Cuál es la masa elemental de Tnn? (Use aproximación para estimar la masa de cada uno de los átomos). a. 0.5 uma b. 255.13 uma c. 254.54 uma d. 1.79 uma e. 255.87 uma 11. ¿Cuál de los siguientes enunciados describe las características generales de la tabla periódica? a) Identifica y localiza los elementos representativos y de transición b) Presenta la secuencia de los elementos y su relación con la estructura atómica c) Divide los elementos en períodos y familias d) Clasifica los elementos en metales, no metales y metaloides e) Todas son correctas 12. En la mayoría de casos, la carga nuclear efectiva determina la atracción de un núcleo hacia los electrones propios y ajenos. ¿Cuál de los siguientes átomos tiene mayor carga nuclear efectiva hacia los electrones propios pero no hacia los ajenos? a. C b. N c. O d. F e. Ne 13. En una unión química, cuando la densidad de carga negativa se distribuye más del lado de un núcleo que del otro (heterogéneamente) se puede interpretar también con respecto al tiempo: quiere decir que los electrones del enlace pasan más tiempo con un núcleo que con el otro. ¿En cuál de los siguientes casos, la distribución de carga en el espacio-tiempo es más desigual? a. N-H en el amoníaco b. N-H+ en el ión amonio c. La distribución de carga es igual en a y b Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 70 14. Cuál es el estado de oxidación de C en: :O: .. —- || :O: .. —- :O — C — O: ¨ .. —- || .. —- :O — C — O: ¨ ¨ Al+3 ¨ Al+3 :O: —- .. || .. —- :O — C — O: ¨ a. b. c. d. e. ¨ -4 +4 2 -2 0 15. El estaño forma dos cloruros cuyos contenidos de estaño son: a. 88.12% y 78.76% b. 76.99% y 78.76% c. 62.60% y 45.56% d. 62.60% y 88.12% e. Ninguna de las anteriores 16. Cuál de las siguientes sustancias es más rica en sodio? a. Nitrato de sodio b. Nitrato de potasio c. Cloruro de sodio d. Oxido de sodio e. Todas tiene la misma cantidad de sodio Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 71 17. Considere la siguiente reacción para la formación de caolinita (Al2Si2O5(OH)4) en el suelo: KAlSi3O8 + H2CO3 + H2O → KHCO3 + Al2Si2O5(OH)4 + H2SiO3 Si en la ecuación química, el coeficiente estequiométrico del carbonato ácido de potasio es 8, ¿cuál debe corresponder a la caolinita? a. b. c. d. e. f. 1 2 4 6 8 Ninguna de las anteriores 18. Para un sistema físico gas ideal, si el volumen y la cantidad de partículas se mantienen constantes y la presión del sistema aumenta: a. La rapidez media de la partículas disminuye b. La rapidez media de las partículas aumenta c. La rapidez media de las partículas permanece constante 19. Considere los cuatro postulados del sistema hipotético Gas Ideal: 1. Las partículas que lo forman son puntos-masa; 2. Las partículas no interaccionan (no crean ningún campo); 3. Los choques de las partículas son elásticos (cada partícula conserva su energía cinética) y 4. Las posiciones y velocidades iniciales de las partículas es completamente al azar (el genial postulado de Maxwell). Todos estos postulados contradicen la realidad (entendida según la ciencia); más aun: dos de esos postulados se contradice entre sí, ¿cuáles son? a. b. c. d. e. El 1 y el 2. El 2 y el 3. El 3 y el 4. El 4 y el 1. El 1 y el 4. Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 72 20. Un gas ideal no se puede licuar porque: a. Sus partículas son puntos masa. b. Sus partículas no interaccionan. c. Sus partículas chocan elásticamente. d. a y b son correctas e. b y c son correctas f. a y c son correctas g. Todas son correctas h. Ninguna de las anteriores es correcta Segunda Serie. (50 puntos). A continuación encontrará 5 problemas. Resuélvalos correctamente en su cuadernillo de trabajo. Deje constancia escrita, objetiva, lógica, explícita y ordenada todo su procedimiento y todas sus suposiciones. Resalte sus resultados y ecuaciones más importantes de forma inequívoca y anote la respuesta específica en el temario. Problema 1. Análisis dimensional. En la Ciudad de Guatemala sus 3.5 millones de habitantes consumen un promedio de 33 galones percapita por dia. Cuantas toneladas cortas de fluoruro sódico al 45% de flúor en masa se necesitarán por año para darle a esta agua una dosis anticarie de 1 parte por millón de flúor en masa? Respuesta: ____________________________________________________ Problema 2. Análisis dimensional. ¿Qué altura alcanzaría el caucho desgastado por los neumáticos de los vehículos tipo sedan cada año en Guatemala, considerando que todo el caucho es apilado con 1 metro de profundidad a lo largo de un terreno de 7 metros de ancho, si la trama útil de un neumático es de 5/16 pulgadas y se puede conducir durante 35,000 millas antes de que se desgaste. Una llanta tiene un ancho de 15 cm y radio de 38 cm. El parque vehicular en Guatemala se estima en 1.2x106 autos y el número promedio de millas conducidas por año es aproximadamente de 12,000? Respuesta:_____________________________________________________ Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 73 Problema 3. Enlace y Nomenclatura de compuestos. Halle las fórmulas y nombres para las sales báricas del azufre. Dibuje las estructuras de Lewis. Describa el número de enlaces iónicos, covalentes y covalentes coordinados. Respuesta: Nombre Fórmula Enlaces Iónicos Enlaces Covalentes Enlaces cov. Coordinados Problema 4. Estequiometría. La soda cáustica puede obtenerse por medios electroquímicos de una salmuera; los productos secundarios son cloro e hidrógeno gaseosos: 2NaCl + 2H2O → 2Na(OH) + Cl2 + H2 Suponga que tiene 100 galones de una salmuera al 26 por 100 m/m, cuya densidad es 1.19443 g/mL y el rendimiento es de 85 por 100; ¿Cuántas libras de hidróxido de sodio se obtienen? ¿Cuántos kg de reactivo en exceso sobran? Respuesta: Na(OH) producido (lb):_______________________ Reactivo en exceso: kg:_________________________________________ Problema 5. Gases. En cierta cumbre, el aire enrarecido tiene una densidad de 0.49 g/L, y está compuesto por nitrógeno y oxígeno; en este lugar inhóspito, la temperatura es de -18°C y la presión es 0.35 atm. ¿Cuál es la fracción molar de oxígeno? Respuesta:_____________________ Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 74 SOLUCION DE LA PRUEBA RESPUESTAS DE LA PARTE TEORICA: 1) C; 2) B; 3) D; 4) D; 5) C; 6) H; 7) B; 8) B; 9) D; 10) C; 11) E; 12) E; 13) B; 14) B; 15) C; 16) D; 17) C; 18) B; 19) A; 20) B Segunda Serie. (50 puntos). A continuación encontrará 5 problemas. Resuélvalos correctamente en su cuadernillo de trabajo. Deje constancia escrita, objetiva, lógica, explícita y ordenada todo su procedimiento y todas sus suposiciones. Resalte sus resultados y ecuaciones más importantes de forma inequívoca y anote la respuesta específica en el temario. Problema 1. Análisis dimensional. En la Ciudad de Guatemala sus 3.5 millones de habitantes consumen un promedio de 33 galones percapita por día. Cuantas toneladas cortas de fluoruro sódico al 45% de flúor en masa se necesitarán por año para darle a esta agua una dosis anticarie de 1 parte por millón de flúor en masa? Solución: Densidad del agua es 1.00 g/ml (3.5E-6 personas) * (33 gal/ persona día) * (3.785 L/ gal) * (1000 ml/L) * (1 g/ml) * (1 g de F/1 E-6 g de H2O) * (100g de NaF/45g de F) * (1 lb/454g) * (1 ton/2000 lb)* (365 días/ año) = 390.52 ton / año Problema 2. Análisis dimensional. ¿Qué altura alcanzaría el caucho desgastado por los neumáticos de los vehículos tipo sedan cada año en Guatemala, considerando que todo el caucho es apilado con 1 metro de profundidad a lo largo de un terreno de 7 metros de ancho, si la trama útil de un neumático es de 5/16 pulgadas y se puede conducir durante 35,000 millas antes de que se desgaste. Una llanta tiene un ancho de 15 cm y radio de 38 cm. El parque vehicular en Guatemala se estima en 1.2x106 autos y el número promedio de millas conducidas por año es aproximadamente de 12,000? Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 75 Solución: En primer lugar se puede calcular el total de llantas millas / año: Total de llantas millas/año = número de vehículos x 4 llantas/vehículo x recorrido/año Total de llantas millas/año = (1.2x106 vehículos)(4 llantas/vehículo)(12,000 millas/año) = 5.76x1010 El número N de llantas desgastadas por año se puede expresar de la siguiente manera: N = total de llantas millas/año Millas/llantas desgastadas N= 5.76x1010 / 35,000 millas = 1.646x106 llantas/año El volumen de caucho gastado por cada neumático durante un año está dado por: V = 2 π r x ancho x espesor de recubrimiento desgastado x 1 año V = 2 π (0.38 m) x 0.15 m x 0.0079 m x 1 año = 0.0028 m3 / neumático El volumen de caucho gastado por el total de llantas es: (1.646x106 llantas/año)( 0.0028 m3 / neumático) = 4654.70 m3 /año Finalmente, la altura de la “pila” de caucho gastado en un año será: V = profundidad x ancho x altura Altura = V / (profundidad x ancho) = (2304.4 m3 /año) / (1 m x 7 m) = 664.95 metros/año Problema 3. Enlace y Nomenclatura de compuestos. Halle las fórmulas y nombres para las sales báricas del azufre. Dibuje las estructuras de Lewis. Describa el número de enlaces iónicos, covalentes y covalentes coordinados. Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 76 Solución: Nombre Fórmula Hipo Sulfito BaSO2 de Bario Sulfito de BaSO3 Bario Sulfato de BaSO4 Bario Enlaces Iónicos Enlaces Covalentes Enlaces cov. Coordinados 2 2 0 2 2 1 2 2 2 Problema 4. Estequiometría. La soda cáustica puede obtenerse por medios electroquímicos de una salmuera; los productos secundarios son cloro e hidrógeno gaseosos: 2NaCl + 2H2O → 2Na(OH) + Cl2 + H2 Suponga que tiene 100 galones de una salmuera al 26 por 100 m/m, cuya densidad es 1.19443 g/mL y el rendimiento es de 85 por 100; ¿Cuántas libras de hidróxido de sodio se obtienen? ¿Cuántos kg de reactivo en exceso sobran? Solución: Se calculan la cantidad de cloruro de sodio presente en la salmuera, tomando en cuenta la densidad de la solución y la concentración. 100 gal * (3.785 L/1 gal) * (1000 ml/1 L) * (1.19443 g/ml) * (26g NaCl/100g salmuera) = 117,543.86g NaCl Y hay 334,547.90 g H2O Como la relación estequiométrica entre el cloruro de sodio y el agua es de 2 a 2 y la masa molar del cloruro de sodio es mayor que la del agua, nuestro reactivo limitante es el cloruro de sodio. Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 77 117,543.86 g NaCl * (1mol NaCl/58.45g NaCl) * (2 mol NaOH/2 mol NaCl) * (40 g NaOH/mol NaOH) * (1 lb NaOH/454 g NaOH)= 177.18 lb NaOH Para determinar el reactivo en exceso que no reacciona primero hay que calcular cuánto del reactivo en exceso reacciono para que se consuma todo el reactivo limitante. 117,543.86 g NaCl * (1mol NaCl/58.45g NaCl) * (2 mol H2O/2 mol NaCl) * (18 g H2O/1 mol H2O) * (1Kg H2O/1000g H2O) = 36.19 Kg H2O consumidos La cantidad de agua que no reacciono: lo que teníamos al inicio menos lo que se consumió. 334.55 Kg – 36.19 Kg = 298.36 Kg H2O que no reaccionaron Problema 5. Gases. En cierta cumbre, el aire enrarecido tiene una densidad de 0.49 g/L, y está compuesto por nitrógeno y oxígeno; en este lugar inhóspito, la temperatura es de -18°C y la presión es 0.35 atm. ¿Cuál es la fracción molar de oxígeno? Partimos de la ecuación PV = nRT n=m/M, ρ = m/V Donde V = volumen P = presión n = moles R = 0.08206 L- atm/mol K T = Temperatura en kelvin m = masa M = masa molar ρ = densidad Sustituyendo en la ecuación de estado las otras dos ecuaciones tenemos PV = (m/M)RT acomodando la ecuación PM = (m/V)RT Sustituyendo la densidad PM = ρRT M = ρRT/P M = (0.49 g/L) * (0.08206 L- atm/mol K) * (255.15 K) / (0.35 atm) M= 29.316 g/mol Cuarta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas 2010 . 78 Tenemos que la m