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Corrientes estacionarias
Ley de Ohm.
Campos y Ondas
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA
ARGENTINA
CAMPOS Y ONDAS
• En electrostática las cargas son estacionarias.
• Si las cargas se mueven a velocidad constante, se
genera un flujo
fl j de
d cargas denominado
d
i d corriente
i t
estacionaria.
• Vamos a considerar corrientes q
que varían muy
y
lentamente en el tiempo y pueden asumirse solo
dependientes del campo eléctrico, despreciándose el
efecto de campo magnético.
• Las corrientes se genera en los materiales que tiene
portadores que pueden moverse con libertad.
• Se define corriente:
J ds  I
 J.ds
S
CAMPOS Y ONDAS
La conservación de la carga, ecuación de continuidad.
• J es un vector que indica la densidad de corriente
dentro de un medio.
• La velocidad a la cual la carga deja un volumen V,
cuyo límite es la superficie S está dado por:
J ds  
 J.ds
S
q
t
q



   dv
d   J.ds
Jd
t
t
v
S
•Principio
p de Conservación de la carga
g
Por teorema Gauss

  dv   J
J.ds
t
v
v
•Ecuación de continuidad
CAMPOS Y ONDAS

J 
0
t
v
Corrientes estacionarias
• Definición de corriente eléctrica estacionaria.
Corriente eléctrica que se produce en un conductor de forma
que la densidad de carga de cada punto del conductor es
constante, es decir que se cumple que

J 
0
t

0
t
Por tanto
tanto, para las corrientes estacionarias
estacionarias, la ecuación de
continuidad toma la forma
J  0
que es una definición de corriente estacionaria equivalente a
l primera.
la
i
Las dos anteriores propiedades equivalen a decir que la
carga de cualquier volumen del conductor no varía o,
t
también,
bié que la
l cantidad
tid d de
d carga que en cada
d unidad
id d de
d
tiempo entra en un volumen del conductor sale de él. Esto
debe ser así si la carga en su interior ha de permanecer
constante
constante.
CAMPOS Y ONDAS
La corriente es llamada estacionaria si no hay
acumulación de carga en ningún punto
J  0
Primera Ley
y de Kirchoff
 I   J.dv  J.ds  0
V
S
I  0
CAMPOS Y ONDAS
Corrientes de Conducción
• Las corrientes de conducción que
estudiaremos se dan sin
movimiento de masas, a
diferencia de las corrientes de
convección que se dan en gases o
fluídos con movimientos de iones
con masa (descargas de rayos). El
medio No resulta neutro
• Las
L
corrientes
i t
de
d conducción
d
ió se
establecen en los materiales
“conductores” que resultan
neutros.
– Se desplazan los electrones de
valencia.
– Los iones pesados se
encuentran fijos
– En condiciones de estado
estacionario, los electrones
entran al metal por un punto y
salen
l
por otro
t
produciendo
d i d una
corriente pero el material
resulta ELECTRICAMENTE
NEUTRO
Q  0
CAMPOS Y ONDAS
Para cualquier
q
instante
Ley de Ohm microscópica
• Al aplicar un campo eléctrico en un medio conductor
los electrones son acelerados y se detienen en los
choques
h
con los
l
iones
i
(+),
( ) d
describiendo
ibi d un camino
i
errático con una velocidad promedio v, la cual resulta
proporcional al campo.
• Se tiene que
J  E
Ley de Ohm microscópica
•  es la conductividad del medio expresada en
[Siemens/m], [moh/m].
En los casos de los conductores esta es constante
en un amplio rango, el material resulta lineal,
homogéneo e isotrópico, excepto en cristales
(t
(tensor).
)
CAMPOS Y ONDAS
Ley de Ohm microscópica
• Esta expresión
ó es de aplicación
ó solo a los materiales
conductores. Es una característica fenomenológica y no
p
universal.
es de aplicación
• La energía
í se consume a una velocidad:
J  E
s
q t u
qu
W (energia )
J .E  (
)


s
l t.s.l tiempo.vol
Densidad de Potencia
J.E  [ Joule / ( seg.m3 )]    [Watt / m3 ]
CAMPOS Y ONDAS
u
l
Ley de Ohm microscópica
• Las corrientes estacionarias son imposibles en
campos puramente irrotacionales o conservativos.
• Debe
ebe aparecer
apa ece en
e algún
a gú lugar
uga de
del c
circuito
cu to u
una
a fuente
ue te
de campo eléctrico de tipo rotacional NO
CONSERVATIVO .
• El campo proveniente de fuentes electromotrices
(FEM ) lo denominamos E’, campo impropio
• El campo E es el campo derivable de un potencial
• La ecuación de Ohm microscópica es:
J  (E + E')
• Definimos a la Fuerza electromotriz o FEM como
J
FEM   (E + E')dl   dl

CAMPOS Y ONDAS
Ley de Ohm
J
FEM   (E + E')dl   dl

J
FEM   E'dl   dl

• L
La parte
t conservativa
ti
del
d l campo E da
d una integral
i t
l
cerrada nula, lo cual muestra que para que exista
una corriente es necesario que exista una fuente de
campo NO CONSERVATIVO.
• La corriente está influenciada por la Geometría
• Si la densidad de corriente es constante en todo el
camino de integración se puede expresar (casos de
geometrías de sección uniforme):
J
I
1
FEM   dl   dl  I . dl  I .R

s
s
 Fem   I .R
j
j
CAMPOS Y ONDAS
i
i
Segunda
S
d lley d
de
Kirchoff
Ley de Ohm
Et= J/
++ + + +
2
+++++++
E´
------1
Et
En
En
- -
-
-
-
• En el circuito eléctrico existe un lugar
g
donde hay
y un E’ (
(fem
electroquímica pila o batería), hace las veces de bomba de
los electrones
• El modelo de conducción resulta como si los electrones se
movieran
i
a velocidad
l id d constante
t t en un fluido
fl id viscoso.
i
• La energía disipada por efecto Joule en el conductor es por
efecto del ¨rozamiento¨ (choque de los electrones con los
iones)
CAMPOS Y ONDAS
Ley de Ohm
• En el caso de las corrientes estacionarias dentro del
conductor solo existe un campo electrostático E.
• La diferencia de potencial al pasar de un punto a otro
en la dirección de J es la energía disipada por unidad
de carga
g (
(se transforma en calor).
)
• El campo impropio E’ solo existe en la pila o batería.
• Si despreciamos la resistencia interna de la pila:
Adentro del conductor
1
1
J
I
2 E.dl 2  .dl  sl  I .R
2
 Ε'dl   Ε'dl I .R
1
2
1
2
1
2
1
Fem   E'dl   E.dl    E.dl
CAMPOS Y ONDAS
Ley de Ohm
Et= J/
++ + + +
J  (E + E')  0
2
+++++++
E- - - -E´
--1
E =En
- -
-
-
-
• En el caso de no haber corriente, si  es
distinta de cero en la pila
E + E'  0
•
E  E'
2
2
 E'dl   E.dl  U
1
1
La tensión del campo electrostático
entre dos puntos de un
circuito abierto es igual a la FEM
• En el conductor existe un campo radial o normal al conductor
desde la superficie de mayor potencial (+) a la de menor
potencial (-). El campo tangencial, Et=0 pues J=0
CAMPOS Y ONDAS
Corriente y campo en una frontera Conductor-aislador
• En el aislador la corriente es
cero pues =0
• En
E ell conductor
d t
la
l corriente
i t
debe fluir tangencialmente
al conductor: por lo tanto
del lado del conductor se
tiene
• Por la continuidad del
campo eléctrico tangencial,
del lado del aislador el
campo tangencial es Et.
Et
• Cuando fluye una corriente
por un conductor de
conductividad finita no es
un cuerpo equipotencial
como en electrostática
Et
aislador
conductor
Jt
J  E En un conductor
Jt
Et 

xE  0
l
J
E
Equipotenciales
CAMPOS Y ONDAS
Corriente y campo en una frontera Conductor-aislador
l
• Un conductor con densidad de
corriente uniforme
• Las líneas punteadas son
eq ipotenciales
equipotenciales
• E en el conductor es uniforme
• La diferencia de potencial es
U=E.l=I.R , R es la resistencia de la
longitud l del conductor
Et aislante
• Et conductor=Et
• Existe una distribución de carga
superficial debido a la proximidad
con otros conductores a otro
potencial, y por lo tanto aparece una
En , componente perpendicular a la
frontera aislador-conductor del lado
del aislador.
• En el aislador el campo total es la
suma vectorial de Et y En
• En el conductor En=0 solo existe Et
CAMPOS Y ONDAS
J
E
U=E.l
Equipotenciales
E
En  Et En
Et
aislador
conductor
Jt
Corriente y campo en una frontera Conductor-aislador
• En la figura se muestra una sección transversal de una
línea coaxil. La corriente fluye hacia la derecha por el
conductor interno y regresa por el externo
• Puesto que la conductividad de los conductores es alta el
campo Et es relativamente bajo respecto al En
• En el aislante puede existir un campo alto en virtud de la
tensión aplicada
p
en el extremo del cable
• Las líneas de campo Prácticamente siguen siendo
Perpendiculares a La superficie e iguales a En
Et
En  Et
Equipotenciales
CAMPOS Y ONDAS
En
J
Tiempo de relajación, la carga en un conductor se va a la superficie
• Las cargas en un conductor
rápidamente se van a la
superficie, aún para corrientes
no estacionarias
t i
i
(
(campos
variables en el tiempo)

J 
0
t



0

t
CAMPOS Y ONDAS

D

(t )  0 e

D

J 
 t .
. t
(t )  0 e


 8,85 1012
19
 

10

5 107
t
•Para corrientes que varian 1/f=T>> 
(tiempo de relajación),
ó
vale dentro del
conductor

J
D  E
J 
(t)
J  E
J

J0



Frontera conductor- conductor
• Condiciones de borde
J  0
xE  0
d   J.ds
Jd 0
 J.dv
v
sc
h  0
 J n1.S  J n 2 .S  0
J n1  J n 2
 E.dl  0
Et1.l  Et 2 .l  0
1
Et1  Et 2
Jn1
Et1
J1 cos(1 )  J 2 cos(2 )
J1sen(1 ) J 2 sen((2 )

1
2
tan(1 ) 1

tan(2 ) 2
CAMPOS Y ONDAS
J1=E1
Et2
J2=E2
h
2
Jn2
S
J n1  J n 2
En1  J n1 / 1
En 2  J n 2 / 2
En 2 1

En1 2
Et1  Et 2
1 Et1  J t1
 2 Et 2  J t 2
J t1 1

J t 2 2
CAMPOS Y ONDAS
1 En 2 J t1


2 En1 J t 2
Condiciones de Frontera en corrientes Estacionarias
1,1
J n1  J n 2
J
1 En1   2 En 2
1 En1
En 2 
2
1 En1  Dn1
+
Dn2
+
Dn1
+
 2 En 2  Dn 2
1 En1
2
 Dn 2
2
2,2
En1
En2
 Dn1  Dn 2  c arg a
1 En1   2
1 En1
 c arg a
2
 2 1   2 1
En1 (
)  c argg a
2
CAMPOS Y ONDAS
Que pasa si se cumple?
1  2

1  2
Solución a los Problemas con Corrientes estacionarias.
• La distribución de corriente si bien está determinada
por la FEM y por la conductividad del medio, dentro
de los conductores solo existe campo conservativo
• Se cumple:
J  0
J  E
J  (E)   U  0
2
constante
xE  0
xE
E  
U
 2U  0
Laplace: dentro del conductor
• La solución para corriente estacionaria es
matemáticamente idéntica que la solución de
potenciales electrostáticos, que tengan la misma
geometría ,reemplazando  por  ANALOGIAS
D

D0
CAMPOS Y ONDAS
D  E
xE  0
E  
U
Analogías
DJ
QI
EE
U U
 
CAMPOS Y ONDAS
Q
I 1
C  G  
U
U R

G  C.

1 
R
C
Analogías
• Los métodos de resolución de la ecuación de Laplace
son aplicables a los problemas de corrientes
estacionarias.
t i
i
• La diferencia entre ambos problemas es que la
conductividad de una determinada región puede
anularse,
l
mientras
i
que ell valor
l
de
d la
l permeabilidad
bilid d
nunca será cero.
• Por ejemplo si analizamos el caso de dos electrodos
planos paralelos y entre ellos un medio de

y comparamos con la misma
conductividad
geometría y el medio lleno de un dieléctrico de

permitividad
tendremos una distribución uniforme
de corriente en el medio conductor sin ninguna
distorsión, mientras que en el caso del capacitor
aparece una distribución NO uniforme del campo E y
por lo tanto solo es
de D debido al efecto de borde,, y p
aproximadamente uniforme.
CAMPOS Y ONDAS
Analogías
U
D
1 U
 
C Q
 E.dl
 E.dl
l


 D.ds   E.ds S 
s
J
U
U
R 
I
 E.dl   E.dl  l
 J.ds  E.ds S 
s
s
s
• En general si conocemos la capacidad de una
determinada geometría entonces podemos calcula la
resistencia


R.       C.R 
C

CAMPOS Y ONDAS

R
C.
Analogías
• Calc
Calculo
lo de la resistencia de dos electrodos cilíndricos
paralelos muy largos inmersos en un material de
conductividad

R

C.
d
cosh ( )
2a
R

1
Capacidad por unidad de longitud
C.l
Capacidad para una longitud l
CAMPOS Y ONDAS
Resistencia para una longitud
unitaria de la línea
Resistencia para para una longitud l
R
l
Caso de una geometría donde el conductor y el dieléctrico son de gran
longitud y sección transversal S pequeña.
Los resultados no serían análogos, pues en el caso del capacitor el
efecto de borde (campo en el aire,
aire fuera del dieléctrico) pesa y en el
conductor no existe este efecto pues la conductividad del aire es cero .
I
l,S,
U
l
R
S
l,S,
S
C
l
CAMPOS Y ONDAS
Q
U
Cálculo de la Resistencia
Calculo de Resistencia de un conductor
• El problema de encontrar el valor de la resistencia de un
conductor
d t con sección
ió no uniforme
if
d b ser tratado
debe
t t d
como un problema de resolución de la ecuación de
Laplace.
– 1.
1 Elegir
El i ell sistemas
i t
d
de coordenadas
d
d
– 2. Asumir una diferencia de p
potencial entre conductores
terminales Uo
– 3
3. Resolver la ecuación de Laplace y obtener U(x,y,z).
U(x y z)
Determinar
E  U
– 4.
4 Obtener
Obt
I,
I
I   E.ds
– 5. Obtener R=Uo/I.
/
CAMPOS Y ONDAS
• En algunos casos de geometrías sencillas puede estimarse
la densidad de corriente en función de la corriente y
plantear el campo eléctrico en función de la corriente ,
integrarlo para obtener Uo y encontrar el valor de R=Uo/I
• Ejemplo la resistencia de un tronco de cono:
I
R2
l
E
R1
z
J
S ( z )  r 2
R  R2
r  R1  ( 1
)z
l
I
J ( z) 
S ( z)
I
E( z) 
  S ( z)
l
l
1
dz
S ( z )
0
Uo    Edl I 
0
r
l
Uo
1
R

dz
I
.S ( z )
0
CAMPOS Y ONDAS
• Cálculo de la resistencia de una arandela???
r2

CAMPOS Y ONDAS
r1
h
• Sección transversal uniforme
• Superficies equipotenciales marcadas en líneas de
punto
t (discos)
(di
)
r1

CAMPOS Y ONDAS
Uo
h
J  E.
E
r2
Uo
I  J .S
Uo
I
.(r2 2  r12 )
h
Uo
h
R

I
(r2 2  r12 )
• Arandela alimentada con una FEM entre r2 y r1
• Superficies equipotenciales marcadas en líneas de
punto (cilindros)
I
I

S (r ) 2r.h
Jr (r )
I

Er 

2r.h
Jr (r ) 
r1
r1
r
I
I
dr 
ln( 2 )
2r.h
.h.2 r1
r2
Uo    E.dr   
r2
R
r
Uo
1

ln( 2 )
I
2.h r1
Caso análogo a la
Capacidad
p
de un cable
coaxil:
2h
2h
G

C
r2
r2
l
ln(
(
)
l ( )
ln(
r1
r1
CAMPOS Y ONDAS

J
h
z
•
La fem se aplica entre dos caras luego
de hacer un corte del arandela de un
cierto ángulo 
Superficies equipotenciales marcadas
en líneas de punto (planos,  constante)
U=0, =0
U=Uo, 
Puesto que el potencial solo es función
de  la ecuación de Laplace
p
se
simplifica
•
•
•
•
U
0
2

2
U  a  b
U (0)  a  0
U (2  1 )  Uo  b(2  1 )
b
Uo
2  1
E  U  
J
CAMPOS Y ONDAS
ds
s
1 U
1 Uo

a
r 
r (2  1 )
Uo
 Uo
a
r (2  1 )
I   Jds   
R

1
r2
Uo
U

2  1
r
r1
 Uo
hUo
r
a  ( hdra  ) 
ln( 2 )
r (2  1 )
(2  1 ) r1
Uo
Uo
2  1


r
r
hUo
I
ln( 2 ) h ln( 2 )
(2  1 ) r1
r1
