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13-05-2014
Universidad Católica del
Norte
Departamento de Enseñanza
De Las Ciencias Básicas
Interferencia en
láminas delgadas
Suma de Fasores de
ondas
Introducción
Los colores brillantes que se observan cuando la luz
es reflejada desde una burbuja de jabón o desde una
delgada capa de aceite flotando en el agua, son
producidos por efectos de interferencia entre las
ondas luminosas reflejadas en las superficies
opuestas de la película
delgada de jabón o del aceite,
como se ve en la figura
1
13-05-2014
Interferencia en Láminas Delgadas
Los efectos de interferencia se observan por lo general en películas
delgadas, por ejemplo en capas finas de petróleo sobre agua, pompas de
jabón, etc.
Si n0 = 1 (aire)
∆ a ´ b = ( AB + BC ) n − ( AE + λ / 2 )
Una onda que se mueve de un
medio de índice de refracción n0,
hacia un medio de índice de
refracción n, siendo n >n0,
experimenta un cambio de fase por
reflexión, π
= 180° y no
experimenta cambio de fase si :
n < n0.
(1)
a’
a
b
E
i1
i1
A
n0
C
n
B
t
n0
Fig. 1
2
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Interferencia en Láminas Delgadas
Una expresión muy útil para entender la presencia de λ/2 en (1).
diferencia de marcha = diferencia de fase
λ
2π
- Si la diferencia de fase ϕ = π, de esta expresión tenemos:
Diferencia de marcha = λ/2
- Por otro lado, la longitud de onda de la luz λn en un medio de
índice de refracción n es:
λn = λ/n
Donde λ es la longitud de onda de la luz en el vacío.
Interferencia en Láminas Delgadas
AB = BC =
De la figura vemos que:
t
cosi2
AE = ACseni
tan i2 =
AC / 2
⇒ AC = 2t tan i2
t
(2)
1
(3)
(4)
a’
E
Introduciendo 4 en 3, tenemos:
AE = 2 t tan i 2 seni
i1
1
(5)
seni
1
1
= nseni
= nseni
i1
A
i2
Según la ley de Snell:
n 0 seni
2
2
b
a
(6)
i2 i2
B
n0
C
n
t
n0
Fig. 2
3
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Interferencia en Láminas Delgadas
AE = 2 t tan i 2 ⋅ nseni
Introduciendo 6 en 5
AE = 2 t ⋅ n
2
2
sen i 2
cos i 2
(7)
Sustituyendo en 1 las expresiones 2 y 7
2 tn
2 tnsen 2 i 2
λ
∆a 'b =
−
−
cos i 2
cos i 2
2
∆ a ' b = 2 tn cos i 2 −
Pero cos i 2 =
λ
2
1 − sen 2 i 2
λ
−
cos i 2
2
(8)
1 − sen 2 i 2
∆ a ' b = 2 tn 1 −
∆ a ' b = 2 tn
sen 2 i 2
λ
−
n2
2
y, según 6,
seni
∆ a 'b = 2t
2
=
seni
n
1
n 2 − sen 2 i1 −
λ
2
(9)
Interferencia en Láminas Delgadas
Aplicando las condiciones de máximo obtenidas en el experimento de Young,
tenemos:
∆ a ' b = m λ (m = 0, 1, 2, 3, …)
2t
2t
n 2 − sen 2 i1 −
λ
2
= mλ
1

n 2 − sen 2 i1 =  m +  λ
2

(10)
2t
n 2 − sen 2 i1 = m λ +
λ
2
(11)
En este caso se produce interferencia constructiva.
1

( 12)
2 tn =  m +  λ
2

Y para este mismo caso, la ecuación general para la interferencia destructiva
será:
2 tn = ( m + 1) λ (13)
Si la incidencia es normal
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Anillos de Newton
Otro método para observar interferencia en ondas de luz consiste en colocar
una lente plano-convexa en la parte superior de una lámina plana de vidrio,
como se indica en la figura 3a. Entre la lente y la parte superior de la lámina
de vidrio se forma una capa de aire de espesor variable, varía desde 0 hasta
un espesor t en el punto P. Si el radio de curvatura R de la lente es mucho
mayor que la distancia r, y si el sistema se ve desde arriba, se puede observar
una red de anillos luminosos y oscuros, como se muestran en la figura 3b.
Fig. 3:
a) Esquema
experimental de Anillos
de Newton
b) Anillos
de Newton.
Estas
franjas circulares fueron
descubiertas
por
Newton y se denominan
Anillos de Newton.
Anillos de Newton
Estas franjas circulares fueron
descubiertas por Newton y se
denominan Anillos de Newton.
El efecto de interferencia se debe a
la combinación del rayo 1, reflejado
desde la placa plana, con el rayo 2,
reflejado desde la superficie curva de
la lente.
Fig. 4
El rayo 1 experimenta un cambio de fase π al reflejarse, mientras
que el rayo 2 no experimenta cambio de fase (porque se refleja
desde un medio con un índice de refracción más bajo).
En consecuencia, las condiciones para las interferencias
constructiva y destructiva están dadas por las expresiones 12 y
13 respectivamente, con n = 1, porque la película es aire.
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Anillos de Newton
Haciendo uso de la geometría se puede demostrar que:
1

 m − λ R
2

Condiciones de máximos: r =
Condiciones de mínimos:
Fig. 5
r =
λ mR
Un uso importante de los Anillos de Newton, está en la
prueba de lentes ópticos. Si son de buena calidad, es
decir están esmeriladas y tienen una curvatura
perfectamente simétrica , se observan anillos como los
de la figura 5.
De lo contrario se produce un patrón como el de la
figura 6.
Estas variaciones indican que las lentes deben volver a
esmerilarse y repulirse para eliminar imperfecciones.
Fig. 6
Aplicaciones
*Láminas
Se elige
Con :
anti- reflectantes o láminas de λ/4
n1 < n 2 < n 3
∂ =
∂ =
y
n2 =
n3
λ
4
λ0
4n2
(λ0 longitud de onda en el vacio)
En la Figura 13 a, se presenta una capa anti-reflectante de Si O (n= 1,45),
depositada sobre Silicio (n= 3,5), material que se utiliza para la fabricación
de celdas solares y fotodiodos. La Figura 13 b, presenta el efecto que
produce una capa anti-reflectante depositada sobre una lente. Por ejemplo
MgF2 (n= 1,38) sobre vidrio Flint (n= 1,7).
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Aplicaciones
Fig 13. Capa anti-reflectante a) de Oxido de Silicio sobre Silicio.
b) La luz reflejada desde una lente cubierta por ella presenta un
color violeta rojizo.
Espejos Interferenciales
El mejoramiento de la reflectividad se logra usando múltiples capas de índices
de refracción, alternando valores altos y bajos. El grosor de la capa (ver figura
14) se controla de acuerdo a:
n At A = n BtB =
λ0
4
donde nA es el índice de refracción de la capa A y tA
el espesor de la misma, nB es el índice de refracción
de la capa B y tB el espesor de la misma.
Los rayos reflejados parcialmente interfieren
constructivamente, dando un coeficiente de
reflexión muy alto. Este tipo de espejos se
utiliza para construir los espejos del laser
He – Ne, por ej. 13 capas de sulfito de Zn,
(nA= 2,32) y fluoruro de Mg (nB=1,38) implica
una reflectancia R~ 98,9% para λ = 633nm
R: Coeficiente de reflexión
Fig. 14. Esquema de espejos interferenciales
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Suma de fasores de onda
Procedimiento grafico para adicionar varias longitudes de onda.
Consideremos nuevamente una onda senoidal cuyo componente de campo
eléctrico está dado por:
E 1 = E 0 sen ω t
Donde E0 es la amplitud de la onda y ω la
frecuencia angular
Esta onda se puede representar en forma gráfica mediante un fasor de
magnitud E0 que gira alrededor del origen en sentido contrario a las agujas
del reloj con una frecuencia angular ω.
El fasor forma un ángulo ωt con el eje
horizontal. La proyección del fasor en el
eje vertical representa E1, la magnitud de la
perturbación de la onda en algún tiempo t.
Por lo tanto, cuando el fasor gira en
círculos alrededor del origen, la proyección
E1 oscila a lo largo del eje vertical.
Figura 9
Suma de fasores de onda
Consideremos ahora una segunda onda senoidal cuyo
componente de campo eléctrico está dado por:
E 2 = E 0 sen ( ω t + φ )
Esta onda tiene la misma amplitud y
frecuencia que E1, pero su fase es ϕ
con respecto a E1. El fasor que
representa a E2 se muestra en la
figura, gráficamente podemos obtener
la onda resultante, que es la suma de
E1 y E2.
Figura 10
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Suma de fasores de onda
Si volvemos a dibujar los fasores, como se ve en la figura,
donde el origen del segundo fasor se coloca en el extremo del
primero. Al igual que con la adición de vectores, el fasor
resultante ER va del origen del primer al extremo del segundo.
Además ER gira con los dos fasores individuales a la misma
frecuencia angular ω.
La proyección de ER a lo largo del
eje vertical es igual a la suma de
las proyecciones de los otros dos
factores: EP = E1 + E2
Figura 11
Suma de fasores de onda
Es práctico construir los fasores en t = 0, como en la figura 12.
De la geometría de uno de los triángulos rectángulos vemos que:
cos α =
ER / 2
E0
ER = 2 E0 cosα
Debido a que un ángulo exterior ɸ es igual a la suma de los
interiores no adyacentes, vemos que: α = ɸ /2
ER = 2 E0 cos ɸ /2
Figura12
En consecuencia, la proyección
del fasor ER a lo largo del eje
vertical en cualquier tiempo t es
E p = E R sen ( ω t + φ / 2 )
E p = 2 E 0 cos( φ / 2 ) sen ( ω t + φ / 2 )
I p ∝ E p2
I p ∝ 2 E 02 cos 2 (φ / 2 )
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Diagrama de fasores para dos fuentes
coherentes
En la siguiente figura:
La intensidad en un punto es máxima cuando ER es máximo.
Esto ocurre cuando ɸ = 0, 2π , 4π ,…
La intensidad de la luz en algún punto es cero cuando ER es cero, esto
sucede cuando
ɸ = π, 3π , 5π ,…
Figura 13
Patrón de Interferencia de Tres Ranuras
Utilizando diagrama de fasores, analicemos el patrón de interferencia
causado por tres ranuras con igual separación. Las componentes del campo
eléctrico en el punto P en la pantalla originado por las ondas de las ranuras
individuales se pueden expresar como:
E 1 = E 0 sen ( ω t )
E 2 = E 0 sen ( ω t + φ )
Donde φ es la diferencia de fase
entre ondas provenientes de ranuras
adyacentes.
E 3 = E 0 sen ( ω t + 2 φ )
La figura 6 muestra el diagrama de fasores para tres ranuras con igual
separación.
Figura 14
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Patrón de Interferencia de Tres Ranuras
En la figura 15 muestra el diagrama de fasores para
tres ranuras igualmente espaciadas para varios
valores de ɸ.
Figura 15
Patrón de Interferencia de Tres Ranuras
En la figura 16, muestra
patrones de interferencia de
ranuras múltiples.
Cuando
aumenta el número de ranuras
N, los máximos primarios se
vuelven más estrechos, pero
permanecen fijos en posición y
aumenta el número de máximos
secundarios.
Para cualquier
valor de N, la disminución en
intensidad en máximos a la
izquierda y derecha del máximo
central, se debe a patrones de
difracción
de
las
ranuras
individuales.
Figura 16
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