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13-05-2014 Universidad Católica del Norte Departamento de Enseñanza De Las Ciencias Básicas Interferencia en láminas delgadas Suma de Fasores de ondas Introducción Los colores brillantes que se observan cuando la luz es reflejada desde una burbuja de jabón o desde una delgada capa de aceite flotando en el agua, son producidos por efectos de interferencia entre las ondas luminosas reflejadas en las superficies opuestas de la película delgada de jabón o del aceite, como se ve en la figura 1 13-05-2014 Interferencia en Láminas Delgadas Los efectos de interferencia se observan por lo general en películas delgadas, por ejemplo en capas finas de petróleo sobre agua, pompas de jabón, etc. Si n0 = 1 (aire) ∆ a ´ b = ( AB + BC ) n − ( AE + λ / 2 ) Una onda que se mueve de un medio de índice de refracción n0, hacia un medio de índice de refracción n, siendo n >n0, experimenta un cambio de fase por reflexión, π = 180° y no experimenta cambio de fase si : n < n0. (1) a’ a b E i1 i1 A n0 C n B t n0 Fig. 1 2 13-05-2014 Interferencia en Láminas Delgadas Una expresión muy útil para entender la presencia de λ/2 en (1). diferencia de marcha = diferencia de fase λ 2π - Si la diferencia de fase ϕ = π, de esta expresión tenemos: Diferencia de marcha = λ/2 - Por otro lado, la longitud de onda de la luz λn en un medio de índice de refracción n es: λn = λ/n Donde λ es la longitud de onda de la luz en el vacío. Interferencia en Láminas Delgadas AB = BC = De la figura vemos que: t cosi2 AE = ACseni tan i2 = AC / 2 ⇒ AC = 2t tan i2 t (2) 1 (3) (4) a’ E Introduciendo 4 en 3, tenemos: AE = 2 t tan i 2 seni i1 1 (5) seni 1 1 = nseni = nseni i1 A i2 Según la ley de Snell: n 0 seni 2 2 b a (6) i2 i2 B n0 C n t n0 Fig. 2 3 13-05-2014 Interferencia en Láminas Delgadas AE = 2 t tan i 2 ⋅ nseni Introduciendo 6 en 5 AE = 2 t ⋅ n 2 2 sen i 2 cos i 2 (7) Sustituyendo en 1 las expresiones 2 y 7 2 tn 2 tnsen 2 i 2 λ ∆a 'b = − − cos i 2 cos i 2 2 ∆ a ' b = 2 tn cos i 2 − Pero cos i 2 = λ 2 1 − sen 2 i 2 λ − cos i 2 2 (8) 1 − sen 2 i 2 ∆ a ' b = 2 tn 1 − ∆ a ' b = 2 tn sen 2 i 2 λ − n2 2 y, según 6, seni ∆ a 'b = 2t 2 = seni n 1 n 2 − sen 2 i1 − λ 2 (9) Interferencia en Láminas Delgadas Aplicando las condiciones de máximo obtenidas en el experimento de Young, tenemos: ∆ a ' b = m λ (m = 0, 1, 2, 3, …) 2t 2t n 2 − sen 2 i1 − λ 2 = mλ 1 n 2 − sen 2 i1 = m + λ 2 (10) 2t n 2 − sen 2 i1 = m λ + λ 2 (11) En este caso se produce interferencia constructiva. 1 ( 12) 2 tn = m + λ 2 Y para este mismo caso, la ecuación general para la interferencia destructiva será: 2 tn = ( m + 1) λ (13) Si la incidencia es normal 4 13-05-2014 Anillos de Newton Otro método para observar interferencia en ondas de luz consiste en colocar una lente plano-convexa en la parte superior de una lámina plana de vidrio, como se indica en la figura 3a. Entre la lente y la parte superior de la lámina de vidrio se forma una capa de aire de espesor variable, varía desde 0 hasta un espesor t en el punto P. Si el radio de curvatura R de la lente es mucho mayor que la distancia r, y si el sistema se ve desde arriba, se puede observar una red de anillos luminosos y oscuros, como se muestran en la figura 3b. Fig. 3: a) Esquema experimental de Anillos de Newton b) Anillos de Newton. Estas franjas circulares fueron descubiertas por Newton y se denominan Anillos de Newton. Anillos de Newton Estas franjas circulares fueron descubiertas por Newton y se denominan Anillos de Newton. El efecto de interferencia se debe a la combinación del rayo 1, reflejado desde la placa plana, con el rayo 2, reflejado desde la superficie curva de la lente. Fig. 4 El rayo 1 experimenta un cambio de fase π al reflejarse, mientras que el rayo 2 no experimenta cambio de fase (porque se refleja desde un medio con un índice de refracción más bajo). En consecuencia, las condiciones para las interferencias constructiva y destructiva están dadas por las expresiones 12 y 13 respectivamente, con n = 1, porque la película es aire. 5 13-05-2014 Anillos de Newton Haciendo uso de la geometría se puede demostrar que: 1 m − λ R 2 Condiciones de máximos: r = Condiciones de mínimos: Fig. 5 r = λ mR Un uso importante de los Anillos de Newton, está en la prueba de lentes ópticos. Si son de buena calidad, es decir están esmeriladas y tienen una curvatura perfectamente simétrica , se observan anillos como los de la figura 5. De lo contrario se produce un patrón como el de la figura 6. Estas variaciones indican que las lentes deben volver a esmerilarse y repulirse para eliminar imperfecciones. Fig. 6 Aplicaciones *Láminas Se elige Con : anti- reflectantes o láminas de λ/4 n1 < n 2 < n 3 ∂ = ∂ = y n2 = n3 λ 4 λ0 4n2 (λ0 longitud de onda en el vacio) En la Figura 13 a, se presenta una capa anti-reflectante de Si O (n= 1,45), depositada sobre Silicio (n= 3,5), material que se utiliza para la fabricación de celdas solares y fotodiodos. La Figura 13 b, presenta el efecto que produce una capa anti-reflectante depositada sobre una lente. Por ejemplo MgF2 (n= 1,38) sobre vidrio Flint (n= 1,7). 6 13-05-2014 Aplicaciones Fig 13. Capa anti-reflectante a) de Oxido de Silicio sobre Silicio. b) La luz reflejada desde una lente cubierta por ella presenta un color violeta rojizo. Espejos Interferenciales El mejoramiento de la reflectividad se logra usando múltiples capas de índices de refracción, alternando valores altos y bajos. El grosor de la capa (ver figura 14) se controla de acuerdo a: n At A = n BtB = λ0 4 donde nA es el índice de refracción de la capa A y tA el espesor de la misma, nB es el índice de refracción de la capa B y tB el espesor de la misma. Los rayos reflejados parcialmente interfieren constructivamente, dando un coeficiente de reflexión muy alto. Este tipo de espejos se utiliza para construir los espejos del laser He – Ne, por ej. 13 capas de sulfito de Zn, (nA= 2,32) y fluoruro de Mg (nB=1,38) implica una reflectancia R~ 98,9% para λ = 633nm R: Coeficiente de reflexión Fig. 14. Esquema de espejos interferenciales 7 13-05-2014 Suma de fasores de onda Procedimiento grafico para adicionar varias longitudes de onda. Consideremos nuevamente una onda senoidal cuyo componente de campo eléctrico está dado por: E 1 = E 0 sen ω t Donde E0 es la amplitud de la onda y ω la frecuencia angular Esta onda se puede representar en forma gráfica mediante un fasor de magnitud E0 que gira alrededor del origen en sentido contrario a las agujas del reloj con una frecuencia angular ω. El fasor forma un ángulo ωt con el eje horizontal. La proyección del fasor en el eje vertical representa E1, la magnitud de la perturbación de la onda en algún tiempo t. Por lo tanto, cuando el fasor gira en círculos alrededor del origen, la proyección E1 oscila a lo largo del eje vertical. Figura 9 Suma de fasores de onda Consideremos ahora una segunda onda senoidal cuyo componente de campo eléctrico está dado por: E 2 = E 0 sen ( ω t + φ ) Esta onda tiene la misma amplitud y frecuencia que E1, pero su fase es ϕ con respecto a E1. El fasor que representa a E2 se muestra en la figura, gráficamente podemos obtener la onda resultante, que es la suma de E1 y E2. Figura 10 8 13-05-2014 Suma de fasores de onda Si volvemos a dibujar los fasores, como se ve en la figura, donde el origen del segundo fasor se coloca en el extremo del primero. Al igual que con la adición de vectores, el fasor resultante ER va del origen del primer al extremo del segundo. Además ER gira con los dos fasores individuales a la misma frecuencia angular ω. La proyección de ER a lo largo del eje vertical es igual a la suma de las proyecciones de los otros dos factores: EP = E1 + E2 Figura 11 Suma de fasores de onda Es práctico construir los fasores en t = 0, como en la figura 12. De la geometría de uno de los triángulos rectángulos vemos que: cos α = ER / 2 E0 ER = 2 E0 cosα Debido a que un ángulo exterior ɸ es igual a la suma de los interiores no adyacentes, vemos que: α = ɸ /2 ER = 2 E0 cos ɸ /2 Figura12 En consecuencia, la proyección del fasor ER a lo largo del eje vertical en cualquier tiempo t es E p = E R sen ( ω t + φ / 2 ) E p = 2 E 0 cos( φ / 2 ) sen ( ω t + φ / 2 ) I p ∝ E p2 I p ∝ 2 E 02 cos 2 (φ / 2 ) 9 13-05-2014 Diagrama de fasores para dos fuentes coherentes En la siguiente figura: La intensidad en un punto es máxima cuando ER es máximo. Esto ocurre cuando ɸ = 0, 2π , 4π ,… La intensidad de la luz en algún punto es cero cuando ER es cero, esto sucede cuando ɸ = π, 3π , 5π ,… Figura 13 Patrón de Interferencia de Tres Ranuras Utilizando diagrama de fasores, analicemos el patrón de interferencia causado por tres ranuras con igual separación. Las componentes del campo eléctrico en el punto P en la pantalla originado por las ondas de las ranuras individuales se pueden expresar como: E 1 = E 0 sen ( ω t ) E 2 = E 0 sen ( ω t + φ ) Donde φ es la diferencia de fase entre ondas provenientes de ranuras adyacentes. E 3 = E 0 sen ( ω t + 2 φ ) La figura 6 muestra el diagrama de fasores para tres ranuras con igual separación. Figura 14 10 13-05-2014 Patrón de Interferencia de Tres Ranuras En la figura 15 muestra el diagrama de fasores para tres ranuras igualmente espaciadas para varios valores de ɸ. Figura 15 Patrón de Interferencia de Tres Ranuras En la figura 16, muestra patrones de interferencia de ranuras múltiples. Cuando aumenta el número de ranuras N, los máximos primarios se vuelven más estrechos, pero permanecen fijos en posición y aumenta el número de máximos secundarios. Para cualquier valor de N, la disminución en intensidad en máximos a la izquierda y derecha del máximo central, se debe a patrones de difracción de las ranuras individuales. Figura 16 11