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4.- Interferencia en láminas delgadas. Suma de fasores de onda.
4.1a Interferencia en Láminas Delgadas
Los efectos de interferencia se observan por lo general en películas delgadas, por
ejemplo en capas finas de petróleo sobre agua, pompas de jabón, etc. (Ver figura 1).
Fig.2 Interferencia en láminas delgadas
Si n0 = 1 (aire)
∆a’b = (A B + B C)n - (A E + λ/2)
(1)
Una onda que se mueve de un medio de índice de refracción no, hacia un medio de
índice de refracción n, siendo n >n0, experimenta un cambio de fase π = 180° al
reflejarse y no experimenta cambio de fase si n < n0.
Una expresión muy útil para entender la presencia de λ/2 en 1.
𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑟𝑐ℎ𝑎
𝜆
=
𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒
2𝜋
𝛿
𝜆
=
, escrito de otra manera
∆𝜙
2𝜋
(2)
- Si diferencia de fase ∆ ϕ= π, de esta expresión obtendremos que la diferencia de
𝜆
marcha, 𝛿 = 2
- Por otro lado, la longitud de onda de la luz λn en un medio de índice de refracción n
es:
𝜆𝑛 =
𝜆
𝑛
(3)
donde λ es la longitud de onda de la luz en el vacío.
Fig. 3 Interferencia en láminas delgadas
De la Figura 3 vemos que:
𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 =
𝑡
(4)
cos 𝑖2
𝐴𝐸 = 𝐴𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝑖1
(5)
Por otro lado se tiene :
tan 𝑖2 =
𝐴𝐶
2
=> 𝐴𝐶 = 2𝑡 tan 𝑖2
𝑡
(6)
Introduciendo (6) en (5) se obtiene:
𝐴𝐸 = 2𝑡 tan 𝑖2 𝑠𝑒𝑛 𝑖1
(7)
Según la ley de Snell:
𝑛0 𝑠𝑒𝑛 𝑖1 = 𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑖2
, como 𝑛0 = 1, se tiene 𝑠𝑒𝑛 𝑖1 = 𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑖2
Introduciendo (8) en (7) se obtendrá:
𝐴𝐸 = 2𝑡 tan 𝑖2 𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑖2
𝐴𝐸 = 2𝑡𝑛
o lo que es lo mismo:
𝑠𝑒𝑛2 𝑖2
(9)
cos 𝑖2
Sustituyendo en (1) las expresiones (9) y (4) se obtiene:
∆𝑎′𝑏 =
2𝑡𝑛
cos 𝑖2
−
2𝑡𝑛 𝑠𝑒𝑛2 𝑖2
cos 𝑖2
−
𝜆
2
(8)
∆𝑎′𝑏 = 2𝑡𝑛
1− 𝑠𝑒𝑛2 𝑖2
cos 𝑖2
∆𝑎′𝑏 = 2𝑡𝑛 cos 𝑖2 −
−
𝜆
2
𝜆
(10)
2
Pero:
cos 𝑖2 = √1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑖2
∆𝑎′𝑏 = 2𝑡𝑛√1 −
𝑠𝑒𝑛2 𝑖1
𝑛2
y según (8) 𝑠𝑒𝑛 𝑖1 = 𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑖2 , por lo tanto :
−
𝜆
de donde:
2
∆𝑎′𝑏 = 2𝑡√𝑛2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑖1 −
𝜆
(11)
2
Aplicando las condiciones de máximos. obtenidas en el experimento de Young,
tenemos:
∆𝑎′𝑏 = 𝑚𝜆
(m = 0,1,2,3…..)
2𝑡√𝑛2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑖1 −
𝜆
2
= 𝑚𝜆
2𝑡√𝑛2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑖1 = 𝑚𝜆 +
(12)
𝜆
2
1
2𝑡√𝑛2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑖1 = (𝑚 + 2) 𝜆
(13)
En este caso se dirá produce interferencia constructiva.
Si la incidencia es normal, se tendrá de (13):
1
2𝑡𝑛 = (𝑚 + 2) 𝜆
(14)
La ecuación general para la interferencia destructiva será:
2𝑡𝑛 = 𝑚 𝜆
( 15)
¿Qué sucederá si la lámina se encuentra entre medios de distinto índice de refracción?
¿Tendrán los mínimos intensidad nula? Explicar.
4.1b. Anillos de Newton
Otro método para observar interferencia en ondas de luz consiste en colocar una lente
plano-convexa en la parte superior de una lámina plana de vidrio, como se indica en la
Figura 4a. Entre la lente y la parte superior de la lámina de vidrio se forma una capa de
aire de espesor variable, varía desde 0 hasta un espesor t en el punto P. Si el radio de
curvatura R de la lente es mucho mayor que la distancia r, y si el sistema se ve desde
arriba, se puede observar una red de anillos luminosos y oscuros, como se muestran en
la Figura 4b.
Fig. 4 a) Esquema experimental de Anillos de Newton b) Anillos de Newton.
Estas franjas circulares fueron descubiertas por Newton y se denominan Anillos de
Newton.
El efecto de interferencia se debe a la combinación del rayo 1, reflejado desde la placa
plana, con el rayo 2, reflejado desde la superficie curva de la lente. El rayo 1
experimenta un cambio de fase π al reflejarse, mientras que el rayo 2 no experimenta
cambio de fase (porque se refleja desde un medio con un índice de refracción más bajo).
En consecuencia, las condiciones para las interferencias constructiva y destructiva están
dadas por las expresiones 14 y 15 respectivamente, con n = 1, porque la película es
aire.
El punto de contacto en O es oscuro, porque no hay diferencia de trayectoria.
Haciendo uso de la geometría se puede demostrar que:
1
-
Condiciones de máximos 𝑟 = √(𝑚 − 2) 𝜆𝑅
-
Condiciones de mínimos 𝑟 = √𝑚𝜆𝑅
Un uso importante de los Anillos de Newton, está en la prueba de lentes ópticos. Si son
de buena calidad, es decir están esmerilados a una cierta curvatura perfectamente
simétrica, se observan anillos como los de la Figura 11b.
De lo contrario se produce un patrón como el de la Figura 5.
Fig 5. Anillos de Newton muestran imperfecciones en la lente.
Estas variaciones indican que las lentes deben volver a esmerilarse y repulirse para
eliminar imperfecciones.
4.2c. Aplicaciones
-
Láminas anti- reflectantes o láminas de λ/4
Se elige: 𝑛1 < 𝑛2 < 𝑛3
𝛿=
𝜆0
4𝑛2
𝑦
𝑛2 = √𝑛3
y𝛿=
𝜆
4
, se tiene:
(λ0 longitud de onda en el vacio)
En la Figura 6a, se presenta una capa anti-reflectante de SiO (n= 1,45), depositada sobre
Silicio (n= 3,5). Material que se utiliza para la fabricación de celdas solares y
fotodiodos. La Figura 6b, presenta el efecto que produce una capa anti-reflectante
depositada sobre una lente. Por ejemplo MgF2 (n= 1,38) sobre vidrio Flint (n= 1,7).
Fig 6. Capa antireflectante a) de Oxido de Silicio sobre Silicio. b) La luz reflejada
desde una lente cubierta por ella presenta un color violeta rojizo.
-
Espejos Interferenciales
El mejoramiento de la reflectividad se logra usando múltiples capas de índices de
refracción, alternando valores altos y bajos.(ver Figura 7)
El grosor se controla según nA tA = nB tB = λ0/4
Así todos los rayos reflejados parcialmente interfieren constructivamente, dando un
coeficiente de reflexión muy alto. Este tipo de espejos se utilizan para construir los
espejos del laser He – Ne, por ejemplo con 13 capas de sulfito de Zn, donde nA = 2,32, y
fluoruro de Mg con nB = 1,38 trae consigo una reflectancia R = 98,9% para
λ = 633 [nm]
Fig 7. Esquema de espejos interferenciales
- Filtros Interferenciales
La curva
𝐼𝑡
𝐼𝑖
vs ∆ λ para reflexiones múltiples puede considerarse como la
característica de transmisión de un filtro interferencial, pues la intensidad depende de
∆λ.
Estos filtros pueden transmitir con un δ λ = 100[nm]. La selectividad se logra variando
el índice de refracción (n). Ver Figura 8.
Fig. 8 Filtros interferenciales y sus curvas de transmisión.
4.2a Procedimiento gráfico para adicionar varias longitudes de onda.
Consideremos nuevamente una onda senoidal cuyo componente de campo eléctrico está
dado por:
E1 = E0 sen ωt
(1)
Donde E0 es la amplitud de la onda y ω la frecuencia angular.
Esta onda se puede representar en forma gráfica mediante un fasor de magnitud E0 que
gira alrededor del origen en sentido contrario a las agujas del reloj con una frecuencia
angular ω, como se muestra en la Figura 1.
Fig. 1 Representación fasorial de una onda
El fasor forma un ángulo ωt con el eje horizontal. La proyección del fasor en el eje
vertical representa E1, la magnitud de la perturbación de la onda en algún tiempo t. Por
lo tanto, cuando el fasor gira en círculos alrededor del origen, la proyección E1 oscila a
lo largo del eje vertical.
Consideremos ahora una segunda onda senoidal cuyo componente de campo eléctrico
está dado por:
E2 = E0sen (ωt +ϕ)
(2)
Esta onda tiene la misma amplitud y frecuencia que E1, pero su fase es ϕ con respecto a
E1. El fasor que representa a E2 se muestra en la Figura 2, gráficamente podemos
obtener la onda resultante, que es la suma de E1 y E2.
Fig 2. Diagrama de fasores para dos fuentes coherentes
Si volvemos a dibujar los fasores, como se ve en la Figura 3, donde el origen del
segundo fasor se coloca en el extremo del primero. Al igual que con la adición de
vectores, el fasor resultante ER va del origen del primero al extremo del segundo.
Además ER gira con los dos fasores individuales a la misma frecuencia angular ω. La
proyección de ER a lo largo del eje vertical es igual a la suma de las proyecciones de los
otros dos factores: EP = E1 + E2
Fig. 3 El fasor ER representa la combinación de las ondas en las figuras 1 y 2.
Fig. 4 La geometría muestra que
α = ϕ / 2.
Es práctico construir los fasores en t = 0, como en la Figura 4. De la geometría de uno
de los triángulos rectángulos vemos que:
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝐸𝑅
2
𝐸0
, de aquí
ER = 2 E0 cosα
(3)
Debido a que un ángulo exterior ϕ es igual a la suma de los interiores no adyacentes,
vemos que
ϕ
𝛼 = 2,
luego
ϕ
𝐸𝑅 = 2𝐸0 cos 2
(4)
En consecuencia, la proyección del fasor ER a lo largo del eje vertical en cualquier
tiempo t es:
𝐸𝑃 = 𝐸𝑅 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 +
𝜙
2
𝜙
) = 2𝐸0 cos 2 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 +
𝐼𝑃 = 𝐸𝑃2 ,
luego :
𝜙
2
)
𝐼𝑃 ∝ 𝑐𝑜𝑠 2
(5)
𝜙
2
4.2b. Diagrama de fasores para dos fuentes coherentes
Como ejemplo del método fasorial, se puede considerar el patrón de interferencia
producido por dos fuentes coherentes. La Figura 5, representa el diagrama de fasores
para varios valores de diferencia de fase y el valor correspondiente a la diferencia de
marcha o diferencia de camino óptico δ el cuál se obtiene de la ecuación:
𝜙=
2𝜋
2𝜋
𝛿=
𝑑 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝜆
𝜆
La intensidad de la luz en un punto es máxima cuando ER es máximo.
Esto ocurre cuando ϕ = 0, 2π , 4π ,…
La intensidad de la luz en algún punto es cero cuando ER es cero, esto sucede cuando
ϕ = π, 3π , 5π ,…
Fig 5. Diagrama de fasores para el patrón de interferencia dado por una doble ranura.
4.2c. Patrón de Interferencia de Tres Ranuras
Utilizando diagrama de fasores, analicemos el patrón de interferencia causado por tres
ranuras con igual separación. Las componentes del campo eléctrico en el punto P en la
pantalla originado por las ondas de las ranuras individuales se pueden expresar como:
E1 = E0 sen ωt
E2 = E0 sen (ωt + ϕ)
E3 = E0 sen (ωt + 2ϕ)
(6)
donde ϕ es la diferencia de fase entre ondas provenientes de ranuras adyacentes.
Fig 6. Diagrama de fasores para tres ranuras igualmente espaciadas para varios
valores de ϕ.
En la Figura 7 el fasor ER es la resultante de cuatro fasores de igual amplitud E0. La fase
de ER con respecto al primer fasor es α . La proyección EP sobre el eje vertical
representa la combinación de cuatro fasores.
Fig 7. El fasor ER es la resultante de cuatro fasores de igual amplitud E0
La Figura 8, muestra patrones de interferencia de ranuras múltiples. Cuando aumenta el
número de ranuras N, los máximos primarios se vuelven más estrechos, pero
permanecen fijos en posición y aumenta el número de máximos secundarios. Para
cualquier valor de N, la disminución en intensidad en máximos a la izquierda y derecha
del máximo central, se debe a patrones de difracción de las ranuras individuales.
Fig 8. Patrón de interferencia de ranuras múltiples.