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Ejercicios de Interferencia en láminas delgadas.
1.- Sobre una película delgada y transparente de índice de refracción
n2 y espesor uniforme
d, situada en un medio de índice de refracción n1, incide con un ángulo i un haz de ondas
planas con longitudes de onda . Encuentre:
a) La relación que deben guardar n2,, n1, d, e para que sobre la película aparezca un
máximo de interferencia.
b) La relación que deben guardar los parámetros anteriores para que sobre la película aparezca
un mínimo de interferencia.
Solución
2
1
B
n1
S1
A
E
d
n2
S2
D
n1
a) Supongamos que n2 > n1:
Al analizar la diferencia de camino óptico de los rayos 1 y 2 cuando interfieren en el punto E,
se debe tener en cuenta que ambos rayos recorren el mismo camino óptico hasta que llegan
a los puntos A y B, respectivamente. A partir de allí, el rayo 1 recorre AD y DE en el medio 2,
mientras que el rayo 2 recorre BE en el medio 1. Teniendo en cuenta el concepto de camino
óptico y que n2 > n1, al reflejarse el rayo 2 en el punto E, el campo eléctrico de este rayo
cambia su fase en 1800 lo que equivale a decir que el camino óptico varía
.
diferencia de camino óptico de ambos rayos al emerger en el punto E será:
= + − +
En la figura = =
(1)
(2)
= , = 2 . Luego:
= 2 (3)
Luego la
Sustituyendo (2) en (3), se tiene:
= 2
!"#
(4)
Introduciendo (2) y (4) en (1):
=
#$
−
#%
−
De acuerdo a la ley de Snell: = , luego:
=
#$
−
#$
−
#$
=
1 − −
.,
Sin embargo,
1 − = () , por lo tanto:
= 2 cos −
(5)
Pero:
cos = √1 − y =
#%
#$
(6)
Introduciendo (6) en (5), se tiene:
= 2 √1 − −
= 2 .1 −
= 2 / − −
#%$
#$$
−
(7)
Esta expresión representa la diferencia de camino óptico entre los rayos 1 y 2 en el punto E.
A partir de la ecuación (7) y recordando la condición de máximo de intensidad de
interferencia, para que aparezca un máximo de interferencia en la lámina se debe cumplir:
= 2 / − −
= 0 , de donde:
2 / − = 20 + 1
, para: 0 = 0, ±1. ±2 … … b) Para que aparezca un mínimo de interferencia sobre la película deberá cumplirse:
2 / − −
= 20 + 1
2 / − = 0 + 1
2.- Sobre la lámina de la figura
, de donde :
0 = 0, ±1. ±2 … … incide normalmente luz de 450 [nm]:
a) Determine el espesor t. Justifique el uso de la expresión que aplicará (para m = 1).
B
A
t
C
D
n =1,4
n =1,5
E
b) ¿Variará la situación si se cambia la segunda lámina por otra de índice de refracción n= 1,3?
Explique.
Solución
a) En este caso se produce un doble cambio de fase, por reflexión, en los puntos A y D por lo
tanto se compensan; luego las condiciones de máximo son:
24 = 0
→ 4=
6
#
=
78
,9
= 160,7[0]
b) Al cambiar la segunda lámina por otra de índice de refracción 1,3 la situación es otra, pues se
producirá un solo cambio de fase por reflexión igual a > (1800 ) en el punto A, luego la
condición de máximo de interferencia será :
24 = ?0 + @ .
3.- Sobre una cuña plana y muy delgada incide normalmente un tren de ondas luminosas
planas y monocromáticas de longitud de onda λ. Si la cuña tiene índice de refracción y se
encuentra en el aire, halle la posición sobre la cuña de las franjas brillantes de interferencia
que se forman.
Solución
Al igual que en el caso de las láminas delgadas de caras planas paralelas, la interferencia
ocurre debido a la superposición de las ondas reflejadas, en la cara superior de la cuña,
después de haber penetrado en ella y reflejarse en su cara inferior.
Como la cuña es delgada se puede suponer que los rayos inciden normalmente tanto en la cara
superior, como en la inferior ( = 0).
El medio que rodea la cuña es el aire ( = 1), luego n2 > n1. Por lo tanto se producirá un
desfasaje >, que implica una diferencia de camino óptico de
que se refleja en la cara superior de la cuña.
en el campo eléctrico del rayo
Utilizando:
= 2 / − −
=2 −
, además de la incidencia es normal, se obtiene:
(1)
A diferencia de lo que ocurre en láminas delgadas de caras planas paralelas, la superficie
superior no tendrá una iluminación uniforme.
Para hallar la posición de las franjas brillantes utilizamos la condición de máximo de
interferencia y se tendrá:
=2 −
=
%
$
?6A @
#
= 0 → 2 = ?0 + @ , de donde se obtiene:
0 = 0, ±1 ± 2 … … 4.- En la figura, se muestra una lente convergente y una lámina de caras planas paralelas.
Entre ambas se forma una cuña delgada de aire. Cuando se ilumina normalmente con luz de
longitud de onda λ, se observa en la luz reflejada un patrón de interferencia en forma de
anillos concéntricos en el punto de contacto. Halle el radio de los anillos brillantes que se
forman.
Solución
C
R
r
P
A
d
O
C es el centro de curvatura de la lente, R el radio de curvatura de la lente, el radio de los
anillos brillantes de interferencia, el espesor de la lámina de aire y = 1.
Los rayos inciden normalmente a la cuña de aire. El medio que rodea a la cuña es vidrio, por lo
tanto < y el campo eléctrico del rayo reflejado en la superficie inferior de la cuña se
desfasará en > (1800) y la diferencia de camino óptico será , luego:
= 2 −
(1)
De la figura se puede apreciar que:
DDDD
DDDD
C + DDDD
E = EC
+ F − 2F +
→
+ F − = F = F
(2)
Como la capa de aire es muy delgada, se puede considerar que
desprecia frente a . Luego:
=
$
H
Sustituyendo (3) en (1), se obtiene:
(3)
≪ , por lo tanto
se
=
$
H
−
(4)
Para hallar el radio de los anillos brillantes, se utiliza la condición de máximo de interferencia:
=
$
H
−
$
H
= 0 →
= ?0 + @ , luego:
= .?0 + @ F
0 = 0,1,2,3 … … Condiciones de mínimo:
=
$
H
−
= ?0 − @ →
= √0F
$
H
= 0 , luego:
0 = 0,1,2,3 … … 5.- Una onda plana de luz monocromática en el aire, llega en incidencia normal a una película
delgada de aceite que cubre una placa de cristal. La longitud de onda de la fuente se puede
variar continuamente. Se observa una interferencia destructiva en el haz reflejado para
longitudes de onda de 500[nm] y 700[nm], pero no se observa para ninguna otra longitud de
onda intermedia. Si el índice de refracción del aceite es 1,3 y el del cristal es 1,5.
a) Encuentre el espesor de la lámina de aceite.
b) ¿Qué sucedería si el índice de refracción del cristal varía de 1,5 a 1,7?
Solución
= 1.3
J = 1.5
Datos: = 0, = 1, = 1.3, J = 1.5
Tenemos:
< < J , luego:
= 2 / − Ya que = 0 y hay un doble cambio de fase por reflexión, se aplica la condición de mínimo de
Young.
Para 2 = ?0 + @ (1)
Para 2 = ?0 + @ (2)
Debido a que, entre y no se observa otro mínimo, se puede concluir que estos dos
mínimos son de órdenes consecutivos, luego 0 = 0 + 1, sustituyendo este valor en (2) se
obtiene:
2 = 0 +
J$
(3)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (1) y (3), se llega a:
2 =
% $
% L$
De aquí podemos deducir que > , es decir, = 700 [0] y = 500 [0] , por lo
tanto:
→
6.-
=
N ∙8
∙ ∙,J
≈ 692[0]
Sobre la cuña de la figura, de índice de refracción = 1.25, rodeada de aire
( = 1) incide luz blanca.
a) Calcule la longitud R del espectro de orden 3 sobre la cuña, si se sabe que la incidencia es
normal y el ángulo de la cuña es 10-4 [radianes].
b) Diga si hay un máximo o un mínimo de intensidad en la arista AA’ de la cuña.
Solución
θ
A’
A
L
d2 – d1
θ
d2
d1
θ
Datos. = 1, = 1,25, 4 400 T 700 [0], 0 = 3, = 0, U = 10L7[V ], R = ¿ ?
a) Para calcular R del espectro de tercer orden, tenemos que partir del hecho de que la luz blanca
corresponde al espectro continuo de 400 ≤ ≤ 700 [0]. Por lo tanto, debemos encontrar
en qué espesor de la lámina cae la franja brillante de tercer orden de la longitud de onda de
400 [nm] y dónde cae la correspondiente a 700 [nm]. Conociendo las posiciones de estas
franjas podremos, a través de relaciones trigonométricas, determinar la del espectro de tercer
orden sobre la lámina.
Sea = 400[0] y = 700[0]; el espesor de la lámina sobre la que cae la franja
brillante de tercer orden de λ y el espesor de la lámina sobre la que cae la franja
brillante de tercer orden de λ .
Luego:
2
+
%
= 3
→
=
7#$
2
+
$
= 3
→
=
7#$
8%
(1)
8$
(2)
De la figura:
U =
$ L %
\
→ R=
$ L %
!"#]
(3)
Si U es un ángulo pequeño e introduciendo (1) y (2) en (3) y sustituyendo lo parámetros por
los valores señalados, se obtiene:
→ R = 3 ∙ 10^ [0] = 3[00].
b) En la arista
= 0, se tiene:
2 +
=
=0 → =
Como
→ ∆a = >, es decir, se produce un mínimo.
7.- Si el radio de curvatura
de la superficie convexa de una lente plano-convexa, que se usa
para producir anillos de Newton, es de 5 [mm] ¿cuál será la relación entre los radios de los
anillos luminosos quinto y décimo para la luz roja del hidrógeno ( = 656 [nm]).
Solución
Datos: F = 5[m], = 656 [nm].
Se sabe que el radio de los anillos brillantes está dado por:
= .?0 + @ F
0 = 0,1,2,3 … . De aquí:
8 = .
H
Luego:
%
b
= √1,9
y
= .
H