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Física del estado sólido
Bandas de energía
Masa efectiva
En una estructura cristalina, los electrones que se mueven en ella están descritos por paquetes de ondas
de Bloch; por lo tanto, la velocidad de los electrones en un cristal está dada por la velocidad de grupo del
paquete [ecuación (a)]:
df (k)
vg = d~ = 1
,
' dk
dk
(a)
donde la energía f(k) depende del vector de onda k de la banda de energía a la cual pertenece. De acuerdo
con el principio de correspondencia, el electrón se mueve en el cristal según las ecuaciones semiclásicas
de movimiento. En presencia de un campo eléctrico externo E, en un tiempo dt el electrón con vector de
onda k en el cristal gana una energía adicional dε(k) en la dirección x, al incrementar su velocidad vg en una
distancia dx; en consecuencia, se tiene que [ecuación (b)]:
df (k) = Fdx = - eEdx = - eEvg dt .
(b)
Al reemplazar la ecuación (a) en la ecuación (b), se tiene la ecuación (c):
df (k)
df (k) = - eE
dt .
' dk
(c)
Pero
df (k) =
df (k)
dk .
dk
Por consiguiente, al comparar las dos ecuaciones se tiene que dk = - eE dt , de donde se obtiene la ecuación
'
de movimiento dada por la ecuación (d):
dp
' dk = - eE = F =
dt
dt (d)
La ecuación (d) muestra que –eE es el cambio de la cantidad de movimiento del cristal en el tiempo; por lo
tanto, por el principio de correspondencia, esta ecuación es análoga a la segunda ley de Newton, que muestra cómo la cantidad de movimiento del cristal para el electrón en presencia de un campo eléctrico externo
cambia de la misma forma en que lo hace la cantidad de movimiento de un electrón libre en el vacío.
Al derivar respecto al tiempo la ecuación (a) se obtiene la aceleración del paquete de ondas, dada por
la ecuación (e):
2
dvg d 2 ~ 1 d df (k)
c
m = 1 d f (2k) dk .
=
=
' dt dk
' dk
dt
dtdk
dt
(e)
Al reemplazar en la ecuación (e) la ecuación (d), se tiene la ecuación (f):
dvg
eE d 2 f (k) F c 1 d 2 f (k) m . dt = ' 2 dk 2 = ' 2 dk 2
(f)
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Física del estado sólido
De acuerdo con la segunda ley de Newton, el término en paréntesis es la ecuación (g):
1
1 d 2 f (k) ,
= 2
*
m
' dk 2
(g)
donde m* se conoce como la masa efectiva del electrón; por lo tanto, la energía del electrón en un cristal se
da como f (k) = (' 2 /2m *) k 2 , donde m* es la ecuación (g).
La ecuación (g) muestra la dependencia de la energía con k. Para electrones libres, la masa efectiva es
igual a la masa del electrón, pero en una red periódica m* puede tomar cualquier valor, incluso negativo, lo
cual ocurre habitualmente en la zona superior de las bandas.
Usando argumentos análogos, se le puede asignar al hueco una masa efectiva mh*= -me*. Como me* en
la parte superior de una banda parabólica, de acuerdo con la ecuación (g), es negativa, entonces la masa del
hueco mh* es habitualmente positiva. Es importante hacer notar que todo el efecto del potencial periódico
reside en sustituir la masa del electrón libre m por una masa efectiva m*.
Se puede generalizar la ecuación (g) para tener en cuenta la anisotropía de la superficie de energía,
reemplazándola por un tensor de masa efectiva dada por la ecuación (h):
2
c 1 * m = 12 d f (k) , m ij ' dki dk j
(h)
ecuación que da la curvatura de f(k).
El tensor de masa efectiva dado por la ecuación (h) tiene como propiedad importante que tanto m ij*
como su inverso _ m ij* i- 1 son simétricos, por lo que pueden ser transformados a ejes principales.
El caso más simple es cuando las tres masas efectivas en los ejes principales son iguales a m, caso en el
cual se tiene que la ecuación (h) se convierte en la ecuación (i):
m*
' 2 . d 2 E/dk 2
(i)
Esto se da en los mínimos o máximos de una banda parabólica, donde la dependencia de E y k se puede dar
por la ecuación (j):
2
E (k ) = E0 ! ' (k 2x + k 2y + k z2).
2m
(j)
En la vecindad de tales puntos críticos (alrededor de k = 0 ), en donde la m * es constante, se tiene utilidad
en muchos problemas, sobre todo en semiconductores. Esta situación particular se conoce como aproximación de masa efectiva. Cuando a lo largo de la banda se alejan los puntos del punto crítico, aparece una
dependencia de m * de k .
En las figuras 1a y 1b se muestran dos bandas de energía E (k) con fuerte curvatura (la 1a) y débil curvatura (la 1b) en su punto inferior y en su punto superior, respectivamente. Debajo de las curvas de E (k)
se muestran las masas efectivas correspondientes a cada figura; la masa efectiva de 1a es pequeña y la de
1b es grande en su punto inferior y en su punto superior, respectivamente. En la zona de Brillouin (parte
superior de la banda), donde la curvatura es negativa, la masa efectiva también es negativa. Acá se puede
ver claramente que el concepto de masa efectiva describe de manera conveniente los efectos del potencial
periódico y su dependencia de la masa m* en términos de k.
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Física del estado sólido
E(k)
π
- _
a
0
m*
E(k)
π
- _
a
π
_
a
0
m*
k
a
π
_
a
k
b
Figura 1. a. Curvatura fuerte de la banda de energía; b. Curvatura débil de la banda de energía.
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