Download física ii - Universidad Tecnológica del Perú

FÍSICA II
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ
Vicerrectorado de Investigación
FÍSICA II
TINS Básicos
INGENIERÍA INDUSTRIAL, INGENIERÍA DE SISTEMAS, INGENIERÍA
ELECTRÓNICA, INGENIERÍA MECATRÓNICA, INGENIERÍA DE
TELECOMUNICACIONES, INGENIERÍA AUTOMOTRIZ, INGENIERÍA
AERONÁUTICA, INGENIERÍA DE SOFTWARE, INGENIERÍA MARÍTIMA,
INGENIERÍA NAVAL
TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP
Lima - Perú
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FÍSICA II
© FÍSICA II
Desarrollo y Edición
: Vicerrectorado de Investigación
Elaboración del TINS
: •
Mg. Elías Catalán Sánchez
•
Ing. Agustín Gutiérrez Páucar
•
Ing. Miguel Orellana Ambrosio
Diseño y Diagramación : Julia Saldaña Balandra
Soporte académico
: Instituto de Investigación, Insituto de Física
Aplicada
Producción
: Imprenta Grupo IDAT
Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y
transformación de esta obra.
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FÍSICA II
“El presente material de lectura contiene una compilación de
artículos, de breves extractos de obras de Física II publicadas
lícitamente, acompañadas de resúmenes de los temas a cargo
del profesor; constituye un material auxiliar de enseñanza para
ser empleado en el desarrollo de las clases en nuestra
institución.
Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de
la Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines
didácticos en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Art. 43 inc.
A., del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor”.
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FÍSICA II
4
FÍSICA II
Presentación
A la par del conocimiento continuo de la naturaleza, por el hombre, desde la
antigüedad se van produciendo progresos notables, en el mundo de la Física. Área
del conocimiento que empezó con reflexiones filosóficas, seguramente en Grecia,
Egipto y la Mesopotamia, en Occidente; en Oriente, particularmente en la
milenaria China. Acunada en la filosofía, la ciencia en una peregrinación de
conocimientos entre las mentes más lúcidas de aquellas épocas fue cristalizando
áreas de conocimiento, acerca de la naturaleza. Seguramente los Presocráticos en
el proceso de estructuración de conocimientos fueron observando cuerpos,
fenómenos en tierra, también en el infinito, que hoy se nombran con palabras que
tienen sus raíces en el latín o en griego.
Después de Sócrates, la ciencia fue decantando lentamente, hasta hacerse patente
en los albores del Renacimiento, con Ptolomeo, Copérnico, con una mayor
evidencia con Galileo, en el siglo XVI también con Laplace y axiomatizándose con
Newton, en el siglo XVII, quien formuló las leyes clásicas de la dinámica y la ley
de la gravitación universal.
Un siglo después se plasma la Termodinámica, la Mecánica Probabilística, la Física
de los Fluidos y empieza a decantar la Electricidad y el Magnetismo en el siglo
XIX; concretándose con Maxwell en el siglo XIX; pero el mayor avance, se
produciría en el siglo XX con Einstein sobre la teoría de la Relatividad y sobre la
teoría cuántica con notables científicos como Planck, Bohr, Rutherford,
Heisenberg, Schrödinger y Dirac.
Se sumarían en el transcurso de los últimos años, del siglo acotado, nuevas teorías
como la Teoría Cuántica de Campos, la Teoría Electrodinámica Cuántica como
notable trabajo de Feynman, Schwinger, Tomonaga y Dyson, que sientan las bases
de la teoría de las partículas, que va fructificando nuevas teorías favorecidas por el
adelanto tecnológico de producción de aceleradores y colisionadores de altísima
potencia, como el bautizado con el nombre de Fermilab de 800GeV.
En este marco de ascenso de la ciencia y en el espacio de hipóteis y conjeturas del
origen del universo es un imperativo en la formación de profesionales capaces de
innovar la tecnología, el conocimiento de la Física en toda la extensión lograda;
fundamentalmente para comprender conceptos y no sólo para la aplicación de
fórmulas como sucede en abordajes mecanicistas.
Avanzando con la elaboración de Textos de Instrucción (TINS), el presente
volumen secuencial, corresponde a la Asignatura de Física II, para el tercer ciclo de
5
FÍSICA II
estudios, en el desarrollo de las Carreras de Ingeniería de: Sistemas, Industrial,
Electrónica, Mecatrónica y Telecomunicaciones.
Análogamente a los textos de Física General y Física I el presente volumen
condensa la preocupación institucional de innovación de la enseñanzaaprendizaje, de la ciencia, que en acelerada continuidad presenta nuevos alcances
teóricos y una variedad sustantiva de temas prácticos, en congruencia al avance de
la Ciencia Física.
Este volumen contiene temas, apropiadamente recopilados, de diversas fuentes
bibliográficas, de uso frecuente y actualizado en la enseñanza de la Física. Está
ordenado en función del syllabus de la Asignatura arriba mencionada; y es fruto de
la experiencia profesional y dedicación académica de los profesores: Mg. Elías
Catalán S., Ing. Agustín Gutiérrez P. e Ing. Miguel Orellana A.
La recopilación y composición, de temas pertinentes, consistentes y actualizados,
para estudiantes de Ingeniería, comprende un ordenamiento orientado a la
continuidad de abordaje didáctico de la Física, y presenta los siguientes temas:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Carga Eléctrica y Ley de Coulomb
Campo Eléctrico
Potencias Eléctrico
Leyes de Gauss
Condensadores
Electrodinámica
Campo Magnético
Ley de Henry – Faraday
Flujo Magnético
Al cierre de estas líneas, el reconocimiento Institucional, por el esfuerzo y trabajo
académico, a los profesores: Mg. Elías Catalán Sánchez, y los Ingenieros Agustín
Gutiérrez Páucar y Miguel Orellana Ambrosio que han permitido la elaboración
del presente texto en su primera edición.
Lucio H. Huamán Ureta
Vicerrectorado de Investigación
6
FÍSICA II
Índice
1. Carga eléctrica y ley de Coulomb ...............................................
1.1 Electromagnetismo ................................................................
1.2 Carga Eléctrica.......................................................................
1.3 Cuantización de la Carga Eléctrica.........................................
1.4 Ley de Coulomb ....................................................................
1.5 Principios de superposición...................................................
Problemas Resueltos ....................................................................
11
11
12
13
14
15
15
2. Campo Eléctrico ..........................................................................
2.1 Campo Eléctrico de cargas puntuales.....................................
2.2 Cascarón esférico con carga uniforme ...................................
Problemas resueltos .....................................................................
18
20
20
21
3. Potencial Eléctrico ......................................................................
3.1 El acelerador electrostático ....................................................
3.2 El genarador de Van de Graaff ...............................................
3.3 Potencial generado por una serie de cargas puntuales ...........
3.4 Energía Potencial Electrostática..............................................
3.5 Problemas resueltos...............................................................
3.6 Problemas de Electricidad y Magnetismo...............................
25
25
26
27
28
28
30
4. Leyes de Gaus..............................................................................
4.1 Flujo del campo eléctrico ......................................................
4.2 Flujo para una superficie cilíndrica colocada en un campo
uniforme................................................................................
4.3 Flujo para una superficie esférica con una carga puntual
en su interior .........................................................................
4.4 Deducción de la ley de Gaus a partir de la ley de Coulomb ..
4.5 Distribución esférica de carga................................................
4.6 Características importantes de la Ley de Gauss ......................
4.7 Preguntas sobre la Ley de Gauss............................................
40
40
5. Condensadores ............................................................................
5.1 Arreglos de condensadores....................................................
5.2 Dieléctricos ...........................................................................
7
41
42
43
44
45
47
50
51
53
FÍSICA II
5.3 Efecto del dieléctrico en un condensador ..............................
5.4 Problemas resueltos...............................................................
5.5 problemas propuestos............................................................
53
55
57
6. Electrodinámica...........................................................................
6.1 Corriente eléctrica ...............................................................
6.2 Resistencia eléctrica (R) .......................................................
6.3 Leyes de Paullet ..................................................................
6.4 Energía eléctrica (W) ...........................................................
6.5 Efecto de Joule ....................................................................
6.6 Fuentes de energía eléctrica ................................................
6.7 Circuito eléctrico.................................................................
6.8 Fuerza electromotriz (E).......................................................
6.9 Asociación de resistencias ...................................................
6.10 Asociación de Pilas .............................................................
6.11 Leyes de Kirchhoff...............................................................
6.12 Instrumentos eléctricos de medición ...................................
6.13 Asociación de elementos serie – paralelo ............................
Problemas resueltos .....................................................................
Problemas propuestos ..................................................................
59
59
61
61
62
63
63
64
64
65
66
67
69
70
82
115
7. Campo Magnetismo.....................................................................
7.1 La Intensidad del campo magnético ....................................
7.2 Movimiento de una carga en un campo magnético .............
7.3 Problemas ...........................................................................
7.4 Aplicaciones del movimiento de partículas cargas
en una campo magnético ....................................................
7.5 Placa metálica .....................................................................
7.6 La interacción magnética entre corrientes paralelas .............
7.7 Ley de Bio-Savart.................................................................
7.8 Campo magnético de un alambre recto y delgado
que lleva una corriente l y de longitud l ..............................
Problemas propuestos ..................................................................
127
127
130
131
8. Ley de Henry – Faraday ..............................................................
8.1 Introducción........................................................................
8.2 Ley de Henry – Faraday.......................................................
8.3 Ley de Lenz.........................................................................
8.4 Fuerza electromotriz de movimiento ...................................
8.5 Fuerzas electromotrices inducidas y campos eléctricos .......
8.6 Inductancia..........................................................................
149
149
151
153
157
163
167
8
134
136
139
140
141
146
FÍSICA II
8.7 Circuitos L R........................................................................
8.8 Energía magnética ...............................................................
Preguntas .....................................................................................
Problemas ....................................................................................
172
175
179
180
9. Flujo magnético...........................................................................
9.1 Ley de Gauss del magnetismo .............................................
9.2 Corriente de desplazamiento...............................................
9.3 Corrientes Parasitas .............................................................
9.4 Las ecuaciones de Maxwell .................................................
182
183
184
187
188
Bibliografía ........................................................................................
191
9
FÍSICA II
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
Existen algunas evidencias en documentos chinos de que el magnetismo ya
se conocía en el año 2000 a.c.
Muchos científicos e investigadores han contribuido al desarrollo de la
electricidad y el magnetismo. Entre ellos podemos citar a William Gilbert,
Charles Coulomb, Hans Oersted, Michael Faraday, James Clerk Maxwell,
etc.
Cuando encendemos o apagamos las luces en una habitación, o cuando
ingresamos una orden en nuestra PC a través del teclado, o cuando
hacemos uso del control remoto de un determinado equipo, lo que estamos
realizando indirectamente es controlar fuerzas eléctricas o magnéticas que
dirigen el flujo de energía o partículas. Estas fuerzas constituyen las bases
para el estudio del electromagnetismo.
Es importante que antes de abarcar los siguientes capítulos, nuestros
conocimientos sobre el álgebra vectorial sean afianzados, esto ayudará a
comprender mejor el comportamiento de las cargas eléctricas cuando se
asocien con otras de igual o diferente polaridad.
Este capítulo se inicia con un estudio del electromagnetismo, que
paulatinamente cubrirá el resto del libro. Las fuerzas electromagnéticas son
las causantes de la estructura de los átomos y la unión de estos en
moléculas y sólidos.
1.
CARGA ELÉCTRICA Y LEY DE COULOMB
En el presente capítulo haremos una breve exposición de la carga
eléctrica, algunas propiedades de los cuerpos cargados y la fuerza
eléctrica fundamental entre dos cuerpos con carga.
1.1
Electromagnetismo: (Introducción)
Fuerzas eléctricas o magnéticas controlan o dirigen el flujo de energía
o de partículas. Estas fuerzas constituyen las bases para el estudio del
electromagnetismo. Todos los efectos electromagnéticos pueden ser
explicados mediante las cuatro ecuaciones de Maxwell.
11
FÍSICA II
Primeramente analizaremos los fenómenos eléctricos y posteriormente
los magnéticos. Consecuentemente veremos que es imposible
separarlos: algunos fenómenos eléctricos producen efectos
magnéticos, y algunos fenómenos magnéticos producen efectos
eléctricos. Esto conlleva a unificarlos bajo el nombre de
electromagnetismo. El descubrimiento de las leyes que rigen el
electromagnetismo y su aplicación ha dado origen a muchos
descubrimientos: motores, aparatos de radio y TV, radar hornos de
microondas, teléfonos celulares, etc.
1.2
Carga Eléctrica:
Todos de alguna u otra forma hemos experimentado los fenómenos de
transferencia de carga eléctrica. Por ejemplo al peinarnos con un
peine de plástico, el peine ejerce una fuerza sobre el pelo atrayéndolo
y una vez que entra en contacto con él, dejan de ser atraídos.
Podemos concluir que: la atracción entre el peine y el cabello se debe
a que existe una transferencia de una entidad física desde el peine
hacia el cabello cuando se frotan; la misma entidad física vuelve a ser
transferida para que neutralice la atracción cuando entran en contacto.
La entidad física es conocida como carga eléctrica.
Existen dos tipos de carga eléctrica: Positiva y Negativa. Cuando un
objeto tiene un exceso de carga negativa diremos que se encuentra
cargado negativamente.
Cuando se frotan dos objetos, por ejemplo una varilla de vidrio con
un paño de seda, observamos que adquiere carga positiva y que se
atraen entre sí.
Figura a: Frotando una
varilla de vidrio con un
paño de seda.
Figura b: Varilla de
vidrio con exceso de
carga positiva
De otra forma, si frotamos una varilla de plástico con piel, observamos
que la varilla adquiere carga negativa. La piel presenta ahora un déficit
12
FÍSICA II
de electrones mientras que la varilla de plástico presenta un exceso de
carga negativa. En ambos casos, se han transferido un número
relativamente pequeño de electrones y alterado la neutralidad de los
objetos.
Figura c: Frotando una
varilla de PVC con un
paño de piel.
Figura d: Varilla de
PVC con exceso de
carga negativa
Podemos hacer unos experimentos que comprueben lo mencionado.
Sujetemos una varilla de vidrio a un hilo y sujeta en lo alto, frotemos
un extremo con un paño de seda y luego acerquemos otra varilla de
vidrio cargada en forma similar, encontraremos que las dos se repelen
entre sí. Pero si acercamos una varilla de plástico cargada (frotándola
con piel), las dos varillas se atraerán una a la otra. Este experimento
obedece a la siguiente regla: “Las cargas del mismo signo se repelen y
las de signo contrario se atraen”.La carga eléctrica neta de un objeto
se representa con el símbolo q. Ésta es una cantidad escalar. Puede ser
positiva o negativa.
La carga eléctrica se mide en Coulombs (C). Debido a que el Coulomb
es una unidad muy grande de carga; se requieren unos 6 x 1018
electrones para obtener un coulomb. Suele utilizarse el Microcoulomb
(μC) equivalente a 1 x 10-6 C ó el Nanocoulomb (ηC) equivalente a 1 x
10-9 C.
1.3
Cuantización de la Carga Eléctrica
Al transferir carga eléctrica de uno a otro objeto, la transferencia no
puede efectuarse en unidades arbitrariamente pequeñas. Por ejemplo
no podemos hablar de una fracción de carga eléctrica. Los
experimentos demuestran que la carga eléctrica siempre existe sólo en
cantidades que son múltiplos enteros de cierta magnitud elemental de
carga e- . Esto significa que: q = ± n edonde: n = 0, 1, 2, 3, …
Así podemos expresar e = 1.602 x 10-19 C (con cuatro cifras
significativas)
13
FÍSICA II
1.4
Ley de Coulomb
Una vez establecido la existencia de carga positiva y carga negativa y
que las cargas ejercen fuerza una sobre la otra. Ahora sólo nos queda
por entender la naturaleza de ésta fuerza.
Los primeros experimentos cuantitativos exitosos al respecto fueron
realizados por el ingeniero francés Charles Agustín Coulomb (1736 –
1806), quién midió las atracciones y repulsiones eléctricas
deduciendo la ley que las rige. Los experimentos de Coulomb y de sus
contemporáneos demostraron que la fuerza eléctrica ejercida por un
cuerpo cargado sobre otro depende directamente del producto
magnitudes e inversamente del cuadrado de su separación. Es decir:
r k .q1 .q 2 r
(Expresión vectorial)
F=
.r
2
r
Veamos un simple ejemplo: Dos cargas eléctricas puntuales se atraen
(o repelen) entre sí con una fuerza dada por q1 y q2 (valores de las
cargas involucradas). Algunas veces la constante física k (constante de
Coulomb), cuyo valor aproximado es 9.0 x 109 N.m2 / C2 es
reemplazada por el valor [1/ (4πεo)] donde εo es la permitividad del
vacío (εo = 8.85418781762x10-12 C2 / N.m2).
La magnitud r representa la distancia entre sus centros. La fórmula se
cumple exclusivamente con objetos cargados cuyo tamaño es mucho
menor que la distancia entre ellos.
F21
r
q2
+
+
r
F21
q2
F12
+
F12
q1
Figura: La fuerza F21 representa la fuerza
que ejerce la carga q1 sobre la carga q2; es
de igual magnitud pero de sentido opuesto
a la fuerza F21 que representa la fuerza que
ejerce la carga q2 sobre la carga q1.
14
–
q1
FÍSICA II
1.5
Principio de superposición
La fuerza que ejerce un sistema de cargas sobre una carga, ubicada en
el punto P, es igual a la suma (vectorial) de las fuerzas de cada una de
las cargas del sistema sobre la carga en P. Se puede expresar de la
siguiente forma:
μ̂ es el vector unitario en la dirección y
r N 1
qi q
F =∑
r
r 2 μˆ
i =1 4πε 0 ri − r
r r r
Δr = ri − r
F32
q1 +
Figura: La fuerza F3 sobre la
carga q3 es el vector
suma de las fuerzas
debidas a q1 y q2,
consideradas independientes
F3 = F31 + F32
F3
q3
+
q2 +
r
sentido del vector Δ r
F31
Lo mismo expresado de otra forma: En una distribución arbitraria de
cargas eléctricas. La fuerza que ejerce una carga sobre otra, no
depende de las fuerzas que ejercen las demás. En consecuencia, la
fuerza eléctrica total sobre una carga se determina al sumar
vectorialmente las fuerzas que existen entre dicha carga y cada una de
las otras cargas.
F3 = F31 + F32 (de acuerdo al gráfico mostrado en la figura arriba)
Donde
F3: Fuerza total sobre la carga q3
F31: fuerza en la carga q3 debido a la carga q1
F32: fuerza en la carga q3 debido a la carga q2
Problemas resueltos:
1.1) Una varilla de vidrio al ser frotada con un paño de seda pierde 4000
electrones, ¿cuál es la carga que adquiere?
Solución
La varilla adquiere carga positiva, en reemplazo de la carga negativa
perdida. Además toda carga es múltiplo de la carga del electrón:
15
FÍSICA II
q = + n eq = + (4000) x (1.609 x 10-19 C )
q = + 6.4 x 10-16 C
1.2) Dos cargas fijas de 1 μC y –2.9 μC, están separadas por una distancia
de 10 cm. Determine la fuerza que ejerce una carga sobre la otra.
r12
q2 = – 2.9 μC
q1 = 1.0μC
F12 = k .
F12
q1 .q 2
r122
F12 = 9 ⋅ 10 9 ⋅
1.0 x10 −6 x 2.9 x10 −6
0.10 2
F12 = 2.61N
1.3) En el esquema mostrado, halle la fuerza electrostática que ejerce la
carga de (–13μC) sobre la carga de (15 μC).
q1
– 13 μC
q1.q2
r2
N .m 2 15 x10 −6 Cx13x10 −6 C
F12 = 9 x109
x
C2
(14 x10 − 2 m) 2
F12 = 89.5 N
F12 = k .
12.12 cm
F12
7.0 cm
15 μC
q2
1.4) Se localizan tres cargas ubicadas en las esquinas de un triangulo
equilátero. Calcúlese la fuerza eléctrica neta sobre la carga de 7μC.
16
FÍSICA II
Y
Y
F21
7.0 μC
q2=7.0 μC
+
0.50 m
0.50 m
+
–
2.0 μC
– 4.0
X
+
F23
+
q1= 2.0 μC
μC
–
q3= – 4.0 μC
r
r
r
F2 = F21 + F23
F21 = k .
−6
q 2 .q1
x 2.0 x10 −6
9 7.0 x10
9
10
=
x
x
0.50 2
r122
F21 = 0.504 N
F23 = k .
−6
q 2 .q3
x 4.0 x10 −6
9 7.0 x10
=
9
x
10
x
r232
0.50 2
F23 = 1.008 N
Luego :
F22 = F212 + F232 + 2.F21 .F23 .Cos120°
F2 = 0.873N
1.5) Seleccione las afirmaciones como verdaderas (V) o falsas (F):
(a) Es posible descargar un electrón hasta que quede neutro.
(b) La carga de una partícula puede ser 5.5 x 10-19 C.
(c) La menor carga que conoce el hombre es ± 1.6 x 10-19 C .
Solución
I. Es imposible separar la carga del electrón para que quede neutro.
II. La carga de 5.5 x 10-19 C no es múltiplo de la del electrón, no esta
cuantizada; por lo tanto no existe.
III. La carga más pequeña que conoce el hombre es ± 1.6 x 10-19 C.
17
X
FÍSICA II
1.6)
Calcule la fuerza neta sobre la carga q3 debida a otras dos cargas
ubicadas colinealmente en el eje X, como se indica en la figura.
Considere las siguientes magnitudes de las cargas: q1 = – 4.2 μC,
q2 = + 1.3 μC y q3 = + 1.1 μC.
q1 = - 4.2 μC
2 cm
F32
1 cm
q2 = + 1.3 μC
F31
q3 = + 1.1 μC
q3
Dado que las cargas son colineales, la fuerza resultante estará en la
misma línea, por tanto podemos escribir:
q .q
q .q
F3 = k . 3 2 2 − k 3 2 1
r32
r31
Por tanto, la fuerza
F3 = 9 x10 9.
N .m 2
C2
⎡ 1.1x1.3
1.1x 4.2 ⎤
x⎢
−
x10 −12 C 2
2
2 ⎥
(0.02m) ⎦
⎣ (0.01m )
neta sobre q3 apunta
hacia le eje +X.
F3 = +25 N
1.7) En la figura se muestran dos cargas eléctricas ubicadas en los vértices
de un triángulo rectángulo. Calcule la fuerza electrostática sobre la
carga q2 = –2 μC que produce la carga q1 = 4 μC.
F21 =
q2 =–2 μC
k .q1 q 2
r12
F21
(9 x10 9 N .m 2 / C 2 ) x(4 x10 −6 C ) x(2 x10 −6 C )
F21 =
(0.1m) 2
q1 =4 μC
5 cm
30°
F21 = 7.2 N
2.
CAMPO ELÉCTRICO
En el párrafo anterior vimos cómo se emplea la Ley de Coulomb para
obtener la fuerza sobre una carga debido a su interacción con otras
cargas. Ahora debemos considerar los efectos de las cargas en función
de un concepto introducido por Michael Faraday: “El Campo
18
FÍSICA II
Eléctrico”. Definimos el campo Eléctrico ( E ) en cualquier punto en el
espacio como “la fuerza por unidad de carga que experimentará una
pequeña carga de prueba positiva en cierta posición del espacio”.
Obedece a la fórmula
E = F / q0
Debido también al principio de superposición, la expresión del campo
eléctrico en una posición del espacio creado por un sistema de
cargas de valor qi, i = 1, 2, …N y posición ri será:
μ̂ es el vector unitario en la
r N 1
qi
E=∑
r
r 2 μˆ
i =1 4πε 0 ri − r
dirección y sentido del vector
r r r r
Δ r ( Δr = ri − r )
La fuerza y el campo eléctrico son magnitudes vectoriales que
cumplen el principio de superposición. Por tanto se podrán sumar
como vectores.
El vector campo eléctrico apunta en el sentido de la fuerza sobre una
carga de prueba positiva. Las unidades de campo eléctrico
corresponden a Newtons por Coulumb, N/C.
Por tanto la magnitud del campo eléctrico equivale a
E=
F
q
= K. 2
q0
r
–
+
Figura: Campo eléctrico debido (a) una carga positiva, (b)
una carga negativa
19
FÍSICA II
2.1 Campo Eléctrico de cargas puntuales
Supongamos que una carga positiva de prueba qo se coloca a una
distancia r de una carga puntual q. La magnitud de la fuerza que opera
sobre qo está dada está dada por la Ley de Coulomb,
1 Q
.
4πε 0 r
Luego tenemos:
E =
F
1
q
=
. 2
qo
4πε 0 r
La dirección de E es la misma que F. Por tanto, el campo eléctrico
total se calcula como la suma de los n campos eléctricos, aplicando el
“Principio de Superposición”:
E = E1 + E2 + E3 + … +EN
2.2 Cascarón esférico con carga uniforme
Un cascarón esférico con carga uniforme: no ejerce fuerza alguna
sobre una carga de prueba en su interior, y en los puntos exteriores la
fuerza que ejerce es la misma como si toda la carga del cascarón se
concentrase en un punto de su centro. Aplicando ésta propiedad
podemos deducir el campo eléctrico debido a un cascarón delgado
cargado uniformemente.
Supongamos que el cascarón tiene un radio R y carga q, que por el
momento suponemos positiva. Tenemos los siguientes resultados del
campo eléctrico en varias distancias del centro del cascarón:
E=0
(r < R)
1
q
Er =
. 2 (r ≥R)
4πε 0 r
En la última ecuación el subíndice r nos indica que el campo apunta
en la dirección radial
20
FÍSICA II
Problemas resueltos:
2.1) Encuentre el campo eléctrico en el punto P de la figura, ubicado sobre
el eje “y” a 0.4 m sobre el origen, producido por las tres cargas
puntuales que se muestran. La carga q1 = 7 C se ubica en el origen
del sistema de coordenadas, la carga q2 = -5 C se ubica en el eje “x”
a 0.3 m del origen y la carga q3 = -3 C a la derecha del punto P y a
0.4 m sobre q2. Determine además la fuerza eléctrica ejercida sobre
una carga de 3x10-8C cuando se ubica en el punto P.
Solución:
Primero calculamos separadamente la magnitud del campo eléctrico
en P debido a la presencia de cada carga.
Llamemos E1 al campo eléctrico producido por q1, E2 al campo
eléctrico producido por q2 y E3 al campo eléctrico producido por q3.
Estos campos se representan en la figura y sus magnitudes son:
E1 = k .
−6
q1
9 7.0 x10
9
10
.
=
x
= 3.9 x10 5 N / C
r12
0.4 2
−6
q2
9 5.0 x10
E 2 = k . 2 = 9 x10 .
= 1.8 x10 5 N / C
2
r2
0.5
E3 = k .
−6
q3
9 3.0 x10
9
10
.
=
x
= 3.0 x10 5 N / C
r32
0.3 2
21
FÍSICA II
Los vectores E1, E2 y E3 conviene expresarlos usando vectores unitarios
i y j para luego efectuar analíticamente su suma:
r
E1 = E1 ˆj
r
E 2 = E 2. cosθiˆ − E 2.senθˆj
r
E 3 = E 3iˆ
El vector resultante E que buscamos es la suma vectorial de estos tres
vectores,
E = E1 + E2 + E3
5
E1 = 3.9 x 10 j (N/C)
E2 = ( 1.1 x 105 i – 1.4 x 105 j ) (N/C)
E3 = 3.0 x 105 i (N/C)
El campo eléctrico E resultante en P es entonces:
E = ( 4.1×105 i + 2.5 ×105 j ) N
C
-8
La fuerza eléctrica sobre una carga de 3x10 C cuando ésta se coloca
en el punto P se obtiene simplemente usando F = E x q, con
q=3x10-8 C.
F = (12.3 ×10−3 i + 7.5 ×10−3 j ) N
Esta fuerza tiene por supuesto la misma dirección que el campo
eléctrico E.
2.2) Las cargas de + 8 μC y + 24 μC se han colocado en los vértices de
un triángulo rectángulo, tal como se muestra en la figura. Halle la
magnitud del campo eléctrico en el vértice de 90°.
Solución:
Suponemos que hay una carga de prueba, positiva, en el vértice de
90°.
Q1 = +8 μC
20 cm
E32
3
E31
30 cm
22
q2 = +24 μC
FÍSICA II
E3 =
E32 =
E31 =
E 322 + E 312
k .q 2
9 x10 9 x 24 x10 −6
=
= 24 x10 5 N / C
−2
2
(0.30m)
9 x10
k .q1
9 x10 9 x8 x10 −6
=
= 18 x10 5 N / C
−2
2
(0.20m)
4 x10
Así:
E3 = 3.0 x 106 N/C
2.3) Halle el campo eléctrico en el punto “O” de la figura.
Dato: Cos 8° = 0.99
E01
r1
0
q1 = + 0.5 μC
E02
r2
8°
8°
q2 = – 0.5 μC
1.98 m
Solución:
E 01 = E 02 =
9 x10 9 x0.5 x10 −6
= 4.5 x10 3 N / C
(1m) 2
E 0 = E 012 + E 022 + 2.E 01 .E 02 .Cos (16°)
E 0 = 8.91x10 3 N / C
2.4) Dos cargas eléctricas de 3 μC y 8 μC están situadas sobre una
circunferencia de 5 m de diámetro, como se muestra en la figura.
Halle el valor del campo eléctrico en el punto P.
3 μC
E P1 =
EP2 =
9
9 x10 x3.0 x10
(3m) 2
−6
= 3000 N / C
P
9 x10 9 x8.0 x10 −6
= 4500 N / C
( 4 m) 2
E = 5408.33N / C
23
8 μC
FÍSICA II
2.5) Se muestran tres cargas positivas en los vértices de un triángulo
equilátero. Halle Q si se sabe que el campo resultante en el punto
medio de uno de sus lados tiene la dirección que se muestra en el
diagrama.
q2 = – 6 μC
E
53°
q1 = + 2 μC
Q
Solución:
Graficamos cada uno de los
campos eléctricos del sistema:
Cálculo de E2:
k .q 2
E2 =
(a. 3 ) 2
E2 =
9
9 x10 x6.0 x10
3.a 2
−6
=
18 x10
a2
E2
3
+ q1
Cálculo de E1:
k .q1
E1 =
(a) 2
E1 =
– q2
a√3
E3
E1
a
a
q3 = Q
9 x109 x 2.0 x10 −6 18 x103
=
a2
a2
E2
Cálculo de E3:
k .q 3
E3 =
(a) 2
E
9 x109 xQ 9 xQx103
E3 =
=
a2
a2
E3 – E1
24
53°
FÍSICA II
Luego tendremos que:
Tg 53° =
E2
1
=
( E3 − E1 ) Q
−1
2
Luego: Q = 3.51 Coulombs
3.
POTENCIAL ELÉCTRICO
3.1
El Acelerador Electrostático
Cuando se introduce un conductor cargado dentro de otro conductor
hueco y se ponen en contacto, toda la carga del primero pasa al
segundo, cualquiera que sea la carga inicial del conductor hueco.
Teóricamente, el proceso se podría repetir muchas veces, aumentando
la carga del conductor hueco indefinidamente. De hecho, existe un
límite debido a las dificultades de aislamiento de la carga. Cuando se
eleva el potencial, el aire que le rodea se hace conductor y se
empieza a perder carga.
Hilo
En la figura se muestra un aparato
electrostático que produce éste tipo de
diferencias de potencial. Una pequeña
Q
q
esfera conductora de radio a y con una
a
b
carga q se halla dentro de un cascarón
grande de radio b que contiene una carga
Q.
Entre
los
dos
conductores,
momentáneamen-te se establece una
aislante
trayectoria conductora; la carga q se mueve
por completo hacia el conductor externo,
sin importar la cantidad de carga Q que ya esté allí (porque la carga de
un conductor siempre se dirige hacia la superficie externa). Si se
cuenta con un mecanismo apropiado para reponer la carga q en la
esfera interna partiendo de un suministro externo. En teoría la carga Q
en la esfera exterior y su potencial pueden aumentar sin límite. En la
práctica, el potencial terminal se ve limitado por las chispas que se
producen en el aire.
25
FÍSICA II
3.2 El generador de Van de Graaff
Van de Graaff inventó el generador que lleva su nombre en 1931, con
el propósito de producir una diferencia de potencial muy alta (del
orden de 20 millones de voltios) para acelerar partículas cargadas que
se hacían chocar contra blancos fijos. Los resultados de las colisiones
nos informan de las características de los núcleos del material que
constituye el blanco.
El generador de Van de Graaff es un generador de corriente constante,
mientas que la batería es un generador de voltaje constante, lo que
cambia es la intensidad dependiendo que los aparatos que se
conectan.
Definición de Potencial Eléctrico:
Se define el potencial eléctrico en un punto arbitrario como: “el
trabajo requerido por unidad de carga para trasladar una carga de
prueba positiva desde el infinito hasta ese punto”.
En consecuencia “podemos considerar que todas las cargas se
encuentran en el infinito, y que no se requiere ningún trabajo para
mantenerlos allí”.
qo
Infinito
Trayectoria
qo
A
Figura: Potencial en el
punto A.
VA =
W∞→ A
qo
Donde:
W∞ → A : Trabajo realizado para transportar la carga qo desde el infinito
(∞) hasta el punto A.
26
FÍSICA II
qo : Carga transportada.
VA : Potencial eléctrico en el punto A.
La diferencia de la energía potencial ΔU = Uf – Ui = – Wif
Donde Wif es el trabajo efectuado por la fuerza F cuando el objeto se
mueve de la posición i hasta la posición f.
Imaginemos una carga fija q, en el origen de un sistema de
coordenadas. Tomemos otra carga qo, que llamaremos “carga de
prueba” y la transferimos desde la posición A hasta la posición B, bajo
la influencia de la fuerza debida a q. El cambio de energía potencial
ΔU de éste sistema de dos cargas está dado por:
ΔU = U b − U a =
⎡1 1⎤
1
q1 .q 2 .⎢ − ⎥
4.π .ε 0
⎣ rb ra ⎦
3.3 Potencial generado por una serie de cargas puntuales
Supongamos que tenemos un conjunto de N cargas puntuales: q1, q2,
q3, …qN, situadas en varios puntos fijos. Deseamos determinar el
potencial en un determinado punto P debido a ellas. El procedimiento
a seguir consiste en calcular el potencial en P producido por cada
carga, como si no existieran las otras, y luego sumar todos los
potenciales resultantes para obtener el potencial total. Es decir, aplicar
el “Principio de Superposición”, para obtener:
V = V1 + V2 + V3 + ... + V N
V =
1
4.πε o
.
q1
1 q2
1 q3
1 qN
. +
. + ... +
.
+
r1 4.πε o r2 4.πε o r3
4.πε o rN
Lo mismo puede escribirse en forma reducida como:
V =
1
4.πε o
27
qN
n =1 r
N
N
.∑
FÍSICA II
3.4
Energía Potencial Electrostática:
•
Si se tiene una carga puntual q1, el potencial a una distancia r12 de
la misma será:
V=
•
k .q1
r12
El trabajo necesario para trasladar una segunda carga puntual q2
desde el infinito hasta una distancia r12 es W2 = q2.V
q .q
W2 = q2 .V = k . 1 2
r12
•
Para transportar una tercera carga, debe realizarse trabajo contra
el campo eléctrico producido por ambas q1 y q2. El trabajo
necesario para transportar una tercera carga q3 desde una distancia
r13 de q1 y r23 de q2 es:
W3 =
k .q3 .q1 k .q3 .q2
+
r13
r23
En consecuencia, el trabajo requerido para reunir las tres cargas
será:
k .q1 .q 2 k .q1 .q3 k .q 2 .q3
W =
+
+
r12
r13
r23
3.5 Problemas resueltos:
1) Se desea situar una carga positiva q en cada uno de los vértices de un
cuadrado de lado a. ¿Cuál será el trabajo requerido?
A
A
B
a√2
D
a
a
C
D
28
B
a
a
C
FÍSICA II
Procedimiento:
Paulatinamente trasladamos, una por una, cargas q desde el ∞ hasta
cada vértice del cuadrado.
(a) Para trasladar la primera carga, desde el infinito (∞) hasta el vértice
A, no se requiere ningún trabajo, pues no hay carga cerca, las
cargas están aún en el infinito. Por tanto implica que el potencial
es cero.
VA = 0
WA = 0;
(b) Trabajo para trasladar la segunda carga al vértice B:
Ya existe una carga en el vértice A.
k .q 2
a
(c) Trabajo para trasladar la tercera carga al vértice C:
Ya existe una carga en el vértice A y otra en el vértice B.
WB =
k .q 2 k .q 2
+
a
a 2
(d) Trabajo para trasladar la cuarta carga al vértice D:
Ya existen una carga q en cada vértice A, B y C respectivamente.
WC =
k .q 2 k .q 2 k .q 2
+
+
a
a
a 2
(e) El trabajo total realizado será:
WT = WA + WB + WC + WD
WD =
⎡ k .q 2 ⎤ ⎡ k .q 2 k .q 2 ⎤ ⎡ k .q 2 k .q 2 k .q 2 ⎤
WT = 0 + ⎢
+
+
+
⎥
⎥+⎢
⎥+⎢
a ⎦ ⎣ a
a ⎦
a 2
⎣ a ⎦ ⎣a 2
⎡4 + 2 ⎤
WT = k .q 2 .⎢
⎥
⎣ a ⎦
2)
Determine el potencial eléctrico, en el punto (0, 31) cm, efectuado por
una carga puntual de 0.23 μC, ubicada en (19, 0).
Solución:
(0, 31)
r = 19 2 + 312
r = 36.36cm
r
Q = 0.23 μC
29
(19, 0)
FÍSICA II
k .Q
r
(9 x10 9 ) x(0.23 x10 −6 )
V=
(36.36 x10 −2 )
V = 5693voltios
V=
3)
A una distancia r de la carga q, el potencial eléctrico es V = 450 V y
la magnitud del campo eléctrico es E =150 N/C. Determine r y q.
Solución:
El potencial de la carga q esta dado por:
k .q
V=
……….. (1)
r
La intensidad de campo eléctrico de la carga q es:
k .q
E = 2 ……… (2)
r
Dividiendo Ec. (1) y (2):
V
=r
E
Luego :
450
r=
= 3m
150
Luego en la Ec. (1):
q=
E.r 2 150 x32
=
= 150C
k
9 x10 9
3.6
Problemas de Electricidad Y Magnetismo
1.
En la figura se muestran tres cargas puntuales idénticas, cada una de
masa m y carga q que cuelgan de tres cuerdas. Determine el valor de
q en términos de m, L y θ.
30
FÍSICA II
θ θ
L
g
L
+q
+q
m
m
Solución :
4
q = .L2 .m.g .Sen 2θ .Tgθ
5
+q
m
2.
Tres cargas puntuales se colocan sobre el eje X. Una carga de 12 μC
en X = –15.7 m, la segunda carga de 38 μC en X = 5.2 m y una
tercera carga de -3.0 μC en el origen. Calcule la fuerza neta sobre la
carga de –3.0 μC.
3.
Tres cargas puntuales, q1 = – 4 μC, q2 = 10 μC y q3 = 9 μC, se
colocan como se muestra en la figura. Determine la fuerza resultante
sobre la carga q1.
Y
q1
q3
q2
(0, 12) cm
(0, 0) cm
–X
(– 12, 0) cm
4. Tres cargas idénticas puntuales, cada una de magnitud q, se encuentran
en cada uno de los vértices de un triángulo isósceles con su altura
orientada verticalmente. La altura del triángulo es de 9.0 cm y su base es
de 24.0 cm.
(a) Si la fuerza eléctrica resultante ejercida sobre la carga localizada
en el vértice superior del triángulo tiene una magnitud de 0.5 N
con una dirección vertical con sentido hacia arriba; determine q.
(b) Si la carga del vértice inferior izquierdo se reemplaza con una
carga –q, determine la magnitud y dirección de la fuerza
resultante ejercida sobre la carga localizada en el vértice superior
del triángulo.
31
FÍSICA II
5.
¿Cuál es la fuerza eléctrica neta que actúa sobre la carga ubicada en el
vértice inferior izquierdo del rectángulo mostrado en la figura? Si
q = 5.0 μC, L = 26.0 cm y H = 11.0 cm.
Y
q
L
q
H
q
q
X
6.
Tres cargas puntuales están alineadas sobre el eje X. La carga
q1 = –6.0 μC está en X = 2.5 m, q2 = –4.0 μC está en X = –2.6 m.
¿Dónde debe colocarse la tercera carga q para que la fuerza neta sobre
ésta sea cero?
7.
La fuerza eléctrica que actúa sobre una carga puntual de –1.6 μC en
algún punto es 6.9 x 10-4 N en la dirección del eje Y positivo. ¿Cuál es
el valor del campo eléctrico en ese punto?
8.
Un cuerpo que tiene una carga neta de 52 μC se coloca en un campo
eléctrico uniforme de 980 N/C, el campo está dirigido verticalmente
hacia arriba. ¿Cuál es la masa del cuerpo si consideramos que está
flotando en el campo eléctrico?
9.
Una carga puntual de – 1.5 μC se localiza en el eje Y en Y = 3.0 m.
Determine el campo eléctrico.
(a) sobre el eje de las abscisas en X = 2.4 m.
(b) sobre el eje de las ordenadas en Y = – 1.5 m.
(c) en un punto con coordenadas X = 2.0 m, Y = 2.0 m.
10. (a) Calcule el campo eléctrico en el punto X = 1.0 m, debido a dos
cargas puntuales de igual magnitud 8.3 μC que están localizadas en
el eje Y en Y = 0.2 m y en Y = – 0.2 m.
(b) Determine la fuerza sobre otra tercera carga de – 5.4 μC, colocada
sobre el eje X en X = 1.0 m.
11. ¿Cuál es la magnitud y dirección del campo eléctrico en el centro del
rectángulo mostrado en la figura del problema 5? Suponga que
q = 7.8 μC, L = 27 cm y H = 19 cm.
32
FÍSICA II
12. Dos cargas puntuales q están en las esquinas de la base de un
triángulo equilátero de lado a como se muestra en la figura. ¿Cuál es
la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto P debido a
las dos cargas de la base del triángulo?
P
a
a
a
13. Cuatro cargas eléctricas se ubican en las
–q
esquinas de un cuadrado como se muestra
en la figura.
(a) Determine la magnitud y la dirección
+q
del campo eléctrico en la posición de
la carga +q.
(b) ¿Cuál es la fuerza eléctrica sobre ésta carga?
–q
a
–q
a
14. Dos cargas de 3.9 μC y – 1.5 μC están separadas por una distancia de
4.0 m. Encuentre el punto (a lo largo de la línea que atraviesa las
cargas) donde el campo eléctrico es nulo.
15. En la figura se muestran tres cargas puntuales idénticas, cada una de
masa m = 0.100 kg y carga q, colgadas de tres cuerdas. Si las
longitudes de las cuerdas izquierda y derecha son L = 30.0 cm y el
ángulo θ = 45º, determine el valor de q.
45°
45°
16. Se tienen dos cargas eléctricas q1 y q2 de acuerdo al esquema
mostrado. Calcule la fuerza electrostática que produce la carga q1
sobre la otra carga.
33
FÍSICA II
Datos: q1 = 4μC
, q2 = – 2μC
q2
5 cm
q1
8.66 cm
17. En un nubarrón es posible que haya una carga eléctrica de +40 C
cerca de la parte superior y – 40 C cerca de la parte inferior. Estas
cargas están separadas por aproximadamente 2 km. ¿Cuál es la fuerza
eléctrica entre ellas?
Sol.: 7,2 x 109 N
18. Un avión vuela a través de un nubarrón a una altura de 2000 m. Si
hay una concentración de carga de + 40 C a una altura de 3000 m
dentro de la nube y – 40 C a una altura de 1.000 m ¿Cuál es el campo
eléctrico en la aeronave?
Sol.: 90.000 N/C
19. Un objeto que tiene una carga neta de 24 μC se coloca en un campo
eléctrico uniforme de 610 N/C dirigido verticalmente. ¿Cuál es la
masa de este objeto si "flota" en el campo?
Sol.: 1,49 g
20. Tres cargas puntuales, q, 2q, y 3q, están colgadas sobre los vértices de
un triángulo equilátero. Determine la magnitud del campo eléctrico en
el centro geométrico del triángulo.
Sol.: 4,676 x 1010 q/d2 (d: distancia entre las cargas)
21. Una barra de 14 cm de largo está cargada uniformemente y tiene una
carga total de –22 μC. Determine la magnitud y dirección del campo
eléctrico a lo largo del eje de la barra en un punto a 36cm de su
centro.
Sol.: 1.586.367,28 N/C hacia la izquierda
22. Una barra aislante cargada de manera uniforme de 14cm de largo se
dobla en forma de semicírculo. Si la barra tiene una carga de –7.5 μC,
encuentre la magnitud y dirección del campo eléctrico en O, el centro
del semicírculo.
Sol. 6.891.428,57 N/C del centro del arco hacia adentro
34
FÍSICA II
23. Un electrón y un protón se ponen en reposo en un campo eléctrico de
520 N/C. Calcule la velocidad de cada partícula 48 ns (nanosegundo)
después de liberarlas.
Sol. Vp = 2.391,5 m/s, Ve = 4.389.715,67 m/s
24. Una carga –q1 se localiza en el origen y una carga –q2 se ubica a lo
largo del eje y. ¿En qué punto a lo largo del eje y el campo eléctrico
es cero?
Sol. A la mitad de la distancia entre las cargas
25. Dos pequeñas esferas están cargadas positivamente y la carga
combinada es 5 x 10-5 C. ¿Cómo está distribuida la carga total entre
las esferas, si la fuerza repulsiva entre ellas es de 1 N cuando las
esferas están separadas 2 m?
Sol. 1,2 x10-5 C y 3,8 x 10-5 C
26. Un electrón, cuya rapidez inicial es de 3,24 x 105 m/s, se lanza en
dirección a un protón que está esencialmente en reposo. Si al
principio el electrón se encontraba a una gran distancia del protón, ¿a
qué distancia de éste su rapidez instantánea es igual al doble de su
valor inicial?
Sol. 1,6 x 10-9 m
27. En cada vértice de un cubo de lado a hay una carga q. Demostrar que
la magnitud de la fuerza resultante sobre cualquiera de las cargas es:
F = 0.262 . q2 / (εo a2)
28. ¿Cuál es la magnitud de una carga puntual que se escoge de tal forma
que el campo eléctrico a 5 cm de ella tenga una magnitud de 2 N/C?
Sol. 5,6 x 10-11 C
29. Un cuerpo que tiene una carga neta de 52 μC se coloca en un campo
eléctrico uniforme de 980 N/C, el campo está dirigido verticalmente
hacia arriba. ¿Cuál es la masa del cuerpo si consideramos que está
flotando en el campo eléctrico?
30. Una carga puntual de – 1.5 μC se localiza en el eje Y en Y = 3.0 m.
Determine el campo eléctrico.
(a) sobre el eje de las abscisas en X = 2.4 m.
(b) sobre el eje de las ordenadas en Y = - 1.5 m.
35
FÍSICA II
(c)
en un punto con coordenadas X = 2.0 m, Y = 2.0 m.
31. (a) Calcule el campo eléctrico en el punto X = 1.0 m, debido a dos
cargas puntuales de igual magnitud 8.3 μC que están localizadas en
el eje Y en Y = 0.2 m y en Y = -0.2 m.
(b) Determine la fuerza sobre otra tercera carga de – 5.4 μC, colocada
sobre el eje X en X = 1.0 m.
32. ¿Cuál es la magnitud y dirección del campo eléctrico en el centro del
rectángulo mostrado en la figura? Suponga que q = 7.8 μC, L = 27
cm y H = 19 cm.
33. Dos cargas de 3.9 μC y – 1.5 μC están separadas por una distancia de
4.0 m. Encuentre el punto (a lo largo de la línea que atraviesa las
cargas) donde el campo eléctrico es nulo.
34. Calcular la magnitud y la dirección de E en el punto P de la figura
adjunta.
Sol.:
E = q / (εo a2)
35. A una distancia r de una carga puntual q, el potencial eléctrico es
V=400 V y la magnitud del campo eléctrico es E=150 N/C.
Determine los valores de q y r?
Sol.:
r = 2,7 m, q = 0,12 x 10-6 C
36. ¿A que distancia desde una carga puntual de 8 μC el potencial
eléctrico es igual a 3,6 x 104 V?
Sol.: 2 m
37. Un conductor esférico tiene un radio de 14 cm y una carga de 26 μC.
Calcule el campo eléctrico y el potencial eléctrico a 20 cm del centro.
36
FÍSICA II
Sol.:
E = 5.844.673,05 N/C ; V = 1.168.934,61 V
38. En cierta región, el campo eléctrico E está dado por E=5000 î –300 ĵ
N/C. Encuentre la diferencia de potencial VB – VA, si A = (0,0,0) y B
= (0,0,5) m.
39. Un campo eléctrico uniforme de magnitud 603 V/m está dirigido en la
dirección positiva del eje X, como se ve en la figura. Las coordenadas
de los puntos son: A (– 0.2, – 0.3) m, B (0.4 , 0.5) m Calcule la
diferencia de potencial VB – VA utilizando la trayectoria AC y CB.
Y
E
C
B
X
A
40. En el problema anterior, calcule el cambio en potencial eléctrico al ir
del punto A al B a lo largo de la trayectoria remarcada AB. ¿Cuál de
los puntos se encuentra a mayor potencial?
B
A
41. Un pequeño objeto esférico porta una carga de 16 nC. ¿A qué
distancia de su centro el potencial es igual a:
(a) 150Voltios, 100 Voltios y 50 Voltios?
(b) La separación entre superficies equipotenciales ¿es proporcional al
cambio en V?
q
V1
V2
V3
r1
r2
r3
Líneas
equipotenciales
37
FÍSICA II
42. Dos cargas q1 = 3.0 μC y q2 = 5 μC se colocan sobre el eje X, q1 en
X = – 1.0 m y q2 en X = 3.0 m. Calcule el potencial eléctrico en el
punto (–1, 4) m.
43. Dos cargas puntuales se colocan como se muestra en la figura, donde
q1 = + 7.0 μC, q2 = – 4.0 μC, a = 0.40 m y b = 1.00 m. Calcule el
valor del potencial eléctrico en los puntos P1 y P2. ¿Cuál está a mayor
potencial?
Y
P1
b
a
b
q2
P2
X
q1
44. Obtenga una expresión para VA – VB de la configuración de cargas
mostrado en la figura adjunta.
a
+q
d
A
a
–q
B
45. Tres cargas puntuales se colocan en los vértices de un triángulo
isósceles, como se muestra en la figura. Calcule el potencial eléctrico
en el punto medio de la base, tomando q = 13.0 μC.
+ 2q
5 cm
5 cm
– 3q
P
2 cm
38
–q
FÍSICA II
46. Considere la configuración de cargas puntuales que se indica en
la figura. Calcule el potencial eléctrico neto en el punto P, use
q1 = – 9.0 μC, q2 = 18.0 μC, a = 0.38 m y b = 1.09 m.
q1
a
q1
P
q2
a
b
q2
b
47. Calcular el trabajo requerido para colocar cuatro cargas puntuales
(– q) en los vértices del cuadrado de lado “a”.
48. Describir una expresión para el trabajo realizado para formar la
configuración de cargas mostrada en la figura.
q
–q
a
2q
3q
b
49. Considere la configuración de 4 cargas puntuales mostrada en la
figura. ¿Cuánta energía debe utilizarse para enviar las dos cargas de
5 μC hasta el infinito?
11 μC
5 μC
3 cm
5 μC
9 μC
5 cm
50. Encontrar la expresión para el trabajo realizado para formar la
configuración mostrada. (Cubo de lado “a ”)
q
q
q
q
q
q
q
q
39
FÍSICA II
4.
LEY DE GAUSS
En física y en análisis matemático, la ley de Gauss relaciona el flujo
eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica
encerrada en esta superficie. De esta misma forma, también
relaciona la divergencia del campo eléctrico con la densidad de
carga.
4.1
Flujo del campo eléctrico
Figura (α)
El flujo (símbolo ) es una propiedad de cualquier campo vectorial
referida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta.
Para un campo eléctrico, el flujo (
) se mide por el número de
líneas de fuerza que atraviesan la superficie.
Para definir a
con precisión considérese la figura (α), que
muestra una superficie cerrada arbitraria dentro de un campo
eléctrico.
40
FÍSICA II
La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales
,
cada uno de los cuales es lo suficientemente pequeño como para
que pueda ser considerado plano. Estos elementos de área pueden
, cuya magnitud es la propia
ser representados como vectores
área, la dirección es normal a la superficie y el sentido hacia afuera.
En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de
campo eléctrico . Ya que los cuadrados son tan pequeños como se
quiera, puede considerarse constante en todos los puntos de un
cuadrado dado.
y
caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo entre sí
y la figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados.
El flujo, entonces, se define como sigue:
O sea:
4.2
Flujo para una superficie cilíndrica colocada en un campo uniforme
Supóngase una superficie cilíndrica colocada dentro de un campo
uniforme
tal como muestra la figura:
El flujo
puede escribirse como la suma de tres términos, (a) una
integral en la tapa izquierda del cilindro, (b) una integral en la
superficie cilíndrica y (c) una integral en la tapa derecha:
41
FÍSICA II
Para la tapa izquierda, el ángulo , para todos los puntos, es de
, tiene un valor constante y los vectores
son todos paralelos
Entonces:
siendo
derecha:
el área de la tapa. Análogamente, para la tapa
Finalmente, para la superficie cilíndrica:
Por consiguiente:
4.3
Flujo para una superficie esférica con una carga puntual en su
interior
Considérese una superficie esférica de radio r con una carga puntual
q en su centro tal como muestra la figura. El campo eléctrico
42
es
FÍSICA II
paralelo al vector superficie
, y el campo es constante en todos
los puntos de la superficie esférica.
En consecuencia:
4.4
Deducción de la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb
La ley de Gauss puede deducirse matemáticamente a través del uso
del concepto de ángulo sólido, que es un concepto muy similar a los
factores de vista conocidos en la transferencia de calor por radiación.
El ángulo sólido ΔΩ que es subtendido por ΔA sobre una superficie
esférica, se define como:
siendo r el radio de la esfera.
Como el área total de la esfera es 4πr2 el ángulo sólido para ‘’toda la
esfera’’ es:
la unidad de este ángulo es el estereorradián (sr)
Si el área ΔA no es perpendicular a las líneas que salen del origen
que subtiende a ΔΩ, se busca la proyección normal, que es:
Si se tiene una carga q rodeada por una superficie cualquiera, para
calcular el flujo que atraviesa esta superficie es necesario encontrar
para cada elemento de área de la superficie, para luego
sumarlos. Como la superficie que puede estar rodeando a la carga
puede ser tan compleja como quiera, es mejor encontrar una
relación sencilla para esta operación:
43
FÍSICA II
De esta manera ΔΩ es el mismo ángulo sólido subentendido por una
superficie esférica. Como se mostró un poco más arriba ΔΩ = 4π
para cualquier esfera, de cualquier radio. De esta forma al sumar
todos los flujos que atraviesan a la superficie queda:
que es la forma integral de la ley de Gauss. La ley de Coulomb
también puede deducirse a través de Ley de Gauss.
4.5
Distribución esférica de carga
Considérese una esfera uniformemente cargada de radio R. La carga
existente en el interior de una superficie esférica de radio r es una
parte de la carga total, que se calcula multiplicando la densidad de
carga por el volumen de la esfera de radio r:
44
FÍSICA II
Si Q es la carga de la esfera de radio R, entonces, se tiene:
Dividiendo miembro a miembro ambas expresiones y operando
apropiadamente:
Como se demostró en una sección anterior
teniendo en
cuenta que según la ley
de Gauss
y
, se obtiene:
Por lo tanto, para puntos interiores de la esfera:
Y para puntos exteriores:
En el caso de que la carga se distribuyera en la superficie de la
esfera, es decir, en el caso de que fuera conductora, para puntos
exteriores a la misma la intensidad del campo estaría dada por la
segunda expresión, pero para puntos interiores a la esfera, el valor
del campo sería nulo ya que la superficie gaussiana que se considera
no encerraría carga alguna.
4.6
Características importantes de la Ley de Gauss:
•
La ley de Gauss desempeña un papel importante dentro de la
electrostática y del electromagnetismo por dos razones básicas:
1. En primer lugar, porque permite calcular de forma simple el
campo eléctrico debido a una distribución de cargas cuando ésta
45
FÍSICA II
presenta buenas propiedades de simetría. En estos casos, suele
resultar mucho más simple usar la ley de Gauss que obtener E
por integración directa sobre la distribución de cargas, tal y como
se ha descrito en el tema anterior.
2. En segundo lugar, porque la ley de Gauss constituye una ley
básica, no sólo de la electrostática, sino del electromagnetismo
en general. De hecho, constituye una de las ecuaciones de
Maxwell (que son las ecuaciones que permiten describir todos
los fenómenos electromagnéticos).
•
Como veremos, la ley de Gauss es esencialmente una ecuación
matemática que relaciona el campo eléctrico sobre una superficie
cerrada con la carga eléctrica encerrada en su interior.
•
La ley de Gauss puede interpretarse cualitativamente de forma
simple usando el concepto de líneas de campo. Como se vio en
el tema anterior, el número de líneas de campo que parten de
una carga q es proporcional a dicha carga. De este modo, si una
superficie cerrada imaginaria encierra una carga en su interior, el
número total de líneas que pasan a través de ella debe ser
proporcional a la carga neta en su interior (ver Figura). Además,
como se puede apreciar en la figura, el número de líneas debe
ser independiente de la forma de la superficie que encierra a la
carga. Este es esencialmente, desde un punto de vista cualitativo,
el significado de la ley de Gauss: el número de líneas de campo
que atraviesan una cierta superficie cerrada es directamente
proporcional a la carga neta encerrada en su interior.
46
FÍSICA II
Preguntas sobre la Ley de Gauss
P1. Si el campo eléctrico en una región del espacio es cero, ¿puede usted
concluir que no hay cargas eléctricas en esa región?. Explique.
P2.
Si hay más líneas de campo eléctrico que salen de una superficie
gaussiana que las que entran, ¿qué puede usted concluir acerca de la
carga neta encerrada por la superficie?
P3. Un campo eléctrico uniforme existe en una región del espacio en la
cual no hay cargas. ¿Qué puede usted concluir acerca del flujo
eléctrico neto a través de una superficie gaussiana ubicada en esa
región del espacio?
P4. Si se conoce la carga total dentro de una superficie cerrada pero no se
especifica la distribución de carga, ¿con la ley de Gauss se puede
encontrar el campo eléctrico?. Explique.
P5. Explique por qué el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada
con una carga encerrada determinada es independiente del tamaño o
forma de la superficie.
P6. Considere el campo eléctrico debido a un plano infinito no conductor
que tiene una densidad de carga uniforme. Explique por qué el campo
eléctrico no depende de la distancia desde el plano en función del
espaciamiento de las líneas de campo eléctrico.
P7. Con la ley de Gauss explique por qué las líneas de campo eléctrico
deben empezar y terminar en cargas eléctricas.
P8. Una carga puntual se coloca en el centro de un cascarón esférico
metálico descargado aislado de la tierra. A medida que la carga
puntual se quita del centro, describa qué sucede con a) la carga
inducida total en el cascarón, b) la distribución de carga en la
superficie interior y exterior del cascarón.
P9. Explique por qué el exceso de carga en un conductor aislado debe
residir en su superficie, empleando la naturaleza repulsiva de la fuerza
entre cargas similares y la libertad de movimiento de la carga dentro
del conductor.
47
FÍSICA II
P10. Un cascarón esférico se pone en un campo eléctrico uniforme.
Determine el flujo eléctrico total a través del cascarón. (0)
P11. Un campo eléctrico de magnitud igual a 3.500 N/C se aplica a lo largo
del eje x. Calcule el flujo eléctrico a través de un plano rectangular de
0,35 m de ancho y 0,70 m de largo, si el plano a) es paralelo al plano
yz, b) es paralelo al plano xy, c) contiene al eje y su normal forma un
ángulo de 40º con el eje x.
P12. Un campo eléctrico uniforme ai + bj N/C intersecta a una superficie
de área A. ¿Cuál es el flujo a través de esta área si la superficie se
ubica a) en el plano yz, b) en el plano xz, c) en el plano xy? (aA;bA;0)
P13. Considere una caja triangular cerrada que descansa dentro de un
campo eléctrico horizontal de magnitud 78.000 N/C. Calcule el flujo
eléctrico a través de a) la superficie vertical, b) la superficie inclinada,
c) toda la superficie de la caja.
P14. Un cono de radio R en la base y altura h está sobre una mesa
horizontal, y un campo eléctrico uniforme horizontal E penetra el
cono. Determine el flujo eléctrico que entra al cono. (EhR)
P15. Un campo eléctrico de 20.000 N/C de magnitud y con dirección
perpendicular a la superficie de la Tierra existe un día en el que
amenaza una tormenta. Un auto que puede considerarse como un
rectángulo de 6 m por 3 m viaja a lo largo de un camino que tiene
una inclinación de 10º respecto del suelo. Determine el flujo total a
través de la base inferior del auto.
P16. Una pirámide con una base cuadrada de 6 m y altura de 4 m se coloca
en un campo eléctrico vertical de 52 /C. Calcule el flujo eléctrico total
a través de las cuatro superficies inclinadas de la pirámide. (1870
Nm2/C)
P17. a) Una carga puntual q se localiza a una distancia d de un plano
infinito. Determine el flujo eléctrico a través del plano debido a la
carga puntual, b) una carga puntual q se localiza a muy corta distancia
del centro de un cuadrado muy grande sobre la línea perpendicular al
cuadrado que pasa por su centro. Determine el flujo eléctrico
aproximado a través del cuadrado debido a la carga puntual, c)
48
FÍSICA II
explique por qué las respuestas anteriores son idénticas. (q/e 0, q/e 0,
el plano y el cuadrado son lo mismo para la carga)
P18. Una carga puntual Q se coloca en el centro de un cascarón esférico de
radio R. ¿Cuál es el flujo eléctrico total a través de a) la superficie del
cascarón, b) cualquier superficie hemisférica del cascarón, c) ¿los
resultados anteriores dependen del radio?, explique.
P19. Una carga puntual de 12 mC se coloca en el centro de un cascarón
esférico de 22 cm de radio. ¿Cuál es el flujo eléctrico total a través de
a) la superficie del cascarón, b) cualquier superficie hemisférica del
cascarón. (Q/e 0, Q/2e o)
P20. Una carga puntual Q se localiza en el centro de un cubo de lado L.
Otras seis cargas puntuales, cada una con una carga –q, están
colocadas simétricamente alrededor de Q, dentro del cubo. Determine
el flujo eléctrico a través de una cara del cubo.
P21. Considere un delgado cascarón esférico de 14 cm de radio con una
carga total de 320 mC distribuida uniformemente sobre su superficie.
Encuentre el campo eléctrico a a) 10 cm, y b) a 20 cm del centro de la
distribución de la carga. (0, 7,2x106 N/C dentro de ella)
P22. Un globo inflado en forma de una esfera de 12 cm de radio tiene una
carga de 7 mC distribuida uniformemente sobre su superficie. Calcule
la magnitud del campo eléctrico a a) 10 cm, b) 12,5 cm, c) 30 cm del
centro del globo.
P23. Una esfera sólida de 40 cm de radio tiene una carga positiva total de
26 mC distribuida uniformemente por todo su volumen. Calcule la
magnitud del campo eléctrico a a) 0 cm, b) 10 cm, c) 40 cm, d) 60 cm
del centro de la esfera. (0; 3,66x105; 1,46x106; 6,5x105 N/C)
P24. Considere una línea de carga infinitamente larga que tiene una carga
uniforme de densidad l. Determine el flujo eléctrico total a través de
un cilindro circular recto cerrado de longitud L y radio R que está
paralelo a la línea, si la distancia entre el eje del cilindro y la línea es
d. (Considere la situación con R < d y R > d)
49
FÍSICA II
5.
CONDENSADORES
Un condensador es un dispositivo capaz de almacenar carga eléctrica
y energía en un campo electrostático. Básicamente están formados por
dos conductores, de cualquier forma geométrica, situados uno frente
al otro, lo más cerca posible, sin tocarse.
Existe una relación de proporción entre el potencial creado entre los
dos “polos'' de un condensador y la carga almacenada.
Matemáticamente se puede expresar de una manera simple como:
Q=C.V
donde C es la constante de proporcionalidad, denominada
capacitancia o capacidad. La unidad de la capacidad es el faradio (F).
La capacitancia se puede definir como la razón entre la magnitud de
la carga en cualquiera de los dos conductores y la magnitud de la
diferencia de potencial entre ambos conductores:
Q
ΔV : diferencia de potencial entre
C=
ΔV
Terminales
Un faradio (F) es una unidad muy grande. (Al igual que el coulomb).
Por ello lo común es utilizar las unidades: microfaradios, nanofaradios
(kilopicofaradios) o picofaradios.
A
+
V
–
+Q
d
–Q
C=
Aε
d
Figura: Condensador de Placas Paralelas
Podemos definir entonces que, un Condensador es un elemento de
dos terminales, formado por dos placas conductoras paralelas
separadas por un material no conductor. La carga eléctrica se
almacena en las placas, como se muestra en la figura, el espacio entre
50
FÍSICA II
las placas se llena con un material dieléctrico. El valor de la
capacitancia es proporcional a la constante dieléctrica (ε) y al área
superficial (A) del material dieléctrico e inversamente proporcional a
su espesor (d).
Nota: El valor de la capacitancia, siempre es una cantidad positiva.
En la figura, al aplicar, al condensador un voltaje entre sus placas,
cada una de las placas se carga con + Q y – Q, del mismo valor.
+Q
+
–Q
Figura: El voltaje de la batería logra
transferir carga a cada una de las
placas, + Q en una y – Q en la otra.
Batería
–
Interruptor
5.1 Arreglos de Condensadores
5.1.1 Asociación en serie:
En condensadores conectados en serie, como se muestra en el gráfico
adjunto, la diferencia de potencial total (entre sus terminales extremos)
será la suma de las diferencias parciales de cada condensador, es
decir, VT = VC1 + VC2. No obstante, al encontrarse unidos en serie la
carga de los tres será igual, y además igual a QT (carga total). Así
tenemos que Q1 = Q2 = Q3 = QT y podemos escribir:
VT = VC1 + VC 2 + VC 3
QT Q1 Q2 Q3
=
+
+
CT C1 C 2 C 3
C1
1
1
1
1
=
+
+
CT C1 C 2 C 3
51
C2
C3
FÍSICA II
5.1.2 Asociación en Paralelo:
Si situamos cuatro condensadores asociándolos en paralelo, como se
puede ver en el segundo dibujo adjunto, tendremos que la diferencia
de potencial entre ellos deberá ser igual, y de igual forma igual a la
diferencia de potencial total, esto es: VT = V1 = V2 = V3 = V4. Esto es
así porque tenemos unidos los dos ``polos'' de los condensadores por
un conductor, y por tanto la caída de potencial entre los “polos”
opuestos tiene que ser la misma. A su vez, como cada condensador
almacenará una carga distinta, tendremos que para la asociación total
QT = Q1 + Q2 + Q3 + Q4
C1
C2
C3
C4
VT = V C 1 = V C 2 = V C 3 = V C 4
QT = Q1 + Q 2 + Q 3 + Q 4
C T .VT = C1 .V1 + C 2 .V 2 + C 3 .V3 + C 4 .V 4
C T = C1 + C 2 + C 3 + C 4
Si la distancia (d) entre las placas del capacitor es pequeña, en su
interior se establece un campo eléctrico uniforme.
d
C=
ε o .A
d
A : área de la placa conductora.
d : distancia entre las placas.
– V +
εo : permitividad del vacío
52
FÍSICA II
5.2 Dieléctricos
Un dieléctrico es un material no conductor, como el papel encerado,
el caucho, la madera, el vidrio. Cuando se inserta un dieléctrico entre
las placas de un condensador aumenta la capacitancia. Si el
dieléctrico llena por completo el espacio entre las placas, la
capacitancia aumenta en un factor adimensional k, conocida como
constante dieléctrica. La constante dieléctrica es una propiedad del
material y varía de uno a otro material.
A.ε
d
k .ε o . A
C=
d
C=
k : constante del dieléctrico.
A: área de la placa.
D: distancia entre placas.
5.3 Efecto del dieléctrico en un condensador
La mayor parte de los condensadores llevan entre sus láminas una
sustancia no conductora o dieléctrica. Un condensador típico está
formado por láminas metálicas enrolladas y entre las placas como
separador se pone papel impregnado en cera. El condensador
resultante se envuelve en una funda de plástico. Su capacidad es de
algunos microfaradios.
El condensador más primitivo es la botella de Leyden, construida
pegando una hoja metálica en las superficies interior y exterior de una
botella de vidrio.
Los condensadores electrolíticos utilizan como dieléctrico una capa
delgada de óxido no conductor entre una lámina metálica y una
disolución conductora. Los condensadores electrolíticos de
dimensiones relativamente pequeñas pueden tener una capacidad de
100 a 1000 mF.
La función de un dieléctrico sólido colocado entre las láminas es
triple:
•
Resuelve el problema mecánico de mantener dos grandes láminas
metálicas a distancia muy pequeña sin contacto alguno.
53
FÍSICA II
•
•
Consigue aumentar la diferencia de potencial máxima que el
condensador es capaz de resistir sin romperse (sin que salte una
chispa entre las placas).
La capacidad de un condensador de dimensiones dadas es varias
veces mayor con dieléctrico que separe sus láminas que si estas
estuviesen en el vacío.
Experimento: Sea un condensador plano-paralelo cuyas láminas
hemos cargado con cargas +Q y –Q, iguales y opuestas. Si entre las
placas se ha hecho el vacío y se mide una diferencia de potencial V0,
su capacidad será:
Si introducimos un dieléctrico se observa que la diferencia de
potencial disminuye hasta un valor V. La capacidad del condensador
con dieléctrico será:
donde k se denomina permitividad relativa o coeficiente dieléctrico
La energía del condensador con dieléctrico es
la energía de un condensador con dieléctrico disminuye respecto de la
del mismo condensador vacío.
La tabla adjunta muestra algunas constantes dieléctricas de materiales:
Material
k
Vacio
1.000
Baquelita
4.9
Vidrio de cuarzo
3.78
Papel
3.7
Poliestireno
3.56
Porcelana
6.00
Vidrio pirex
5.6
Aceite de silicio
2.5
Teflón
2.1
Agua
54
FÍSICA II
Tipos de condensadores
cond.
policarbonato cond. polipropileno
(MKP)
(MKC)
cond. poliéster
(MKT)
cond. poliestireno
5.4 Problemas resueltos:
5.4.1 Un capacitor de almacenamiento de un chip RAM (memoria de
acceso aleatorio) tiene una capacitancia 0.055 pF. Si lo cargamos a 5.1
voltios, ¿cuántos electrones de exceso hay en su placa negativa?
Solución:
Si la placa negativa transporta n electrones de exceso, transporta una
carga neta de magnitud q = n.e
q C.V (0.055 x10 −12 F ).(5.3V )
=
=
e
e
1.6 x10 −19 C
n = 1.8 x10 6 electrones.
n=
5.4.2 Encuentre la capacitancia equivalente de la combinación mostrada en
la figura adjunta, con C1 = 12.0 μF, C2 = 5.3 μF y C3 = 4.5 μF. (b)
Una diferencia de potencial de 12.5 voltios se aplica entre los
terminales de entrada. ¿Qué carga se tendrá en C1.
C1
C2
C1 + C2
C3
C3
55
Ceq
FÍSICA II
Ceq =
(C1 + C 2 ).C 3
(12.0 + 5.3).4.5.10 −12
=
= 3.57 μF
(C1 + C 2 ) + C 3 [(12.0 + 5.3) + 4.5].10 −6
Luego: Q1 = 31μC
5.4.3 Las placas de un capacitor de placas paralelas miden 2.0 cm por 3.0
cm y están separadas por un dieléctrico de papel de espesor 1.0 mm.
(a) determine la capacitancia.
Solución:
A = (2.0 x 10-2 m) x (3.0 x 10-2 m) = 6.0 x 10-4 m2
d = 1.0 x 10-3 m
C=
k .ε o A 3.7 x8.85 x10 −12 x6.0 x10 −4
=
= 19.6 x10 −12 F = 19.6 pF
d
1.0 x10 −3
5.4.4 En un condensador de placas paralelas se introduce hasta la mitad un
dieléctrico de poliestrireno. Determine la capacitancia del dispositivo.
A
C1
d
Luego: CT = C1 + C2
C1 = k1
C2 =
CT =
ε o .( A / 2)
d
ε o .( A / 2)
d
ε o .A
2.d
.(k1 + 1)
56
C2
FÍSICA II
5.5 Problemas propuestos
1.
2.
3.
4.
Un capacitor de placas paralelas tiene un área de placa de 12 cm2 y
una capacitancia de 7 pF. ¿Cuál es la separación entre las placas?
Sol.:
1,517 x 10-3 m
Un capacitor esférico esta compuesto por una bola conductora de 10
cm de radio que esta centrada en el interior de un cascarón esférico
conductor de 12 cm de radio interior. ¿Qué carga de capacitor se
requiere para alcanzar un potencial de 1000 V en la bola?
Sol.:
6,67 x 10-8 C
Un grupo de capacitores idénticos se conecta en serie y después en
paralelo. La capacitancia combinada en paralelo es 100 veces mayor
que la correspondiente a la conexión en serie. ¿Cuántos capacitores
están en el grupo?
Sol.:
10
Calcular la capacidad equivalente del sistema de la figura. Calcular la
carga y la diferencia de potencial entre las placas de cada
condensador. La energía electrostática del sistema. Dato: la diferencia
de potencial entre el extremo A y el extremo B es de 3000 V.
A
1uF
2uF
1/3uF
1uF
1uF
1uF
2uF
B
5.
6.
Se carga un capacitor de 100 pF hasta una diferencia de potencial de
50 V, y después se desconecta la batería. A continuación se le conecta
en paralelo otro capacitor (que inicialmente estaba descargado). Si la
diferencia de potencial disminuye hasta 35, ¿Cuál es la capacitancia
del segundo capacitor?
Sol.: 43 pF
Calcular la capacitancia de la Tierra, considerándola como un
conductor esférico de 6.400 Km de radio.
Sol.: 710 μF
57
FÍSICA II
7.
Demostrar que las placas de un capacitor de placas paralelas se atraen
con una fuerza dada por la expresión:
8.
Un material específico tiene una constante dieléctrica de 2,8 y una
intensidad dieléctrica de 18 x 106 V/m. Si este material se usa como
dieléctrico en un capacitor de placas paralelas, ¿Cuál debe ser el área
mínima de las placas del capacitor para tener una capacitancia de 7 x
10-2 μF de modo que el capacitor pueda soportar una diferencia de
potencial de 4.000 V?
Sol.:
0,63 m2.
Un capacitor de placas paralelas se llena con dos dieléctricos, tal
como se muestra en la figura adjunta. Demostrar que la capacitancia
equivalente está dada por:
9.
10. Un capacitor de placas paralelas se llena con dos dieléctricos, tal
como se muestra en la figura adjunta. Demostrar que la capacitancia
equivalente está dada por:
11. Una esfera metálica aislada de 10 cm de diámetro tiene un potencial
de 8.000 V. ¿Cuál es la densidad de energía en la superficie de las
esfera?
Sol.:
0,11 J/m3
12. Un capacitor esférico consta de dos esferas huecas concéntricas de
radios a y b, en donde a > b. Demostrar que su capacitancia es:
58
FÍSICA II
13. Supongamos ahora, dos condensadores idénticos que se conectan en
paralelo, cargándose a una diferencia de potencial de 100 V, después
de lo cual se aíslan de la batería. A continuación, se introduce en uno
de los condensadores un dieléctrico (k=3) que llena completamente
el espacio entre las placas. Calcular:
•
La carga de cada condensador antes y después de introducir el
dieléctrico.
•
La diferencia de potencial después de introducir el dieléctrico
La energía de cada condensador antes y después de introducir el
dieléctrico.
6
ELECTRODINÁMICA
CONCEPTO:
Es una parte de la electricidad que se encarga de estudiar las cargas
eléctricas en movimiento.
6.1
CORRIENTE ELECTRICA:
Es el movimiento o flujo de electrones libres a través de un
conductor, debido a la presencia de un campo eléctrico que a su
vez es originado por una diferencia de potencial.
La velocidad de los electrones dentro del conductor es realmente
pequeña (aproximadamente 3 metros / minuto), en cambio la
impulsión de los electrones se realiza a una gran velocidad, cercana
a la de la luz.
Existen dos tipos de corriente:
a) CORRIENTE CONTINUA.- Las cargas se desplazan siempre en un
mismo sentido, Ej.: en las pilas, en las baterías, etc.
59
FÍSICA II
b) CORRIENTE ALTERNA.- Las cargas se desplazan cambiando
periódicamente de sentido, ej.: La corriente que generalmente
usamos en casa.
SENTIDO DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA.- La corriente eléctrica
fluye en el conductor del polo negativo al positivo.
+
─
─
─
─
El movimiento de los electrones
libres, en promedio tiene
sentido contrario al del campo
eléctrico.
E
a) SENTIDO REAL.- La corriente fluye del polo negativo al positivo,
o sea las cargas (negativas) se mueven en sentido contrario al
campo eléctrico.
b) SENTIDO CONVENCIONAL.- La corriente fluye del polo
positivo al negativo, o sea, las cargas (positivas) se mueven en el
mismo sentido al campo eléctrico.
•
Solo imaginamos el movimiento de las cargas positivas.
+
─
+
60
+
+
FÍSICA II
6.1.1 INTENSIDAD DE CORRIENTE ELECTRICA (I).- Es una magnitud
escalar que indica la cantidad de carga que pasa a través de una
sección del conductor en la unidad de tiempo.
Unidad:
Coulomb
segundo
Amperio (A)
AT
I=
6.2
ΔQ
Δt
2.
+
+
+
RESISTENCIA ELÉCTRICA (R).
Es la medida de la oposición que presenta un cuerpo al paso de la
corriente eléctrica a través de él. Se representa mediante un
segmento de línea recta quebrada.
[ R ] = ohmio (Ω)
Unidad:
6.3
1.
Δa
E
LEYES DE PAULLET
La resistencia eléctrica ofrecida por un conductor es directamente
proporcional a su longitud.
R∝ L
La resistencia eléctrica ofrecida por un conductor es inversamente
proporcional al área de la sección transversal de dicho conductor.
R∝
1
A
R=
ρL
A
L
ρ (resistividad): depende del material
61
A
FÍSICA II
*
El mejor conductor de la electricidad es la plata, siguiéndole el
cobre, el aluminio y el hierro, en ese orden. Todos los materiales
conducen corriente eléctrica en cierta medida, y todos los
materiales tienen un valor de
“resistividad” que indica
exactamente la facilidad con que ese material habrá de conducir
una corriente eléctrica.
V1 V2 V3
=
=
= Cte
L1 L2 L3
V
V3
V2
R=
V
L
V1
i
i1
*
i2
i3
Existen algunos materiales que no obedece a la Ley de Ohm, a
estos se les llama materiales no óhmicos, en ellos “R” no es
constante; evidentemente en estos la gráficas (V – I) no era una
línea recta. En nuestro curso supondremos que todos los cuerpos
son óhmicos; a no ser que se diga lo contrario.
Especialmente se demuestra que la resistencia de un material varía
con la temperatura, así:
R f = Ro (1+ ∝ Δ T )
R f : Resistencia final
Ro : Resistencia inicial
∝ : Coeficiente de variación térmica de la resistencia
Δ T : Incremento de Temperatura ( T f − To )
6.4 ENERGÍA ELÉCTRICA (W)
Para que un circuito se encuentre en funcionamiento habrá que darle
energía, puesto que la energía no se crea ni se destruye. Así, un
generador le cede su energía química para la transformación a otra
clase energía. En los receptores que están en el circuito se producen
nuevas transformaciones de la energía eléctrica: si son lámparas se
62
FÍSICA II
transformará en energía luminosa y calórica, si son motores en energía
mecánica, si son aparatos radiotelefónicos en energía sonora, etc.
V
W = Vq
G
I
[ R ] = ohmio (Ω)
(W) = Joules
(V) = Volts
(I) = Amps
(R) = Ohmio
R
V2
También:
W = VIT = I RT =
R
Potencia Eléctrica: (P): Es la rapidez con la cual se realiza el trabajo
W
P=
T
V2
También:
P = VI = I 2 R =
(P) = Watts.
R
2
6.5 EFECTO DE JOULE
Toda corriente eléctrica que atraviesa una resistencia eléctrica origina
en ella un desprendimiento de calor que es directamente proporcional
a la resistencia y al cuadrado de la intensidad de corriente y al tiempo
que dura la corriente.
(Q ) = (CAL)
(W) = Joule
APLICACIONES DEL EFECTO JOULE: Todos los artefactos eléctricos
al estar en funcionamiento sufren un incremento de temperatura, es
más, esto se aprovecha en algunos de ellos tales como la plancha, la
cocina eléctrica, el soldador eléctrico, etc.
6.6 FUENTES DE ENERGIA ELECTRICA
Es aquel dispositivo capaz de transformar algún tipo de energía, en
energía eléctrica. Las seis fuentes básicas de energía que se pueden
63
FÍSICA II
utilizar son: frotamiento, presión, calor, luz, magnetismo y acción
química.
–
+
–
+
–
Pila
+
Batería
–
+
G
Generador
6.7 CIRCUITO ELÉCTRICO
Es el recorrido ó conjunto de recorridos cerrados que siguen las cargas
eléctricas formando una ó varias corrientes.
Los circuitos pueden estar constituidos por generadores, resistencias,
condensadores, bobinas, etc. El circuito más simple que puede existir
está formado por una fuente y una resistencia.
R
I
E
+
I=
E
R
6.8 FUERZA ELECTROMOTRIZ ( E )
Es la energía ó trabajo que se realiza para llevar la carga de un
potencial menor a otro mayor; se puede decir también que es la
fuerza motriz que hace mover a los electrones.
E
(Volts)
E=
w
q
R
W (Joule)
Q (coulomb)
•
En la figura la unidad de carga sale de la fuente (pila), alimentada
de una gran energía (E), luego empieza a moverse y al pasar por la
resistencia R, sufre un desgaste de energía de manera que para
recuperar nuevas energías, tendrá que pasar nuevamente por la
fuente.
64
FÍSICA II
6.9 ASOCIACIÓN DE RESISTENCIAS
a)
a
EN SERIE.- Las intensidades de corriente son iguales.
R1
R2
I1
I2
R3
b
R4
I3
≡
a
I4
Req
b
Ieq
REq = R1 + R2 + R3
IEq = I 1 = I2 = I3
VEq = V1 + V2 + V3
b) EN PARALELO.- La diferencia de potencial en cada una de las
resistencias es la misma.
a
IE
I1
R1
I2
R2
I3
b
R3
IEq = I 1 = I2 = I3
VEq = V1 + V2 + V3
1
1
1
1
= + +
RE R1 R2 R3
65
≡
a
Req
b
FÍSICA II
6.10 ASOCIACIÓN DE PILAS
a) EN SERIE: En este caso la resistencia total del acumulador
aumenta.
E
-
E
E
EE = E 1 + E2 + E3
b) EN PARALELO: La resistencia del acumulador disminuye.
E
E
E
E
≡
Las conexión de fuentes de voltaje en paralelo equivale a una sola
fuente:
EE = E 1 = E2 = E3
NUDO: Es todo punto de un circuito donde concurren 3 ó mas
conductores. Ej: los puntos A y B de la figura.
MALLA: Es todo circuito simple imaginario tomado de otro real. Por
ejemplo, en la figura hay dos mallas.
66
FÍSICA II
V2
+
+
R2
R3
I1
I2
R4
+
V1
R1
V3
6.11 LEYES DE KIRCHOFF
PRIMERA LEY (Conservación de la carga): “La suma de las corrientes
que llegan a un nudo es igual a la suma de corrientes que salen de
él”.
Este teorema proviene de la Ley de la Conservación de la Carga
Eléctrica y del hecho de que la carga eléctrica no se acumula en los
nudos.
I1
I1
I4
I3
I2
I3
I2
n
∑ Ii = 0
i =1
I1 + I2 + I3 = I4 + I5
I1 + I2 = I3
67
I5
FÍSICA II
SEGUNDA LEY (Conservación de la energía): “La suma algebraica de
las f.e.m. en una malla cualquiera es igual a la suma algebraica de los
productos IR de la misma malla”.
Este teorema es consecuencia de la conservación de la energía
n
∑Vi = 0
ó sea
i =1
∑ E = ∑ IR
PUENTE DE WHEATSTONE
B
I4
R3
Rx
A
I3
R
I2
C
I1
G
R1
R2
+
D
R1 R3 = R2 R x
RX =
R1 R3
R2
─
V
Un método preciso para medir resistencia es utilizando el puente de
Wheatstone.
La intención es calcular una resistencia desconocida ( Rx ) conociendo
además otras tres resistencias: R1,R2 y R3, de las cuales dos de ellas se
hacen variar (R1 y R2 ) hasta que el galvanómetro (sensible) marque
cero, en ese momento no pasará corriente por él, de manera que la
resistencia interna del galvanómetro se puede despreciar y :
68
FÍSICA II
Demostración:
Si la intensidad en el galvanómetro (G) es cero, entonces:
I3 = I4
y
I2 = I 1
También:
VAB = VAD
VBC = VDC
I3 R 3
I4 RX
I 3 R3
I 4 RX
= I2 R 2
=
= I1 R 4
I 2 R2
I1 R1
Teniendo en cuenta la igualdad de intensidades, quedará:
R3 R2
=
RX R1
RX =
de donde:
R1 R3
(demostrado)
R2
6.12 INSTRUMENTOS ELÉCTRICOS DE MEDICIÓN
1.
AMPERÍMETRO.- Sirve para medir la intensidad de corriente, el
instrumento más general en estos casos es el galvanómetro, pero el
mas utilizado es el amperímetro. Para medir la intensidad en una
resistencia, se conecta resistencia y amperímetro en serie, en el
interior del amperímetro existe resistencia, pero ella es pequeña.
I
I
A
69
FÍSICA II
2.
VOLTÍMETRO.- Sirve para medir la diferencia de potencial entre dos
puntos, para ello se conecta en paralelo con una resistencia, el
voltímetro contiene en su interior otra resistencia, ésta debe ser la
máxima posible, para que la corriente sea prácticamente la misma en
la resistencia que se desea medir.
A
B
R
V
6.13 ASOCIACIÓN DE ELEMENTOS SERIE - PARALELO
CONEXIÓN SERIE: Es cuando dos ó mas elementos están conectados uno
a continuación del otro. La característica predominante es que todos poseen
la misma corriente.
•
Por ejemplo: si conectamos 3 resistencias, una a continuación de otra,
por cada una de ellas circulará la misma corriente, provocando
tensiones que dependen del valor ohmio.
+ V1 R1
i
+
V
R2
+
V2
-
R3
- V3 +
Aplicando la Segunda Ley de Kirchhoff:
-V + V1 + V2 + V3 = 0
V = V 1 + V2 + V3
V = i (R1 ) + i( R2 ) + i ( R3 )
v
= Req = R1 +R2 + R3
i
70
FÍSICA II
donde Req es una resistencia que tiene las mismas características de
tensión y corriente que la asociación.
+
i
Req
v
Para el caso de N resistencias:
Req =
n
∑ Ri
i =1
La desventaja de esta conexión es la dependencia de funcionamiento,
ya que si un elemento deja de funcionar, la corriente se anula para
todos.
CONEXIÓN PARALELO.- Es cuando dos ó más elementos están conectados
entre dos conductores. La característica predominante es que comparten la
misma tensión.
+
i1
i2
i3
V
R1
R2
R3
•
Por ejemplo si se conectan 3 resistencias en paralelo, en todas ellas se
presentará la misma tensión, y la corriente circulante en función
inversa del valor óhmico.
De la Primera Ley de Kirchhoff:
V
V
V
i1 =
, i2 =
, i3 =
R1
R2
R3
71
FÍSICA II
i = i1 + i2 + i3 =
V
V
V
+
+
=V
R1
R2
R3
⎛1 1
1 ⎞
⎜⎜ + + ⎟⎟
⎝ R1 R2 R3 ⎠
V
1
=
= Req paralelo
i ⎛ 1
⎞
1
1
⎜ +
+ ⎟
⎜R R
R3 ⎟⎠
2
⎝
Donde Req es una resistencia que tiene las mismas características de
tensión y corriente que la conexión.
* Caso de n resistencias:
Req = n 1
1
∑
i =1 R i
⇒
La ventaja esencial es que el funcionamiento de un elemento es
indispensable de los otros ya que de todas maneras toma un potencial
fijo.
La desventaja es que a más elementos, la corriente acercándose a la
fuente empieza a crecer haciendo necesario proteger o
sobredimensionar con conductores que están mas cerca al punto de
suministro.
•
Caso de 2 resistencias paralelas:
Req
R1
R2
< >
Re q =
•
+
1
1
1
+
R1 R2
Caso de que R1 >> R2
=
R1 R2
PRODUCTO
=
R1 + R2
SUMA
Re q =
menor)
72
R1 R2
RR
≅ 1 2 ≅ R2 ( menor que la
R1 + R2
R1
FÍSICA II
El equivalente se aproxima al menor, en todo caso es menor que la
menor. Ejemplos:
20Ω
5Ω
Req
4Ω
(7 n )
7
7
7
7
7
Req
7/5
100
Req
10
9.01
CONEXIÓN SERIE PARALELO
Es una combinación sucesiva de elementos que agrupados entre sí por
partes, resultan conexiones que pertenecen a los casos anteriores.
10
R2 =10
6
R1 = 6
R4 = 3
R3 = 6
73
6x3 = 2
9
FÍSICA II
12
6
4Ω
6x12 = 4
18
CONEXIÓN Δ – Y
Esta conexión es la de 3 elementos que no están ni en serie, ni en paralelo,
por lo que para aplicar el equivalente hay que transformarlos de uno a otro
según convenga.
X
X
Ra
R1
R2
Rc
Y
Z
Y
Z
Rb
R3
Ra =
Donde:
R1 R2
R1 + R2 + R3
Ra =
Rc =
y
R2 R3
R1 + R2 + R3
R1 R3
R1 + R2 + R3
R1 = Ra + Rc +
Ra Rc
R2 = Ra + Rb +
Ra Rb
R3 = Rb + Rc +
Rb Rc
Rb
Rc
Ra
4…..
X
12
12
4
y
12
Z
74
4
FÍSICA II
•
A resistencias iguales le corresponden resistencias iguales divididas
entre 3.
Las resistencias de la Δ son mayores que la Y.
•
x
x
2
Ra
8
8
16
Rb
4
4
y
y
z
Rc
z
Rb = 2 + 4 +
4.2
= 8 = Ra
4
Rc = 4 + 4 +
Ejemplo:
R1 =
4. 4
= 16
2
x
2x4 2
= Ω
12
3
2
4
y
6
< >
R2 =
4x6
=2Ω
12
z
x
R1
R3 =
2 x6
=1Ω
12
R3
y
75
R2
z
FÍSICA II
Ejemplo: Calcular Req en la red:
2
a
p
a
P
1/2
4
2
4
q
4
2
R
<>
r
1
1
q
r
b
2
4
b
a
2.5
3
4.37Ω
<>
5
b
CONEXIÓN DE SERIES DE RESISTENCIAS
Se dan los casos de tener arreglos de muchos elementos en forma repentina,
por lo que se estudia un método aproximado para determinar el
equivalente.
a
1
1
1
1
1
1
1
1
1
b
Req
76
1
1
1
1
1
1
N
∞
FÍSICA II
Solución:
Consideramos una serie repetitiva y aproximamos el equivalente restante.
Ya que si
N→∞
⇒
N – 1 también → ∞
1
(N - 1) → ∞
Req
Si hacemos
Req = R
1
1
Req
1
Req
1
1
1/2
R
R+1
1
(R + 1)
3
1
1
⎛3
⎞ 1
⇒ R ⎜ + R ⎟ = (R + 1) ⇒ R + R 2 = R +
R= 2
3
2
2
2
⎝2
⎠ 2
+R
2
1
1
⎛3 1⎞
R 2 + ⎜ − ⎟ R − = 0 ⇒ R 2 + R − = 0 ⇒ 2R 2 + 2R − 1 = 0
2
2
⎝2 2⎠
R=
−2 ±
4 − 4 (2 )(− 1) − 2 ± 4 + 8 − 2 ± 12 − 2 ± 2 3
=
=
=
2 (2)
4
4
4
como R ≥ o ⇒ Req = R = - 0.5 + 0.86 = 0.36
77
0.5 (R + 1)
0.5 + R + 1
Req
FÍSICA II
Ejemplo: Calcular la potencia de las fuentes en la red:
6
+
1
1
I=6
6 E
6
6
─
1
Solución:
2
6
+
I=6
E
+
6
+
3
6
─
3
↑ 6
6 E
3
6
2
-
2
IE
+
6 E
-
iR =
IR
+
6E
↑ 6
2
6
9
= , de la Primera Ley:
4
2
3
−3
iE =
2
-
4
iE + 6 =
9
2
La fuente de corriente: PI = 6 x 6 = 36 watts
78
↑ 6
⇒
iE =
( -) ACTIVA
9
−6
2
3/4
FÍSICA II
La fuente de tensión: la corriente iE negativo quiere decir que mas bien la
corriente entra por el ( + )
3
PE = 6x
= 9 watts ( + ) PASIVO
2
La potencia en las resistencias
PR = 6 x i R = 6 x
9
2
= 27 watts ( + ) PASIVO
Ejemplo: Determinar la resistencia equivalente entre a – b de la red que se
muestra.
2
a
1
b
2
1
1
4
Solución:
Tomando una reducción Δ – Y
10 / 7
2
a
b
b
a
5
4
5/2
5
1
20
13
Y mediante reducciones serie – paralelo. Ra −b =
79
74
83
5
6
FÍSICA II
Ejemplo:
Calcular la resistencia equivalente entre 2 terminales cualesquiera en la red
siguiente:
2
2
2
(6)
6
1(2)
(6)
6
1(2
2
1(
2)
(6)
6
2
2
2
2
6
6
3
2
3
2
3
2
80
6
2
FÍSICA II
Solución:
Comenzando por el centro
2
2
(3)
(3)
2
2
2
(3)
2
2
2/3
2/3
2/3
2/3
2/3
2/3
4/3
2/3
2/3
2/3
2/3
2/3
4/3
2/3
2/3
⎛ 2 ⎞ ⎛ 4 ⎞ 20
Ω
R ( dos bornes ) = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ =
⎝3⎠ ⎝9⎠ 9
81
FÍSICA II
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 1.
a)
Para el circuito mostrado, encontrar el valor de K tal que la resistencia
de la combinación es un mínimo.
b)
Si un voltaje V es conectado a través de la combinación de resistores,
encuentre la condición para máxima potencia suministrada desde la
fuente a los resistores. Determine dicha potencia.
a
Ω
k
Ka Ω
Ka Ω
v
+
-
Solución:
a)
Req =
(ka )(ka ) + a = (ka )2 + a = ka + a = k 2 a + 2a
(k )(2)
ka + ka k 2(ka ) k
2 k
Para Re qmin
(
)
(2k )(2ak ) − 2 k 2 a + 2a = 0
aR
=0 ⇒
ak
(2k )2
( 2 )( a )( 2 k2 ) - ( 2 )( a )( k2 + 2 ) = 0
2 k2 - ( 2 + k 2 ) = 0
k2 = 2
k=± 2
⇒
⇒
k =+
2 k 2 - k2 - 2 = 0 ⇒
2 = ´1.4142
( 2 ) a + 2a = 2a + 2a =
Req =
2
2 2
2 2
4a
4a 2
=
=a 2
4
2 2
82
k2 - 2 = 0
⇒
FÍSICA II
b)
P=
V2
es un máximo cuando Req es un mínimo; k =
Re q
2
V2
P=
watts.
a 2
PROBLEMA 2.
Dos resistores, hechos de diferentes materiales tienen coeficientes de
resistencia de temperatura de α1 = 0.004º C −1 y α 2 = 0 .005º C −1 , son
conectados en paralelo y consumen igual potencia, a 10º C.
a)
¿Cuál es la relación de potencia consumida en las resistencias R 1 y R 2
b)
a 60ºC?
Encuentre la relación de las corrientes I1 / I 2 a 60ºC en los resistores.
Solución:
a)
R1
10º C consumen igual potencia:
P1 = P 2
R2
2
2
V
V
=
R1 R2
⇒
R1 = R 2
+
R01 (1 + α1 (10 )) = R02 (1 + α 2 (10))
ó
v
R01 1 + 10α 2
=
R02 1 + 10α1
Consecuentemente, la relación de potencia a 60º C es:
V2 /R
2
2
V /R1
=
R1
R (1 + 60 α 1 ) (1 + 10 α 2) (1 + 60 α 1)
= 01
=
R2
R 02(1 + 60 α 2 )
(1 + 10 α 1)(1 + 60α 2)
sustituyendo α1 ^ α ¨ 2 :
R1
= 0.963
R2
83
-
FÍSICA II
a)
Relación de corrientes I1 / I 2 a 60º C en los resistores
P2
I2 R
R1
I
R
1
= 0.963 =
= 22 2 ó 1 = 2 =
= 1.0384
R2
P1
I2
R1
0.963
I1 R 1
PROBLEMA 3.
a)
Reducir el circuito entre los terminales a y b, a un simple resistor.
b)
Una fuente de 200 volts es conectada a través del circuito mostrado.
Calcule el voltaje a través de la resistencia de 8Ω .
c)
Determine la potencia disipada en los resistores de 1 Ω y 8 Ω .
2Ω
a
1Ω
c
3Ω
d
6Ω
e 16Ω
b
6Ω
8Ω
Solución:
a)
1
1
1
1
3 + 2 +1
=
+ +
=
=1
Rcd
2
3
6
6
Rae = 1 Ω +1 Ω + 6 Ω = 8 Ω
⇒
Rcd = 1
Rae =
(8)(8)
8+8
=4Ω
Rab = 4 + 16 = 20 Ω .
b)
V
200
=
=10 A
Rab 20
Veb = Reb I = 16 x 10
Veb =
160 volts
Vae =. 200 -160 Vae = 40 volts
Vae = V 8Ω = V – Veb
Rab = 20 Ω.
I=
84
FÍSICA II
c)
P 8Ω = ( 5 ) 2
40
= 5A
8
( 8 ) = 200 w
I = 10 A
I 1 Ω = I - I 8 Ω = 10 – 5 = 5 A
I 8Ω =
V 8 Ω = 40 volts
P 1 Ω = ( 5 ) 2 ( 1 ) = 25 w
PROBLEMA 4.
a)
¿Cuál es la resistencia a través de los terminales ab del circuito
mostrado?.
b)
Calcule el voltaje a través de los terminales ac, si una batería de 36
volts es conectada a través de los terminales ab.
c)
Calcule la potencia disipada en el resistor de 9 Ω conectada a través
de ab y en el resistor de 9 Ω conectada a través de bc del circuito,
cuando una fuente de 36 volts es conectada a través de ab
9Ω
a
6Ω
c
6Ω
9Ω
9Ω
6Ω
b
Solución:
a)
La conexión delta de resistores se reduce a su equivalente estrella.
c
3Ω
a
a
c
6Ω
6Ω
3Ω
2Ω
2Ω
6Ω
b
b
⇒
2Ω
3Ω
R ab = 2 + 2 = 4 Ω
85
FÍSICA II
b)
Para este caso convertimos la estrella de 6 Ω a un equivalente delta.
18
c
a
9
+
36 v
-
18
9
9
18
36v
6Ω
I ab =
P ab =
36
= 6A
6
6Ω
b
b
c)
6Ω c
a
I ac =
36
= 3A
6+6
Vac = Iac Rac = 3 x 6 = 18V
V ab2
362
=
= 144 w
9
R ab
Vac = 18 volts
Vbc = 36 – 18 = 18 V
P bc =
Vbc2
182
=
= 36 w
Rbc
9
PROBLEMA 5.
Para el circuito mostrado, determine R tal que la potencia
terminales ab es máxima. También calcule la máxima potencia.
1Ω
+
12
a
R
R
R
R
b
86
R
R
entre los
FÍSICA II
Solución:
3/2
1Ω
1Ω
a
+
12
3
-
R
a
+
R
3
R
4
12
R
-
3
3
R
4
3
R
4
b
b
1
+
12
-
I=
12
A
1 + 0.5 R
1Ω
3R
4
a
I
+
12
3R
4
-
Y la potencia es P = I2 ( 0.5R )
b
P=
0.5R
144
( 0.5R)
(1 + 0.5R) 2
∂P
=0
∂R
así: 0.5( 1 + 0.5R )2 - 0.5R x 2 ( 1 + 0.5R )( 0.5)= 0
Para la máxima potencia:
ó
R=2Ω
12
= 6A y
así : I =
1 + 0.5 x 2
Pmax = 62 ( 0.5 x 2 ) = 36 watts
PROBLEMA 6.
Para el circuito mostrado determine:
a)
La corriente dibujada desde la batería de 15V.
b)
Calcule la potencia absorbida por la resistencia de 2 Ω
c)
¿Cuáles son las potencias absorbidas por todos los resistores?. Verificar
que la suma de estas potencias sea igual a la potencia de la batería.
87
FÍSICA II
d)
Si la resistencia de 3 Ω en el circuito es cortocircuitada, ¿qué potencia
entregará ahora la batería? También determinar el voltaje a través de la
resistencia 2 Ω.
¿Cuánta potencia entrega la batería si la resistencia de 6 Ω es puesta
en circuito abierto?
e)
I
1Ω
I2
I1
2Ω
+
6Ω
3Ω
15
4Ω
-
Solución:
1Ω
I
I1
+
15 V
3Ω
I
I2
I1
2Ω
+
15 V
6Ω
4Ω
-
1Ω
2Ω
(
I
+
15V
-
I
1Ω
1
5/2 Ω
+
15
-
6x 2 3
= Ω
6+2 2
I=
88
V 15
= = 6A
R 5
2
3x6
3+6
I2
6Ω
FÍSICA II
b)
división de corriente:
⎡ 2 ⎤
I 2 =⎢
⎥ (6 A)
⎣2 + 6⎦
en ( b )): I 2 =
3
= 1.5 A
2
P 2 Ω = I 22 ( 2) = ( 1.5 ) 2 ( 2 ) = 4.5 watts
c)
⎡ 6 ⎤
I 3Ω = ⎢
⎥ ( 4.5 ) = 3A
⎣ 6 + 3⎦
⎡ 6 ⎤
I1 = ⎢
⎥ 6 A = 4.5 A
⎣2 + 6⎦
⎡ 3 ⎤
I 6Ω = ⎢
⎥
⎣ 6 + 3⎦
( 4.5 ) = 1.5 A
I 2 Ω = I 4 Ω = 1.5 A ,
P = I2 R ,luego: P 1 Ω = ( 6 ) 2 ( 1 )= 36 w , P 2 Ω = ( 15 ) 2 ( 2 ) =4.5 w
P 3 Ω = ( 3 ) 2 ( 3 ) = 27 w , P 4 Ω = ( 15 ) 2 ( 4 ) = 9 w
P 6 Ω = (1.5) 2 6 = 13.5 w PTOTAL = 90 w
PBATERIA = (15) ( 6 ) = 90 w
d)
Cortocircuitando la resistencia de 3 Ω también cortocircuitamos la
resistencia de 6 Ω y también la combinación de 2Ω y 4 Ω. Entonces:
V 2 Ω = 0 V. La corriente es únicamente limitada por la resistencia de
1 Ω, luego: I =
Luego: PBATERIA
e)
15
= 15 A
1
= 15 x 15 = 225 w.
En este caso la resistencia equivalente
3(2 + 4 )
V 15
=
R=1+
=3Ω
así I =
=5A
3+ 2+ 4
R 3
PBATERIA = 15 x 5 = 75 w
89
FÍSICA II
PROBLEMA 7.
Se muestra un circuito resistivo.
a)
Determine la resistencia equivalente R.
b)
Calcule la corriente a través de la resistencia de 3 Ω y el voltaje a
través del resistor de 1 Ω, cuando se aplica una tensión directa de 120
V a través de los terminales del circuito.
c)
Verifique que el voltaje a través de los terminales ab es la suma de los
voltajes a través de los terminales ac y cb.
d)
Determine I4 . Calcular la potencia de pérdida en cada resistor.
Verifique que la suma de las potencias de pérdidas sea la misma que
la potencia entregada por la fuente. (Si los dos resultados no son
idénticos determinar el porcentaje de error )
I5
I6
2Ω
I
a
I2
I1
2Ω
6Ω
I3
R
1Ω
c
I4
3Ω
6Ω
b
Solución:
a)
I5
I6
2Ω
I
2x 2
= 1Ω
2+2
a
I2
I1
2Ω
6Ω
I3
1Ω
c
I1
b
90
I2
I4
6Ω
3Ω
I
6Ω
1Ω
3X6
3+6
= 2Ω
FÍSICA II
1Ω
I
1Ω
I
I2
I1
6Ω
1 + 2 = 3Ω
I
b)
c)
d)
6x3
= 2Ω
6+3
3Ω
120
= 40 A
3
⎛ 6 ⎞
I2 = ⎜
⎟ ( 40 ) = 26.67 A V 1 Ω = (26.67) ( 1 ) = 26.67 volts
⎝ 6 + 3⎠
⎛ 6 ⎞
I3 = ⎜
⎟ ( 26.67 ) = 17.77A
⎝ 6 + 3⎠
I=
⎛ 3 ⎞
I1 = ⎜
⎟ ( 40 ) = 40 – 26.67 = 13.33 A
⎝ 6 + 3⎠
Vab = I1 ( 6 ) = ( 13.33 ) ( 6 ) = 79.98
Vac = I2 ( 1 ) = (26.67 ) ( 1 ) = 26.67
Vcb = I2 ( 2 ) = I3 ( 3 ) = 17.77 x 3 = 53.31
Vac + Vcb = 26.67 + 53.31 = 79.98 volts = Vab
⎛ 3 ⎞
I4 = ⎜
⎟ (26.67 ) = 8.89 A
⎝3+6⎠
∑P
perd
I 5 = I6 =
1
1
I=
( 40 ) = 20 A
2
2
= ( 20 )2 ( 2 ) + ( 20 ) 2 ( 2 ) + ( 13.33 ) 2 6 + (26.67 ) 2 (1) +
(17.77 ) 2 ( 3 ) + ( 8.89 ) 2 ( 6) = 4798.93 w
Pentregada fuente = 120 x 40 = 4800
4800 − 4798.93
% ERROR =
x 100 = 0.022 %
4800
91
FÍSICA II
PROBLEMA 8.
En la figura mostrada se tiene una línea 3 φ de potencia. Las cargas en la
línea son como sigue:
P1 = 1.2 kw , P2 = 3.6 kw y P3 = 9.6 kw. Calcular las corrientes Ia, I b y In
Ia
+
+
I1
V 1 =120v
V3
+
P1
In
─
-
P3
I2
V 2 =120v
Ib
─
I3
P2
Solución:
I1=
P1 1.2 x 103
=
= 10 A ;
V1
120
I2=
P2 3.6 x 103
=
= 30 A ;
V21
120
P3 9.6 x 103
I3= =
= 40 A
V3
240
Ia = I1 + I3 = 10 + 40 = 50A ; In = I2 - I1 = 30 - 10 = 20A ;
Ib = I2 - I3 = 70A
PROBLEMA 9.
Una línea 3 φ dc alimenta a un banco resistivo de cargas mostrado en la
figura.
a)
Si el voltaje entre los terminales a y c es 240V, determine el voltaje
entre a y b.
b)
Si ahora los 240 volts son aplicados a través de las líneas ab, ¿cuál es
el voltaje a través de bc?
c)
En el circuito, con la línea a abierta, determinar la resistencia entre los
terminales bc.
92
FÍSICA II
+
V
1.8 Ω
a
Ia
+
I1
1.0 Ω
b
I2
10 Ω
V1
60 Ω
20 Ω
2.2 Ω
─ c
I3
Solución:
a
a)
10
+
240
-
1.8
a
1.8
─
6.67
+
Vab
b
2.2
c
─
60
b
20
2.2
Ia
1.8
I1
+
240
-
60
30
2.2
La resistencia equivalente R ac es:
( 10 + 20 ) 60
+ 2.2 R ac = 24 Ω
R ac = 1.8 +
10 + 20 + 60
240 240
⎡ 60 ⎤
=
Ia =
= 10 A
I1= ⎢
⎥ ( 10 ) = 6.67 A
R
24
⎣ 30 + 60 ⎦
V1 .8 Ω = 1.8 x 10 = 18 volts ,
V10 Ω = 10 x 6.67 = 66.7 v
Vab = 18 + 6.67 = 84.7
93
10
20
60
FÍSICA II
b)
La resistencia equivalente R
a
1.8
+
240
-
Ia
I2
10
60
- 1 +
b
-
─
Vcb
+
c
20
+
2.2
⎡ 80 x 10 ⎤
Rab = 1.8 + ⎢
⎥ +1
⎣ 10 + 80 ⎦
Rab = 11.689 Ω
240
240
= 20.53 A
=
R
11.689
10
x 20.53 = 2.28 A + Vcb - ( 1 )( 20.53 )- 20 ( 2.28 ) = 0
I2 =
80 +10
Ia =
Vcb = 20.53 + 20 ( 2.28 )
Vcb = 66.13 Vbc = - 66.13
c)
1.8
b
60
10
b
1
1
20
20
c
Rbc = 1.0 +
2.2
c
( 10 + 60 ) ( 20 )
+ 2.2 = 18.756 Ω
(10 + 60 ) + 20
94
2.2
70
FÍSICA II
PROBLEMA 10.
Para los resistores interconectados
mostrados, encuentre la resistencia
entre los terminales 1 y 3.
12Ω
8Ω
12Ω
12Ω
1
3
12Ω
12Ω
56Ω
3
Solución:
8
8
12
4
12
1
1
4
12
4
3
12
4
1
12
56
3
3
4
4
12
56
3
12
3
4
4
4
1
2
1
8
4
4
3
68
68
3
3
6
8
1
3
2
2
3
1
3
8
24
95
1
3
FÍSICA II
PROBLEMA 11.
Un circuito puente es mostrado en la figura, con las corrientes así marcadas,
escribir:
a)
Las leyes de corriente de Kirchhoff en los cuatro nodos
b)
Las leyes de voltaje de Kirchhoff alrededor de los lazos abda, bcdb y
adca.
c)
Para el circuito, considere el caso especial de el puente balanceado
(i5 = 0)
y R3 = 30 Ω determine R4
i ) Si R 1 = 10 Ω , R2 = 20 Ω
ii ) Si E = 45 V, calcule la corriente suministrada por la batería.
b
R1
i1
i2
i5
a
R2
i4
R5
i3
R3
c
R4
d
I = I bateria
E
Solución:
a)
nodo a : I = i1 + i3
nodo b : i1 = i2 + i5
nodo c : i2 = i 4 + I
nodo d : 0 = i3 + i 4 + i5
b)
lazo abda : i1 R1 + i5 R5 = i3 R3 lazo adca : i3 R3 - i4 R4 = E
lazo bcdb : i5 R5 = i2 R2 + i4 R4
c)
desde que i5 = 0
tenemos que: i1
=
i2 ∧ i3
= -
i4
i) También los nodos b y d están al mismo potencial, así:
i1 R 1 = i 3 R 3 ; i 2 R 2 = i 1 R 2 = - i 4 R 4 = i 3 R 4
iR
iR
i1 = 3 3
I1 = 3 4
R1
R2
96
FÍSICA II
⇒ i3
R3
R1
=
i3
R4
R
⇒ 1
R2
R2
=
RR
( 20 )( 30 )
R3
ó R4 = 2 3 =
= 60 Ω
R4
R1
( 10 )
ii ) La resistencia efectiva Re a través de la batería es. Re =
( 10 + 20 ) ( 30 + 60 )
E
45
=
= 22.5 Ω I BATERIA =
10 + 20 + 30 + 60
Re 22.5
I BATERIA = 2.0 Amps
= 2.0 A
PROBLEMA 12.
Encuentre la corriente y el voltaje en la resistencia de 2 Ω.
c
10Ω
10v
2Ω
3Ω
5Ω
A
a
5A
20v
Solución:
10Ω + 10V -
5Ω
+
25v
-
+
2Ω
+
3Ω
I2
-
I1
+
-
20v
-25 +15 I1 + 10 + 3( I1 - I2 ) = 0
-20 -3 ( I1 - I2 ) + 2 I2 = 0
-15 + 18 I1 -3 I2
-20 - 3 I1 + 5 I2
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
v2 Ω = I2 ( 2 Ω ) = 10 V
I2 = 5A
97
=0
=0
FÍSICA II
PROBLEMA 13.
Determine la corriente I.
2
6
I
10 V
I1
1
I2
3
I3
10Ω
20
Solución:
- 10 + 6 I1 + 1( I1 - I2 ) = 0 ………………. 7 I1 - I2 = 10
-1(I1 - I2 ) + 2 I2 + 3 ( I2 - I3 ) = 0 ……….. - I1 + 6 I2 - 3 I3 = 0
-3( I2 - I3 ) +10 I3 - 20 = 0 ……………….. - 3 I2 +13 I3 = 20
Resolviendo el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, tenemos:
I1 = 1.6 A
I2 = 1.17 A
I3 = 1.81 A
Por lo tanto_ I = 1.81 A
PROBLEMA 14.
a)
Determine la corriente suministrada por la batería de 100 V .
b)
¿Cuánta potencia es consumida en la resistencia central de 10 Ω.
10Ω
10Ω
50v
10Ω
10Ω
10Ω
10Ω
100v
98
50v
FÍSICA II
Solución:
a)
Con las corrientes marcadas, la corriente requerida es ( I1 + I2)
50v
I1
1
2
10Ω
+
10Ω
I3
-
+
10Ω
I2
+
10Ω
3
I 2 + I3
4
I1 + I2
I1 - I3
10Ω
10Ω
Del lazo 1241:
50v
-
100 v
10I1 - 10I2 +10I3 = 50 ..(ά )
Del lazo 2342: 10( I1 – I3 )-10 (I2 + I3 ) - 10 I3 = 50 …( β )
En el lazo 1431:
+10I2 + 10 ( I2 + I3 ) + 10 ( I1 + I2 ) = 100…(γ)
Resolviendo y ordenando las ecuaciones:
I1 = 6.25A, I2 = 1.25A , I3 = 0A
⇒ I1 +I2 = 7.5 Amp
b)
P = I 32 (10Ω)
Del gráfico que muestra cada una de las corrientes:
como I3 = 0 ⇒
P = 0
PROBLEMA 15.
Determine la corriente I suministrada por la batería al circuito resistivo
mostrado en la figura.
I
10Ω
10Ω
10v
30Ω
50Ω
50Ω
10Ω
99
FÍSICA II
Solución:
Aplicando las Leyes de Kirchhoff :
I = I1+ I2
1
10Ω
10Ω I1
2
I2
10v
I1 - I3
I3
+
30Ω
-
50Ω
50
10Ω
I1 + I3
3
Lazo 1231: 10 I1 + 30 I3 - 50 I2 = 0
I 1 + 3 I 3 - 5 I 2 = 0 (ά)
Lazo 2342:
+30 I3 +10 (I2 + I3 ) - 50 (I1 - I3 ) = 0
3 I3 - I2 + I3 - 5 I1 + 5 I3 = 0
- 5 I 1 + I2 + 9 I 3 = 0 ( β )
Lazo 1241: 10 I1 + 50 (I1 - I3 ) - 10 + 10 ( I1 + I2 ) = 0
I1 + 5 I1 - 5 I3 - 1 + I1 + I2 = 0
7 I1 + I 2 - 5 I3 = 1…(γ)
Resolviendo (ά) ^ ( β ) ^ (γ): I1 =
1
1
A, I2 =
A
5
10
I3 =
1
A
10
I= I1 + I2 =
100
1
1
3
+
=
= 0.3 A
5
10
10
FÍSICA II
PROBLEMA 16.
Halle la corriente a través del resistor de 2 Ω del circuito:
6Ω
+
20v
5Ω
4Ω
-
3Ω
+
2Ω
10v
Solución:
5Ω
6Ω
+
I
20V
4Ω
-
I
3Ω
+
10v
-
Malla 1: -20 + 6 I1
2Ω
I
4 ( I1 - I 2 ) = 0
10 I1 - 4 I 2 = 20 …(ά)
+
Malla 2: 5I 2 + 3 ( I2 - I3 ) - 4 ( I1 - I2 ) = 0
- 4 I1 + 12 I2 - 3 I3 = 0 …( β )
Malla 3:
-10 - 3( I2 - I3 ) + 2 I3 = 0
- 3 I2 + 5 I3 = 10 …(γ)
Resolviendo (ά) ^ ( β ) ^ (γ):
I3 = 2.98 Amp.
PROBLEMA 17.
a)
Encuentre la corriente en el resistor de 5 Ω del circuito mostrado en la
figura.
b)
Encuentre el voltaje a través de ab si el resistor de 5 Ω es removido y
los terminales ab están en circuito abierto.
101
FÍSICA II
c)
Con el resistor de 5 Ω removido, la fuente de 90 – V es
cortocircuitada. Determine la resistencia que será medida a través de
ab.
8Ω
+
6Ω
8Ω
90v
a
5Ω
8Ω
-
b
4Ω
8Ω
Solución:
a)
+
90v
-
5Ω
I1
5Ω
8Ω
I3
8Ω
I2
4Ω
b
Malla 1: - 90 + 8I1 + 8 = 0
16 I1 - 8 I2 = 90
8 I1 - 4I2 = 45…(ά)
Malla 2:
4I2 - 8 (I1 - I2 ) + 8 ( I2 - I3 ) = 0
- 8 I1 + 20 I2 - 8 I3 = 0 …( β )..
Malla 3: - 2 I1 + 5 I2 - 2 I3 = 0 …..
6 I 3 + 5 I3 - 8 ( I2 - I3 ) = 0
- 8 I2 + 19 I3 = 0 …(γ)..
102
a
FÍSICA II
Resolviendo:
I3 = 1.5 Amp.
8Ω
6Ω
a
+
I1
+
90v
-
8Ω
b
4Ω
b)
Vab
8Ω
I2
- 90 + 8 I1 + 8 ( I1 - I2 ) = 0
- 90 + 16 I1 + 8 I2 = 0
4I1 - 2I2 = 25
- 8( I1 - I2 ) + 8 I2 + 4I2 = 0
- 8 I1 + 20 I2 = 0
5I2 = 2 I1
Resolviendo: I2 = 2.8125 Amp.
Vab = 8 I2 = 8 ( 2.8125 ) = 22.5 V
c)
8Ω
8Ω
6Ω
6Ω
a
8x8
= 4Ω
8+8
8Ω
a
8Ω
b
b
4Ω
4Ω
6Ω
8Ω
6Ω
a
8Ω
a
10 Ω
4Ω
b
b
103
a
b
FÍSICA II
PROBLEMA 18.
a)
Calcule la corriente en el resistor de 2 Ω del circuito mostrado.
b)
Determine la potencia dada por la fuente de 30 – V en el circuito.
c)
¿Cuánta corriente fluye por la resistencia de 1 Ω de el circuito.
+
20v
-
6Ω
3Ω
- 30 V
+
4Ω
4Ω
1Ω
+ 10v -
2Ω
Solución:
a)
1
+
6Ω
20v
4Ω
4Ω
1.5Ω
+
30v
-
3Ω
+
20v
─
4Ω
I1
6Ω
─
I2
0.5Ω
0.375Ω
1Ω
3
I3
2
I
+ 10v -
+ 10v - 2Ω
2Ω
4I1 - 20 + 1.5 ( I1 - I2 ) + 0.5 ( I1 - I3 ) = 0
6I1 - 1.5 I2 - 0.5 I3 = 20 …(ά)
- 1.5 (I1 - I2 ) + 6 I2 - 30 + 0.375 ( I2 - I3 ) = 0
- 1.5 I1 + 7.875 I2 - 0.375 I3 = 30 …( β )
- 10 - 0.5 (I1 - I3 ) - 0.375 ( I2 - I3 ) + 2 I3 = 0
- 0.5 I1 - 0.375 I2 + 2.875 I3 = 10 …(γ)..
⇒
I3 = 5A
I2 = 5A
104
30v
+
FÍSICA II
b)
c)
P30v = 30 I2 = 30 x 5 = 150 w
v1Ω + v2 Ω = 10 v ó
v1Ω =10 - v2 Ω = 10 - 2 x 5 = 10 - 10 = 0
v1Ω = 0 volts
PROBLEMA 19.
a)
Encuentre la corriente en el resistor de 10 Ω del circuito mostrado.
b)
Calcule la corriente a través de la fuente de voltaje de 50 volts. y el
voltaje a través de la fuente de corriente de 5 Amps.
c)
Verificar que el total de potencia disipada en los resistores es igual a la
potencia suministrada por las dos fuentes.
10Ω
50v
+
20Ω
30Ω
-
5A
20Ω
Solución:
a)
I
50v
+
-
+
10Ω
30Ω
20Ω
5A
50v
-
20Ω
Ecuaciones de Kirchhoff:
- 50 + 30 (I1 - I2 ) = 0
+
⇒
10Ω
+
+
I1
30Ω
I2
+
20Ω
-
30I1 - 30 I2 = 50.. (ά)
- 30 (I1 - I2) +10 I2 + 20 I2 +100 +20 I2 = 0
80 I2 - 30 I1+100 = 0
- 30I1 + 80 I2 = -100 ...(β)
De (ά) ^ (β): - 50 = 50 I2
I2 = I10 Ω = -1Amp.
105
20Ω
+
-100v
FÍSICA II
b)
I2 = - 1 en
-30 I1 + 80 (– 1) = - 100
(β):
+ 10Ω +
+
I2
(I1 -I2)
+
V23
-
-
-
20Ω
2
30Ω
50
- 30 I1 = - 20
2
I1 =
Amp
3
20Ω
-
+
+
3
100v
-
- V23 - 10I2 + 30 (I1 - I2 ) - 20 I2 = 0
⎛2 ⎞
V23 = 30 ⎜ +1⎟ - 10 (- 1 ) - 20 ( - 1 ) = 30
⎝3 ⎠
10 + 20 = 80
⎛5⎞
⎜ ⎟ + 10 + 20 = 50 +
⎝3⎠
Voltaje a través de la fuente de 5A: 80 volts.
c)
PSUMINIST = P50v + P5A = 50 x
PDISIPADA =
(50)2
30
2
+ 5 ( 80 ) = 433.33 w
3
2
+ ( 1) ( 10 ) +
(20)2
20
+
(80)2
= 433.33 w
20
PROBLEMA 20.
Encuentre la potencia disipada en el resistor de 20 Ω del circuito.
10Ω
20Ω
5Ω
+
10v
8Ω
4Ω
-
106
2A
FÍSICA II
Solución:
10Ω
20Ω
20Ω
5Ω
+
4Ω
10v
8Ω
2A
10Ω
1A
5Ω
4Ω
2A
8Ω
-
20Ω
1A
20Ω
2.857Ω
2.857
8Ω
2A
+
8Ω
+
I
2.857
16
-
-
-2.857 + I ( 2.857 + 20 + 8 ) - 16 = 0
I=
16 + 2.857
18.857
=
= 0.61
28 + 2.857
30.857
P20Ω = I2 (20) ≈ 7.5w
PROBLEMA 21.
a)
Calcule la potencia suministrada por la fuente de 12 – V mostrada en
la figura
b)
Sin usar reducciones de fuentes de voltaje y corriente calcule (a).
c)
Encuentre la potencia entregada ó absorbida por cada fuente.
6Ω
1A
6Ω
6Ω
2Ω
-
4Ω
107
12
2Ω
+
2Ω
2A
FÍSICA II
Solución:
2Ω
6Ω
1A
2Ω
2Ω
1A
2Ω
4Ω
4Ω
2Ω
2Ω
2A
-
1.6Ω
2A
1Ω
12
4Ω
0.8Ω
4Ω
- 12 +
2Ω
1A
6Ω
2Ω
+
12
6Ω
2Ω
2Ω
-
+
1Ω 1
Ω
2A
- 12 +
2.8Ω
1.6Ω
- 12 +
2A
1A
0.8Ω
2A
1.6
1A
1A
1Ω
0.8Ω
1Ω
-
12
+ 1Ω
0.8
0.8
2
+
108
0.8Ω
+
1.6
I
12
+
1Ω
2
+
FÍSICA II
+ 0.8 + I(0.8 + 1.6 + 1) - 12 - 2 = 0
13.2
= 3.88 Amps.
3.4
- 13.2 + I (3.4 ) = 0
P12V = (12 ) I = (12 )(3.88 ) = 46.56
b)
1A
I1
6Ω
6Ω
I2
I1 = -1A
P12V = 46.56 watts
2Ω
6Ω
-4Ω
I3
12
2Ω
I4
+
2Ω
I5
2A
I6
Ic = 2A
3 I 2 - I3 = - 1
- 6 (-1) + 18I2 - 6 I3 = 0
- 6I2 + 12 I3 - 4I4 = 0
3I2 + 6I3 - 2I4 = 0
- 4I3 + 6I4 - 2I5 = 12
2I3 - 3I4 - I5 = 6
- 2I4 - 4I5 = 2(2)
I4 + 2I5 = 2
198
= 3.882 P12V = 12 x (3.882) = 46.59 w
I4 =
51
c)
Resolviendo:
I2 = 0.117 Amp. .^ I5 = 2.94 Amps.
Voltaje a través de la fuente de 1A: (1 + 0.117 )6 = 6.702 volts
P1 A = (1 )(6.702 ) = 6.702 watts = PSUMINISTRADA
Voltaje a través de la fuente de 2A: (2 - .2.94 )2 = - 1.88 volts
P2 A = 2(- 1.88 ) = 3.76 watts = PABSORVIDA
PTOTAL ENTREGADA = 45.59 + 6.702 - 3.76 = 48.53watts
109
I=
FÍSICA II
PROBLEMA 22.
Un circuito excitado por fuentes de corriente es mostrado. Determine la
corriente por entre el resistor de 2 Ω.
5A
2Ω
16Ω
10A
Solución:
+ 4Ω +
40V
-
8Ω
4Ω
5A
I1
- 2Ω +
I2
I1 = 5A
)
5.3
)
- 40 + 4I2 - 2 (I1 - I2) + 5. 3 I2 = 0
)
11. 3 I2 - 2I1 = 40
)
11. 3 I2 - 10 = 40
I2 = |
50
) = 4.412
11.3
I 2Ω = I1 - I2 = 0.588
5A
V
V − V2
nodo1: 10 = 1 +5 + 1
4
2
3V1 - 2V2 = 20 …..(ά)
V − V2
V
V
nodo2: 5 + 1
= 2 + 2
2
8
16
- 8V1 + 11V2 = 80…..(β)
Resolviendo: V1 = 22.353 V
I 2Ω =
1
2
2Ω
+
10A
V1
-
V2 = 23.529 V
V1 − V2
= - 0.588 Amp
2
110
4Ω
+
8Ω
V2
-
16Ω
FÍSICA II
PROBLEMA 23.
a)
En el circuito mostrado halle la corriente I1
b)
Únicamente usando ecuaciones de nodo, encuentre la corriente I2 .
I1
6Ω
6Ω
4Ω
+
I2
6Ω
2A
12V
12Ω
-
12Ω
Solución:
I1
a)
6Ω
6Ω
4Ω
4Ω
+
12V
-
12Ω
6Ω
2A
12
12Ω
6Ω
-
I1
+
-
+
12
14Ω
+
24
-
+
I2
-
-
de (ά) ^ (β)
+
-
12Ω
2Ω
+
2Ω
2Ω
24
-
12 + 6I1 + 14 (I1 - I2 ) + 24 = 0
12 + 6 I1 + 14 I1 - 14 I2 + 24 = 0
12 + 20 I1 - 14 I2 = - 12 …(ά)
2Ω
+
14Ω
-24 - 14 (I1 - I2 ) + 14 I2 = 0
-24 - 14 I1 + 14 I2 + 14 I2 = 0
- 14 I1 + 28 I2 = 24 ……..(β)
-
I1 = 0 Amp.
111
12Ω
FÍSICA II
b)
4Ω
I1
V1
6Ω
6Ω
V3
+
3
12
-
1
6Ω
2
En nodo 1 :
12 − V1
V − V3
V −V
= 1
+ 1 2
4
6
6
7V1 - 2V2 - 2V3 = 36 …(ά)
V2
I2
2A
12Ω
12Ω
En nodo 2 :
V − V3
V1 − V2
V
= 2 + 2
6
6
12
2V1 - 5V2 + 2V3 = 0 …(β).
En nodo 3 :
V − V3
V1 − V3
V3
+2+ 2
=
6
6
12
- 2V1 - 2V2 + 5V3 = 24….(γ)
de (ά) ^ (β) ^ (γ) :
V2 =
72
volts
7
I2 =
6
A
7
I2
=
V2
12
PROBLEMA 24.
Usando el análisis nodal, encuentre el voltaje a través de la fuente de
corriente de 10 Amps en el circuito mostrado.
10Ω
5Ω
+
10
-
10Ω
10Ω
5Ω
10Ω
112
10A
FÍSICA II
Solución:
10Ω
5Ω
+
V1
+
3
1
10Ω 2
10V
-
En nodo 1:
En nodo 2 :
10Ω
5Ω
V2 +
10Ω
-
+ V3
10A
-
-
V − V3
10 − V1
V −V
= 1 2 + 1
10
5
10
4V1 - V2 - V3 = 20 …(ά)
V1 − V2
V
V − V3
= 2 + 2
10
10
10
V1 - 3V2 + V3 = 0 …(β)
En nodo 3 :
V1 − V3
V − V3
+ 2
=
10
10
De (ά) ^ (β) ^ (γ):
V3 =
V3
+10
5
V1 + V2 - 4V3 = 100 ..(γ)
− 204
− 36
− 80
volts, V2 =
volts, V1 =
7
7
7
PROBLEMA 25.
Encuentre la corriente en cada resistor del circuito mostrado.
4Ω
2Ω
+
9A
32
5Ω
10Ω
113
4A
FÍSICA II
Solución:
4Ω
I3
V1
1 + 32 I1
5Ω
2Ω
2
V2
I4
I2
10Ω
9A
En nodo 1: 9 =
V1 − V2
+
4
V1
V − V2 − 32
+ 1
5
2
19V1 - 15V2 = 500 …(ά) ..
En nodo 2: 4 +
V1 − V2
V − V2 − 32
V2
+ 1
+
4
2
10
15V1 - 17V2 = 240 .. (β)
de (ά) ^ (β) :
V1 = 50V V2 = 30V
I1 =
V1
= 10A
5
I2 =
50 − 30 − 32
V1 − V2 − 32
=
= - 6A
2
2
I3 =
50 − 30
V1 − V2
=
= 5A
4
2
I4 =
30
V2
=
10
10
= 3A
114
4A
FÍSICA II
PROBLEMAS PROPUESTOS
1)
Un calefactor de nicromel disipa 400 watts cuando está alimentado
con 110 voltios y el alambre está a una temperatura de 800ºC.
¿Cuánta potencia se disiparía si la temperatura del alambre se
mantuviese a 100ºC por inmersión en un baño de aceite enfriante? La
fuente de voltaje que la alimenta, permanece la misma, el coeficiente
térmico de temperatura α
para el nicromel a 800ºC. es 4 x 10-4
1/ ºC. (Rpta. P=512W)
2)
En la configuración de resistencias adjunta, determinar el valor de R si
se sabe que la resistencia equivalente vista desde los terminales c – d
es 12 Ω. (Rpta. R=2 Ω)
c
2R
2R
2R
4R
2R
6R
2R
b
e
2R
a
2R
2R
4R
2R
f
2R
2R
2R
d
3)
a)
b)
¿Cuáles son la longitud y el radio de un alambre de plata, de
sección transversal circular, cuya resistencia es 4 Ω y su masa es
20 kg.? Se sabe que la densidad de la plata es 10.5 gr/cm3 y su
resistividad es 1.59 x 10-8 ohm x mt.
¿Cuántos kg de cobre, cuya densidad es 8.9 x 103 kg / m3, se
necesitaría para formar un alambre de 500 mt de longitud, que
tuviera una resistencia de 3 Ω ? Se sabe que la resistividad del
cobre es 1.72 x 10-8 ohm x mt.
115
FÍSICA II
4)
5)
Defina en forma clara y concreta los siguientes términos:
a)
Efecto Joule.
b)
Red pasiva y resistiva.
c)
Velocidad de arrastre.
d)
¿Qué tipos de fuentes de campo magnético
comúnmente?
Para el circuito adjunto determinar:
a)
La lectura de los instrumentos A 1 , A 2
existen
y V considerados
ideales.
Determinar la potencia total disipada por todas las resistencias.
b)
A2
Rpta.
a)
A1=0.4 amp
A2=0.533 amp
A1=0.4 amp
b) P =48W
6Ω
3Ω
3Ω
20Ω
A1
V
6Ω
24
6Ω
-
+
6)
Si a dos resistencias idénticas que están conectadas en serie la
alimentamos con una batería, entonces la potencia disipada por ellas
es 20 watts. Si estas mismas resistencias se conectan en paralelo y al
conjunto lo alimentamos con la misma batería anterior, entonces ¿cuál
será la potencia total disipada por el circuito?
7)
En el circuito adjunto determinar el valor del voltaje V, así como la
potencia total disipada por todas las resistencias.
6Ω
+
V
- 20v +
6Ω
10Ω
-
2Ω
116
3Ω
FÍSICA II
8)
Calcular el valor de la resistencia “ R ”, si la potencia suministrada por
la fuente es 12 W, en el siguiente circuito:
(Rpta. R=12 Ω)
2
R
3
R/2
R/2
+
12V
-
R
R
R/2
R/2
R
9)
R
R
R
R
Calcular el valor de la corriente “I”, en el siguiente circuito:
(Rpta. I =1amp)
1Ω
+
1Ω
2Ω
10V
2Ω
-
+
2Ω
-
8V
10) Defina en forma clara y concreta los siguientes términos:
a)
Nodo.
c)
Velocidad de deriva.
b)
Calor Joule.
d)
Malla.
11) Dos resistores R
1
y R
2
deben conectarse ya sea en serie ó en
paralelo a una batería de voltaje desconocido V. Se desea que la
potencia disipada por Efecto Joule en la conexión sea la cuarta parte
que en la conexión en paralelo. Si R 2 = 50 Ω ¿Cuál es el valor de la
resistencia R 1 ?
(Rpta. R1 =50 Ω)
12) Un resistor de 15.2 k Ω y un capacitor están conectados en serie y
súbitamente se aplica un voltaje de 13 voltios. El potencial en el
capacitor se eleva a 5 voltios en 1.28 microsegundos. Determinar el
valor de la capacitancia del condensador.
117
FÍSICA II
13) Indicar si son verdaderos o falsos los siguientes enunciados:
a)
El efecto de carga de un condensador en un circuito RC serie
tiene que ver con el valor de la constante de tiempo del circuito.
b)
La 1ra Ley de Kirchhoff da a entender que en los nodos de un
circuito activo se acumula carga eléctrica.
c)
La resistividad de la plata a 40ºC es menor que a 10ºC.
d)
Se tienen dos alambres conductores del mismo material y de la
misma longitud, pero uno de sección transversal que es el doble
que la del otro, entonces ¿el alambre más grueso tendrá mayor
resistencia?
14) En el circuito adjunto:
a)
Halle la corriente a través de la resistencia de 1 Ω.
(Rpta. I =3.33amp)
b)
Halle la potencia consumida por la resistencia de 4 Ω.
(Rpta. P=2.77W)
+
2Ω
2Ω
10v
4Ω
5v
+
2Ω
1Ω
15) Una bobina de forma prismática de sección transversal cuadrada de
10 cms de lado está formada por 1000 espiras o vueltas de alambre de
aluminio distribuídas en una sola capa. El alambre tiene un diámetro
de 4 x 10-2 cms y a 20ºC su resistividad es 2.82 x 10-8 ohm x mt y
α = 3.9 x 10-3 1/ º C. Por motivos de trabajo dicha bobina es
sometida a una temperatura de 120º C y en estas condiciones entre
sus terminales se aplica un voltaje de 4 voltios. ¿Cuál será la densidad
de corriente en el alambre que forma la bobina?
(Rpta. J=2.5511x105 amp/m2)
16) Decir si son verdaderos o falsos los siguientes enunciados:
a)
La constante de tiempo “ T ”de un circuito RC serie se mide en
segundos
118
FÍSICA II
b)
c)
d)
La 1ra Ley de Kirchhoff establece que en los nodos de un
circuito activo siempre existe carga eléctrica almacenada.
El Efecto Joule es la energía que disipa un condensador cargado.
Los términos corriente eléctrica y densidad de corriente eléctrica
son sinónimos.
17) Para el circuito adjunto se pide:
a)
El valor de la resistencia equivalente visto desde los puntos
A – B.
b)
Transcurrido 1 segundo después de cerrar el interruptor “ S ” se
mide 10V entre los terminales del condensador, entonces ¿cuál
es el valor de “ c ” en faradios?
S
50V
18)
+
20Ω
10Ω
20Ω
•
A
20Ω
20Ω
20Ω
10Ω
40Ω
•
40Ω
10Ω
-
B
C
El circuito se encuentra en estado estable ó estacionario. En tales
condiciones se pide:
a)
El valor de la corriente “ I ” b) La carga eléctrica almacenada
en el condensador 6 µ f.
Rpta. a) I=1.0182amp I
q= 66 µ C
-
3Ω
4V
+
3Ω
+
-
119
3V
8V
5Ω
6µF
+
FÍSICA II
19) En el circuito adjunto determinar la potencia que entrega la fuente de
voltaje.
Rpta. P=90 W
16Ω
10Ω
2Ω
18
+
36
96
96
8
-
64
8
4Ω
24
8
37
12
30v
48
20) Si la resistencia equivalente entre los terminales A – B de la red
adjunta vale 6 / 7 Ω ¿cuál será el valor de la resistencia R?
Rpta. R= 0.5 Ω
R
R
R
R
R
R
B
A
R
R
R
R
21) Un electrón se dirige con una velocidad de 1 x 106 mts /seg hacia una
región entre dos placas planas y paralelas separadas por una distancia
de 20 mm, las mismas que tienen una diferencia de potencial de 100
voltios. Si el electrón entra moviéndose perpendicularmente al campo
eléctrico entre las placas, ¿qué campo magnético uniforme y
perpendicular tanto a la trayectoria del electrón como al campo
eléctrico es necesario establecer para que el electrón viaje en línea
recta?
Si fuese necesario utilizar: qe = 1.602 x 10 C , Me = 9.11 x 10-31 kg.
120
FÍSICA II
22) Sin reducir o modificar el circuito, es decir, manteniendo el circuito
planteado, determinar:
a)
El valor del voltaje “ V ” de la fuente de alimentación.
b)
La potencia total disipada por todas las resistencias.
Rpta.
a) V=40.5 Volt
b) P= 172.12 W
3Ω
4Ω
3Ω
6Ω
+
V
4Ω
1A
2Ω
8Ω
23) Para el circuito de la figura adjunta se pide:
a)
Determinar el sentido y el valor de la corriente que fluye por la
resistencia de 2 Ω.
b)
Determinar la potencia que disipa la resistencia de 3 Ω.
1Ω
3Ω
+
10v
-
2Ω
+
1.2v
-
24) ¿Qué campo magnético en TESLA se requerirá para hacer que un
electrón cuya energía cinética es 6.41 x 10-17 Joule se mantenga en una
trayectoria circular de radio R = 0.8 mts?
25) En el circuito adjunto se sabe que la potencia que entrega la fuente de
8 voltios es 4 watts, en tales condiciones:
a)
Determinar el valor de la resistencia R que se indica en circuito.
121
FÍSICA II
b)
Determinar la potencia que entrega la fuente de 16 voltios.
-
1Ω
10V
+
Rpta. a)
R=9.6 Ω
P= 136 W
8Ω
R
-
8V
4Ω
+16V -
+
26) Un alambre de plata de sección transversal circular de 1mm de radio,
transporta 7200 Coulomb en 1 hora. Se sabe que la plata tiene
disponible un electrón libre por átomo para conducir la carga. Además
se sabe que la densidad de la plata es 10.5 x 103 Kg / m3 y su peso
atómico es 108 gr / mol. Si se sabe que el número de avogrado es:
Na = 6.023 x 1023 átomos / mol, se pide:
a)
b)
Calcular la densidad de corriente d
Calcular la velocidad de arrastre de los portadores de carga.
27) Un resistor de cierto metal tiene la forma de un cascarón cilíndrico o
tubo de longitud 1 mt , radio interior 0.1 cm y radio exterior 0.2 cm.
¿Cuál es el radio de un alambre macizo del mismo metal, de sección
transversal circular, de la misma longitud y resistencia que la del
cascarón cilíndrico mencionado?
28) Determinar la resistencia equivalente vista desde los terminales A – B
de la siguiente configuración resistiva:
Rpta. a) R=6.67 Ω
10Ω
20 Ω
20 Ω
A
20Ω
20Ω
10Ω
122
20Ω
10Ω
40Ω
40 Ω
B
FÍSICA II
29) Una cocina eléctrica que utiliza un elemento calefactor de nicrom
funciona a 120 voltios. Cuando está conectada a 0º C , transporta una
corriente inicial de 1.5 A. Unos segundos mas tarde la corriente
alcanza el valor estacionario de 1.33 A. Si el valor del coeficiente de
temperatura del nicrom para el intervalo de temperatura considerado
es 0.00045 ( 0º C ) -1 :
a)
¿Cuál es la temperatura final del elemento calefactor? :
b)
¿Cuál es la potencia que desarrolla la cocina eléctrica en
régimen estacionario?
30) Un resistor de cierto metal tiene la forma de cascarón cilíndrico ó tubo
de longitud 1mt, radio interior 0.1 cm y radio exterior 0.2 cm:
a)
¿Cuál es el radio de un alambre macizo del mismo metal, de
sección transversal circular, de la misma longitud y resistencia
que la del cascarón cilíndrico mencionado?
b)
Si l a resistividad del material metálico es 1.72 x 10-8 Ω x mt,
¿cuál será el valor de la densidad de corriente d dentro del
cascarón cilíndrico, si entre sus extremos se aplica un voltaje de
1.5 voltios provenientes de una pila seca?
31) En el circuito se pide: a) Determinar el valor de la corriente I.
a)
Determinar la potencia de las fuentes 10 V y 8 V.
+
10V
1Ω
1Ω
I
-
2Ω
2Ω
2Ω
+
-
8V
32) Dar respuesta a las siguientes preguntas:
a)
¿Es lo mismo la Rigidez Dieléctrica que la Constante Dieléctrica?
Explique brevemente.
b)
¿Por qué se dice que la 1ra Ley de Kirchhoff es una aplicación
del Principio de Conservación de la carga eléctrica?
123
FÍSICA II
c)
A las dos placas de un condensador plano en vacío se le carga
con +q y -q y luego al condensador se le sumerge en un
depósito de aceite (el aceite es un dieléctrico líquido), para tal
situación, el campo eléctrico entre las placas ¿aumenta,
disminuye ó permanece inalterable? Explique brevemente.
33) En la configuración resistiva adjunta, determinar el valor de la
resistencia equivalente vista desde los bornes A – B. Todas las
resistencias están en Ohmios ( Ω ).
Rpta. R= 1.743 Ω
A
1Ω
1Ω
6Ω
1Ω
1Ω
2Ω
2Ω
1Ω
2Ω
B
6
6
1Ω
2Ω
4Ω
1
6Ω
2
2
1Ω
3
2
34) Hallar la resistencia equivalente entre los puntos A y B mostrados en
la figura, los valores de R = 15 Ohms, y la resistencia “del medio” es
de 5 Ohms.
R
R
A
5Ω
R
B
R
35) Hallar la resistencia efectiva entre los terminales A y B de una serie
indefinida de resistencias conectadas a una batería de 12 voltios.
Determine la caída de potencial en la resistencia de 5 Ohms.
A
R
R
R
R
B
R
R
R
R
124
R
R
R
FÍSICA II
36) En la figura que se muestra se tiene un circuito que contiene 5
resistencias conectadas a una batería de 12 voltios. Determine la caída
de potencial en la resistencia de 5 Ohms.
10Ω
12V
2Ω
3Ω
5Ω
10Ω
37) Un generador hace pasar una corriente constante a través de una
resistencia R.
a)
¿Cuál es el trabajo realizado en el tiempo necesario para que
pase una carga total Q por la resistencia?
b)
¿Cuál es la potencia consumida?
c)
¿Cuál es la velocidad de generación de calor en la resistencia en
cal /s?
38) Hallar las corrientes que atraviesan cada una de las ramas del circuito
indicado en la figura.
V1 = 5 voltios
R1
R2
V2 = 3 voltios
V1
R3
R 2 = 2 Ohmios
V2
R1 = 2 Ohmios
R 3 = 3 Ohmios
39) Hállese las fuerzas electromotrices E1 y E2 en el circuito que se
muestra en la figura y la diferencia de potencial entre los puntos a y b.
25V
1A
2A
a
•
5Ω
E1
4Ω
125
b
FÍSICA II
40) Se tiene una resistencia variable de 0 – 100 Ohms, en el circuito que
se muestra en la figura. Determinar fa qué valor debe ajustarse la
resistencia variable para que la diferencie de voltaje entre los puntos a
y b sea de 10 voltios.
a
10Ω
R
5V
10Ω
20V
b
41) En la figura que se muestra:
a)
¿Qué potencia aparece como calentamiento por efecto Joule en
cada una de las resistencias?
b)
¿Qué potencia es proporcionada por cada una de las baterías.
Efectúe los cálculos si R1 = 5 Ohmios,
R2 = 2 Ohmios, R 3 = 4 Ohmios
Las fuerzas electromotrices son
E1 = 3 voltios, E2 = 1 voltio.
R2
E1
R3
R1
126
E2
FÍSICA II
7.
CAMPO MAGNÉTICO
Las fuerzas características de los imanes se denominan fuerzas
magnéticas. El desarrollo de la física amplió el tipo de objetos que
sufren y ejercen fuerzas magnéticas. Las corrientes eléctricas y, en
general, las cargas en movimiento se comportan como imanes, es
decir, producen campos magnéticos. Siendo las cargas móviles las
últimas en llegar al panorama del magnetismo, han permitido, sin
embargo, explicar el comportamiento de los imanes, esos primeros
objetos magnéticos conocidos desde la antigüedad.
El término magnetismo tiene su origen en el nombre que en la
época de los filósofos griegos recibía una región del Asia Menor,
entonces denominada Magnesia; en ella abundaba una piedra negra
o piedra imán capaz de atraer objetos de hierro y de comunicarles
por contacto un poder similar. A pesar de que ya en el siglo VI a. de
C. se conocía un cierto número de fenómenos magnéticos, el
magnetismo como disciplina no comienza a desarrollarse hasta más
de veinte siglos después, cuando la experimentación se convierte en
una herramienta esencial para el desarrollo del conocimiento
científico. Gilbert (1544-1603), Ampere (1775-1836), Oersted
(1777-1851), Faraday (1791-1867) y Maxwell (1831-1879),
investigaron sobre las características de los fenómenos magnéticos,
aportando una descripción en forma de leyes.
Los fenómenos magnéticos habían permanecido durante mucho
tiempo en la historia de la ciencia como independientes de los
eléctricos. Pero el avance de la electricidad por un lado y del
magnetismo por otro, preparó la síntesis de ambas partes de la física
en una sola, el electromagnetismo, que reúne las relaciones mutuas
existentes entre los campos magnéticos y las corrientes eléctricas.
Maxwell fue el científico que cerró ese sistema de relaciones al
elaborar su teoría electromagnética.
7.1
La intensidad del campo magnético
Como sucede en otros campos de fuerza, el campo magnético
queda definido matemáticamente si se conoce el valor que toma en
cada punto una magnitud vectorial que recibe el nombre de campo
127
FÍSICA II
magnético. La densidad de flujo de campo magnético, a veces
denominada inducción magnética, se representa por la letra B y es
un vector tal que en cada punto coincide en dirección y sentido con
los de la línea de fuerza magnética correspondiente. Las brújulas, al
alinearse a lo largo de las líneas de fuerza del campo magnético,
indican la dirección y el sentido del campo magnético B.
La obtención de una expresión para B se deriva de la observación
experimental de lo que le sucede a una carga q en movimiento en
presencia de un campo magnético. Si la carga estuviera en reposo
no se apreciaría ninguna fuerza mutua; sin embargo, si la carga q se
mueve dentro del campo creado por un imán se observa cómo su
trayectoria se curva, lo cual indica que una fuerza magnética Fm se
está ejerciendo sobre ella. Del estudio experimental de este
fenómeno se deduce que:
a) Fm es tanto mayor cuanto mayor es la magnitud de la carga q y su
sentido depende del signo de la carga.
b) Fm es tanto mayor cuanto mayor es la velocidad v de la carga q.
c) Fm se hace máxima cuando la carga se mueve en una dirección
perpendicular a las líneas de fuerza y resulta nula cuando se
mueve paralelamente a ella.
d) La dirección de la fuerza magnética en un punto resulta
perpendicular al plano definido por las líneas de fuerza a nivel de
ese punto y por la dirección del movimiento de la carga q, o lo
que es lo mismo, Fm es perpendicular al plano formado por los
vectores B y v.
Las conclusiones experimentales (a), (b) y (d) quedan resumidas
en la expresión:
Fm = q.v.B.sen φ
donde B representa el módulo o magnitud de la intensidad del
campo y φ el ángulo que forman los vectores v y B. Dado que Fm,
v y B pueden ser considerados como vectores, es necesario
además reunir en una regla lo relativo a la relación entre sus
direcciones y sentidos:
128
FÍSICA II
La expresión anterior se puede escribir en una forma
F=qvxB
el vector Fm es perpendicular al plano formado por los vectores v y B
y su sentido coincide con el de avance de un tornillo que se hiciera
girar en el sentido que va de v a B (por el camino más corto). Dicha
regla, llamada del tornillo de Maxwell, es equivalente a la de la
mano derecha, según la cual las direcciones y sentidos de los
vectores Fm,v y B vienen dados por los dedos pulgar, índice y
corazón de la mano derecha dispuestos en la forma que se muestra
en la figura adjunta.
La ecuación Fm = q.v.B.senφ constituye una definición indirecta del
módulo o magnitud de la intensidad del campo magnético, dado
que a partir de ella se tiene:
B = Fm/q.v.sen φ
La dirección de B es precisamente aquélla en la que debería
desplazarse q para que Fm fuera nula; es decir, la de las líneas de
fuerza.
La unidad del campo magnético en el SI es el tesla (T) o wb/m2 y
representa la intensidad que ha de tener un campo magnético para
que una carga de 1 C, moviéndose en su interior a una velocidad de
1 m/s perpendicularmente a la dirección del campo, experimentase
una fuerza magnética de 1 newton.
1 T = 1 N/1 C. 1 m/s
129
FÍSICA II
Aunque no pertenece al SI, con cierta frecuencia se emplea el gauss
(G):
1 T = 104 G
7.2
Movimiento de una carga en un campo magnético
Cuando una partícula cargada positivamente entre en una región
donde hay un campo magnético uniforme B, si la partícula lo hace
perpendicular al campo magnético, la partícula experimenta una
fuerza que hace que la partícula curve su trayectoria llegando ha
cerrar el circulo, tal como se muestra en la figura.
La aceleración centrípeta requerida por la partícula para conservar
una órbita circular es suministrada por la interacción de la carga en
movimiento con el campo magnético.
v 2 qvB
ac =
=
r
m
donde r es el radio de la
trayectoria circular de la
partícula.
130
FÍSICA II
De esta ecuación podemos obtener el radio de la trayectoria.
r=
mv
qB
Es decir que el radio de la trayectoria depende del momento “mv”
de la partícula e inversamente proporcional a la magnitud del
campo magnético.
w=
v qB
=
r m
La frecuencia angular de la partícula cargada en su movimiento
circular es
El periodo de la partícula en su movimiento circular es:
2πr 2π 2πm
T=
=
=
v
ω
qB
La frecuencia angular y el periodo del movimiento circular no
depende de la velocidad de la partícula o del radio de la orbita.
Si la partícula cargada ingresa al campo magnético haciendo un
ángulo con este., la partícula describe una hélice, como se
muestra en la figura.
7.3
Problemas
Un protón viaja con una velocidad de 3.00x106 m/s en un ángulo
de 37.0º con la dirección del campo magnético de 0.00T en la
dirección +y. ¿Cuál es a) la magnitud de la fuerza magnética sobre
el protón y b) su aceleración.
131
FÍSICA II
Solución
Fuerza magnética sobre un conductor de corriente
Supongamos que un conductor por el que circula una corriente I está
situado en una región donde existe un campo magnético uniforme B.
Sobre cada portador de carga aparecerá una fuerza F = q v x B ,
donde v es la velocidad de la carga denominada velocidad de
arrastre.
La fuerza total sobre un trozo de conductor de longitud dl y sección
A puede calcularse sumando las fuerzas individuales. Si hay n cargas
por unidad de volumen, el número de ellas en el volumen A·dl será
n·A·dl. Recordando que la densidad de corriente en el conductor es
J = nqv y que I = J·A, la fuerza resulta ser:
r r
r
r r
dF = n Adl q v × B = (n q v A)dl × B =
r r
r r
= ( JA)dl × B = I dl × B
(
)
El vector dl tiene la dirección y sentido del producto qv; es decir, la
misma de la corriente. Como se puede ver en la figura α, la fuerza
que ejerce el campo sobre un portador de carga positiva
moviéndose en dirección v es la misma que si la carga es negativa y
se mueve en sentido contrario.
F
F
I
-v
- -q
Figura α
B
B
q
+
v
A
dl
Para un conductor de cualquier forma y tamaño la fuerza se calcula
dividiéndolo en pequeños trozos d l y aplicando la ecuación anterior a
cada uno. La resultante de las fuerzas dF es:
r r
r
F = ∫ I dl × B
C
132
(9)
FÍSICA II
La integral está extendida al contorno del conductor. En el caso de
que el campo sea uniforme, tanto I como B pueden salir fuera de la
integral, que se reduce a la suma de los elementos de trayectoria d l.
Como se ve en la figura β, dicha suma es igual al vector L que une
los extremos Pi y Pf del hilo por el que circula la corriente.
r r
r
F = ∫ I dl × B = I
C
(∫ dlr)× Br = I Lr × Br
C
dF
B
(10)
Figura β
L
dl
Pi
Si el conductor es rectilíneo L es simplemente su longitud. Por otra
parte, si se trata de una espira cerrada L = 0, ya que los puntos Pi y
Pf se confunden. En este caso la fuerza resultante es cero; pero,
como veremos más adelante, aparece un par que tiende a orientar la
espira en la dirección del campo.
Problema
Un alambre de forma de semi-circunferencia de radio R recorrido
por una corriente I esta situado en un campo magnético uniforme B
perpendicular al plano de la figura. Calcular las componentes de la
fuerza dF ejercida por el campo magnético sobre un pequeño trozo
del conductor así como la fuerza total.
Solución:
Suponiendo que, como muestra la figura abajo, el campo está
orientado en la dirección del eje Oz ( B = B k̂ ) y la corriente en
133
FÍSICA II
sentido antihorario, la fuerza sobre un elemento de corriente d l ,
dF=Id l x B , debe ser perpendicular a ambos vectores; es decir,
radial. Según la regla de la mano derecha, estará orientada hacia
fuera. Como el campo es perpendicular al conductor, el módulo dF y
las componentes son:
dF = IBdl ⎫
⎧dFy = IBR cos θd θ
⎬ → ⎨
dl = R d θ ⎭
⎩ dFz = IBR sen θd θ
La fuerza total resulta de integrar respecto a θ para el alambre
completo:
π
Fy = ∫ IBR cos θd θ = IBR sen θ]0 = 0
π
0
π
Fz = ∫ IBR sen θd θ = − IBR cos θ]0π = 2 IBR
0
Al mismo resultado se llega aplicando directamente la ecuación (10)
y teniendo en cuenta que en este caso L = - 2R j:
r
r
r
F = I L × B = I (− 2 R
7.4
a)
)j ×
B i = 2 IRB
k
Aplicaciones del movimiento de partículas cargas en un campo
magnético
Selector de velocidades
El selector de velocidades es una región en la que existen un campo
eléctrico y un campo magnético perpendiculares entre sí y a la
134
FÍSICA II
dirección de la velocidad de los electrones. En esta región, los
electrones de una determinada velocidad no se desvían.
El campo eléctrico ejerce una fuerza en la dirección del campo pero
en sentido contrario ya que la carga es negativa. El módulo de la
fuerza es Fe = qE.
El campo magnético ejerce
una fuerza cuya dirección y
sentido vienen dados por el
producto
vectorial
Fn=qvxB cuyo módulo es
Fm = q.v.B .
De nuevo, por ser negativa la carga, el sentido de la fuerza es
contrario al del producto vectorial v x B.
Los electrones no se desvían si ambas fuerzas son iguales y de
sentido contrario:
Fe = Fm
q.E = q.v.B
E
v=
B
Por tanto, atravesarán el selector de velocidades sin desviarse
aquellos electrones cuya velocidad venga dada por el cociente E / B.
b)
Medida de la relación carga masa
Cuando eliminamos el campo magnético, la partícula se mueve bajo
la acción de la fuerza eléctrica en la región del condensador, y a
ninguna otra fuera del condensador. Las ecuaciones del movimiento
en el condensador serán las del movimiento curvilíneo bajo
aceleración constante:
ax = 0
v x = v0
x = v0 .t
ay =
q.E
m
v y = a y .t
135
1
y = .a y .t 2
2
FÍSICA II
Si L es la longitud del condensador, la desviación vertical “y” de la
partícula al salir de sus placas será:
Después, la partícula sigue un movimiento rectilíneo uniforme,
hasta que impacta en la pantalla. La desviación total del haz en la
pantalla situada a una distancia: d del condensador es:
C)
Efecto hall
Cuando una placa metálica por la que pasa una corriente I se coloca
en un campo magnético perpendicular a I, aparece una diferencia de
potencial entre puntos opuestos en los bordes de la placa.
D)
Placa metálica
Supongamos primero que los portadores de corriente eléctrica en la
placa metálica son electrones, los cuales tienen una carga negativa
q = -e por lo tanto la velocidad del electrón es opuesta a I. en la
figura y los electrones se mueven –Z con velocidad v- y el campo
magnético en la dirección del eje X , los electrones están sujetas a
una fuerza F = (- e) v- x B, el producto vectorial tiene el sentido de
+Y. En consecuencia, los electrones derivan hacia el lado derecho
136
FÍSICA II
de la placa, la cual se carga negativamente. El lado izquierdo se
carga positivamente por que tiene una deficiencia en el número de
electrones. Como consecuencia aparece un campo eléctrico en la
dirección del eje +y. La fuerza sobre los electrones debido al
campo eléctrico es (- e) E , como esta dirigido hacia la izquierda
llega un momento en que contrarresta la fuerza magnética,
produciéndose el equilibrio. Esto a su vez da origen a una diferencia
de potencial transversal entre los bordes opuestos del conductor,
siendo el lado izquierdo el que está a potencial más alto, el valor
de la diferencia de potencial es proporcional al campo magnético.
Esto es el efecto hall normal pero otros materiales como el cobalto,
zinc y el hierro y otros materiales como lo semiconductores, se
produce el efecto hall opuesto.
Para explicar el efecto Halla positivo, supongamos que los
portadores de corriente en vez de ser los electrones cargados
negativamente, son partículas de carga positiva q = +q. Por lo tanto
deben moverse en el mismo sentido que la corriente de modo que
su velocidad v+ esta según el eje +Z como en la figura. La fuerza
magnética sobre las cargas en movimiento es F =(+q) v- x B y esta
dirigida según el eje +Y; como las cargas son positivas, el borde
derecho de la placa se carga positivamente y el izquierdo
negativamente, produciendo un campo eléctrico transversal en el
sentido de –Y. Por lo tanto la diferencia de potencial opuesta a la
que aparece en el caso de portadores negativos, resultando un
efecto hall opuesto.
La fuerza magnética sobre los portadores de carga tiene una
magnitud (q vd B). En el equilibrio esta fuerza es equilibrada por la
fuerza eléctrica (q EH) donde EH el campo eléctrico debido a la
separación de carga (algunas veces llamado campo Hall). Por
consiguiente,
EH = vd.B
q.vd.B = q.EH
Si d es el ancho del conductor, el voltaje Hall es igual a EHd, o
VH = EH d =vd B d
137
FÍSICA II
De esta manera con la medida del voltaje Hall podemos
determinar la velocidad de arrastre de los potadores si se conoce d y
B.
El número de portadores de carga por unidad de volumen, n puede
obtenerse midiendo la corriente en la muestra. I = jA y J = n q vd
v d=I /n q A
donde A es el área de la sección transversal del conductor
La ecuación para el voltaje hall lo
podemos escribir en la forma
VH = IBd
nqA
Puesto que A =td, donde t es el
espesor de la placa , entonces la
ecuación anterior podemos escribirla
de la siguiente forma
VH = IB
nqt
e)
El espectrómetro de masas
El ESPECTRÓMETRO DE MASAS es un aparato que separa iones
atómicos y moleculares (partículas cargadas) cuya razón
«masa/carga» sea diferente. Por ejemplo, si se introducen en el
aparato iones de los ISÓTOPOS (átomos
de distinta masa, que en su núcleo poseen
el mismo número de protones) de una
sustancia, por tener la misma carga y
distinta masa, el aparato los separa.
El espectrómetro de masas consta de una
fuente F de iones acelerados a través de
un potencial de algunos miles de voltios,
que se hacen penetrar en un «selector de
138
FÍSICA II
velocidades», con lo que se conocerá la velocidad de salida (la
misma para todos) de los iones de éste. A la salida del selector, los
iones se desplazan perpendicularmente a un campo magnético
uniforme que hace que los iones que no tengan el mismo valor en su
relación «masa/carga», describan distintas trayectorias circulares,
puesto que el radio de éstas es:
r=
m.v
.
q.B
Haciéndolas
incidir sobre una placa
fotográfica
una
vez
revelada, podremos medir
los radios de las trayectorias
de los diferentes iones, con
lo que conoceremos la
m
r
razón
= B. (en la placa
q
v
fotográfica se obtiene el
espectro de masas, razón por lo que a este aparato se le llama
también ESPECTÓGRAFO DE MASAS). Si los iones introducidos en
el aparato son de la misma sustancia, y conocemos su carga,
podremos calcular las masas de los isótopos de la sustancia.
f)
El ciclotrón
La mayoría de los actuales aceleradores de partículas de alta energía
descienden del primer ciclotrón de protones de 1 MeV construido
por Lawrence E. O. y Livingstone M. S. en Berkeley (California). El
artículo original publicado en la revista Physical Review, volumen
40, del 1 de abril de 1932, titulado "Producción de iones ligeros de
alta velocidad sin el empleo de grandes voltajes", describe este
original invento
7.5
La interacción magnética entre corrientes paralelas
Consideramos dos alambres largos y rectos que transportan
corrientes paralelas (o antiparalelas). Una fuerza magnética se ejerce
sobre el segundo alambre en el lugar del otro. En forma parecida, el
139
FÍSICA II
segundo alambre crea un campo magnético en el lugar del primero
que ejerce fuerza sobre él.
z
d
dl
B
y
dF
I'
d F'
x
B'
I
En la figura, el alambre 1 que lleva la corriente I´ origina un campo
magnético B´, cuya magnitud en el sitio del segundo es
μ I′
B`= 0
2πd
7.6
LEY DE BIOT-SAVART
Jean Baptiste Biot y Felix Savart informaron que un conductor que
conduce una corriente estable ejercía una fuerza sobre un imán.
Apartir de sus resultados experimentales. Biot-savart llegaron a una
expresión para el campo magnético.
La ley de Biot-Savart indica el campo magnético creado por
corrientes estacionarias.
En el caso de corrientes que circulan por circuitos filiformes (o
cerrados), la contribución de un elemento infinitesimal de longitud
del circuito recorrido por una corriente
elemental de campo magnético,
posición
respecto de
:
140
crea una contribución
, en el punto situado en la
FÍSICA II
donde μ0 es la permeabilidad magnética del vacío.
En el caso de corrientes distribuidas en volúmenes, la contribución
de cada elemento de volumen de la distribución, viene dado por
donde es la densidad de corriente en el elemento de volumen dv
r
y R es la posición relativa del punto en el que queremos calcular el
campo, respecto del elemento de volumen en cuestión.
En ambos casos, el campo final resulta de aplicar el principio de
superposición a través de la expresión
en la que la integral se extiende a todo el recinto que contiene las
fuentes del campo.
La forma integral es:
La ley de Biot-Savart es fundamental en magnetostática tanto como
la ley de Coulomb lo es en electrostática
7.8
Campo magnético de un alambre recto y delgado que lleva una
corriente I y de longitud l
Consideramos que el alambre esta a lo largo del eje z y lleva una
corriente I, vamos a calcular el campo magnético en un punto del
r
r = y ˆj
eje y.
r ′ = z kˆ
encontramos la diferencia de los vectores:
r r
r − r ′ = yˆj − zkˆ y ahora calculamos el modulo
dl = dz
r r
r − r′ =
r r
dxkˆ x ( r − r ′) = dxkˆ x ( yˆj − zkˆ ) = y dx kˆ x ˆj − z dx kˆ x kˆ
141
y2 + z2 y
FÍSICA II
El Segundo término de la diferencia es cero
Remplazando en la ecuación para el campo
magnético tenemos:
r μ I
y dz (−iˆ)
B= o ∫ 2
4π ( y + z 2 ) 3 / 2
Consideramos que centro del alambre esta
en el origen de coordenadas, entonces los
limites serian desde + l/ 2 l1 a – l/ 2 l2.
l2
r μ o Iy
μ Iy
dz
z
(−iˆ) ∫ 2
B=
= o (−iˆ)
2 3/ 2
4π
4π
y2 y2 + z2
−l1 ( y + z )
r μ I
l2
B= o (
+
4π y y 2 + l 2
2
l1
y 2 + l1
2
−l1
)
La cantidades entre paréntesis, de la figura podemos ver que
l2
l1
= senα 2 ,
y (
= senα1
2
2
2
2
y + l2
y + l1
entonces la ecuación anterior lo podemos escribir de la siguiente
manera
μ I
B = o ( senα 2 + senα 1 )(−iˆ)
4πy
Si el alambre es infinito entonces
α2 →
π
2
y α2 →
π
2
luego las funciones seno son iguales a 1
142
FÍSICA II
luego la expresión para el campo magnético es:
r μ I
B = 0 (−iˆ)
2π y
Y en forma general esta ecuación se puede escribir
r μ I
B = o eˆθ
4π r
Problema
Hallar el campo magnético de una espira de radio R con centro en el
origen de coordenadas y en el plano x-y lleva una corriente constante I,
como se muestra en la figura.
Solución:
La espira esta ubicada en el plano x-y
r
r = z kˆ
r
r = r ′ cosθ iˆ + r ′senθ ˆj
r r
r − r ′ = −r ′ cosθ iˆ − r ′senθ ˆj + z kˆ
El módulo de la diferencia de los vectores es:
r − r = r ′2 + z 2 , y
r
r
dl = dr = −r '.senθ .dθ iˆ + r '.cos θ .dθ ˆj
143
FÍSICA II
La ecuación para calcular el campo magnético es:
r
r μo Idl x (rr − rr′)
B=
4π ∫ rr − rr′ 3 / 2
Evaluamos el producto vectorial que aparece en el numerador
i
r r r
dl x (r − r ′) = − R.senθ .dθ
− R. cos θ
j
k
− R. cos θ .dθ
− R.senθ
0
z
= iˆR.z. cos θdθ − ˆjR.z.senθdθ + kˆ( R 2 cos 2 θ + R 2 sen 2θ )dθ
remplazando en la ecuación anterior, tenemos:
r μ I iˆ cos θdθ − ˆjsenθdθ + kˆR 2 dθ
B= o ∫
4π
(r 2 + z 2 ) 3 / 2
Las dos primeras integrales son iguales a cero por simetría y la última
integral
2π
r
μ 0 IR 2 kˆ
B=
dθ .
4π ( R 2 + z 2 ) 3 / 2 ∫0
Dándonos como resultado el campo magnético de una espira
r
μ o IR 2
B=
kˆ
2( R 2 + z 2 ) 3 / 2
La dirección y sentido del campo magnético pueden verificarse mediante la
regla de la mano derecha. Flexionar los dedos de la mano derecha en la
dirección de la circulación de la corriente, el dedo pulgar establece el
sentido del campo magnético.
Problema
Considere un disco delgado de radio R montado para girar alrededor del
eje x en el plano yz. El disco tiene una densidad de carga superficial
uniforme y una velocidad angular w. Halle el campo magnético en el centro
del disco.
144
FÍSICA II
Solución
Consideramos un anillo de corriente que
tiene un radio r y un ancho dr,
La carga sobre el anillo es dq= 2 πσrdr,
donde σ = q/πR2.
La corriente en el anillo es di= w dq / 2π =
wσrdr
El anillo contribuye al campo
dB= μdi/dr.
Integramos sobre todos los anillos diferenciales dr, tenemos
R
B = ∫ μ oωσ rdr / 2r = μ 0ωR / 2 =
0
μ o ωq
2πR
145
FÍSICA II
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.
Un protón que se mueve a 4.0x106 m/s a través de un campo
magnético de 1.7 T experimenta una fuerza magnética de magnitud
8.2x10-13N.¿Cuál es el ángulo entre la velocidad del protón y el
campo?
Rpta. 48.6º
2.
Un electrón se proyecta se proyecta dentro de un campo magnético
uniforme B =(1.4i + 2.1j ). Encuentre la expresión vectorial para la
fuerza sobre el electrón cuando su velocidad es v =3.7x 105 j m/s.
Rpta. 8.29x10-14k N
3.
Un alambre de 40 cm de largo conduce una corriente de 20 A. Se
dobla en lazo y se coloca con su plano perpendicular a un campo
magnético con una densidad de flujo de 0.52T. ¿Cuál es el momento
de torsión sobre el lazo si se dobla en la forma de a) un triángulo
equilátero, b)cuadrado, c) círculo. D) ¿Cuál momento de torsión es
más grande.
5.
Una carga positiva q=3.2x10-19C se mueve con una velocidad v=(2i3j-k)m/s a través de una región donde existen tanto un campo
magnético uniforme como un campo eléctrico uniforme. a) Calcular la
fuerza total sobre la carga móvil ( en notación de vectores unitarios) si
B=(2i - 4j – k )T y E =(4 i – j - 2k) V/m b)¿Qué ángulo forma el vector
fuerza con el eje x positivo?
Rpta.(3.52 i -1.60 j ) x 10-18 N b) 24.4º
6)
Un conductor suspendido por dos
alambres flexibles, como se muestra en la
figura adjunta tiene una masa por unidad
de longitud de 0.040kg/m. ¿Qué corriente
debe existir en el conductor para que la
tensión en los alambres de soporte sea
cero cuando el campo magnético es 3.6T
hacia el interior de la pagina?¿Cuál es la
dirección requerida para la corriente?
Rpta. 0.109 A, la dirección de I en la barra es hacia la derecha.
146
FÍSICA II
7.
En la figura el cubo mide 40.0cm en
cada lado. Cuatro segmentos de
alambre ab, bc, cdy da forman un lazo
cerrado que conduce una corriente
I = 5.0A en la dirección mostrada. Un
campo magnético B = 0.020T esta en
la dirección positiva. Determinar la
magnitud y dirección de la fuerza
magnética sobre cada segmento.
Rpta 0,40mN(-i),40.0mN (-k),(40.0mN(+i)
8.
Un ión positivo con una sola carga tiene una masa de 3.20x10 -26 kg.
Después de que es acelerado a través de una diferencia de potencial
de 833V el ión entra a un campo magnético de 0.920T a lo largo de
una dirección perpendicular a la dirección del campo. Calcular el
radio de la trayectoria del ión en el campo.
Rpta. 1.98cm
9.
Un protón que se mueve en una trayectoria circular perpendicular a
un ampo magnético constante tarda 1.00 μ s para completar una
revolución. Determinar la magnitud del campo.
Rpta. 6.56 x10-2 T
10. Un selector de velocidades se compone de campos magnético y
eléctrico descritos por E =Ek B = Bj. Si B= 0.015T, Determinar el
valor de E tal que un electrón de 750eV que se mueve a lo largo del
eje x positivo no se desvíe.
Rpta: 244kV/m
11. En un experimento diseñado para medir el campo magnético de la
Tierra utilizando el efecto Hall. Una barra de cobre de 0.50 cm de
espesor se coloca a lo largo de una dirección este-oeste. Si una
corriente de 8.0A en el conductor da como resultado un voltaje Hall
de 5.1x10 -12 V. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético terrestre
(Suponga que n= 8.48x10 28 electrones/m3 y que el plano de la barra
se gira hasta quedar perpendicular a la dirección de B) Rpta.43.2 μT.
147
FÍSICA II
12. Un conductor que forma un cuadrado de
longitud de lado l=0.4m lleva una corriente
I = 10ª Calcular la magnitud y dirección del
campo magnético en el centro del cuadrado.
13. Un conductor consiste de un lazo circular de radio R= 0.100m y dos
segmentos rectos como se muestran en la figura. El alambre se sitúa en
el plano del papel y lleva una corriente de I = 7.00A. Determine la
magnitud y dirección del campo magnético en el centro del lazo
14. Un segmento de alambre de la figura lleva una corriente I = 5.00A,
donde el radio del arco circular es R = 3.00cm. Determine la
magnitud y dirección del campo magnético en el origen.
15. Un anillo no conductor de radio R está uniformemente cargado con
una carga total positiva q. El anillo gira con una velocidad angular
constante w alrededor de un eje a través de su centro, perpendicular
al plano del anillo. Si R = 0.1m, q= 10 C y w= 20 rad/s. ¿cuál es el
campo magnético resultante en el eje del anillo a una distancia de
0.50m de su centro.
148
FÍSICA II
8.
LEY DE HENRY - FARADAY
8.1.
Introducción
Al comienzo de la década de 1830, Michael Faraday en Inglaterra y
Joseph Henry en Estados Unidos descubrieron independientemente
que un campo magnético variable induce un movimiento con un
conductor. Los resultados experimentales condujeron a una ley
fundamental que señala que la magnitud de la fuerza electromotriz
inducida en el conductor es igual a la variación con el tiempo del
flujo magnético que enlaza el circuito del conductor.
Imán
S
v
N
esfera
I
S
Imán
(a)
v
N
I
(b)
149
esfera
FÍSICA II
II
B
I
E
II
v
I
(c)
II
B
I
E
II
v
I
En la figura, se mencionan algunos ejemplos de la creación de
circuitos eléctricos “inducidos” en base a la variación de campos
magnéticos.
En (a) el imán se acerca hacia la espira con velocidad (v) el número
de líneas de flujo (de campo) que enlaza la espira está combinado
continuamente, esto produce una corriente I en la espira. Lo mismo
sucede en (b) pero ahora con el imán alejándose. En (c) y (d) el
150
FÍSICA II
circuito que tiene batería esta en propio campo magnético en su
r
espira circular (B) debido a que para ella pasa una constante I. El
circuito de la izquierda enlaza líneas de flujo. El número de líneas
enlazadas cambiará si acerca más (c) o alejamos (d), el circuito de la
batería.
Esta variación de líneas de campo crea una corriente eléctrica en el
circuito de la izquierda.
La variación de las líneas de campo magnético a través de circuitos
se interpreta como la variación del flujo magnético a través de ellos.
La variación del flujo a través de circuitos puede hacerse de muchas
más formas que las mostradas en los ejemplos. La corriente inducida
será mayor si la variación del flujo magnético es mayor.
8.2.
LEY DE HENRY – FARADAY
“Siempre que un flujo magnético variable en el tiempo atraviesa un
circuito, se induce una fuerza electromotriz en éste, cuya magnitud
es directamente proporcional a la intensidad de cambio del flujo
magnético con respecto al tiempo”.
Matemáticamente ésta ley puede escribirse de la siguiente manera:
r r
∂ φB
d
ε = K
= K
B . dA
∫
A
∂t
dt
(
Donde:
)
ε = Fuerza electromotriz inducida
A = Área encerrada por el circuito
k = Constante de proporcionalita
En el S.I. se toma
ε = K
∂
∂t
K = −1
∫
A
V.S
T . m2
r r
B . dA
Luego:
Ley de Henry - Faraday
151
FÍSICA II
Si A es una superficie plana, se tendrá:
∂
∂
ε = −
φB = −
( BA cos θ )
∂t
∂t
Si B, A y cos θ varían con el tiempo, tendremos:
dB
dA
d cos θ ⎤
⎡
ε = − ⎢ A cos θ
+ B cos θ
+ BA
dt
dt
dt ⎥⎦
⎣
ε = − A cos θ
Donde:
w =
dB
dA
− B cos θ
+ BAw.senθ
dt
dt
dθ
= velocidad angular
dt
Cuando el circuito es una bobina de N vueltas, la Ley de Henry Faraday puede expresarse como:
ε = − N
d .φ B
d
= − N
dt
dt
∫
A
r r
B . dA
Problema
Una bobina rectangular de 50 vueltas y dimensiones de 5 cm. x 10 cm. se
deja caer desde una posición donde B = 0 hasta una posición donde
B = 0,5 T y se dirige perpendicularmente al plano de la bobina. Calcular
la fem promedio resultante inducida en la bobina, si el desplazamiento
ocurre en 0,25s.
Solución
r
El área A de la bobina y el campo B , son perpendiculares en todo el
trayecto. En este caso debemos calcular el flujo utilizando el campo
promedio.
⎛ B + 0⎞
⎜
⎟ A
B prom . A
ΔφB
d φB
2 ⎠
⎝
= −
= −
= −
ε= −
Δt
dt
dt
Δt
152
FÍSICA II
⎛
BA
V .S
= − ⎜⎜ 1.
2 Δt
T .m2
⎝
ε=
−
ε=
− 0,5 v
⎞ (0,5 T ) (50 x 10 −2 m 2 )
⎟⎟
2 x 0,25s.
⎠
Problema
Un poderoso electroimán tiene un campo de 1,6 T y un área de sección
transversal de 0,20 m2. Si colocamos una bobina que tiene 200 vueltas y
una resistencia total de 20 Ω alrededor del electroimán y luego activamos la
potencia para el electroimán en 20 ms. ¿Cuál es la constante inducida en la
bobina?
Solución
Un electroimán es un arreglo de dos espiras paralelas, iguales, con varias
vueltas cada una, próximas entre si que conducen corriente en el mismo
sentido, generando en el espacio entre ellos un campo magnético
aproximadamente constante. Los electroimanes llevan generalmente imán
entre sus bobinas para acrecentar el campo.
En el problema:
ε= -N.(dφB)/(dt) ≅ -N.( Δφ/Δt) = - N.(Bprom.A / Δt) =
= -200 [(1.6+0).(0.20)]/(20x10-3)
ε = − 1,6 x 10 3 v
Por Ley de Ohm:
E = RI
⇒
I =
E
R
=
1,6 x 10 3 v
20 Ω
I = 80 A
8.3
LEY DE LENZ
Esta Ley trata acerca de la relación que existe entre el sentido de la
fem inducida en un circuito y el signo de la variación de flujo.
Puede enunciarse de la forma siguiente:
“La fem y la corriente inducidas en un circuito poseen una dirección
y sentido tal que tiendan a oponerse a la variación que las produce”.
153
FÍSICA II
y
B (x)
x
x
x
x
x
x
D
F3
b
x
F1
x F4
x
A
C
x F2
x
B2
x
x
x
x
a
B1
x
x
x
v
x
x
B
x
K
Para ilustrar esta ley damos un ejemplo.
Supongamos una espira rígida y rectangular, moviéndose hacia la
derecha con velocidad constante v en una región donde existe un
campo magnético que varía solo en x, orientado como se muestra la
figura. Tomemos de la espira para nuestro análisis, una carga libre q.
r
Sobre esta carga obviamente actuará B . Las fuerzas que actúan
sobre q en cada lado de la espira afectan en las dimensiones
mostradas.
r
El trabajo realizado sobre q por B en una vuelta, está dado por:
r
r
r
r
B r
C r
D r
A r
r r
W = ∫ Fs ⋅ dl = . ∫ F1 ⋅ dl + ∫ F2 ⋅ dl + ∫ F3 ⋅ dl + ∫ F4 ⋅ dl
l
A
B
C
D
r
r
Las integrales de A → B y de C → D dan “cero” porque F y d l
hacen un ángulo de 90º en todo el tramo, quedando:
r
r
B r
A r
r r
W = ∫ Fs. dl = ∫ F1 . dl + ∫ F3 . dl
l
Como:
∫
∫
B
A
D
A
A
r r
F1 . dl =
∫
r r
F3 . dl =
∫
l
A
B
A
D
(q v B1 ˆj ) . (dl ˆj ) = q v B1 b
(q v B2 ˆj ) . (dl ˆj ) = − q v B2 b
154
FÍSICA II
Luego:
W =
r r
F
∫ . dl = q ( B1 − B2 ) vb
l
El trabajo por unidad de carga será:
y
x
W
= ( B1 − B2 )vb
q
(1)
x
x
x
x
x
x
dA
x
x
x
x
b
x
x
dx = v dx
x
x
x
x
x
x
x
v
x
En el lado derecho de esta ecuación puede escribirse de la forma:
dx
⎛ dx ⎞
( B1 − B2 ) ⎜ ⎟ b = ( B1 − B2 ) b
(2)
dt
⎝ dt ⎠
Como: bdx es el diferencial de área dA sombreado en la figura, cuyo
vector representativo apunta saliendo de la página ó sea opuesto a
r
B.
Expresando los campos B1 y B2 y dA en forma vectorial, (2) podemos
expresarla como:
r
r (dA K )
B dA + B 2 dA
dx b
(B1 − B 2 )
= (B1 − B 2 ) (− K ) .
= − 1
dt
dt
dt
(B1 dA − B2 dA )
= −
dt
Donde:
B1 dA = Flujo entrante a la espira en el tiempo dt.
B2 dA = Flujo saliente a la espira en el tiempo dt.
La diferencia (B1 dA - B2 dA) es la variación de flujo dΦB en el
tiempo dt.
La ecuación (1) podemos expresarla como:
155
W
dφ
= −
q
dt
FÍSICA II
⎛W⎞
Además, el trabajo por unidad de carga ⎜⎜ ⎟⎟ desarrollado por el
⎝ q ⎠
campo magnético no es otra cosa que la fem creada en la espira.
Luego:
dφ
ε =−
dt
Esta ecuación indica que la fem (ε) y por ende la constante en el
circuito se crean para oponerse a la variación de flujo, esto es, tratar
de crear un flujo contrario que se oponga a la variación de éste.
Observación
r
r
La elección del vector área d A en la dirección + K , en cierto modo
r
r
es arbitraria ¿Qué sucederá si elegimos d A en la dirección − K ?
Siguiendo el mismo procedimiento anterior encontramos que:
ε =
dφ B
dt
Lo que indica que la fem (E) y la corriente en el circuito se crean
para acrecentar el flujo magnético. Este flujo aumentado tendrá una
derivada temporal mayor que producirá más fem y más corriente en
el circuito que a su vez crean más flujo y así sucesivamente. Esta
condición creará una corriente tan grande que el circuito se fundirá.
Desde el punto de vista energético podemos indicar que el circuito
r
dφ
B pero adicionalmente
absorbe energía eléctrica de B a razón
dt
hay absorción de energía debido a los cambios de flujo causados por
la propia corriente del circuito, es decir, se absorbe energía sin tener
una fuente de ingreso de ella, lo que viola el principio de
conservación de energía. Como vemos la fem inducida (ε) debe
siempre actuar en la forma anunciada de “oponerse” a la carga que
lo origina.
Sabemos que una espira por la cual circula una corriente se
comporta como un imán. Consideremos el caso de una esfera
circular y un imán que se le acerca como se muestra en la figura,
donde se ha hecho un corte por la mitad a la esfera. Según la Ley de
156
FÍSICA II
Lenz la corriente debe tener el sentido de circulación que crea el
campo magnético mostrado y la espira se comportará como un imán
en sus polos norte (N) y
sur (S).
Vemos que
conforme el imán se
acerca a ambos polos N
se repelen y el agente
v
externo debe realizar
N
S
N
S
trabajo para acercar el
imán hacia la espira.
Análogamente cuando el
xx
imán se retira de la espira
la corriente en la espira
cambia de sentido y su
campo magnético será contrario al mostrado y sus polos N y S
estarán ahora invertidos. Entre los N del imán y S de la espira habrá
una fuerza de atracción que trata de impedir el alejamiento del imán.
De nuevo el agente externo tendrá que hacer trabajo para retirar el
imán. El principio de conservación de energía indica que el trabajo
realizado por el agente externo debe ser igual al calor de joule
producido en la espira.
Si cortamos la esfera y realizamos el experimento de acercar o alejar
el imán de ella, ya no circulará corriente, no habrá fuerza de
oposición al movimiento de los imanes, el agente externo no hará
trabajo y no habrá calor de joule generado. Pero sin embargo se
creará una fem latente entre los extremos de la esfera cortada en
forma similar a una batería o a un circuito abierto.
8.4
Fuerza electromotriz de movimiento
En la figura se muestra una varilla conductora que se desliza hacia la
derecha apoyándose en dos alambres paralelas conductoras unidas a
r
una resistencia en una región donde existe un B constante.
Calculemos la fem desarrollada en el circuito formado.
El flujo que atraviesa el circuito cuando la varilla está a una distancia
x del extremo izquierdo, está dado por:
157
FÍSICA II
φ B = BA = Bl x
l
x
B
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
K
v
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
El aumento del flujo en el tiempo dt cuando la varilla pasa de la
posición x a (x + dx) se obtendrá :
dφ B = Bl x = Bl v d t
Donde: v =
dx
dt
⇒
dφ B
= Bl v
dt
velocidad de la varilla.
Por tanto, la magnitud de la fem inducida es:
y la corriente generada por esta fem es:
I =
ε
R
=
ε =
d φB
= Bl v
dt
Bl v
R
y tiene sentido antihorario. El flujo producido por esta corriente
inducida es saliente del papel, oponiéndose al incremento de flujo
provocado por el movimiento de la barra. Debido a ésta corriente,
en la varilla deslizante se crea una fuerza que apunta hacia la
izquierda oponiéndose al movimiento de ésta y cuyo valor está dado
por:
B2 l 2 v
⎛ Bl v ⎞
F = IlB = ⎜
⎟l B =
R
⎝ R ⎠
158
FÍSICA II
La varilla entonces tiene que ser jalada hacia la derecha por un
agente externo contrarrestando ésta fuerza. Para medir la varilla en
v = constante el agente debe realizar trabajo a la razón (Potencia):
B 2 lv 2
P = Fv=
R
B
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
l
v
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Otro caso interesante es el de una varilla recta que ya no cierra un
circuito, como se muestra en la figura, moviéndose hacia la derecha
r
en una región donde existe un campo magnético B constante. Los
electrones libres en el conductor experimentan una fuerza dirigida
r
r r
hacia abajo: F = q v x B que los llevará hacia el extremo inferior
acumulándose ahí, dejando una carga positiva recta en el extremo
superior. En estas condiciones se crea un campo eléctrico dentro del
conductor de arriba hacia abajo. La carga en los extremos se
acumula hasta que la fuerza magnética q v B sea equilibrada por la
fuerza eléctrica qE. En ésta condición:
q E = qv B
⇒
E = Bv
La diferencia de potencial creada en la varilla debido a la
acumulación de carga en sus extremos es:
V = El = Bl v
159
FÍSICA II
Supongamos ahora que la barra en vez de viajar rote alrededor de
uno de sus extremos con velocidad angular constante W, como se
muestra en la figura.
B
x
x
x
x
x
x
W
x
r
x
1
x
x
x
O
x
x
v
x
x
l
x
x
x
dr
1
x
x
x
x
Consideremos un segmento dr de la barra cuya velocidad tangencial
es v. La fem generada sobre dr es:
dE = Bvdr
Sobre cada segmento de la barra se genera una fem similar. La fem
total entre los extremos de la barra rotativa será la suma de los dε
generados en cada dr. La fem total la hallaremos entonces,
integrando la ecuación anterior.
ε =
∫
E
0
dε =
ε =
8.5
∫
l
0
ε v dr =
∫
l
0
B w r dr
1
B wl 2
2
Espira Rotatoria En Un Campo Magnético Constante
Los generadores y motores son dispositivos importantes que
funcionan a partir de la inducción electromagnética. Un generador
de corriente alterna o directa, convierte energía mecánica en energía
eléctrica y un motor convierte energía eléctrica en energía mecánica.
160
FÍSICA II
Ellos se basan en la rotación de una espira alrededor de un campo
magnético. En la figura se muestra las partes más importantes de un
generador de corriente alterna. Al girar la bobina crea una corriente
I que puede ser utilizada para realizar trabajo útil.
N
S
I
W
R
cepillo
En la siguiente figura mostramos una esfera rotante con velocidad
angular w en una región de campo magnético constante.
W
Normal
B
θ
N
xx
S
W
Supongamos que la espira tiene N vueltas y gira con velocidad
angular constante w y tiene un área A. El flujo a través de una
vuelta en el instante mostrado es:
φ B = BA cosθ = BA cos wt
161
FÍSICA II
Con condiciones iniciales: θ = 0 en t = 0. La fem inducida en la
esfera será:
d φB
d cos wt
= − N AB
ε = − N
dt
dt
ε = N A B w sen wt
Vemos que la fem ε, varía sinusoidalmente con el tiempo y el valor
máximo de ε, es: ε máx = N A B W
Problema
Un generador de corriente alterna consta de 16 vueltas de alambre de área
A = 0,09 m2 y una resistencia de 24 Ω. El lazo gira en un campo
magnético B = 0,25 T a una frecuencia de 60 Hz.
a.
Determine la máxima fem inducida
b.
¿Cuál es la máxima corriente inducida?
Solución
Tenemos que:
W = 2π f = 377 Hz
ε máx = 136 V
a.
ε más = N A B W = 16 (0,09 m 2 ) (0,25 T ) (377 S −1 )
b.
I máx =
ε máx
R
=
136 V
RΩ
I máx = 11,3 A
162
FÍSICA II
Problema
Un motor tiene bobinas con una resistencia de 20 Ω y se alimenta con un
voltaje de 220 voltios. Cuando el motor está funcionando a velocidad
máxima genera una fem inducida de 100 voltios. ¿Cuál es la corriente en
las bobinas cuando el motor recién arranca?. ¿Y cuál cuando el motor ha
alcanzado su máxima velocidad?
Solución
Cuando el motor arranca la fem inducida es “cero” porque las bobinas no
rotan, entonces tendremos:
220 v
ε
I =
=
⇒
I = 11 A
R
20 Ω
Cuando el motor ha alcanzado su máxima velocidad la fem inducida es:
ε
máx
= 110 v
Luego:
I =
ε − ε máx
R
=
220 v − 110 v
110 v
=
20 Ω
20 Ω
I = 5,5 A
8.6
Fuerzas electromotrices inducidas y campos eléctricos
Hemos visto ya que un flujo magnético cambiante a través de una
espira crea una fem inducida y genera una corriente en ella. Las
cargas eléctricas dentro de un conductor solo pueden salir del reposo
si un campo eléctrico actúa sobre ellas. Incluso podemos decir que
si existe un campo magnético cambiante en una región del espacio
vacío, éste creará un campo eléctrico porque el flujo a través de
cualquier superficie no paralela al campo es diferente de cero aún
cuando no está presente una espira. Este campo eléctrico inducido
es perpendicular al campo magnético porque si dejamos una carga
de fuerza q en ésta región, se moverá perpendicularmente al campo
variante.
163
FÍSICA II
Como ejemplo consideramos
r
un campo magnético (B) fijo
en orientación pero variante en
magnitud, como se muestra en
la figura. Las líneas de fuerza
que
representan
campo
r
magnético inducido (E ) son
B
x E
x
x
x
E
x
x
x
x
r
x
x
x
x
circulares.
Una carga de
q
fuerza q liberada en esta
x
E x
x
región hará una trayectoria
r
circular bajo la acción de la fuerza sobre ella, q E .
El trabajo (W) realizado sobre q en una vuelta es: W =
E x
r
r
∫qE . d l
Y el trabajo por unidad de carga será:
W
=
q
∫
r
r
E . dl
(1)
r
Además la Ley de Henry - Faraday nos indica que el campo B ,
variante induce en el espacio una fem dada por:
d
ε = −
φB
dt
que no es otra cosa que el trabajo por unidad de carga realizado
sobre q. Esto es:
W
d
ε =
= −
φB
(2)
q
dt
Comparando (1) y (2) obtenemos:
ε =
∫
r
r
d
E . dl = −
φB
dt
164
FÍSICA II
r
Debemos notar que como E nos proporcione de cargas
estacionarias, debe tener propiedades bastante diferentes que los
campos electrostáticos.
Problema
Un campo magnético de orientación fija y magnitud variable ocupa una
región cilíndrica como se indica en la figura. Su valor en un instante dado
es de 0,5 T. y disminuye a razón de 0,1 T/s.
r
a.
¿Cuál es la configuración del campo eléctrico inducido E ?
b.
c.
¿Cuál es el valor de la fem E inducida en el anillo conductor circular
de 10 cm. de radio?
r
¿Cuál es la magnitud campo E en el anillo?
d.
¿Cuál es la corriente en el anillo si su resistencia es 2Ω?
e.
¿Cuál es la diferencia de potencial entre los puntos a y b del anillo
f.
diametralmente opuestos?
Si se corta el anillo en algún punto y se separan ligeramente los
extremos ¿Cuál será la diferencia de potencial entre los mismos?
B
x
x a
x
x
x x
x
x
10 cm.
x
x
x
x
x
x
Solución
Como
B = 0,5 T
;
x
x
x
x
dB
= 0,1 T S
dt
165
x
x
x
b x
x
x
x
x
FÍSICA II
a.
b.
r
Las líneas de fuerza de E inducido son círculos concéntricos con
r
centro en el eje de la región cilíndrico perpendiculares a B y su
orientación es horaria.
La fem E esta dada por:
ε = −
d
φB =
dt
−
d
dt
∫
[
]
r
r
d
⎛d B⎞
2
B.dA = −
B π r2 = ⎜
⎟πr
A
dt
⎝ dt ⎠
ε = 3,14 m V
c.
Tenemos que:
r
r
∫ E . dl
= ε
E =
E 2π r 2 = ε
⇒
3,14 x 10 −3 v
2 x 3,14 x 0,10 m
ε
⇒
ε
2π r
E = 0,005
⇒
3,14 x 10 −3 v
2Ω
E =
v
m
I = 1,59 m A
d.
ε = I R
e.
La diferencia de potencial solo se define para campos electrostáticos
asociados con cargas estacionarias que cumplirán con la condición:
r
r
E
.
d
l = 0 mientras que los campos eléctricos creados a base de
∫
⇒
I =
R
=
⇒
l
flujos magnéticos variantes cumplen con la condición:
r
r
r
d φB
Como
nuestro
problema
no
existe
E
E
.
d
l
=
−
≠
0
.
∫l
dt
electrostático entonces:
ΔV = Va − Vb = 0
166
FÍSICA II
f.
El campo eléctrico inducido
r
(E ) acumula cargas libres del
B
conducto
en
ambos
extremos. Conforme la carga
se va acumulando, estos
crean
un
campo
r
electrostático (E 0 ) en el
espacio en movimiento y
también
dentro
del
conductor, hasta que sean
r
r
E y E 0 tengan el mismo
r
valor de tal manera E 0 ya
E
q
-Q
+Q
E
r
r
ΔV = ∫ E0 . d l = E0 2π r = E 2π r
que no pueda acercar cargas
libres a los extremos porque estos estarán en equilibrio. En estas
condiciones tenemos que: E 0 = E y:
Reemplazando datos:
v⎞
⎛
ΔV = ⎜ 0,005 ⎟
m⎠
⎝
(6,28 x 0,10 m )
ΔV = 3,14 m V
Observación
Si uniéramos ambos extremos con un alambre delgado conductor,
r
automáticamente + Q y – Q se anulan y entonces E 0 = 0 y
ΔV = 0 , mientras que E = 3,14 m V ≠ 0.
8.7
Inductancia
El flujo que atraviesa una espira o bobina puede deberse a la
corriente misma de ella ó a las que circulan por circuitos vecinos
próximos (No consideramos imanes permanentes).
De lo estudiado en el párrafo anterior podemos decir que existe una
relación directamente proporcional entre el flujo y la corriente que
lo produce.
167
FÍSICA II
Consideremos primero el caso de el flujo (φ m ) creado en una espira
por la misma corriente (I) que circula en ella.
proporcionalidad está dada por:
La relación de
φB = L I
Donde:
L = Constante de proporcionalidad, que se conoce
con el nombre de “Autoinducción” de la espira. La unidad de L es
el “Henry” (H):
1H = 1
Wb
T m2
= 1
A
A
El cálculo de L es normalmente difícil porque depende de la
geometría de la bocina, pero existen casos donde su cálculo es
relativamente fácil.
Problema
Calcular la “Autoinducción” L de un solenoide arrollado apretadamente de
N vueltas y longitud l que lleva una corriente I y de sección A.
Solución
φB
(1)
I
El campo magnético de un solenoide está dado por:
L =
Tenemos que:
Donde:
n =
N
L
B = μ0 n I
número de vueltas por unidad de longitud.
El flujo será:
L = μ0 n 2 A l
φ B = N B A = N (μ 0 n I) A = μ 0 n 2 I l A
En (1):
Si: N = 200 vueltas ; l = 8 cm. ; A = 5 cm2 tendremos:
L = 15,7 x 10−5 H
168
FÍSICA II
Problema
Derivar una expresión para la autoinducción de un toroide de sección
rectangular, como el mostrado en la figura.
b
a
dr
r
I
h
B
B
Utilizando los siguientes datos:
N = 103 vueltas; a = 5 cm. ; b = 10 cm. ; h = 1 cm.
Solución
Aplicando la Ley de Ampere a la trayectoria circular de radio r:
r
r
μ NI
∫ B . d l = μ 0 N I ⇒ B = 02π r
Con este campo calcularemos el flujo a través de una sección del toroide:
φB =
∫
A
r
r
B . dA =
∫
A
Tendremos entonces que:
L =
N φB
=
I
Bh d r =
φB =
⎛ μ0 N I ⎞
μ NIh
⎟⎟ h d r = 0
a
2π r ⎠
2π
b
∫ ⎜⎜⎝
μ0 N I h
⎛b⎞
.Ln ⎜ ⎟
2π
⎝a⎠
⎛b⎞
⎝ a ⎠ = μ N 2 .Ln ⎛ b ⎞
⎜ ⎟
0
⎝a⎠
μ 0 N 2 I .Ln⎜ ⎟
I
169
∫
b
a
dr
r
FÍSICA II
Reemplazando los datos numéricos del problema, se encuentra que:
L = 1,4 x 10 −3 H = 1,4 m H
Observación
En los problemas que hemos resueltos para hallar L vemos que ella
depende solamente de los parámetros geométricos del circuito. En general
esto es cierto para cualquier circuito.
Cuando el flujo a través de un circuito varía con el tiempo, se tendrá:
dφ B
d
dI
=
(L I ) = L
dt
dt
dt
Y de acuerdo a la Ley de Henry - Faraday:
E = −
dφ B
dI
= − L
dt
dt
Problema
Por una bobina con una autoinducción de 0,8 H. circula una corriente 3 A
y varía a razón de 200 A S .
a.
Hallar el flujo magnético que atraviesa la bobina.
b.
Hallar la fem inducida en la bobina.
Solución
a.
φB = L I = (0,8 H) (3 A)
E = L
dI
A
= (0,8 H) (200 )
dt
S
⇒
⇒
170
φ B = 2,4 w b
E = 160 v
FÍSICA II
8.8
Inductancia mutua
Cuando dos circuitos que llevan corriente están próximos entre sí,
existe influencia mutua entre ellos porque el campo magnético de
uno atraviesa el otro generando un flujo a través de éste último.
En la figura se muestran dos circuitos y sus campos magnéticos
atravesando el otro.
II
I2
(1)
BI
)
(2
I
I
I
2
(1
)
B
2
)
(2
Para el circuito (2) el flujo total que lo atraviesa, es la suma de dos
partes: Una debido a la propia corriente I2 y la otra debida a la
corriente I1, esto es:
φ2 B = L2 I2 + M 21 I2
Y una expresión similar para
φ1B :
φ1B = L1 I1 + M12 I 2
Donde:
M12 = Inductancia mutua.
Puede mostrarse que en general para circuitos acoplados: M21 =
M12 y se le conoce como “Inductancia mutua”
171
FÍSICA II
Problema
Los solenoides largos y estrechos de espacios afectados están uno dentro del
otro y tienen el mismo eje. Tienen longitud l, radios r1, r2 ( r2 > r1)
respectivamente. El más pequeño tiene N1, vueltas y lleva una corriente I,
y el otro tiene N2 vueltas y lleva una corriente I2. Calcular la inducción
mutua de ambos solenoides.
Solución
El campo magnético creado por I1 en su interior es: B1 = μ 0
N1
I1
l
El flujo de éste campo a través del solenoide más grande es:
φ 2 B = N 2 B1 (π r12 ) = N 2 ⎜ μ 0
⎛
⎝
De donde:
M 12 =
φ2 B
I1
= μ0
N1 ⎞
I 1 ⎟ π r12
l
⎠
N1 N 2
π r12
l
Del mismo modo, el campo magnético que I2 crea en su interior es:
N2
B2 = μ0
I2
el flujo de éste campo a través del solenoide más
l
pequeño es:
N 2 I2 ⎞ 2
⎛
φ1B N1 B π r12 = N1 ⎜ μ 0
⎟ π r1
l ⎠
⎝
( )
De donde vemos que: M12 = M21
Si r1 = 2 cm. y r2 = 5 cm.; l = 25 cm; Nl = 300 vueltas ; N2 = 1000
vueltas ; se tendrá:
M 12 = M 21 = 19 x 10 −4 H
8.9
Circuitos L R
La característica de una bobina en un circuito es de impedir que la
corriente aumente o disminuya de modo instantáneo.
Consideremos un circuito compuesto por una resistencia (R) y un
inductor cuya autoinducción es L.
172
FÍSICA II
Cuando se conecta el interruptor s en a automáticamente surge en
dI
el inductor una fuerza contra electromotriz L
en oposición a
dt
εo .
De acuerdo a la Segunda Ley de Kirchoff, tendremos:
ε0 − 1
dI
= RI
dt
ó lo que es lo mismo:
ε0 − R I − L
dI
= = 0
dt
(α)
dI
≠ 0 porque
dt
ella tiene que aumentar. Luego de la ecuación anterior:
⎛d I ⎞
L ⋅⎜
= ε0
⎟
⎝ dt ⎠ t = 0
En t = 0 , la corriente es I = 0 pero su derivada
En cualquier instante posterior; I ≠ 0; Luego:
ε
dI
RI
= 0 −
dt
L
L
dI
Mientras I aumenta,
disminuye hasta que se hace cero. En ese
dt
momento I alcanza su valor máximo Im:
ε
dI
Im R
=0= 0 −
dt
L
L
Im =
ε0
R
La solución matemática de la ecuación (α)
es:
173
I =
ε0
R
[1 − e ( ) ]
−
R
L
t
FÍSICA II
En el gráfico mostramos la variación de I con respecto al tiempo. Se
define por motivos prácticos:
L
τ =
constante de tiempo inductiva.
R
I
Im
E/R
t
τ es el tiempo en el cual la corriente alcanza el 63% de su máximo
valor I m =
ε0
R
. Luego:
I =
ε0
R
[1 − e ]
− tτ
Si el interruptor S ahora se pasa de a hacia b la batería queda
desconectada y la ecuación (α) se transforma en:
L
dI
+ RI = 0
dt
(β)
Cuya solución es de la forma mostrada
t
E −
I = 0 eτ
R
Vemos que la corriente decae exponencialmente como se muestra
en el grafico I Vs.t.
174
FÍSICA II
I
E/R
t
Problema
Un solenoide tiene una inductancia de 30 H y una resistencia de 50 Ω. Si
se conecta a una batería de 100 voltios. ¿Después de cuanto tiempo la
corriente alcanzará la mitad de su valor final de equilibrio.
Solución
El valor I está dado por:
E
I = 0
R
t
−
⎛
τ
⎜1 − e L
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
2
⇒
t
−
E 0 ⎛⎜
⎛ E0 ⎞
τL
1− e
⎜ ⎟ =
R ⎜⎝
⎝ R ⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛L⎞
t = τ L ln 2 = 0,69 ⎜ ⎟
⎝R⎠
Reemplazando los valores dados de L y R, se obtiene:
De donde:
t = 0,41s
8.10
Energía magnética
En un circuito L R la batería realiza trabajo para establecer una
corriente en el circuito mencionado la fuerza contra electromotriz
inducida por el inductor. Parte de la energía suministrada por la
batería se pierde en forma de calor de joule en la resistencia y la
restante se almacena en el inductor. De la ecuación (α):
dI
ε0 = R I + L
dt
175
FÍSICA II
Multiplicando por I ambos miembros, obtendremos:
dI
ε0 I = R I 2 + L I
dt
Donde:
ε0 I = Potencia desarrollada por la batería
R I = Potencia desarrollada en la resistencia (calor de joule)
dI
LI
= Energía por unidad de tiempo (potencia) desarrollada
dt
para almacenar energía (UB) en el inductor.
d UB
dI
Luego:
= LI
dt
dt
La energía total almacenada en el inductor desde que se establece
( I = 0 ) hasta un valor I se halla integrando la ecuación anterior:
UB =
∫
UB
0
UB =
d UB =
∫ LI dI
I
0
1
L I2
2
(joules)
Esta energía almacenada puede expresarse en función del campo
r
magnético (B) del inductor cuando la corriente es I. Por ejemplo,
para un solenoide: L = μ 0 n 2 A l
y B = μ0 n I
Luego:
UB
(
1
1
= L I2 =
μ0 n 2 A l
2
2
)
2
⎛ B ⎞
⎛ B2 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ A l
⎝ μ0 n ⎠
⎝ 2 μ0 n ⎠
Donde:
A l = Volumen interior del solenoide.
La unidad de energía, entonces será:
UB
UB
B2
=
=
Al
2 μ0
176
(joules/m3)
FÍSICA II
Esta expresión deducida para un caso particular, es bastante general
y es válida para cualquier región del espacio donde exista un campo
magnético.
En el caso en que una región del espacio existan un campo eléctrico
y un campo magnético, la densidad de energía total estará dada por:
μ =
1
1
ε0 E2 +
B2
2
2 μ0
(J/m3)
Problemas
Una batería de 10 voltios, un resistor de 5 Ω y un inductor de 10 H se
conecta en serie. Después de que la corriente en el circuito ha alcanzado
su valor máximo, calcular:
a.
La potencia suministrada por la batería.
b.
La potencia disipada en el resistor.
c.
La potencia disipada en el inductor.
d.
La energía almacenada en el campo magnético del inductor.
Solución
El valor máximo de la corriente en el circuito es:
Im =
a.
ε0
R
=
10 v
5Ω
⇒
La potencia suministrada por la batería estará dada por:
PE = I m ε 0 = (2 A) (10 v)
b.
Im = 2 A
⇒
PE = 20 w
Potencia disipada en el resistencia:
PR = I 2 R = (2 A ) 2 (5 Ω)
⇒
177
PR = 20 w
FÍSICA II
c.
Como
dI
= 0 cuando I alcanza su valor máximo Im, entonces la
dt
potencia disipada por el inductor será.
PL = L I
d.
dI
dt
⇒
PL = 0
Sabemos que:
UB =
1
1
L I 2 = (10 H) (2 A ) 2
2
2
⇒
U B = 20 J
Problema
¿Cuánta energía se requiere para establecer un cubo de l = 15 cm. de arista
a.
Un campo eléctrico uniforme de 105
b.
Un campo magnético uniforme de 1 gauss. Estos campos pueden
establecer normalmente en un laboratorio.
V
m
.
Solución
a. La energía requerida para establecer el campo eléctrico será:
UE
1
⎞
⎛1
= ⎜ ε0 E2 ⎟ l3 =
2
⎠
⎝2
⎛
C2 ⎞ ⎛ 5 V ⎞
⎜⎜ 8,85 x 10 −12
⎟ ⎜10
⎟
m⎠
N x m 2 ⎟⎠ ⎝
⎝
U E = 14,9 x 10 −5 J
b. De similar manera:
⎛ B
U B = ⎜⎜
⎝ 2 μ0
⎛ W b⎞
⎜1 2 ⎟
⎝ m ⎠
2
⎞ 3
3
⎟⎟ l =
x (0,15 m )
⎛
Wb ⎞
⎠
⎟
2 ⎜⎜ 4 π x 10 −7
A . m ⎟⎠
⎝
U B = 1343 J
178
2
(0,15 m )3
FÍSICA II
PREGUNTAS
1.
2.
3.
Dos alambres paralelas conducen corrientes en direcciones opuestas.
Describa la naturaleza del campo magnético resultante creado por dos
alambres en un punto:
a.
Entre los alambres
b.
Fuera de los alambres en un plano que los contiene.
Cuando se ensambla un circuito eléctrico, una práctica común es
torcer dos alambres que conducen corrientes iguales y opuestas. ¿Por
qué esta técnica reduce los campos magnéticos parásitos?.
Compare la Ley de Ampere con la de Biot – Savarat. ¿Cuál es el
r
método más general para calcular B para un conductor por el que
circula una corriente?.
4.
Describa las similitudes entre la Ley de Ampere en magnetismo y la
Ley de Gauss en electrostática.
φB
L = E (d I dt )
5.
Sabemos que L se puede expresar como: L = N I y
.
Mostrar que las dimensiones de los segundos miembros son iguales.
6.
En la mayor parte del hemisferio norte el campo magnético terrestre
tiene una componente vertical dirigida hacia el interior de la Tierra.
UN AREOPLANO QUE VUELA HACIA EL Este genera una fem. entre
los extremos de sus alas ¿Qué extremos adquiere un exceso de
electrones y cuál un defecto?
7.
Se sitúa una lámina de cobre entre los polos de un electroimán, de
forma que el campo magnético queda perpendicular a la lámina. Para
sacarla se requiere una fuerza considerable que aumenta con la
rapidez. ¿A qué se debe?.
8.
Un conductor que transporta corriente pasa por el centro de un anillo
metálico, perpendicular a su plano. Si la corriente del conductor
aumenta. ¿Se induce una corriente en el anillo?.
9.
Un tubo de cobre muy largo se orienta verticalmente. Describe el
movimiento de un imán de barra que se deja caer a lo largo del tubo.
10. Dos circuitos acoplados A y B, se sitúan como se muestra en la figura.
¿Cuál es el sentido de la corriente inducida en el servidor a b
cuando:
179
FÍSICA II
a.
b.
c.
B se acerca a A.
R se disminuye.
Se desconecta el interruptor S.
A
B
R
a
S
b
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.
Una varilla metálica de un metro de longitud gira respecto a un eje,
que pasa por uno de sus extremos y es perpendicular a la varilla, con
una velocidad angular de 12 rad S . El plano de rotación de la varilla es
perpendicular a un campo magnético uniforme de 0,3
Wb
m2
. ¿Cuál es
la fem inducida entre los extremos de la varilla?
Respuesta: 1,8 voltios.
2.
Un lazo de alambre circular de 0,50 m de radio está en un plano
perpendicular a un campo magnético de 0,40 T de magnitud. Si en
0,10 s se deforma el alambre como un cuadrado pero permanece en
el mismo plano. ¿Cuál es la magnitud de la fem inducida promedio
en el alambre durante este tiempo?
Respuesta: 0,66 voltios
3.
Un avión Boing con una longitud entre sus alas de 60 m vuela
horizontalmente a una velocidad de 300 m S sobre una ciudad, donde
la dirección del campo magnético terrestre es a 58º debajo de la
horizontal. Si la magnitud del campo magnético es 50 mT. ¿Cuál es
el voltaje generado entre las puntas de las alas?.
Respuesta: 763 mV.
180
FÍSICA II
4.
En el arreglo mostrado en la figura el resistor es de 6 Ω y un campo
magnético se dirige hacia dentro de la página de 2,5 T. Sea l = 1,2
m e ignore la masa de la barra.
R
a.
l
Fab
Calcule la fuerza aplicada que se requiere para mover la barra
hacia la derecha a una velocidad constante de 2 m S .
b.
¿A qué tasa se disipa la energía en el resistor?
Respuesta: a) 3 N
b) 6 w.
5.
Una bobina cuadrada plana de 10 vueltas tiene lados de 12 cm. De
longitud. La bobina gira en un campo magnético de 0,025 s T.
a.
¿Cuál es la velocidad angular de la bobina si la máxima fem
producida es
20 mV.
b.
¿Cuál es la fem media inducida a esta velocidad?
b) cero.
Respuesta: a) 5,56 rad S
6.
En el Ecuador una bocina de 1000 vueltas, 300 m2de área de sección
recta y 15 Ω de resistencia se orienta de modo que su plano es
perpendicular al campo magnético terrestre de 0,7 gauss. Si se hace
girar 90º la bocina. ¿Cuánta carga fluirá por la bocina?
Respuesta: 2,8 x 10 −4 C
7.
Se conecta una bobina cuya autoinducción es 2 H y su resistencia 12
Ω a una batería de 24 v. y de resistencia interna despreciable.
a.
¿Cuál es la corriente final?.
b.
¿Cuánta energía se almacena en la bocina cuando se alcanza el
valor final de la corriente?.
Respuesta: a) z A
b) 4 J.
181
FÍSICA II
8.
Dos solenoides de radios 2 cm. y 5 cm. son coaxiales. Cada uno de
ellos tiene 25 cm. de longitud y poseen respectivamente 300 y 1000
vueltas. Determinar su inductancia mutua.
Respuesta: 1,89 m H
9.
En una bocina de 200 esferas muy próximas una corriente de 10 A
produce un flujo total de 10 webers. Calcular la energía almacenada
en el campo magnético.
Rpta: 10 4 J
10.
Un disco circular de cobre de 10 cm. de diámetro rota a
1800 rev min alrededor de un eje que pasa por su centro y es
r
perpendicular al disco. Un campo magnético B de 10 000 gauss es
perpendicular al disco.
¿Cuál es la diferencia de potencial
desarrollada entre el centro del disco y su superficie?.
Rpta: 1500 voltios.
9.
FLUJO MAGNÉTICO
ƒ
El flujo magnético se define de una manera similar al del campo
magnético.
Supongamos un campo magnético arbitrario atravesando una
superficie s como se muestra en la figura. El flujo de B a través de S
estará dado por:
r r
φ B = ∫ B . S = ∫ e cos θ dS
( Weber = T . m2 )
ƒ
S
S
B
ds
θ
S
182
FÍSICA II
Problema.
Calcular el flujo magnético a través de la espira rectangular mostrada en la
figura. El campo magnético es creado por un hilo de corriente recto infinito
a una distancia “C” de la espira.
x
x x x
x
x
I
x
dr
x
x
x
x
x
x
r
x x x
x
x
c
x
x
x x x
x
a
x
x
x
Solución
El campo magnético creado por el hilo de corriente de acuerdo a la Ley de
Ampere está dado por:
B =
μ0 I
2πr
El flujo a través de la espira, está dada por:
μ Ib
μ I
μ I b c + a dr
= 0
φ B = ∫ b cos 00 dS = ∫ B dS = ∫ 0 . b dr = 0
[n r ] cc + a
∫
2πr
2π c r
2π
φB =
9.1
ƒ
μ0 I b
⎛c + a⎞
|n ⎜
⎟
2π
⎝ c ⎠
LEY DE GAUSS DEL MAGNETISMO
Al desarrollar la Ley de Gauss para los campos eléctricos, vimos que
el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada era proporcional a
la carga neta encerrada por la superficie, esto es lo mismo que decir
que el flujo eléctrico es proporcional al mismo neto de líneas de
fuerza que atraviesan la superficie Gaussiana y que nacen o si su
margen justamente en la carga encerrada por la superficie. Esta
propiedad tiene su base en el hecho que las líneas de fuerza
183
FÍSICA II
ƒ
ƒ
ƒ
emergen de las cargas positivas y se
sumergen en los negativos. Una de
estas cargas está en el exterior de la
N
superficie Gaussiana.
El caso de las líneas de fuerza de los
campos magnéticos es diferente
porque ellos son “líneas cerradas”.
Ellos no empiezan ni terminan en
algún punto.
Si el imán de barra mostrado en la
S
figura, vemos que las líneas de
fuerza son cerrados.
Debemos anotar que para cualquier
superficie Gaussiana que tomemos, el número de líneas de fueraza
que entran es igual al número de líneas de fuerza que salen.
La Ley de Gauss del magnetismo se establece de la siguiente
manera:
“El flujo magnético a través de cualquier superficie cerrada es
siempre cero”.
v
r
∫ B . dS
9.2
= 0
CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO
Habíamos visto que la Ley de Ampere solo es aplicable para sistemas
de corrientes eléctricos de alta simetría, donde las corrientes son
constantes.
∫
l
r
v
B . d l = μ0 I
Donde la integral es una integral de línea a través de una trayectoria
cerrada que encierra a la corriente I.
184
FÍSICA II
ƒ
Maxwell generalizó esta Ley para introducir situaciones en las cuales
no circula corriente eléctrica a través de una parte del circuito. Para
entender la generalización, lo hacemos con los siguientes ejemplos.
Supongamos un condensador que se está cargando, como se muestra
en la figura.
I
Rut a P
-Q
Q
A
I
S2
S1
Es claro que no pasa la corriente I entre las placas, pero conforme
ellos se van cargando la corriente I va disminuyendo.
Considerando las superficies S1 y S2 delimitadas por la misma
trayectoria P, la Ley de Ampere indica que:
r
v
B
.
d
l = μ0 I
∫
P
Donde I es la corriente que atraviesa cualquier superficie limitada
por P. Con la superficie S1 no hay problema porque la Ley de
Ampere se cumple con propiedad. En cambio la corriente I no
atraviesa la superficie S2 y se generará una situación contradictoria en
la Ley de Ampere.
Para resolver éste problema Maxwell adicionó en la ecuación de la
Ley de Ampere un término que denominó “corriente de
desplazamiento” definido como:
Id = ε0
d φE
dt
Donde: φE = Flujo de campo eléctrico
185
FÍSICA II
El campo eléctrico considerado es el que se crea entre las placas del
condensador.
Este campo eléctrico varía a medida que el
condensador se carga (o se descarga).
Adicionando Id en la Ley de Ampere, tendremos:
v
r
∫ B.dl
l
= μ 0 (I + I d ) = μ 0 I + μ 0 E 0
En donde para el condensador:
d φE
dt
(Ley de Ampere Maxwell)
r
Q
PE = EA =
E0
Luego:
d φE
d ⎛Q
⎜
=
dt
dt ⎜⎝ ε 0
⎞
1 dQ
⎟⎟ =
ε 0 dt
⎠
⎛ 1 dQ⎞
dQ
⎟⎟ =
⇒ I d = ε 0 ⎜⎜
= I
dt
⎝ ε 0 dt ⎠
Vemos que Id en realidad equivale a una corriente eléctrica y es igual
a I. Como el 2do término del lado derecho contribuye a la creación
del campo magnético. Se tiene que:
“Los campos magnéticos son producidos tanto por corrientes de
conducción como por campos eléctricos variables”.
Problema
Un voltaje sinosoidal se aplica directamente en un capacitador de 8 μf. La
frecuencia de la fuente es de 3 KHz y la amplitud del voltaje igual a 3
voltios. Indique la corriente de desplazamiento entre las placas del
capacitador.
Solución
La frecuencia angular de la fuente es:
(
)
W = 2 π f = 2 π 3 x 10 3 Hz = 6 π x 10 3 5 −1
Luego, el voltaje en el capacitador estará dado por:
V = V0 sen wt = 3 sen ( 6 π x 103 t )
186
FÍSICA II
Sabemos que:
dQ
d
(C V ) = C d V = 8 x 10 −6 d
Id =
=
dt
dt
dt
dt
(
)
[ 3 sen (6π
(
I d = (4,52 A ) cos 6π x 103 t
9.3
x 10 3 t
)]
)
CORRIENTES PARASITAS
Son las corrientes que nacen cuando un elemento metálico se mueve
a través de un campo magnético.
Supongamos una plancha rígida de metal oscilando como se muestra
en la figura. Al oscilar se crea un flujo cambiante que crea una fem.
inducida en la placa, la cual, hace que los electrones libres en el
metal se muevan su forma de remolino. Según la Ley de Lenz estás
corrientes son tales que crean un campo magnético contrario al ya
existente.
x
x
x
x
B
B
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
v
x
v
I
x
x
I
x
x
x
v
F
F
x
x
x
x
x
x
xF x
x
x
(a)
x
x
x
(b)
r
En el caso de la figura (a) el campo magnético B genera una fuerza
r r
retardada ( F = − e v x B ) sobre la placa generando el retardo de
su movimiento perpendicular. Las corrientes parasitas ó de foucault
se pueden reducir si se hacen ranuras en la plancha, como se
muestra en el figura (b). El flujo cambiante en este caso se reduce
solo a las estrías remanentes y las corrientes parásitas serán pequeñas
y el movimiento pendular se realiza con muy poca aparición.
187
FÍSICA II
Los circuitos de foucault son indeseables porque disipan energía en
forma de calor.
En los transformadores y motores se usan estructuras laminadas
separadas por un material aislante como laca ú óxidos metálicos para
reducir éste tipo de corrientes. Algunos tipos de trenes y autos usan
a las corrientes parásitas como sistema de frenado.
9.4
LAS ECUACIONES DE MAXWELL
ƒ
Son las ecuaciones en la que se resume toda la teoría
electromagnética. Son tan fundamentales para el electromagnetismo
como las Leyes de Newton son para la mecánica. Maxwell describió
su teoría en su libro “Tratado de la electricidad y electromagnetismo”
en 1873, 6 años antes de su muerte. El físico Oliver Heaviside (1850
- 1925) expresó las ecuaciones en la forma que hoy las conocemos y
que en honor a Maxwell se les denominó como “Ecuaciones de
Maxwell”. Estas ecuaciones son cuatro y solo las presentaremos
como se aplican en el espacio vacío. Son las siguientes:
1.
Ley de Gauss:
r
r
Q
E
.
d
A
=
∫
E0
2.
Ley de Electromagnetismo:
∫B . dA
3.
Ley de Faraday:
∫ E . dS
4.
Ley de Ampere - Maxwell:
r
v
d φE
B
.
d
l = μ0 I + E0 μ0
∫l
dt
r
r
r
r
= 0
= −
d φB
dt
La ecuación (1) relaciona el campo eléctrico con la distribución de
carga, donde las líneas de campo eléctrico se originan en cargas
positivas y terminan en cargas negativas.
La ecuación (2) está relacionada con el hecho de que las líneas de
campo no pueden empezar ó terminar en cualquier punto; éstas
188
FÍSICA II
siempre deben emerger de un polo magnético positivo y sumergirse
en un polo magnético negativo de igual magnitud que el positivo,
esto quiere decir que andan de a pares. Hasta la fecha no se ha
podido encontrar un polo magnético aislado.
La ecuación (3) no indica que un flujo magnético cambiante en el
d φB
tiempo produce un campo eléctrico. Por ejemplo debido a −
dt
en una esfera puesta en la región donde existe B cambiante, se
produce una fem. inducida, ésta crea una corriente eléctrica en la
esfera, lo que significa que dentro de ella existe un campo eléctrico
r
E.
La ecuación (4) es la forma generalizada de la Ley de Ampere y nos
indica que una corriente crea un campo magnético, así como
también un flujo eléctrico cambiante en el tiempo.
189
FÍSICA II
190
FÍSICA II
BIBLIOGRAFÍA
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e Ingeniería.
2.
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4.
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para ciencias e ingeniería volumen II Ed.
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Física universitaria Volumen II. Editorial
Addison- Wesley –Longman México 2003
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