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UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA
DEPARTAMENTO DE ELECTRONICA
ELO250 Campos Electromagnéticos
Solución Certamen 01
uur
ur
−γz
1. Se tiene el vector-fasor de un campo eléctrico, E = 100 e a x [V/m]
•
en un medio conductor con: ε = 4ε 0 , σ = 0,1 y µ= µ0 .
La frecuencia es de 2,5 GHz.
Determinar α y β .
Solución:
De la definición de la constante compleja de propagación en medios con pérdidas:
γ 2 = jωµσ - ω2 µε = (α+jβ)2
Se tienen, igualando las partes reales e imaginarias:
α2 + β2 = −ω 2 µ ε
2αβ= ω µε
Sistema de ecuaciones con solución analítica:
α=
1
ω 2
2
β=
1
ω 2
2

µ ε 



µ ε 


σ2
2 2 − 1

ω ε

2

σ
1 + 2 2 + 1 

ω ε
1+
70 puntos
En forma numérica:
γ 2 = jωµσ - ω2 µε = (α+jβ)2
ωµσ = 2π*2,510 9 *4π 10 –7 * 0,1= 200π 2
ω2 µε = (2π*2,510 9 ) 2 *4π10 –7 * 410 –9 /36π = 10000π 2 /9
γ = α+jβ = 10π ( 2j – 100/9)0.5 = 9,39 + 105,14 j
30 puntos
2. Se tiene una onda plana, polarizada en dirección ax , con amplitud máxima del campo
eléctrico de 5 [mV/m] a 100[MHz], que incide sobre la interfaz entre dos medios.
En el medio 1, además de la onda incidente, existe una onda reflejada.
En el medio 2 se tiene una onda transmitida.
El medio 1 (z <0) es espacio libre: ε 1 = ε 0 , σ1 = 0 y µ1= µ0 .
El medio 2 (z >0) es dieléctrico con pérdidas: ε 2 = 70 ε 0 , σ2 = 4 y µ2 = µ0 .
a) Aplicar las condiciones de borde para el campo eléctrico y magnético en la interfaz
entre los medios.
b) Determinar los vectores-fasores de los campos eléctricos y magnéticos de las ondas
incidente, reflejada y transmitida.
Solución:
Si Ei tiene dirección ax :
Hi debe tener dirección ay.
Hr debe tener dirección –ay .
Ht debe tener dirección ay.
b) La representación de los fasores-vectores de las ondas:
Ei = 5 10–3 e-jβ1z ax
Hi = (5 10–3 /η1) e-jβ 1z ay
Er = Er ejβ 1z ax
Hr = (Er/η1) ejβ 1z (-ay )
Campos Electromagnéticos
15-05-2003
1
UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA
DEPARTAMENTO DE ELECTRONICA
ELO250 Campos Electromagnéticos
Solución Certamen 01
Et = Et e-jγ 2 z ax
Ht = (Et/η2) e-jγ 2 z ay
Con:
γ 2 2 = jωµ2σ2 - ω2 µ2 ε2 = (α2 +jβ2 )2 η2 = ( (jωµ2 )/( σ2 + jωε 2 ) )1/2
β1 = ω/c
η1 = (µ0 / ε 0 )1/2
50 puntos
a) Condiciones de borde.
Componentes tangenciales iguales. No hay componentes normales a la interfaz.
Ei + Er = Et
Hi + Hr = Ht
Igualando los campos tangenciales en el lado 1 y en el lado 2, se obtienen:
5 10–3 e-jβ1z ax +Er ejβ 1z ax = Et e-jβ 2z ax
(5 10–3 /η1) e-jβ 1z ay + (Er/η1) ejβ1z (-ay ) = (Et/η2) e-jβ 2z ay
Evaluando en z=0, resultan dos ecuaciones que permiten calcular Er y Et.
5 10–3 + Er = Et
(5 10–3 /η1) - (Er/η1) = (Et/η2)
50 puntos
3. "Si se especifican las componentes tangenciales del campo eléctrico, respecto de una
superficie, se puede calcular la componente normal del campo magnético, respecto de
esa superficie".
Si se conocen: Eθ = (jβ/R) sen θ e-jβ R
Eφ = (1/R2 ) cos φ e-jβR
a) Respecto de que tipo de superficie y cuál componente del campo magnético puede
calcularse.
Explicar los fundamentos del razonamiento.
b) Calcular la componente del campo magnético.
Solución:
Si las componentes tangenciales son Eθ y Eφ , entonces la superficie tangente a esas
componentes es una esfera. La componente del campo magnético que puede calcularse es
la normal a la esfera; es decir, la componente radial.
Entonces puede calcularse Br = f(Eθ , Eφ).
30 puntos
De la ecuación de Faraday( ∇×Ε s = -jωB s ), en coordenadas esféricas, se tiene:
uuv
1 ∂
∂
 uuv
Eφ senθ ) − ( Eθ )  aR = − jωB Ra R
(

Rsenθ  ∂θ
∂φ

j
 ∂
∂

BR =
Eφ senθ ) −
50 puntos
( Eθ ) 
(

ω Rsenθ  ∂θ
∂φ

BR =
je− j β R
cos θ
cos φ
3
ωR
senθ
Campos Electromagnéticos
20 puntos
15-05-2003
2