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Capítulo 3 Magnetostática 3.1. Corriente Eléctrica J dS En una sesión anterior vimos el concepto de flujo: cantidad de “algo” que cruza una superficie por unidad de tiempo. En el caso particular en que “algo” denota carga eléctrica el flujo se denomina Corriente Eléctrica y se denota con la letra I. Para una superficie orientada S Sn̂ la corriente eléctrica I se escribe: I Φq nq v S en que q es la carga de una partícula, n es la densidad de número de las partículas (supuestas iguales) y v es la velocidad de las partículas (supuestas iguales también). La expresión anterior se puede también escribir I Figura 3.1: Corriente total que cruza una superficie arbritraria JS donde J la Densidad de Corriente Eléctrica está definida como: J nqv Si la superficie que cruza la corriente tiene una forma arbitraria, entonces se puede discretizar la superficie en pequeños elementos de superficie ∆S j (con j 1 N) y para cada uno de ellos la corriente ∆I j que cruza estará dada por ∆I J d S, de modo que la superficie completa dará una contribución neta I ∑ ∆I j j 3.1.1. Ejercicios y Ejemplos 1. Un alambre diámetro d 1 [mm] soporta una corriente de 1 [A]. ¿Cuál es la densidad de corriente J?. NOTA: Suponga que la orientación de la superficie S es paralela a la corriente eléctrica y en la dirección ı̂. Rpta. ∑ J j dS j I J S Jı̂ ı̂ dS JS j de acuerdo a lo cual En el límite que consideramos elementos de superficie infinitesimales se obtiene el resultado: I J dS J I S I π d 2 4 (3.1) 1 π 0 5 1 27 106 3 2 [A/m2 ] 2. Si la densidad de partículas es n 8 43 1028 electrones/m3 (que corresponde a la densidad en el cobre). ¿Con qué rapidez se mueven los electrones?. 84 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad Rpta A partir del resultado J J nq v 8 43 nqv se obtiene 1 27 106 1028 1 6 10 9 4 10 5 19 Otro observación importante, de este ejemplo, es que los electrones van lento, pero como son muchos, generan una corriente grande. Veamos cuantos electrones hay en una longitud de 1 [cm] del cable en dicha situación: d2 largo 4 π 8 53 1028 0 5 10 4 1 66 1022 electrones ¿Cuál es el valor de la densidad de corriente J a distancia ρ a 2 del eje axial del cable?. ¿Cuál es la corriente total que atraviesa el cable?. Rptas. La densidad en ρ mente por: [m/s] una rapidez que es muy baja, y que significa que un electrón en avanzar 1 [cm] toma un tiempo de 106 [s] (casi 2 minutos). Ver nota1. J ρ J J0 a 2 está dada simple- ρ a 2 ẑ a 2 2 Para obtener la corriente total integramos en anillos concéntricos de grosor d ρ y radio ρ (es decir area infinitesimal d s 2πρ dρ ẑ). J ds I 3 2 ẑ a2 1 4J0 ẑ 0 25 103 [A/m]2 ẑ nVol nπ N 85 1 ρ2 ẑ ẑ ds a2 a ρ2 J0 2 2πρ dρ a 0 1 2 J0 π a 0 393 [A] 2 J0 3. Un cable de 1 [mm] de diámetro soporta una densidad de corriente dada por un perfil de tipo parabólico con la distancia ρ al eje axial del cable: J ρ ẑ J J0 ρ2 ẑ a2 3.2. Conservación de la carga eléctrica y Ley de Kirchoff la constante J0 103 [A/m2 ] es el valor de la densiSi en el interior de un volumen V, delimitado por una sudad de corriente en el borde del cable. perficie S, no se acumula ni decrementa carga eléctrica, la corrriente neta I que cruza (en total) la superficie cerraJ (r) da que contiene dicho volumen es nula. Es decir las contribuciones de flujo de carga saliente se cancelan con las contribuciones de flujo entrante. J dS 0 a J Figura 3.2: Corriente distribuida parabólicamente 1 NOTA: Figura 3.3: Flujo de carga neto nulo. a pesar que los electrones se mueven lento, la onda de corriente se propaga con una rapidez cercana a la de la luz: 300.000.000 [km/s]. Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 86 Podemos hacer la siguiente caricatura de esta situación: I Sa { d1 J1 J2 d 2 { Smanto I Sc Sb Figura 3.5: Unión de dos cables de distinto diámetro Figura 3.4: Flujo de carga nulo. Ley de Kirchoff Aquí, en la superficie SC entra una corriente neta IC , la cual sale por las superficies SA y SB . Se tiene J dS 0 J dS SC J dS SA J dS SB J dS Rpta. Primero observemos que por conservación de carga la corriente es la misma en cada trozo de alambre, de modo que si entra una corriente I por la izquierda puesto que el aluminio ofrece una mayor área para que esta corriente se distribuya, la densidad de corriente J allí será menor que la densidad de corriente en el cobre. Se tiene: JAl JCu manto I π d12 2 105A/m2 I π d2 5 105A/m2 La contribución sobre el manto es nula pues J es perpen2 dicular a la superficie d s del manto. La contribución sobre las superficies SA y SB son positivas pues dichos flujos son salientes, mientras que el flujos sobre SC da una contribu- 3.3. Ley de Ohm ción negativa, pues dicho flujo es entrante. Llamando IC al flujo sobre dicha superficie (con signo menos explicito Hemos visto que al aplicar una diferencia de potencial en pues es flujo entrante) y IA , IB a los flujos sobre las otras un material, se genera un campo eléctrico al interior de él. Consideremos la situación de un cable de largo L, y área superficies queda (ver nota2 ): uniforme en cuyos extremos se aplica potenciales VA y VB 0 IC IA IB respectivamente (con VA VB ). Esta situación es análoga estableciendo que “en cualquier nudo la suma algebraica a la que ocurre en el interior de un condensador de placas planas, y se generará un campo eléctrico al interior del de las corrientes debe valer cero”, de donde material entre las placas del condensador. Las partículas IC IA IB cargadas positivamente experimentaran una aceleración a lo largo del campo, y debido a los choques con “obstácuestableciendo que en cualguier nudo “la suma de las corlos” (otras partículas cargadas al interior del material y rientes entrantes es igual a la suma de las corrientes que conforman la estructura cristalina misma del material) salientes”. Esto es una de las leyes de Kirchoff para cirellas alcanzarán una velocidad final uniforme. La velocicuitos y se conoce como Ley de nudos. dad que ellas alcancen tendra la misma dirección del campo eléctrico si las cargas son positivas. Para las partículas 3.2.1. Ejercicio de carga negativa la aceleración será en sentido opuesto al campo, y una vez que ellas alcancen una velocidad final 1. Una alambre de aluminio de d1 2 54 10 3 [m] dentro del material su velocidad será en la dirección opde diámetro está soldado por uno de sus extremos uesta al campo, pero la corriente que ellas generan apunta al extremo de un alambre de cobre de d2 1 6 tambien en la dirección del campo como vemos a contin10 3 [m] de diametro. Si la corriente es de I 1 [A] uación: y se distribuye uniformemente por el interior de los Suponiendo el campo orientado en la dirección x̂, y alambres, ¿Cuál es la densidad de corriente J en cada suponiendo que las partículas positivas y negativas alcanalambre?. zan la misma velocidad final la densidades de corriente 2 NOTA: por convención estableceremos que las corrientes que llegan con que contribuyen las cargas positivas y negativas es al nudo dan una contribución negativa, mientras que las que salen dan una contribución positiva Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad tarán dadas por: J n e vx̂ J n e vx̂ n e vx̂ donde n y n son las densidades de carga positiva y neg ativa respectivamente. Se aprecia que ambas corrientes fluyen en la misma dirección x̂. La corriente total será J J J n n e vx̂ nevx̂ 87 rapidez inicial v0 hasta que alcanzan un velocidad final poco antes que choquen con las partículas-obstáculo de la red cristalina que forman el material. Una vez que chocan con estos obstáculos, ellos olvidan la velocidad que alcanzaron debido al trabajo del campo y despues del choque inician nuevamente su vuelo con rapidez inicial v0 . Los vuelos están caracterizados por una duración temporal τ (el tiempo que transcurre entre choque y choque) y una longitud (el camino que recorren entre choque y choque). Esta longitud es inversamente proporcional a la densidad de número de los obstáculos del material, y tambien inversamente proporcional al cuadrado del diámetro (o área de blanco) que ofrecen los obstáculos (3 ): en que n es la densidad total de portadores de carga. La Ley de Ohm establece que la velocidad que alcanzan las partículas en el medio material es proporcional al campo eléctrico, y en consecuencia la densidad de Cte 1 corriente J misma es proporcional al campo eléctrico E, nd 2 independiente que ésta corriente corresponda a cargas negativas o positivas. Se tiene la proporcionalidad (Ley de modo que si la rapidez característica de las partículas es v0 , entonces el tiempo de vuelo τ estará dado por: de Ohm): J σE (3.2) en que la constante σ llamada conductividad, es una constante cuyo valor depende de las propiedades del medio material en que se mueven las partículas. Las unidades de σ son las de densidad de corriente eléctrica dividido por las de campo. Es decir: C m2 V m A V m2 El inverso de σ se denomina resistividad ρ 1 σ y su valor depende del material y la temperatura a la cual está sometido el material. Algunos valores típicos (en sistema internacional de unidades), para temperaturas de 20o [C] son: Metales: Semiconductores: Aislantes: Al Cu Ge Si Madera Mica Resistividad 2 38 10 8 1 68 10 8 0 45 640 108 a 101 1 101 1 a 101 5 τ v0 Cte 1 v0 nd 2 Desde el punto de vista de las direcciones de las velocidades v0 después de cada colisión, se puede argumentar que el vector velocidad es nulo en promedio. Efectivamente, pues las velocidades después de cada choque pueden apuntar en cualquier dirección, y al promediar sobre direcciones de las velocidades iniciales de muchas particulas colisionando se tiene: vpromedio 0 0 Sin embargo, la rapidez v0 promedio es finita, y no nula. La aceleración que experimentan las partículas entre choque y choque está dada exclusivamente por la acción del campo eléctrico: qE m a y luego, usando la II Ley de Newton, e integrando en el tiempo, la función velocidad instantánea está dada por: v t v0 at v0 qE t m 3.3.1. Un modelo clásico para la conductividad eléctrica Esta expresión se puede promediar, para obtener la velocidad característica que tienen las partículas durante su En la sección que sigue revisaremos un modelo clásico vuelo: para explicar la conductividad eléctrica. Este modelo tiene qE vpromedio 0 τ la gracia que entrega un comportamiento cualitativo que m es consistente con gran parte del fenómeno de conductividonde se ha usado que el promedio de v0 es nulo y el dad que se observa experimentalmente. promedio del tiempo de vuelo de las partículas es τ . La idea básica es que las partículas se mueven acelerando 3 NOTA: la Cte es un número del orden de 1.0 —debido al trabajo del campo E externo— a partir de una Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad Reemplazando el valor explícito de τ Cte v0 nd 2 resulta: qE vpromedio Cte mnd 2 v0 de donde se ve que la velocidad carácteristica que alcanzan las partículas es proporcional al campo eléectrico: vpromedio Cte 88 Por otro lado la densidad de corriente J que circula entre los extremos satisface la Ley de Ohm J σ E, y luego, al incrementar E en un factor α la densidad de corriente J también lo hace en el mismo factor. Sigue de esto que la corriente total I J d s que cruza desde A hacia B tambien es proporcional a ∆V . Es decir, hay una proporcionalidad entre ∆V y la corriente I q E mnd 2 v0 ∆V RI (3.3) La constante de proporcionalidad R se dice o denomina y a partir de éste resultado y usando que J nqv se obtiene resistencia eléctrica, y despejando R de la expresión anla Ley de Ohm: terior se puede escribir una definición explícita de ella: Jpromedio σ E E dr ∆V con conductividad σ dada por: R (3.4) I J ds q2 σ Cte 2 md v0 Las unidades de la resistencia son las de potencial dividido por corriente: Volts/Ampere lo que se denomina Ohm Una observación importante aquí es que la conductividad y se abrevia Ω. es inversamente proporcional a las rapideces v0 postcolisionales. Por otro lado se sabe que estas rapideces son proporcionales a la raiz de la temperatura T característica 3.4.1. Ejercicios y Ejemplos a la cual está sometido el material (ver nota4 ), de modo 1. Resistencia de un alambre de largo L, área uniforme que la conductividad σ satisface: A y conductividad σ uniforme en su interior. 2 q σ Cte 2 d mkB T Y mostrando con esto que la conductividad disminuye si se aumenta la temperatura T , o equivalentemente la resistividad ρ 1 σ aumenta con la temperatura. Otra observación importante es que la expresión para σ depende de q2 , de modo que la conductividad es positiva independiente del signo de las cargas que se mueven. L J E Z X Figura 3.6: Alambre recto uniforme 3.4. Resistencia Eléctrica A partir de la Ley de Ohm se puede concluir un resultado importante que relaciona la diferencia de potencial ∆V entre dos puntos con la corriente que circula entre los puntos. Considere un material conductor de forma arbitraria a cuyos extremos se ha aplicado una diferencia de potencial ∆V . En su interior se genera un campo electrico E y se satisface: ∆BAV E dr Desarrollo. Supondremos que el interior del alambre se genera un campo eléctrico uniforme E E x̂ en todo el interior del material. Integrando desde el extremo A hasta el extremo B el campo eléctrico se obtiene para la diferencia de potencial: ∆V E dr E x̂ x̂dx Se aprecia que si se incrementára el campo eléctrico en todo el espacio en un factor α la diferencia de potencial tambien se incrementaría en ese mismo factor. 4 NOTA: v0 kB T m en que kB 1 38 10 23 J/ K o Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. EL 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad Por conservación de carga la corriente total sobre cualquier superficie concéntrica es constante y de valor I, en particular para una superficie cilíndrica de radio r intermedio entre a y b se tiene: Por otro lado la corriente I está dada por J ds I σ E ds I σ EA de modo que usando la definición de resistencia queda: E dr EL L R σ EA σ A J ds 89 de donde sigue que J r está dado por: En términos de la resistividad ρ scribir: ρL R A 1 σ se puede ree- J r r̂ d s J r 2π rL A continuación usando la Ley de Ohm sigue una expresión para el campo E E r r̂ como función de la posición en el interior del material 2. Resistencia de un par de conductores cilindricos de largo L, radios interior a y exterior b concéntricos y que entre ellos hay material con resistividad σ0 uniforme. Se aplica una diferencia de potencial ∆V entre el cilindro interior y el cilindro exterior. J Ahora que conocemos E r podemos hacer explícitamente la integral ∆V E dr 1 J r σ 1 I σ 2π rL I 2πσ rL E r Desarrollo. Si el cilindro interior está a potencial VA y el cilindro exterior a potencial VB con VA VB se induce una densidad de corriente J que fluje desde el conductor interior hacia el conductor exterior y que exhibe la simetría radial del cilindro (ver figura) I 2π rL J r J r r̂ r b 1 I r̂ r̂ dr r a σ 2π rL b 1 I dr 2πσ L a r I ln b a 2πσ L en que r̂ es un vector radial en coordenadas cilíndricas (NOTA: Para este problema hemos denotado la coordenada cilíndrica radial con r para que así liberar el símbolo ρ para la resitividad). Finalmente resulta la resistencia: R ∆V I ρ ln b a 2π L en que hemos usado la resistividad ρ 1 σ . J 3.5. Circuitos de Corriente Contínua b r a Va Vb Figura 3.7: Resistencia entre dos cilíndros concéntricos La f.e.m (fuerza electromotriz ε ) es la diferencia de potencial que es capaz de establecer un agente químico entre los polos de una batería. Ella es responsable que se generen corrientes al interior de un circuito. Cuando los circuitos son puramente resistivos las corrientes resultan constante en el tiempo. En este apunte estudiaremos los circuitos de corriente estacionaria. Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 90 3.5.1. Circuito Simple. Consideremos una batería de f.e.m ε que es aplicada a una resistencia R. Ri DV= - e batería E + - R Bateria Figura 3.9: Batería con resistencia interna Resistencia E Se tiene entonces DV=DVR ε Figura 3.8: Batería y resistencia ∆VR de donde I Al hacer la integral cerrada de camino del campo eléctrico desde el polo positivo (borne positivo de la batería), hacia el polo negativo de ella, pasando por la resistencia y cruzando el interior de ella 5 debe cumplirse que: E dl 0 ∆VR Ri i ε R Ri Ri I Corriente Máxima. ¿Cuál es la máxima corriente que se puede establecer en este circuito?. Si la resistencia externa es una resistencia variable, la corriente máxima Imax se obtiene para R 0 ε ε Imax R R i Ri de donde bateria E dl E dl resistencia ε ∆VR ε RI 0 0 0 es decir la suma de las caidas (o diferencias) de potencial en cada segmento —incluyendo la batería— debe ser nula. Sigue que ε I R Resistencia Interna. En una bateria real debe considerarse adicionalmente la existencia de una pequeña resistencia interna Ri . 5 Note que en el cálculo anterior la caida de potencial de la batería (fem) da una contribución negativa ya que el camino de integración es contra la dirección del campo E. No así en la resistencia en que hemos supuesto que la corriente va de la región de mayor potencial a la de menor potencial. Potencia disipada. ¿Qué potencia disipa la batería (Ri ) en ese caso?. La potencia disipada es: P Ri I 2 ε2 R2i Ri ε R2i Por otro lado si la resistencia externa no es nula la potencia calorífica disipada por la resistencia externa R es P RI 2 (como veremos más adelante). Puesto que I R ε R i se obtiene que ella vale: P RI 2 ε2 R R Ri 2 expresión para P que tiene un máximo como función de R. Una pregunta que surge es ¿para qué valor de R se maxidP miza la potencia disipada por R?. Exigiendo dR 0 se ob tiene: R Rmax Ri (la resistencia externa debe ser igual a la resistencia interna) y la potencia disipada por la resiε2 ε2 tencia R resulta, en dicho caso, PRmax Ri 2R ,e 2 4R i i igual a la potencia disipada por la resistencia interna en la batería. Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 91 3.5.2. Regla práctica R1 Una regla práctica, y equivalente a la de Kirchoff para los nudos, para cuando hay varias resistencias en un sistema —y se quiere calcular las corrientes al interior de cada segmento del circuito— es introducir ‘loops’cerrados de corriente. Cada loop contribuye con su propia corriente (I1 , I2 , . . . ). La dirección de circulación de dichas corrientes se escoge en forma arbitraria. En cada loop la caida neta de potencial debe ser nula. El signo con que contribuyen las resistencias a la caida de potencial depende si se “integra” a favor de la corriente (signo más) o si se “integra” en contra (signo menos). Idem para la contribución de las baterías. R2 I1 I2 I=0 G I2 I1 R3 R? Figura 3.11: Puente de Wheastone Ejemplo: resistencias en paralelo. Este circuito se usa para determinar el valor de una resistencia desconocida R en término de los valores de 3 resistencias variables conocidas R1 , R2 , R3 . Lo que se hace para determinar R es variar los valores de R1 , R2 , y R3 hasta que la corriente que indica el galvanómetro G se anule. En dicha situación se tiene: I1 RG I R1 I1 R1 RI1 R3I2 R2 I2 RG I de donde sigue la proporción: R R2 R2 I2 R2 I2 R2 I1 ε 0 0 ε R1 I2 ε R2 R1 R3 R2 que implica: Muchas veces cuando hay varias resistencias en serie y paralelo y no se quiere calcular el detalle de la corriente en cada segmento del circuito, pero si la corriente neta que entra o sale de la bateria, es posible reemplazar el circuito por uno equivalente. Para dos resistencias en serie I I1 R2 R3 Resistencias en Serie de este sistema de ecuaciones resulta I1 R1 R ε 1 R1 Otro ejemplo: puente de Wheastone. 1 R2 I Va Vb R1 { R2I1 0 3.5.3. Resistencias en Serie y Paralelo Figura 3.10: Resistencias en paralelo R1 I1 0 { I2 DV1 DV2 R2 Figura 3.12: Resistencias en serie Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad se tiene ∆V ∆V1 ∆V2 R1 I R1 R2 I R2 I de modo que la resistencia efectiva o equivalente del sistema es Reff R2 R1 92 Siempre que un circuito se pueda dividir en subconjuntos de resistencias que están todas en series o todas en paralelo es posible usar el método recién descrito, en tantos pasos como sea necesario, para calcular la resistencia total. Sin embargo no siempre es posible esto como por ejemplo en el circuito siguiente (el mismo circuito que el Puente de Wheastone) que no está constituido ni por subcircuitos con resistencias en paralelo ni por subcircuitos con resistencias en serie. (3.5) Va Resistencias en Paralelo Si las resistencias están en paralelo R1 R2 R5 I I1 R1 R3 R4 I2 R2 Vb Figura 3.13: Resistencias en paralelo Figura 3.14: Puente de Wheastone se tiene que la caída de voltaje entre los extremos de cada resistencia debe ser la misma e igual a ε de modo que: ε ε I1 R1 I2 R2 Pero puesto que la corriente total I que sale de la batería es: I I1 I2 (Ley de Kirchoff) sigue: I I1 I2 ε ε R1 R2 1 1 ε R1 R2 y la resistencia efectiva resulta 1 1 Reff R1 1 R2 Ejercicio propuesto: Se conecta una resistencia R1 a una bateria de fem ε V0 y se encuentra que la corriente es I0 . Cuando se agrega una nueva resistencia (en serie) se encuentra que la corriente disminuye a un nuevo valor I 2 3I0. ¿Cuánto vale el cuociente R1 R2 ?. Si las resistencias se ponen ambas en paralelo, ¿Qué fracción de la corriente I0 es la corriente en cada resistencia?. ¿Cuánto vale la corriente (total) que llega a la bateria en términos de I0 ?. 3.6. Efecto Joule (3.6) Hemos visto que al interior de un conductor las partículas cargadas se mueven libremente hasta que chocan con alguna otra partícula o obstáculo. Entre choques las partícu- Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad las ganan una cierta energía debido al trabajo del campo. Ésta energía ganada es perdida en cada nuevo choque de las partículas, donde es transferida a los “obstáculos” del material. La energía transferida se transforma esencialmente en vibración de ellos en torno a una posición de equilibrio (energía cinética de vibración) o energía térmica, implicando una temperatura. Parte de la vibraciones (energía térmica) se transmite de obstáculo en obstáculo hasta llegar a las paredes del material, donde es eliminada hacia el exterior en forma de calor. Es posible calcular exactamente la energía calórica que se disipa haciendo uso de un argumento muy simple: Primero calculmos la energía que ganaría una partícula de carga q debido al trabajo del campo, entre los extremos A y B del material. Esta es: WBA ∆Q∆BAV I∆t∆BAV el trabajo total por unidad de tiempo o potencia resulta en consecuencia: P usando que I si el paralelepipedo se escoge orientado en la dirección de la corriente esta expresión que se puede escribir como dP JE d total WBA ∆t P σ E2 d I∆BAV J Ed (3.8) Ejercicio propuesto: Considere el problema del par de cilíndros concéntricos de radios a y b y material de conductividad σ visto anteriormente. Use la expresión integral para la potencia disipada recién obtenida y las expre siones para J r y E r deducidas en la solución de dicho problema, e integrando en el volumen entre los cilíndros concéntricos calcule la Potencia total disipada. Demuestre que el resultado coincide del que se obtiene usando P RI 2 . RI 2 ∆V R 2 (3.7) Para un conductor general de forma cualquiera se puede obtener una expresión equivalente que entrega la potencia disipada en términos de la densidad de corriente y el campo eléctrico. Veamos. Primero escribamos la diferencia de potencial infinitesimal en la longitud dl de un pequeño paralelepípedo infinitesimal: dV E d l y la corriente infinitesimal dI que cruza en el área del paralelepipedo: dI J d S La potencia disipada por el pequeño paralepipedo estará dada por el producto de la corriente por la diferencia de potencial, quedando: dP dV dI De acuerdo con esto la energía disipada por unidad de volumen sería: dP J E (3.9) d I∆BAV P σ E2 d en que d es el volumen infinitesimal del paralelepípedo y se ha hecho uso de la Ley de Ohm (3.2). Finalmente basta integrar sobre el volumen total del material para obtener una expresión integral para la potencia total disipada: ∆V R queda finalmente q∆BAV y toda ella se disiparía finalmente en las colisiones. En un intervalo de tiempo ∆t la cantidad de carga total que cruzaría desde el punto A hasta el punto B será ∆Q I∆t, de modo que el trabajo neto sobre todas las partículas hecho durante ese intervalo de tiempo es: total WBA 93 J d S E d l Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 94 3.7. Fuerza magnética 3.7.2. Fuerza de Lorentz Se ha encontrado experimentalmente que la fuerza sobre una carga eléctrica q (en presencia de imánes por ejemplo) depende no sólo de la posición en el espacio (F qE r ), sino también de la velocidad v con que se mueve la partícula. Experimentalmente se observa que en presencia de imanes la aceleración que experimenta el objeto crece linealmente con la magnitud v de la velocidad (man Ctev) y también depende linealmente de la magnitud y de la carga que sufre la fuerza y del signo de ella. Otro aspecto que se observa es que dicha fuerza no hace trabajo, es decir no cambia la rapidez del objeto. Es posible postular entonces que además de la fuerza eléctrica una carga sufre una fuerza de otro origen (que diremos magnético) y que depende de la velocidad de la partícula: El efecto conjunto de la fuerza eléctrica y del campo magnético se denomina fuerza de Lorentz: F F r v F elec. r F magnet. v un vector una función lineal en el vector velocidad v, lo que ya sugiere que la forma de la fuerza es F qv pero, a la vez no debe hacer trabajo, es decir la integral F dr 0 para cualquier camino de integración. Esto excluye la posibilidad que dicha fuerza sea colineal con v, pero admite que dicha fuerza sea perpendicular a la velocidad v. De esta ultima expresión se ve que, en el sistema internacional de unidades, puesto que las unidades de E son [N/C]=[V/m], entonces las unidades de B son [V seg/m2]=1 [Weber/m2 ]= 1[Tesla] que se abrevia [T]. La conección con el sistema CGS de unidades es 1 [T] = 104 [Gauss]. Magnitudes típicas son: campo magnetico de la Tierra: 0 5 10 [Gauss]. qv B esta forma se asegura que F dr 4 [T] = 0.5 El campo de inducción magnética puede ser a su vez una función de la posición, e incluso del tiempo: B B r t . La determinación de B la realizaremos más adelante cuando veamos la llamada Ley de Biot-Savart y la Ley de Ampere (una Ley integral análoga a la Ley de Gauss). Por ahora nos contentaremos con informar que, puesto que B es una función de la posición r, en las regiones que haya mayor intensidad de campo magnético (mayor densidad de líneas de campo magnético) la aceleración será más grande (luego el movimiento se curvará en forma más intensa), mientras que en las regiones en que la aceleración es poco intensa (menor densidad de líneas de campo) el movimiento se curvará poco, como muestra la figura de a continuación (3.10) en que interviene el producto cruz entre la velocidad v y un nuevo vector B llamado campo de inducción magnética o densidad magnética6 (3.11) 3.7.3. Unidades del Campo de Inducción Magnética Una forma de asegurar todo esto es estableciendo que la fuerza magnética obedece una ley de la forma: W v B 3.7.4. Movimiento de cargas en un campo de inducción magnética lineal en la carga q 6 De qE imanes superconductores: 25 [T] = 250000 [Gauss] ¿Cuál es la ley de dicha fuerza? . Es claro que tiene que ser: F imanes de laboratorio: 2.5 [T] = 25000 [Gauss], 3.7.1. Ley de Fuerza Magnética W F F v dt q v B v dt 0 Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 95 Calcule la fuerza inicial que experimenta el protón. ¿Hacia dónde se dirige esa fuerza?. Rpta. F ev B ev0 B0 ŷ ẑ ev0 B0 x̂ Algunos instantes más tarde, debido a la acción de la fuerza magnética, el protón se mueve con velocidad en dirección x̂. ¿Hacia donde apunta ahora la fuerza?. B Débil { { Rpta. F B Intenso Figura 3.15: Curvatura de la trayectoría de una partícula cargada en presencia de un campo de inducción magnética B que varía con la posición. ev B ev0 B0 x̂ ẑ ev0 B0 ŷ La dirección de la fuerza (aceleración) de la partícula se muestra en la figura siguiente para los dos puntos de la trayectoria que se ha estudiado Movimiento de una carga en un campo de inducción magnético B uniforme Consideremos primero el siguiente ejemplo partícular: 1. Un protón incide sobre una región donde hay un campo magnético B B0 ẑ (con B0 1 5 [T]), con velocidad v v0 ŷ (con v0 8 106 [m/s]) como muestra la figura. q V A Y Fa C Z Fc X Y V C A q=e Puesto que la aceleración tangencial es nula (rapidez no cambia) sólo hay aceleración normal (que es la que apunta al centro de curvatura). Radio de giro bajo un campo B uniforme X Figura 3.16: Partícula cargada que incide sobre una región con densidad magnética B uniforme De estos ejemplos se ve que si el campo B es uniforme la fuerza magnética resulta, en este caso, constante en magnitud. Es decir la magnitud de la aceleración normal aN ev0 B0 Cte, mientras que la aceleración tangencial tiene magnitud nula at 0 (pues dv 0). Se concluye que dt el movimiento es circular, y con aceleración puramente normal v20 qv0 B0 an R m Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad vm qB0 8 106 1 67 10 1 6 10 19 2 5 dl V que en nuestro ejemplo resulta R B { de donde resulta que el radio de giro R (o radio de curvatura) es vm (3.12) R qB0 96 27 3 3[cm] A partir de qv0 B0 m y usando el resultado anterior para R la rapidez angular de giro resulta: qB0 w (3.13) m an w2 R Figura 3.17: Fuerza sobre un elemento de cable que lleva corriente total I fuerza Expresión que se conoce como la frecuencia de rotación La se de Larmor, y que es independiente de la rapidez v0 con longitud que se lanza inicialmente el protón. magnética puede dF d I por unidad de escribir entonces: B (3.16) 3.7.5. Fuerza Magnética sobre un distribu- y en un cable de forma cualquiera la fuerza toción de corriente tal sobre el segmento completo de cable será: Si consideramos un elemento de carga dq que se mueve con velocidad v la corriente infinitesimal asociada d J dq v experimente una fuerza: dF dq v B dJ B (3.14) En el caso de una distribución lineal, superficial y volumetrica de carga se tiene dJ dqv λ vd σ vdS ρQ vdV Id KdS JdV (3.15) magnet. Fcable I Bd (3.17) Asi por ejemplo para la situación de la figura siguiente (suponiendo que el cable esta sujeto por sus extremos) si se aplica una corriente y hay además un campo B como muestra la figura, la deformación del cable será la producida por la fuerza que resulta del producto I B, y su dirección queda establecida de acuerdo a la regla de la mano derecha para este producto. B I V en que hemos introducido las densidades de corriente lineal (I λ v), superficial (K σ v) y volumétrica (J ρ v). B I I Cable con Corriente Puesto que una corriente I no son mas que cargas en movimiento con cierta velocidad v entonces es posible concluir que, en presencia de un campo B, un cable experimenta una fuerza magnética que es la superposición de las fuerzas magnéticas que experimentan las partículas que generan la corriente eléctrica. Es de- Figura 3.18: Deformación de un cable que lleva corriente cir la fuerza que experimentan los elementos de corriente I en presencia de un campo de inducción magnética B d J Id . Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 3.7.6. Ejemplo 97 Para el torque se obtiene: 1. Se introduce una espira cuadrada de largo L en una región con campo magnético uniforme de magnitud B y paralelo a la superficie que contiene la espira (ver figura). Determinar la fuerza sobre cada segmento de la espira. τ Es decir finalmente τ I r r r dF Idr B d r B (3.19) Y B Expresión que en el caso de campo uniforme se puede mostrar (ver nota 7 ) es equivalente a Z τ { { m B0 y en donde la cantidad m vale I m r 2 L L (3.22) dr (3.23) y se conoce como momento en el caso de una espira X magnético, y plana resulta: m IA n̂ Figura 3.19: Fuerza sobre una espira cuadrada plana (3.24) en que A es el área de la espira (no importa su forma) y 7 d r F F F r I ŷ Bx̂d 2 I ŷ Bx̂d B0 dr d r c IBLk̂ dr a b I x̂ Bx̂d B0 c a b y IBL dr 0 B0 dr r r B0 a c b b c a y las dos que se obtienen permutando ciclicamente: a Es decir: b c a b a c c a b 0 r B r A continuación considerar la identidad: 0 3 F I x̂ Bx̂d 1 r de donde resulta Rpta. B Bı̂. Luego La demostración consiste en primero diferenciar la expresión d r d r B0 , esto es: r B0 usando que B0 es uniforme y despejar r c b a a b c B0 (3.20) b, b c, c a. para demostrar, sumando miembro a miembro, que se obtiene: c b c a c a b 0 de donde, si identificamos a r, b d r y c B resulta: r dr B dr B r B r dr a b Nota: Observe que la fuerza total sobre la espira en este caso resulta nula. 0 0 3.7.7. Fuerza y Torque sobre una espira cer rada. El momento magnético m Si la densidad magnética B es uniforme (B B0 ) se tiene F Id r B0 I dr B0 0 (3.18) puesto que la integral de camino es cerrada y donde se ha aprovechado que Id Id r ya que la corriente es tangente a la trayectoria del cable. 0 Esta última permite despejar dr r B0 r 0 r d r B0 dr B0 expresion que reemplazada en la Ec. 3.20 y tras despejar r entrega: 0 dr B0 r B 12 r dr B Por ultimo integrando en un camino cerrado se obtiene: 1 r d r B r dr B (3.21) 2 donde se ha usado que la integral sobre un camino cerrado de una diferencial exacta d es cero. r dr B0 Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 1 dr 2 0 0 0 0 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad n̂ la orientación de la espira de acuerdo a la regla de la mano derecha (asumiendo que la dirección positiva de giro es la dirección en que gira la corriente electrica I). Note que las unidades de m son las de Ampere-metro cuadrado. Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 98 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 3.7.8. Ley de Biot-Savart 99 resultado que reobtendremos más adelante de manera más directa mediante la llamada Ley Circuital de Ampere, en Hemos estudiado, el movimiento de cargas bajo un cam- los otros dos estudiaremos situaciones que no pueden repo magnético dado. La pregunta que surge a continuación solverse usando la Ley de Ampere: Campo de inducción es ¿Cómo se calculan dichos campos B?. La respuesta a magnética exacto de un solenoide de tamaño finito sobre esta pregunta fue dada por Biot y Savart el siglo antepasa- su eje axial y campo generado por una espira circular sodo, quienes establecieron que cualquier corriente es capaz bre su eje axial. de producir un campo magnético en el espacio. Ciertas corrientes son claramente de origen eléctrico debido al movimiento de traslación de las cargas, otras corrientes están relacionadas con la rotación de los electrones de valencia de las moléculas así como del spin quantico (repase su curso de química) propio de las partículas, y son responsables del magnetismo de los imanes naturales. Biot-Savart, estudiaron el campo magnético generado por un cable curvado. Esencialmente se estableció que un segmento d r , ubicado en un punto r , de un cable que porta corriente I contribuye al campo magnético en un punto r con una intensidad d B dada por: dB µ0 Id r 4π r r r r 3 Si se considera el cable completo se debe integrar en la variable de posición r que describe la curva en el espacio que ocupa dicho cable, de modo que el campo de inducción magnética en el punto r está dado por: µ0 Id r r r B r (3.25) 4π r r 3 Expresión que es conocida como Ley de Biot-Savart. Esta expresión se puede escribir en forma más compacta introduciendo los elementos infinitesimales de corriente dJ Id linea de corriente dJ KdS corriente superficial Jd corriente volumétrica Si la corriente está distribuida ocupando un volumen entonces hacemos el reemplazo: d J Id r Jdv, en que dv es el elemento de volumen que ocupa la densidad de corriente J, queda: B r µ0 4π J r r r dv r 3 (3.26) r Cuando la corriente está distribuida sobre una superficie (corriente superficial K) el reemplazo es: Id r KdS. La expresión para B resulta: B r µ0 4π K r r r dS r 3 r (3.27) En la sección de a continuación veremos 3 ejemplos de aplicación de esta ley (de Biot-Savart) para determinar el campo magnético. En el primero (cable recto infinito) un Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 3.7.9. Ejemplos 1. Un cable de largo infinito con corriente orientada en la dirección positiva del eje Z cruza el plano de las XY por el origen. Calcular el campo magnético en un punto de coordenada z 0 a distancia r (sobre el plano de las XY ). 100 La integral es simple y se puede hacer en forma explícita ∞ dz 2 ∞ ρ z 2 3 2 ρ2 z ρ2 z 2 1 2 se obtiene: µ0 I xŷ 4π B x y 0 yx̂ r2 ρ 2 µ0 I 2 xŷ yx̂ 2 4π ρ µ0 I xŷ yx̂ 2πρ ρ ∞ z z 2 1 2 ∞ Por último reemplazando x ρ cos φ y y ρ sin φ en que φ es el ángulo de las coordenadas cilíndricas medido desde el eje de las X hacia el vector de posición r resulta: ‘ B µ0 I cos θ ŷ 2π r sin θ x̂ en que el vector φ̂ cos φ ŷ sin φ x̂ es un vector unitario que indica la dirección del campo de inducción magnética y que corresponde a un vector que circula en torno del origen. El campo B se escribe finalmente: µ0 I B φ̂ (3.28) 2πρ Figura 3.20: cable recto infinito que lleva corriente I Solucion: Los puntos r del cable sólo tienen coordenadas sobre el eje Z, luego están descritos por: r z ẑ. En consecuencia un elemento de longitud d r sobre dicho cable se escribe: d r dz ẑ resultado que es importante y que ud deber recordar. El punto r esá dado por: r xx̂ yŷ 0ẑ. La diferencia r r que figura en la expresión de Biot-Savart queda, en este caso: r r xx̂ yŷ z ẑ, y su módulo (que también figura en dicha expresión) es: r r x2 y2 z 2 . El producto cruz entre d r y r xx̂ yŷ z ẑ xŷ yẑ dz . r resulta: dz ẑ Reemplazando lo anterior en la Ley de Biot-Savart se tiene: Bxy 0 µ0 4π Idz xŷ x2 y2 yx̂ z 2 3 2 Hacemos uso a continuación de que: x e y están fijos (así como los vectores unitarios) y reemplazaremos por ρ a la distancia x2 y2 , queda: Bxy 0 µ0 I xŷ 4π yx̂ Figura 3.21: Campo B circula en torno al cable recto ∞ ∞ dz ρ2 z 2 3 2 Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 101 La integracion de sin φ y cos φ en un periodo 2π es nula. Resulta 2. Campo de una espira circular sobre su eje axial Z µ0 2π Ia2 ẑ 4π a2 z2 3 2 µ0 Ia2 ẑ 2 a 2 z2 3 2 B z El campo a lo largo del eje es máximo para z decrece para z ∞ y z ∞ como 1 z3 . Y 0, El campo fuera del eje es más difícil de calcular. En la figura siguiente se bosqueja las lineas de campo B I X Figura 3.22: Espira circular Solución: Escogemos un sistema de coordenadas en que el plano XY que contiene a la espira y el eje Z coincide con el eje axial de la espira. Los puntos r del cable solo tiene coordenadas sobre un circulo en el plano XY , luego están descritos por r a cos φ x̂ a sin φ ŷ de modo que, diferenciando, el elemento de longitud d r sobre dicho círculo (cable) resulta: dr a sin φ x̂ d φ a cos φ ŷ d φ El punto r donde interesa calcular el campo está descrito por r zẑ La diferencia r r , que figura en la expresión de Biot-Savart, queda, en este caso: Figura 3.23: Lineas de campo de la espira circular r r zẑ a cos φ x a sin φ ŷ y su módulo (que también figura en dicha expresión) es: r r a2 cos2 φ a2 sin2 φ El producto cruz entre d r y r dr r r a z2 a2 z2 1 2 r resulta: sin φ x̂ cos φ ŷ d φ zẑ a cos φ x a sin φ ŷ a z cos φ x̂ sin φ ŷ aẑ d φ Se aprecia que las líneas de campo son curvas cerradas en torno a la corriente I que circúla. En consecuencia todas las líneas de campo pasan por el interior de la superficie que delimita la espira conductora y van a dar su vuelta por el exterior. Las líneas de campo mas cercanas al eje z van a dar la vuelta mas lejos y por lo tanto se reparten en todo el espacio exterior. Se puede afirmar entonces, debido a la alta densidad de lineas de campo en el interior de la espira y la correspondiente baja densidad de lineas de campo en el exterior de la espira (ya que el mismo número de líneas tiene un espacio infinito donde repartirse) que el campo cerca del anillo y hacia su interior es muy intenso, mientras que afuera y lejos del anillo dicho campo es débil. Reemplazando, hasta aquí, se obtiene: B µ0 Ia 4π a2 z2 3 2 2π 0 aẑ z cos φ x̂ sin φ ŷ d φ Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 102 3. Campo exacto de un solenoide finito sobre su eje axial. { { { µ0 nIa2 ẑ 2 B z L 2 dz z z a2 L 2 2 3 2 integral que ya conocemos del ejemplo 1 (cambiando z por z z ), luego queda } µ0 nIa2 ẑ z z 2 a2 a2 z z B z L 2 µ0 nI ẑ 2 z L 2 z L 2 L 2 2 L 2 a2 z a2 2 3 2 L 2 z 2 El campo experimenta un máximo Bmax en el interior en el punto z 0 dado por: Solución: Aquí nos aprovecharemos que ya conocemos el campo de una espira circular sobre su eje axial. La contribución al campo sobre un punto de coordenadas z (donde se quiere calcular el campo), de una espira ubicada a altura z (una de las espiras del solenoide) es –de acuerdo a la figura y el resultado del ejemplo anterior— B z 2 µ0 z z Ia2 a2 2 3 2 ẑ Bmax dB L 2 ẑ en que K nI superficial. B z z L 1 µ0 NI ẑ 2 L a L 0) este valor NI L corresponde a una corriente ẑ y el campo total B se obtiene integrando desde z L 2 a z L 2. 2 4η 2 1 Si el solenoide es muy largo (η deviene Bmax µ0 K ẑ 3 2 L 2 1 NI ẑ L µ0 z η2 el campo exacto sobre z η2 1 2 z 1 2 2 1 2 z 1 2 3 2 a2 2 Un gráfico de la intensidad B z B0 (en que B0 B z z 0 ) para distintos valores de la razón de aspecto η es el que se muestra en la figura siguiente: Si hacemos el cambio z el eje se puede escribir Si definimos por n N L al número de espiras por unidad de largo, la corriente en un elemento dz resulta dI nIdz de modo que la contribucion, sobre el punto z en el eje, de esa ‘espira’de grosor dz , corriente dI y ubicada a altura z , es µ0 dIa2 2 a2 z z 2 µ0 nIa2 dz 2 a2 z z 2 µ0 nI ẑ expresión que se puede escribir introduciendo el coeficiente η La (coeficiente que mide la razón de aspecto entre grosor y largo del solenoide): Para obtener el campo neto B debemos sumar (integrar) sobre todas las espiras del solenoide. Bmax Figura 3.24: Solenoide finito Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad B(z)/B 0 1 0.8 0.6 0.4 0.2 −0.4 −0.2 0.2 z/L 0.4 Figura 3.25: Campo para el eje axial del solenoide en los casos η 0 5, η 0 1, y η 0 01 donde se aprecia que si la razón de aspecto es pequeña (solenide largo en relación a su diámetro) entonces el campo en el interior del solenoide es muy uniforme, justo en el borde (z= 12 ) toma la mitad del valor en el centro y el campo mismo es prácticamente nulo fuera del solenoide. 4. Propuesto para más adelante (cuando se haya estudiado la Ley Circuital de Ampere): Para el problema del campo exacto de un solenoide sobre su eje axial, haga la integral de camino Bdz de la expresión obtenida para B z desde el punto z L 2 hasta z L 2 y compare su valor con µ0 NI (la integral sobre un camino cerrado, de acuerdo con la Ley de Ampere). A partir de esto determine la intensidad de la integral B d l del campo magnético fuera del solenoide. ¿Qué tan pequeña resulta la integral sobre el exterior? (o en otras palabras: ¿qué tan poco intenso es el campo afuera?). Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 103 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 104 3.8. Ecuaciones para B estático En esta sección estudiaremos las ecuaciones diferenciales que satisface el campo B para el caso estacionario en el tiempo. Estas ecuaciones, que deduciremos más adelante, son ∇ B ∇ B 0 (3.29) µ0 J (3.30) y expresan que: No existen cargas magnéticas Las fuentes de B son las corrientes generadas por las cargas en movimiento (o más bien equivale a la forma diferencial de la Ley de Biot-Savart). Esta situación es análoga a lo que ocurre para el caso del campo E en que se tenía ∇ E ∇ E La demostración que ∇ B 0 sigue de estudiar la ley de Biot-Savart aplicada a una distribución de carga distribuida continuamente en el espacio: µ0 ∇ J r 4π µ0 ∇ J r 4π ∇ B ρ ε0 Figura 3.26: Divergencia del Campo eléctrico versus Divergencia del Campo magnético. Note que el campo eléctrico diverge en torno a la carga, mientras que este comportamiento no se exhibe en el campo magnético que mas bien circula en torno a la corriente (3.31) 0 (3.32) ecuaciones que expresaban respectivamente la Ley de Coulomb (o equivalentemente la ley de Gauss) y el hecho que la fuerza eléctrica es conservativa. dv 3 dv 3 expresión que se puede reescribir usando la identidad ∇ a b b ∇ a a ∇ b , queda: ∇ B µ0 4π 3.8.1. Ecuación de la divergencia de B r r r r 3 ∇ J r J r La interpretación de que no existen cargas magnéticas sigue directamente de comparar la ecuación (3.29) con la ecuación (3.31) y observar que en el caso del campo eléctrico figura la densidad de carga eléctrica, mientras que en el caso magnético no figura ninguna densidad de carga. Esto se interpreta como la no existencia de cargas magnéticas. Otra consecuencia que sigue de esta ecuación es que las líneas de campo de inducción magnética son líneas cerradas sobre si mismas o empiezan y terminan en “infinito” como muestra la figura de a continuación. Esto se puede visualizar en la figura de a continuación en que se ha graficado a la izquierda una situación típica de campo electrico en torno a una carga puntual y a la derecha una situación típica de campo magnético. r r r r r r r r ∇ r r r r dv 3 Si a continuación hacemos uso de que ∇r J r 0, y de la identidad ∇ 1 r r r r r r obtenemos: ∇ B µ0 4π 0 J r ∇ ∇ 1 r dv r lo que completa la demostración ya que la identidad ∇ ∇Φ 0 asegura ∇ B 0. Vector Potencial magnético A Como ∇ B 0 y al mismo tiempo se tiene la identidad ∇ ∇ A 0 entonces debe existir un campo vectorial A tal que B ∇ A (3.33) Esta situación es análoga a la del campo E que satisface ∇ E 0, de donde sigue que existe un potencial escalar V tal que E ∇V (pues ∇ ∇V 0). Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad El campo A recién propuesto se dice el vector potencial magnético asociado al campo B. 105 integral para calcular el potencial eléctrico Expresión explícita para el vector potencial magnético Trabajando la Ley de Biot-Savart es posible escribir una expresión explícita para el campo A y que será de utilidad. B µ0 J r 4π µ0 J r 4π r r r r ∇ V r ∇ r dv r Φ∇ f Jr r r r ∇Φ f Ay r r r Az r ∇ J r r r r ∇ J r r J r µ0 4π B ∇ r ∇ 2 ∇ Ay ∇ Az r J r r r dv dv r J r r r r de donde finalmente identificamos (via B A J r r r dv ∇2 A ∇ A) µ0 J ∇ B ∇ ∇ A (3.34) Si la distribución de carga no es volumetrica, sino superficial o lineal, podemos hacer uso de este mismo resultado previo introducir la corriente infinitesimal d J J r dv , tenemos µ0 dJ A r (3.35) 4π r r dv µ0 Jz (3.36) Es importante hacer notar aquí el parecido de la expresión integral para calcular A recién obtenida con la expresión ∇ A y haciendo uso ∇2 A sigue que: r µ0 Jy µ0 4π µ0 Jx Aplicando rotor a la expresion B de la identidad ∇ ∇A ∇ ∇ A Jz µ0 4π dv r 3.8.2. Ecuación del rotor de B o Ley de Ampere o equivalentemente (en notación vectorial) la ecuación de Poisson para A: r se puede eliminar pues Jy dv r 1 y donde el término con ∇r J r es nulo, se obtiene ∇ 2 Ax 2 ∇ Jx de donde sigue: 1 µ0 4π µ0 4π µ0 4π Ax r lo que da 0 1 ∇ aplicado a rior para las expresiones integrales de V y de A sigue que, para cada una de las componentes cartesianas del vector A se satisface una ecuación tipo Poisson. Es decir se tiene Φf Por otro lado habiamos visto que el potencial satisfacía la ρq ecuacion de Poisson ∇2V ε . De la comparación ante- dv 3 donde hemos hecho uso de que ∇ 1 r r r . Si además hacemos uso que µ0 J dv 4π r r ρq r 1 dv 4πε0 r r A r ∇2 A pero es posible mostrar que ∇ A 0 (ver nota8) de modo que se tiene ∇ B ∇2 A 8 NOTA: Que efectivamente se puede tomar ∇ A 0, se verifica al constatar que si escogemos otro potencial vectorial A tal que A A ∇Ψ este tambien satisface ∇ A ∇ A B (ya que ∇ ∇Ψ 0), de modo que A está determinado salvo el gradiente de una función escalar. O en otras palabras hay un grado de libertad escalar en la definición de A. Este grado de libertad escalar se puede fijar imponiendo una ecuación escalar sobre A tal como lo es ∇ A 0. En todo caso la expresión integral para A dada más arriba efectivamente satisface ∇ A 0 (esto último sin demostración). Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad Haciendo uso de la ecuación de Poisson para A resulta ∇ B µ0 J (3.37) que es otra de las importantes ecuaciones de Maxwell. 3.8.3. Ley Circuital de Ampere Integrando B sobre un circuito cerrado cualquiera y aplicando el teorema de Gauss y la Ley de Ampere recién obtenida es posible deducir una Ley integral conocida como la Ley Circuital de Ampere es decir: B dr B dr µ0 µ0 ∇ B dS µ0 J d S J dS J dS (3.38) Se puede escribir en forma abreviada esta Ley definiendo: Ique cruza J dS (en que Ique cruza es la corriente neta que cruza la superficie delimitada por el camino de integración) y definiendo la cantidad ΓB B dr que se denomina Circulación del campo de inducción magnético, de modo que la Ley Circuital de Ampere se escribe usualmente: ΓB µ0 Ique cruza (3.39) Al revés, la expresión ∇ B µ0 J se puede entender como la versión diferencial de la Ley Circuital de Ampere. Las ecuaciones de Maxwell: ∇ B 0 (3.40) ∇ B µ0 J (3.41) más condiciones de contorno (borde) contienen la descripción completa del magnetismo estático en un medio no material. Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 106 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 107 3.8.4. Ley de Ampere. ¡Revisitada! 1 Hemos visto que cargas en movimiento en presencia de campos magneticos experimentan una fuerza magnética con ley: F mag. qv B F I B en que la dirección de I es la dirección de la corriente electrica a lo largo del cable conductor. La pregunta de ¿cómo se calcula o obtiene el campo de inducción magnética B? tiene una respuesta que pasa por un experimento importante debido a Ampere. Reducida a su aspecto fundamental esta experiencia consiste en que dos alambres paralelos rectos y muy largos experimentan una fuerza atractiva si las corrientes van en el mismo sentido pero repulsiva si van en sentido contrario. Si una de las corrientes se interrumpe no se mide fuerza de atracción o repulsion. I r y que esta ley aplicada a lineas de corriente I en presencia de campos magneticos conduce a una ley de fuerza, por unidad de longitud, para un cable sumergido en un campo de inducción magnética B. dada por dF dl 2 B I Si cambiamos de posición el cable 2 dejando fijo el 1 (es decir movemos el cable 2 en forma paralela al 1 y manteniendo la misma distancia r entre cables), puesto que la fuerza es atractiva, el campo magnético provocado por el 1er cable debe tener una dirección que cambia a lo largo de un circuito de radio r como se indica en la figura. B r I I I I −I Figura 3.27: Fuerza entre cables Puesto que la fuerza que experimentan los cables la sufren en definitiva las cargas en movimiento al interior de ellos (corrientes), para explicar este fenómeno se plantea que esta fuerza es de origen magnético. Concentrémonos en la fuerza que sufre el cable 2 debido al 1 para el caso de dos cables que tienen corrientes en la misma dirección y separados una distancia r. El campo magnético B que siente el cable 2 para provocar la fuerza de atracción de este cable hacia el 1 tendría que tener una componente en la dirección que indica la figura (el campo magnético sería generado por el cable que hemos indicado con 1; el cable que sufre la fuerza lo hemos indicado con 2). 9 I De estas observaciones se deduce que una corriente I en el cable 1 genera un campo magnetico que circula en torno de ella y cuya dirección sigue la regla de la mano derecha: 9 En el caso de que el 2do cable tenga corriente opuesta es claro que este mecanismo implica una fuerza repulsiva ya que al cambiar de dirección I el producto I B cambia de signo. Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 108 Por su parte los iones del cable 1 los supondremos quietos y también supondremos que no hay campo electrico provocado por el cable 1, es decir la densidad lineal total de carga (electronica e ionica) en el cable 1 es nula: I λ B Figura 3.28: Regla de la mano derecha para la circulación del campo B Decimos que: el campo magnético circula en torno a la corriente del cable 1. 3.8.5. Origen relativista de la fuerza magnética: una expresión para B Deduciremos a continuación una expresión explícita para B en el caso de fuerza entre cables paralelos. Generalizando este resultado re-obtendremos la llamada “Ley de Ampere” o “Ley circuital de Ampere”. Consideremos 2 cables que tiene corriente en la misma dirección y de la misma magnitud como muestra la figura. λ λ 0 En otro sistema de coordenadas que se mueva con velocidad V respecto del primero la carga de prueba estará quieta y luego de acuerdo a un observador en este sistema no experimentara fuerza magnética. Sin embargo el observador en este sistema de coordenadas no puede evitar ver la aceleración de atracción que sufre el cable 2 —en que se mueve la carga de prueba— y que provoca que el cable 2 tiendan a acercarse al 1. Esta aceleración de atracción también la sufren todas las cargas en movimiento en dicho cable y eso es lo que hace moverse al cable completo. Supongamos que sujetamos el cable 2 y el 1 y evitamos que este se acerque hacia el 2. Intentemos calcular la fuerza que sufre la carga de prueba. Para ello consideramos que vista desde el 2do sistema de coordenadas la carga de prueba esta quieta de modo que esta fuerza tiene que ser de origen electrostático (fuerza de Coulomb). La unica manera que esto sea así es que un observador en dicho sistema de coordenadas mida una densidad de carga no nula para el cable 1, densidad que provoca un campo electrico repulsivo que (como la carga del electron es negativa) hace la fuerza de atracción. Para calcular dicha densidad no nula haremos uso de un resultado de la teoría de relatividad especial de Einstein que dice que un segmento material de largo L que esta quieto en un sistema en reposo se ve mas corto desde un sistema en movimiento. Su largo L medido en un sistema en movimiento esta dado por: L cable 2 − L 1 V2 c2 en que c es la rapidez de la luz. También haremos uso del supuesto que la carga total positiva que hay en dicho segmento de cable es la misma que hay en el segmento cable 1 + − correspondiente en el otro sistema. La misma suposición para la carga negativa. En el 1er sistema —en que los N iones estan en reposo— la carga total ionica es Nq y el largo del segmento de Supongamos que conocemos la velocidad V de una carga cable que ellas (en reposo) ocupan es L, de modo que la de prueba (electrón) que se mueve en el interior del cable 2 densidad lineal de carga correpondiente es λ Nq L. y sufre el campo magnético provocado por la corriente en En este mismo sistema la densidad lineal de carga total es el cable 1 (esta corriente es provocada por los electrones λ 0 de modo que para la densidad lineal electrónica se que están en este cable y que se mueven con la misma tiene λ λ velocidad de la carga de prueba). En el 2do sistema —en que los iones estan (velocidad que debe ser la misma con que se mueven los movimiento— se mide la misma carga pero el largo ocuelectrones que estan en el cable 1 que provoca el campo pado por ellas es mas pequeño (segmento en movimienmagnético). 2 to): L 1 Vc2 . La densidad de carga de los iones en este r v=0 λ =0 Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad sistema resulta λ 109 Nq el 1er sistema. En el primer sistema esta fuerza es descrita a través de un campo magnetico de intensidad B mienc En este 2do sistema los N electrones se ven en reposo, tras que en el 2do sistema es descrita mediante un campo su carga total electrónica es Nq y el largo del ca- electrico de intensidad E; pero son la misma fuerza y en ble que ellos ocupan mide L y es el largo que corre- consecuencia se satisface: q E q V B de donde sigue sponde con la longitud L que se mediría cuando ellos λ se ven en movimiento en el primer sistema. Ambos larB 2V πε0 r gos se conectan, en este caso, a través de la relación 2 λ V 2 c2 L L 1 Vc2 . La densidad lineal de carga electróni2V πε0 r resulta: λ Nq L ca que se mide en el sistema 2 λ V Nq 1 Vc2 L 2c2 πε0 r La densidad lineal de carga neta para el segundo sistema sería entonces: En el numerador de esta última expresión se tiene λ V Nq V L. Haciendo uso que V L 1 t donde t es el tiempo que toman las N cargas en atravesar L se obtiene Nq t que es precisamente la corriente I que lleva el cable. λ λ λ Introduciendo además la definición de la llamada perme2 Nq Nq V abilidad magnetica del vacio 1 2 L c V2 L 1 c2 1 µ0 2 4π 107 N/A2 c ε0 2 Nq 1 V 1 L c2 V2 queda 1 c2 µ0 I B 2 2 πr 1 V λ 1 Expresión que entrega el valor de la intensidad B como 2 c2 1 Vc2 función de la distancia r. Recuperando así el resultado que habiamos obtenido antes vía integrar la Ley de Biot 1 V2 1 V2 λ 1 1 2 2 Savart. 2c 2c 2 1 V2 L V2 0 Ejemplos c2 donde hemos hecho uso de Nq Nq y de la expan- 1. dos cables con corriente I están separados a una dis sión binomial 1 x n 1 nx n n 1 2x2 con tancia 2d uno del otro. Determinar el campo total B 2 n 1 2 y hemos despreciado términos x y superiores haprovocado por ambos cables sobre un punto P arriba ciendo uso que x V 2 c2 1 ya que la velocidad elecy sobre un punto Q abajo que están a una distancia y trónica (unos pocos milimetros por segundo) es mucho del plano que contiene a los 2 cables. mas peque’ña que la rapidez de la luz: V c. De modo que la densidad electrónica que se mide en el 2do sistema resulta positiva y no nula, por lo que, según un observador en , se genera un campo electrico sobre la carga de prueba. La intensidad de dicho campo es (vía Ley de Gauss por ejemplo): λ E 2πε0 r y la fuerza que sufre el electrón resulta λ λ q E q λ 2πε0 r Fuerza que provoca la atracción entre cables y que debe ser igual en magnitud que la que mide un observador en Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad B1 Resulta interesante ver como se confabulan las direcciones de los campos para dar, en el punto P arriba y en el punto Q abajo, un campo exclusivamente horizontal. Hecho del cual nos aprovecharemos en el ejercicio a continuación. P θ θ B2 θ θ r d cable 1 110 y d cable 2 I 2. Sistema de cables en paralelo uno al lado de otro formando una superficie muuuy extendida. Cada cable lleva corriente I0 y supondremos que en un segmento de longitud L el número N de cables que hay es conocido. Determinar el campo B arriba y debajo de la superficie. I L Q NI Solucion: Consideremos el punto P arriba. Cada cable contribuye con un campo que tiende a circular en torno a él. La intensidad del campo con µ I que contribuye cada cable es B 2π0 r en que r d 2 y2 . La dirección del campo B1 provocado por la corriente en (1) es cos θ x̂ sin θ ŷ mientras que el campo que provoca el cable (2) tiene dirección cos θ x̂ sin θ ŷ, se tiene Solución Para formarnos una idea recurriremos primero a ver que ocurre cuando solo sumamos la contribución de los 2 cables mas cercanos al punto P arriba. B P µ0 I B1 B2 2π 2π cos θ x̂ d2 y2 µ0 I cos θ x̂ d2 y2 sin θ ŷ sin θ ŷ Resulta B B1 B2 Haciendo uso que cos θ B 2µ0I cos θ x̂ 2π y d2 d2 y2 y2 queda: 2µ0 Iy x̂ 2π d 2 y2 La situación es la misma que la descrita en el ejemplo 1: el campo es perfectamente horizontal y dirigido contra x̂. Si a este campo le agregamos la contribución de los segundos vecinos Para el punto Q abajo el calculo es similar. Teniendo en cuenta con cuidado las direcciones de cada campo B1 y B2 queda B 2µ0 Iy x̂ 2π d 2 y2 Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. B P 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 111 Los segmentos verticales de dicho camino no contribuyen a la integral B d r ya que en dichos segmentos B es perpendicular a d r. La unica contribución viene de los segmentos horizontales de longitud L arriba y abajo y es se tiene nuevamente una contribución horizontal y dirigida contra x̂ (mas pequeña por supuesto ya que los 2dos vecinos están mas distantes). Podemos ir considerando más y más vecinos tomados de a pares, y siempre la contribución arriba sera perfectamente horizontal y apuntando según x̂. Por el mismo argumento abajo se tendrá también una contribución horizontal pero ahora apuntando segun x̂. B dr B y L B y L 2B y L Por otro lado el camino descrito encierra una superficie que es atravesada por una corriente neta NI de modo que aplicando la Ley de Ampere resulta Como la lamina es muuy grande podemos repetir el proceso cambiandonos a un punto P a la misma altura que P, 2B y L µ0 NI µ0 NI 2L B y cte Curiosamente el campo B y resulta constante (independiente del alejamiento y a la placa). Lo que nos recuerda la situación analoga para el campo electrico muy cerca de una placa con densidad uniforme de carga. Introduciendo la corriente por unidad de longitud K (corriente superficial) K por simetría de la traslación horizontal (ya que la lamina es muuy grande) el resultado no cambia, y podemos afirmar que arriba el campo es horizon B y x̂, mientras que abajo se tendrá B tal B B y x̂. La intensidad B y arriba sera la misma que la intensidad B y abajo si la distancia y del punto P al plano que contiene los cables coincide con la distancia del punto Q a dicho plano. NI L queda, arriba: B y abajo B µ0 K x̂ 2 µ0 K x̂ 2 3. Dos placas con corrientes opuestas. Campo entre las placas y afuera de ellas. Para determinar la intensidad de B haremos uso de la Ley de Ampere en el siguiente camino: K y −B x y y L K x x Bx Solucion El problema aquí se puede resolver como la superposición de los campos generados por 1 placa con corriente superficial K ẑ y otra placa con corriente superficial K ẑ. El dibujo explica todo: Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad B=− µ 0 K/2 x B= µ 0 K/2 x + B=− µ 0K/2 x NI B=0 = B= µ 0 K/2 x 112 B= µ 0 K x B0 B=0 0 B Figura 3.29: Corte imaginario de un solenoide mostrando las lineas de campo B Se obtiene campo nulo arriba y abajo, y entremedio resulta B µ0 K x̂ 4. Intensidad del campo en el interior de un solenoide muuuuuy largo, en que hay N vueltas de cable en una longitud L y cada vuelta lleva corriente I. Determinar B en todo el espacio. Aplicaremos primero la Ley de Ampere usando al circuito que se muestra en la figura siguiente para determinar el campo B0 justo al medio, del solenoide. A continuacion haciendo uso de la Ley de Ampere, aplicada a otro circuito, demostraremos que en el interior el campo magnetico además es uniforme (no cambia con la distancia al eje axial del solenoide). L B=0 L I N Solución La situación en el caso de un solenoide muy largo es parecida al ejemplo 3. Pensemos en ‘afuera’como el “arriba” y “abajo” del ejemplo 3, y pensemos en ‘adentro’del solenoide como el “entre” las placas para el ejemplo 3. Esto sugiere que el campo afuera del solenoide es nulo y en su interior es una superposición de campos debido a las corrientes curvadas. Que efectivamente afuera es nulo, se puede demostrar rigurosamente para un solenoide de largo infinito. En el caso de un solenoide muuy largo pero finito, el campo afuera no es nulo, pero si es muuuy debil: B 0, de modo que se puede despreciar, frente a la intensidad del campo en el interior del solenoide. B(0) El unico segmento que contribuye a la integral de camino B d r es el en eje axial (afuera B es nulo, y en los segmentos paralelos al eje axial el campo B es perpendicular a d r. En consecuencia se tiene: B d r B0 L en que B0 es el valor del campo de inducción magnética justo sobre el eje axial. La corriente que atraviesa la superficie encerrada por este circuito es: NI, y aplicando la Ley de Ampere resulta : B0 L B0 Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. µ0 NI µ0 NI L 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 113 Usando a continuación el circuito de la figura, B(r) r B B(0) y puesto que no hay corriente encerrada que atraviese la superficie descrita por dicho circuito, se ve, al aplicar la Ley de Ampere que: B dr B0 L B r En el caso de un cable coaxial la superposición de muchos corrientes similares produce un campo magnetico que tambien circula en planos perpendiculares al eje axial del cable coaxial. La intensidad de dicho campo dependerá de la distancia r al centro del eje axial en forma no trivial. B r L 0 B0 es decir el campo B r a distancia r del eje axial el campo tiene la misma intensidad B0 que en el eje. En consecuencia el campo B es uniforme en el interior del solenoide. 5. Cable coaxial de radio a que lleva corriente total I distribuida homogeneamente en su interior. Determinar el campo magnetico en el interior y exterior del cable coaxial. B corriente total I Para analizar el campo completo consideramos primero la región interior: r a intermedia entre el eje axial y el borde de radio a. En dicha región la corriente esta distribuida uniformemente y la densidad de corriente J tiene valor: J π Ia2 ẑ. J a Puesto que por simetría el campo de inducción magnética es circular y uniforme sobre un camino circular concentrico al eje axial, aplicamos la Ley de Ampere a un circuito de radio r en el interior del coaxial y concéntrico al eje axial. Solución Recordemos que el campo generado por un cable circula en torno de este como muestra la figura: Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad r 114 r superficie de integracion superficie de integracion camino cerrado de integracion camino cerrado de integracion a a La integral de camino nuevamente entrega B r 2π r. Por otro lado la corriente neta que atraviesa la superficie encerrada por dicho camino es precisamente I. Aplicando la Ley de Ampere queda: La integral de camino resulta Por otro lado la corriente que atraviesa la superfice delimitada por este camino es: B r 2π r µ0 I B d r B r 2π r J d S J π r2 I π r2 π a2 En virtud de la Ley de Ampere igualando estas 2 ultimas expresiones se obtiene: B r 2π r µ0 I 2 πr π a2 De donde resulta que para el interior del cable coaxial (r a) se tiene: B r µ0 I r 2π a2 El campo de inducción magnetica crece linealmente con la distancia al centro, hasta alcanzar —en el µ I borde— un valor: 2π0 a . que entrega para r netica: a el campo de inducción mag B r µ0 I 2π r Se ve que el campo es continuo. Es decir B a evaluado usando la expresión para el interior del coaxial y B a evaluado usando la expresión para el exterior del campo coaxial son iguales. La figura siguiente bosqueja el comportamiento del campo de inducción magnetica con la distancia r Β(ρ) µ0I 2πa A continuación analizamos la región exterior. En dicha región r a y por simetria usamos nuevamente un camino circular de radio r. a ρ 6. Cable coaxial hueco con corriente neta I distribuida uniformemente en el volumen y que sube paralela al eje axial. El radio interior es b, el radio exterior es c. Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 115 que la superficie barrida por dicha corriente entre el radio b y el radio r es π r 2 π b2. superficie de integracion I’ camino de intrgracion r b C a Solución Primero estudiamos el campo en la región exterior r c en que r es la distancia radial medida desde el eje axial. Por simetria el campo debe ser circular. Escogemos un camino circular de radio r. La integral de camino por dicho circuito cerrado vale B r 2π r. La corriente neta que atraviesa la superficie encerrada por dicho camino es precisamente I. Aplicando la Ley de Ampere resulta: En consecuencia la corriente neta que atraviesa dicha superficie es: B r µ0 I 2π r que es un resultado que ya conociamos. A continuación estudiamos la región interior. Aquí por simetría, si existe campo, también debe ser circular. Escogemos un camino circular de radio r con r b. La integral de camino por el circuito cerra do entrega nuevamente B r 2π r. Puesto que J 0 al interior la corriente neta que atraviesa por la superficie que delimita dicho camino es nula. Luego para la región interior se obtiene: B r 2π r µ0 0 0 I J πr Por último consideramos la región con b dicha región la densidad de corriente es J I π c2 r πb 2 π r2 I 2 π c b2 b2 Usando la Ley de Ampere queda: B r µ0 I 2π r µ0 I r 2 2π r c2 b2 b2 En esta región el campo tiene una dependencia con r no trivial. Sin embargo es posible apreciar que para r b el campo se anula y por lo tanto coincide con el resultado obtenido para B en la región interior. Si µ I evaluamos en r c nos encontramos que resulta 2π0 c que es justo el valor que se obtiene a partir de la expresión para el campo afuera cuando se evalua con r c. Es decir el campo B es continuo. 7. Problema propuesto Cable coaxial de 2 conductores cilindricos con densidad de corriente homogénea en el interior. Por el cilindro interior ‘sube’corriente I0 , por el cilindro exterior ‘baja’corriente I0 . Los radios de los cilindros son: a, b y c respectivamente. Determinar el campo magnetico en cada región del cable coaxial y en el exterior. mostrando que el campo de inducción magnetica en el interior es nulo. 2 c. En π b2 Por simetría en el interior del conductor el campo debe ser circular. Escogiendo un camino circular de radio r con b r c la integral de camino entrega como antes B r 2π r. Para calcular la corriente neta que atraviesa la superficie definida por ese camino usamos que la densidad de corriente J es uniforme y Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad I −I a b c Indicación: descomponga el problema en 2 partes: (I) El campo generado en todo el espacio por una distribución uniforme de corriente I sobre un cable coaxial de radio a (II) el campo generado por un cable coaxial hueco de radio interior b y exterior a y corriente I. Obtenga por separado la contribución de cada uno de estos campos a las regiones: r a, a r b, b r c y c r y superponga su resultado de manera análoga a que lo hicimos cuando consideramos 2 superficies con corriente uniforme en el problema 3. Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío. 116