Download EJERCICOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

MAS: cuestiones teóricas
1. Define las magnitudes que intervienen en la ecuación de un MAS.
La ecuación fundamental del MAS describe cómo varía el valor de la elongación x a lo
largo de una trayectoria recta con el transcurso del tiempo.
x(t )  A · sen (t  0 )





x (Elongación): distancia que separa para cada instante la partícula de la posición
de equilibrio (del centro de oscilación).
A (Amplitud): valor máximo de la elongación.
 (Pulsación): número de períodos comprendidos en 2 unidades de tiempo.
Se podría ver como el factor que convertiría el tiempo en
unidades angulares: radianes.
t + :
se conoce como fase y viene expresada en radianes.
0 (Fase inicial): espacio angular equivalente a la posición inicial x0 cuando para
t = 0 s la posición inicial no es la de equilibrio.
-A
0
x
A
Se podrían definir otras dos magnitudes que, aunque no intervienen en la ecuación
fundamental del MAS, son de suma importancia.


T (Período):
tiempo empleado en realizar una oscilación completa.
f (Frecuencia):
número de oscilaciones efectuadas en la unidad de tiempo.
1
f  ; Esta magnitud está relacionada con la pulsación por medio de   2f
T
2. Obtén la velocidad y aceleración de un MAS, explicando cuáles son sus valores
máximos.
Partiendo de la ecuación fundamental de un movimiento armónico simple (MAS)
podremos obtener (derivándola) la ecuación de su velocidad, y derivando esta última, la
de la aceleración.

La ECUACIÓN DE LA POSICIÓN es la siguiente: x (t )  Asen t 0 

Derivando respecto al tiempo obtenemos la EXPRESIÓN DE LA VELOCIDAD:
v
dx dAsen wt  0 

v( t ) –MAS
A 1cost  0 
Cuestiones
teóricas
dt
dt
 La velocidad es función armónica respecto al tiempo.
 Cuando x   A , es decir, cuando la partícula se encuentra en los extremos
de la trayectoria, la velocidad es nula.
 Cuando x = 0 m, la partícula se encuentra en el centro de oscilación y su
velocidad adquiere el valor máximo: v max   A

Derivando con respecto al tiempo la velocidad, obtenemos la
ACELERACIÓN en el MAS:
a
ECUACIÓN DE LA
dv dA coswt  0 

 a  A2  sen (t  0 )
dt
dt
De ésta ecuación podemos obtener otra que relacione la aceleración con la posición:
a   2 x
 La aceleración es función armónica respecto al tiempo.
 Cuando x   A , es decir, cuando la partícula se encuentra en los extremos
de la trayectoria, la aceleración toma sus valores máximos: a max   A 2
 Cuando x = 0 m, la partícula se encuentra en el centro de oscilación, por lo
que la aceleración es nula.
3. Justifica la relación  2 
k
para un MAS, siendo k la constante elástica
m
recuperadora.
A continuación vamos a igualar las expresiones de la fuerza de la ley de Hooke a la
expresión de la tercera ley de Newton.
Ley de Hooke  F   kx
Ley de Newton  F  ma   m2 x
 kx   m 2 x   2 
k
m
4. Obtén la expresión de la energía potencial elástica asociada a una fuerza
elástica F = - kx.
La variación de energía potencial que experimenta una masa m al trasladarse de un

punto A a un punto B por la acción de una fuerza F coincide con el trabajo realizado
por dicha fuerza pero cambiado de signo. El trabajo, W A B , es:
Cuestiones teóricas – MAS 2
B
b
 
 
   Fd r    (Kx i )(dxi)    (Kxdx )
B
W  Ep  Ep   WAB
A
B
A
a
B
1
1
1
 1

1

Ep    Kx 2    Kx 2   Kx 2B  Kx 2A  K ( x 2B  x 2A )
2
2
 2
A 2
A 2
Si el origen de la energía potencial lo situamos en el centro de oscilación, en x A = 0 m ,
la energía potencial en una posición cualquiera xB = x será:
Ep 
1
1
2
Kx B  Kx 2
2
2
5. Definición de fuerzas conservativas. Demuestra que las fuerzas elásticas son
conservativas.
Una fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia
entre los valores inicial y final de una función que sólo depende de las coordenadas de
los puntos inicial y final. A dicha función se le denomina energía potencial.
 
F
  dr  Ep A  EpB
B
A
El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido para ir del punto
A al punto B.
El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es
 
cero:  F  dr  0 .
Como vemos en la figura cuando un muelle se estira una distancia x, ejerce una fuerza
sobre la partícula proporcional a la deformación x , pero de signo contrario a ésta.
F = -kx
El trabajo de esta fuerza es
La función energía potencial correspondiente a la fuerza conservativa F vale
1
E P ( x )  Kx 2  C
2
El nivel cero de energía potencial se establece del siguiente modo: cuando la
deformación es cero x = 0 m, el valor de la energía potencial se toma cero, Ep = 0 J, de
1
modo que la constante aditiva vale C = 0 J. E P ( x )  Kx 2
2
Cuestiones teóricas – MAS 3
6. Una partícula de masa m oscila en el eje OX según la ecuación
x ( t )  Asen (t  ). Obtén la expresión de la energía para esta masa.
Esta ecuación corresponde a un MAS. Para esta masa habrá que calcular la energía
cinética, ya que la potencial no depende de la masa.
1
mv 2 . Si en esta expresión se sustituye la ecuación de la velocidad que se obtiene
2
derivando la ecuación general del MAS, v  A cos(t   0 ) , obtenemos:
Ec 
1
1
1
2
mv 2  mAw ·cos(wt   0  ; Ec  mA 2 w 2 cos 2 ( wt   0 )
2
2
2
1
Ec  KA 2 cos 2 ( wt   0 )
2
Ec 
Sabiendo que cos 2 x  1  sen 2 x
Ec 

x2


1
1
1
1
1
1
K·A 2 1  sen 2 t   0   K·A 2  K·A 2 sen 2 t   0   K·A 2  K·x 2  K A 2  x 2
2
2
2
2
2
2
Hasta ahora sólo hemos analizado la energía cinética de una partícula en un MAS. A
1
esta forma de energía habrá que sumarle la energía potencial: E P ( x )  Kx 2 .
2
1
1
1
EMEC = ECIN + EPOT = K (A 2  x 2 )  Kx 2  KA 2 .
2
2
2
La energía de una partícula de masa m que oscila según un MAS es constante:
1
E MEC  KA 2 , y está constituida en todo momento como suma de energía cinética y
2
potencial elástica. La energía potencial elástica se va transformando en energía cinética
y ésta se transformará nuevamente en energía potencial elástica. Nos encontramos ante
una fuerza conservativa.
7. Describe una experiencia de laboratorio para determinar el valor de la
aceleración de la gravedad g mediante un péndulo simple, señalando el material
necesario y el procedimiento a seguir.
OBJETIVO: En esta experiencia vamos a calcular a través de un péndulo simple, el
valor de la aceleración de la gravedad.
Cuestiones teóricas – MAS 4

MATERIAL NECESARIO:




Esferas de masas distintas
Hilo inextensible
Cinta métrica
Cronómetro.
CÁLCULOS PREVIOS


Py  T

x
F   Px   mg·sen   -mg  -mg
l
mg
x
l
F   kx
k
x
l
2
F   m x

F 
F   mg
mg
l
g
g
2 
2
l
l
g
l
 2 

   T  2
2
l
g
 T 

T
Midiendo la longitud l con un metro y el período T con un cronómetro, podemos
calcular g experimentalmente.
El error experimental se puede reducir realizando las mediciones varias veces y
obteniendo las medias.
Cuestiones teóricas – MAS 5