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Física 2º Bachillerato
Tema I. MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO SIMPLE (Resumen)
1.- MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
Al movimiento que se repite en intervalos de tiempo iguales se le denomina periódico.
Dentro de los movimientos periódicos nos interesa conocer el movimiento vibratorio
armónico simple.
El m.a.s. se puede definir como “un movimiento periódico de vaivén a ambos lados de
una posición central de equilibrio, de pequeña amplitud y cuya trayectoria es rectilínea.
Sobre la partícula que describe el movimiento actúa en cada instante una fuerza
dirigida hacia el centro de la trayectoria. Dicha fuerza es proporcional a la distancia a la
que se encuentre del centro.”
En este movimiento, la posición, la velocidad y la aceleración se pueden expresar
mediante funciones armónicas, como el seno y el coseno.
Es característico de los cuerpos llamados elásticos y de todos los componentes de la
materia (electrones, átomos, iones,...).
Para deducir las ecuaciones que rigen este movimiento, empleamos la relación que
existe entre él y el movimiento circular uniforme, que también es periódico.
El m.a.s. se puede considerar como la proyección sobre un diámetro de un
movimiento circular uniforme. Consideremos un punto que describe una circunferencia de
radio A.
y
Si comenzamos a medir el
tiempo a partir de la posición P,
se ha recorrido previamente un
ángulo o.
y
Q’
Q
A
P’
-A
t
0
P
+A
El valor de la elongación y,
será:
x
O
y = A sen( t + 0 )
t
Significado físico de las magnitudes que intervienen:
y : Elongación (m). Mide la distancia entre la posición de la partícula vibrante en
cualquier instante y la posición de equilibrio.
A: Amplitud (m). Es el valor máximo que puede tomar la elongación.
( t + 0) : Fase (rad). Su valor determina el estado de vibración o la fase del movimiento,
está relacionada con el ángulo descrito.
0 : Fase inicial (rad). Su valor determina el estado de vibración para t =0 s. Si
empezamos a contar el tiempo cuando la partícula está en la posición de equilibrio 0 = 0.
 : Pulsación o frecuencia angular (rad/s). Representa la velocidad angular constante
movimiento circular que hemos proyectado.
Movimiento vibratorio armónico / 1
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Recordemos que  
2
, siendo T el período.
T
T: Período (s). Es el tiempo que tarda la partícula en realizar una vibración completa.
Esto ocurre cuando la partícula pasa dos veces por la misma posición y en el mismo sentido
del movimiento.
f : Frecuencia (Hz). Es el número de vibraciones completas realizadas en un segundo.
Ejemplo 1 ¿Cuál sería la ecuación del m.a.s. si en el instante inicial t = 0, la
partícula se encuentra en el valor máximo positivo de la elongación?




La ecuación general del m.a.s. es y = A sen( t + 0 ) , si en t = 0s y =A ; A = A sen0 ;
A
sen


1


la
ecuación
del
movimie
es
y

A
sen
(
t

)
0
0
A2
2
Como sen ( t + /2) = cos  t , podemos expresarla así y = A cos  t
Vemos que el m.a.s. podemos describirlo mediante la siguiente ecuación:
Si en t = 0 ; y = 0 la partícula avanza hacia el sentido creciente de la posición y,
y = A sen t
Si en t = 0 ; y = A
y = A cos  t
2.- VELOCIDAD EN EL M.A.S.
Derivando respecto al tiempo la ecuación de la posición y = A sen( t + 0 )
dy
2
2 22
v


A
cos(
t

)

A
1

sen
(
t

)

A

A
sen
(
t

)
0
0
0
dt


 






2 2
v


A

y ya
que
y

A
sen
(
t

)
0
Toma valor máximo cuando cos( t + 0 )=1 ; entonces vmáx = A
El valor de la velocidad depende de la posición de la partícula:
El valor máximo es en el centro de la trayectoria en y = 0; vmáx = A .
Se anula en los extremos de la trayectoria en y =  A ; v =0 m/s.
Ejemplo 2 (Se resolverá en clase por el profesor)
La ecuación de un m.a.s. es y = A sen( t + 0 ). Establece su fase inicial sabiendo que
en el instante inicial la partícula se encuentra:
a) En el centro de la vibración y se dirige hacia elongaciones positivas.
b) En el centro de la vibración y se dirige hacia las elongaciones negativas.
c) En el extremo positivo de la oscilación.
d) En el extremo negativo de la vibración.
Movimiento vibratorio armónico / 2
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3.- ACELERACIÓN EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO
Derivando la velocidad obtenemos la aceleración:
dv 2
2
a


A
sen
t


y
dt
La aceleración depende de la posición de la partícula, es proporcional a la elongación
pero de sentido contrario.
Su valor es máximo en los extremos en y =  A ; a = - 2A
Se anula en el centro de la trayectoria, en y = 0; a = 0.
 
(B) Ejercicio 1
Un cuerpo oscila con movimiento armónico simple cuya amplitud y periodo son,
respectivamente, 10cm y 4s. En el instante inicial t=0s, la elongación vale 10cm. Determina
la elongación en el instante t=1s. (Septiembre 2005) S: y = 0m.
® Ejercicio 2
Una partícula efectúa un movimiento armónico simple cuya ecuación es
x(t)= 0,3 cos [2t + /6], donde x se mide en metros y t en segundos.
1. Determina la frecuencia, el periodo, la amplitud y la fase inicial del movimiento.
2. Calcula la aceleración y la velocidad en el instante inicial t=0s. (Sept-2006)
S: 1. f = 1/ Hz. T= s. 0 = /6 rad 2. a = - 1,04 m/s2 v = -0,3 m/s.
® Ejercicio 3
Una partícula inicia un m.a.s. en el extremo de su trayectoria y tarda 0,1s en ir al
centro de la misma. Si la distancia entre ambas posiciones es de 20 cm. Calcular:
a) El período del movimiento. b) La pulsación. c) La posición de la partícula 1 s después de
iniciar el movimiento. d) La aceleración máxima. e) La velocidad de la partícula cuando se
encuentra a 2 cm de la posición de equilibrio.
S: a) 0,4 s. b) 5 s-1 c) - 0,2 m d) –49,3 m/s2 e)  3,1 m/s
(B) Ejercicio 4
Se tiene un cuerpo de masa 10 kg que realiza un m.a.s. La figura adjunta es la
representación de su elongación y en función del tiempo t. Se pide:
a) La ecuación matemática del movimiento y(t) con los valores numéricos correspondientes,
que se tienen que deducir de la gráfica.
b) La velocidad de dicha partícula en función del tiempo y su valor concreto en t = 5 s
(Junio 2005)







3

3

4
10
sen

2
,
1

10
cos
 t; b) v
 t
S: a) y
; v= -2,1x10-3 m/s
6 6
6 6




Movimiento vibratorio armónico / 3
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® Ejercicio 5
Un cuerpo dotado de un movimiento armónico simple de 10cm de amplitud, tarda 0,2 s
en describir una oscilación completa. Si en el instante t=0 s su velocidad era nula y la
elongación positiva, determina: a) La ecuación que representa el movimiento del cuerpo.
b) La velocidad del cuerpo en el instante t = 0,25 s. (Junio 2003)
S: a) y=0.1sen(10t + /2) b) - m/s
(B) Ejercicio 6
Una partícula realiza el movimiento armónico representado en la figura:
a) Obtén la amplitud, la frecuencia angular y la fase inicial de ese movimiento. Escribe
la ecuación del movimiento en función del tiempo.
b) Calcula la velocidad y la aceleración de la partícula en t = 2s. (Junio 2011)
S: a) A =10-2 m ; = 2 s-1 ; 0 = 0,412 rad ; y = 10-2 sen(2t + 0,412) m
b) 0,058 m/s ; -0,16 m/s2
(B) Ejercicio 7
Un cuerpo realiza un movimiento armónico simple. La amplitud del movimiento es A = 2cm,
el periodo T = 200 ms y la elongación inicial es y(0) = + 1cm.
a) Escribe la ecuación de la elongación del movimiento en cualquier instante.
b) Representa gráficamente dicha elongación en función del tiempo. (Junio 2010)
S: a) y = 2x10-2 sen (10t + /6)
® Ejercicio 8
Calcular los valores máximos de la velocidad y de la aceleración de un punto dotado de
un movimiento armónico simple de amplitud 10cm y período 2 s. (Septiembre-1997)
S: v = 0,1 m/s ; a = - 0,1 2 m/s2
(B) Ejercicio 9
Una partícula puntual realiza un m.a.s. de amplitud 8 m que responde a la ecuación
a= - 16x, donde x indica la posición de la partícula en metros y a es la aceleración del
movimiento expresada en m/s2.
1. Calcula la frecuencia y el valor máximo de la velocidad.
2. Calcula el tiempo invertido por la partícula para desplazarse desde la posición x1=2m
hasta la x2=4m. (Sept-2006)
S: 1. f = 2/Hz ; v = 32 m/s 2. 0,068 s.
Movimiento vibratorio armónico / 4
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4.- DINÁMICA DEL M.A.S.
Para averiguar la naturaleza de la fuerza que produce el movimiento vibratorio
tendremos en cuenta lo siguiente.
Como solamente vibran los cuerpos elásticos, la fuerza que produce el m.a.s. es una
fuerza elástica. Estas fuerzas, que se oponen a las fuerzas deformadoras, también reciben el
nombre de fuerzas recuperadoras. Van dirigidas siempre hacia la posición de equilibrio, son
por lo tanto fuerzas centrales y conservativas.
La relación entre la fuerza recuperadora y la deformación producida en un muelle
viene dada por la ley de Hooke, estudiada en otros cursos.
F = - k y ; F = - k(y – y0)
en donde el signo menos indica que la fuerza se opone al incremento del desplazamiento.
Si tomamos la longitud inicial del muelle, y0 , como origen de longitud y0 = 0,
podemos escribir la ley de Hooke como:
F = -k y
Si aplicamos la ley de la Dinámica para fuerza anterior:
F = m a = m (- 2x) = - m 2y
de donde
k=m2
F=-ky
2
podemos calcular el período sustituyendo en la expresión anterior y queda:
T
m
T 2
k
La expresión anterior nos permite calcular el período de oscilación de un cuerpo de
masa m que está unido a un muelle de constante elástica k.(No tenemos en cuenta
rozamientos ni la masa del resorte)
Como  
® Ejercicio 10
Una masa m colgada de un muelle de constante elástica K y longitud L oscila
armónicamente con frecuencia f. Seguidamente, la misma masa se cuelga de otro muelle que
tiene la misma constante elástica K y longitud doble 2L. ¿Con qué frecuencia oscilará?
Razona la respuesta. (Junio-2008)
(B) Ejercicio 11
Al colgar del extremo de un muelle un cuerpo de 4kg de masa, el muelle se alarga
0,1m. A partir de la posición de equilibrio, O, así alcanzada, se estira hacia abajo del
extremo inferior 0,04m y se deja que oscile libremente. Determinar: a) La constante de
recuperación del muelle. b) La ecuación del movimiento armónico simple que realiza el
cuerpo. c) La posición la velocidad y la aceleración del cuerpo en t = 0,9s. d) La velocidad
máxima (en valor absoluto) que puede alcanzar el cuerpo. g0 = 9,8 m /s 2




0
,
04
sen
72
t; c) 0,035m; 0,195 m/s; -3,41 m/s2 d) 0,396 ms-1

S: a) 392 Nm-1 b) y
2


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® Ejercicio 12
Una masa de 2 kg cuelga de un resorte cuya constante elástica es k = 200N/m y
puede oscilar libremente sin rozamiento. Desplazamos la masa 10 cm de su posición de
equilibrio y la soltamos para que empiece a oscilar. Calcula: a) La ecuación del movimiento
de la masa. b) El período. c) La velocidad y la aceleración máximas. d) La fuerza
recuperadora cuando la masa se encuentra 5 cm por encima de la posición de equilibrio y la
aceleración en ese instante.
S: a) y=0,1sen(10t - /2) b) 0,2 s c) 1m/s; -10 m/s2 d) –10N ; -5m/s2
® Ejercicio 13
Una partícula que vibra a lo largo de un segmento de 10cm de longitud tiene en el
instante inicial su máxima velocidad que es de 20 cm/s. a)Escribe las expresiones de la
elongación, velocidad y aceleración. b) Calcula la elongación, velocidad y aceleración en el
instante t = 1,5 · s.
S: a) y = 0,05 sen4t ; v = 0,2 cos4t ; a = -0,8 sen 4t ; b) 0 m ; 0,2 m/s ; 0 m/s2
Péndulo simple:
Está constituido por una masa puntual que oscila suspendida de un hilo inextensible y
de masa despreciable.
El valor del período para pequeñas oscilaciones es como demostraremos:

T

Py

Px

P
a = - 2x ; queda
T 2
l
g


Px = m a x ; - mg sen = max
Para ángulos pequeños sen  como  = x/l
a = -g ·x/l que comparándola con la del m.a.s.
 2 = g /l como  
2
entonces
T
T 2
l
g
® Ejercicio 14
Determina la aceleración de la gravedad en un lugar de la Tierra, sabiendo que un
péndulo simple de 80,0cm de longitud tarda 71,8 s en realizar 40 oscilaciones.
S: 9,80 m/s2
5.- ENERGÍA DE UN OSCILADOR MECÁNICO
Una partícula animada de m.a.s. recibe el nombre de oscilador mecánico. Se llama así
porque posee energía mecánica: cinética y potencial.
a) Cinética porque hay movimiento.
b) Potencial porque el movimiento armónico es producido por una fuerza
conservativa. La energía potencial es una característica de este tipo de fuerzas.
Movimiento vibratorio armónico / 6
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1 2
Energía cinética: Si tenemos en cuenta que la energía cinética es Ec  mv y que para
2
2
A
y2 sustituyendo el valor de la velocidad:
este movimiento la velocidad es v

12 2 2 12 2
E

m
(
A

y
)

k
(
A

y
)
c
2
2
1 2 2
E
(Ay)
c k
2
La energía cinética depende de la posición, tiene valor máximo en el centro de la
trayectoria y se anula en los extremos.
Energía potencial: Es el trabajo que debemos hacer para deformar el resorte una distancia y
venciendo la fuerza recuperadora elástica:
x
y
12
E

F
dy

ky
dy

ky
p


0
0
2
1
EP  k y2
2
La energía potencial depende de la posición tiene valor máximo en los extremos y se
anula en el centro de la trayectoria.
Energía mecánica: Es la suma de las energías cinética y potencial.
1
2 21
21
2
1
E

E

E

k
(
A

y
)

ky

k
A
M
c
p
EM  kA2
2
22
2
En el movimiento armónico la energía mecánica permanece constante. Si no hay
rozamiento la amplitud también permanece constante.
La figura representa la variación de la energía con la elongación.
(B) Ejercicio 15
Una partícula de mas 2kg efectúa un movimiento armónico simple (MAS) de amplitud
1cm. La elongación y la velocidad de la partícula en el instante inicial t=0 valen 0,5cm y 1 cm/s,
respectivamente.
1. Determina la fase inicial y la frecuencia del MAS.
2. Calcula la energía total del MAS , así como las energías cinética y potencial en el
instante t=1,5s. (Sept-2007)
Movimiento vibratorio armónico / 7
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S: a) /6 rad; 0,184Hz; b) 1,33x10-4J ; 5,33x10 –5 ; 8x10-5 J
(B) Ejercicio 16
La gráfica adjunta muestra la energía potencial de un sistema provisto de un
movimiento armónico simple de amplitud 9 cm, en función de su desplazamiento x respecto
de la posición de equilibrio. Calcula la energía cinética del sistema para la posición de
equilibrio x = 0 cm. Calcula la energía total del sistema para la posición x = 2 cm.
(Septiembre 2005)
S: 0,05 J ; 0,05 J
(B) Ejercicio 17
Una partícula realiza un movimiento armónico simple. Si la frecuencia disminuye a la
mitad, manteniendo la amplitud constante, ¿qué ocurre con el período, la velocidad máxima y
la energía total? (Junio 2003)
® Ejercicio 18
Una partícula realiza un movimiento armónico simple. Si la frecuencia se duplica,
manteniendo la amplitud constante, ¿qué ocurre con el período, la velocidad máxima y la
energía total? (Junio 2010)
® Ejercicio 19
Una partícula de masa m oscila con frecuencia angular  según un m.a.s. de amplitud A.
Deduce la expresión que proporciona la energía mecánica de esta partícula en función de los
anteriores parámetros. (Junio 2006)
(B) Ejercicio 20
Un móvil describe un m.a.s. de amplitud A.¿En qué posición, o posiciones, se igualan
las energías cinética y potencial? ¿En qué posición la energía cinética es la mitad de la
potencial? (Septiembre de 2004)
A2
A6
S: y 
; y 
2
3
® Ejercicio 21
La ecuación del movimiento de una partícula, de masa 100 g, unida al extremo de un
resorte viene dada por x = 0,4 cos(0,7t - 0,3) m. Se pide calcular:
1.Amplitud y período del movimiento.
2.Energía cinética de la partícula en el instante t = 2 s. (Septiembre-1998)
S: 1) 0,4m ; 20/7 s; 2) 3.1x10-3 J
® Ejercicio 22
Un cuerpo de 800 g de masa describe un movimiento armónico simple con una
elongación máxima de 30 cm y un período de 2 s. Calcular su máxima energía cinética.
Movimiento vibratorio armónico / 8
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(Junio-1998) S: 0,355 J
® Ejercicio 23 Un cuerpo de 10 kg de masa describe un movimiento armónico simple de 30
mm de amplitud y con un período de 4 s. Calcular la energía cinética máxima de dicho cuerpo.
¿Qué se puede decir de la energía potencial del cuerpo en el instante en que su energía cinética
es máxima?. (Junio 1997) S: 0,0111J
® Ejercicio 24 Una partícula de masa m describe un movimiento armónico simple de amplitud
A y pulsación (). Determinar su energía cinética y su energía potencial en el instante en
que su elongación es nula y en el instante en que es máxima. (Septiembre-2000)
EJERCICIOS FINALES
® Ejercicio 25
La fuerza máxima que actúa sobre una partícula que realiza un m.a.s.
es 2·10 –3 N, y la energía total es de 5·10 –4J.
a) Escribe la ecuación del movimiento de esa partícula, si el período es de 4 s y la fase
inicial es de 30º.
b) ¿Cuánto vale la velocidad al cabo de 1 s de iniciarse el movimiento?(PAU Galicia)
S: a) y = 0,5 sen (/2 t + /6) b) -/8 m/s
® Ejercicio 26
Una masa de 1 kg vibra horizontalmente a lo largo de un segmento de 20 cm de
longitud con un movimiento armónico de período T = 5 s. Determina: a) La ecuación que
describe cada instante de tiempo la posición de la masa. b) La fuerza recuperadora cuando el
cuerpo está en los extremos de la trayectoria. c) La posición en la que la energía cinética es
igual al triple de la energía potencial. (PAU Cantabria)
® Ejercicio27
Una partícula de 0,5kg que describe un m.a.s. de frecuencia 5 / Hz tiene,
inicialmente, una energía cinética de 0,2J y una energía potencial de 0,8J. Calcula:
a) La posición y velocidad iniciales, así como la amplitud de la oscilación y la velocidad
máxima. b) El valor de la elongación en el instante en el que las energías cinética y
potencial son iguales.
2
S: y = 0,18m; v = 0,9 m/s ; A = 0,2 m vMAX = 2 m/s b)
m
10
® Ejercicio 28
Cierto muelle se deforma 20cm cuando se le cuelga una masa de 1,0kg.
Posteriormente, se coloca, sin deformación unido a la misma masa sobre una superficie
horizontal sin rozamiento. En esta posición, se tira de la masa hasta que el muelle se alarga
2,0cm y luego se suelta. Calcula:
a) La ecuación de la posición para el m.a.s. resultante. b) Las energías cinética, potencial
elástica y mecánica total cuando haya transcurrido un tiempo t = (3/4)·T, donde T es el
periodo del m.a.s. Datos: g0 =10 m/s 2




0
,
02
sen
52
t

S: a) x
; b) Ec = 0,01 J ; Ep = 0 J ; EM = 0,01 J
2


Movimiento vibratorio armónico / 9
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® Ejercicio 29
Una masa de 2kg está unida a un resorte horizontal cuya constante recuperadora es
k= 10N/m. El muelle se comprime 5 cm desde la posición de equilibrio (x=0) y se deja en
libertad. Determina:
a) La expresión de la posición de la masa en función del tiempo x=x(t).
b) Los módulos de la velocidad y de la aceleración de la masa en un punto situado a 2cm
de la posición de equilibrio.
c) La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra en los extremos de la
trayectoria.
d) La energía mecánica del sistema oscilante.
Nota: Considera que los desplazamientos respecto a la posición de equilibrio son positivos
cuando el muelle está estirado.
® Ejercicio 30
Una partícula oscila con un movimiento armónico simple a lo largo del eje X . La
ecuación que describe el movimiento de la partícula es x = 4 cos ( t + /4 ) , donde x se
expresa en metros y t en segundos.
1. Determina la amplitud,la frecuencia y el periodo del movimiento.
2. Calcula la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula en t = 1 s.
3. Determina la velocidad y la aceleración máximas de la partícula. ( Septiembre 2008)
Movimiento vibratorio armónico / 10
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RESUMEN DE FÓRMULAS:
Elongación (y) en (m): (Ecuación del movimiento) y = A sen( t + 0 )
Velocidad (v) (m/s):
dy
v

A

cos(

t

) en
función
del
tiempo
0
dt
2
2
v


A

y
Aceleración (a) (m/s2):
Fuerza recuperadora:
en
función
de
la
posición
a = - 2 y
F = -k y ;
k = m 2
Período de oscilación:
T 2
a) Masa unida a un resorte
l
m
b) Péndulo simple T 2
g
k
Energía:
1 2 2
1
(Ay) b) Potencial Ep  k y2
a) Cinética E
c k
2
2
1 2
c) Mecánica EM  kA
2
Valores máximos y mínimos:
y=-A
y=0
y=+A
v=0
vmáx =  A
amáx =-  2A
a=0
Ec= 0
Ec = ½ kA2
Ec=0
Ep = 0
Ep = ½ kA2
Ep = ½ kA2
v=0
amáx =-  2A
Movimiento vibratorio armónico / 11
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REPASO DEL TEMA
1) Al colocar un objeto de 250g suspendido de un resorte se produce un alargamiento de
3,5cm. Si a continuación se estira hasta 5 cm y se deja oscilar libremente el sistema, éste
describe un movimiento armónico simple. Determina:
a)La constante elástica del resorte.
b) La ecuación del m.a.s. resultante.
c) La velocidad, aceleración y la energía potencial a los 0,125s de iniciado el
movimiento. (0,75 puntos)
d) El instante en el que se alcanza la velocidad máxima.
Datos: g0 = 9,8 m/s2
2) Una partícula de 1kg efectúa un movimiento armónico simple de amplitud 10cm. La
elongación y la velocidad de la partícula valen en el instante inicial 5cm y 54cm/s
respectivamente. Determina:
a) La fase inicial y la frecuencia del movimiento. b) La velocidad y la aceleración
cuando la elongación es 4cm.
3) Una masa de 2kg realiza, en el eje Y, un m.a.s. descrito por la ecuación:
y =0,5cos (2 t - /2) m
Calcula:
a)La amplitud y el período del movimiento. b) La velocidad y la energía cinética en el
instante t =1,5s.
c) La posición en la que la energía potencial es la mitad que la energía cinética.
4) Una partícula de masa m = 10 g oscila armónicamente según la expresión x = A sen ( t ).
En la figura se representa la velocidad de esta partícula en función del tiempo. a)
Determina la frecuencia angular  y la amplitud A de la oscilación. b) Calcula la
energía cinética de la partícula en el instante t1 = 0,5 s, y la potencial en t2 = 0,75 s.
¿Coinciden? ¿Por qué?
5) Una partícula de 250g vibra a lo largo de un segmento de 20cm de longitud. En el
instante inicial la elongación es positiva y posee su máxima energía potencial que es de
7,71·10 –2J. Determinar:
a) El período del movimiento.
b) La ecuación del m.a.s.
c) La velocidad cuando la elongación es de 5cm.
Movimiento vibratorio armónico / 12
Física 2º Bachillerato
Movimiento vibratorio armónico / 13