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1 Igualdades y Ecuaciones Objetivo de la guía de trabajo Al término de esta guía de trabajo deberás estar en condiciones de: Identificar una igualdad numérica. Conocer el concepto de incógnita en una ecuación lineal de primer grado. Resolver una ecuación de primer grado. Igualdades Numéricas Observa la siguiente balanza. 10 + 2 = 4+8 Es una igualdad verdadera. Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por un signo igual ( = ). Toda igualdad tiene dos miembros: el primero es la expresión que está a la izquierda del signo igual, y el segundo, la expresión que está a su derecha. 10 2 4 8 1er Miembro 2º Miembro Actividad 1. Identifica si las siguientes expresiones numéricas son Verdaderas (V) o Falsas (F). 2 a) _________ 1 9 2 12 b) _________ 9 1 100 1.000 c) _________ 6 5 5 6 d) _________ 10 5 2 2 5 10 e) _________ 23 (19 4) f) _________ 8 4 (10 8) g) _________ 5 (2 7) 5 2 5 7 h) _________ 11 3 11 5 11 (3 5) Actividad 2 En cada una de las expresiones, sustituye el valor de n por los valores indicados y luego determina si cada igualdad es Verdadera o Falsa. a) _________ 3n 18 15 n 1 b) _________ 6 2n 26 n 10 c) _________ 10 4 2n n 3 d) _________ 4n 7 2n 1 n 4 e) _________ 4(8 3n) 20 n 1 Igualdades con Letras 3 Actividad 3. Encuentra el valor o los valores que tiene que tomar cada una de las letras para que las siguientes igualdades sean verdaderas. Escribe al lado de cada expresión la pregunta que te deberías plantear y respóndela. a) a 2 12 ¿Cuánto debe valer a para que al sumarle 2 se obtenga 12? b) b 2 20 Si a b se le restan 2 se obtiene 20. ¿Cuánto vale b? c) 15 t 5 Si a 15 le sumas t se obtiene 25. ¿Cuánto vale t? d) 12 u 10 e) 7 x 1 f) y 11 15 g) c 2 1 h) x 5 35 4 ¿Qué es una ecuación? La balanza está en equilibrio. Lo expresamos así: x484 Esta igualdad es una ecuación. La letra x se llama incógnita, porque su valor es desconocido. Ecuación : es una igualdad con una incógnita cuyo valor debemos averiguar. Identidad : es una igualdad que se cumple para cualquier valor que tome la incógnita. Ejemplo: 3x - 2 + x = 1 + 4x - 3 Resolución de Ecuaciones: Regla de la Suma Si de los platillos de la primera balanza se retira la pesa 5, el equilibrio se mantiene. Lo mismo ocurre si se añade la pesa 5 a los dos platillos de la segunda balanza. Importante: Si a los miembros de una ecuación se suma o se resta un mismo número o una misma expresión algebraica, se obtiene una ecuación equivalente a la dada. Dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. 5 Simplificación de ecuaciones Aplicando la regla de la suma se pueden simplificar ecuaciones; es decir, a partir de la ecuación dada se pueden obtener ecuaciones equivalentes más sencillas, hasta hallar la solución. Ejercicios Resueltos. 1. Resolver la ecuación: 2x 8 x 25 8 Restar 8: 2x x 25 Restar x: x 25 2. Resolver la ecuación: 3x 23 2x 59 Restar 23 3x 2x 36 Restar 2x x 36 Actividad 1 Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones, explicando cada uno de los pasos (ver ejemplos resueltos). a) x 7 7 12 b) 5 x 12 25 5 c) x 2 8 4 d) 24 x 6 50 6 e) 17 3 x 5 3 f) 7x 6 x 8 5x g) 5x 32 4x 41 h) 2 3x 2x 4x 9 i) 4x 5 x 5 3x 1 j) 6x 2 4x 9 x 8 EL PADRE DEL ÁLGEBRA Diofanto de Alejandría, llamado el “Padre del Álgebra”, fue un matemático que vivió en el siglo III. Utilizó abreviaturas y signos para representar las operaciones, y además enunció las reglas para resolver ecuaciones de primer y de segundo grado. 6 Aplicación de la Regla de la Suma en Forma Práctica Resolución de Ecuaciones: Regla del Producto Con la regla del producto y la regla de la suma se pueden resolver todas las ecuaciones. Observa las dos balanzas y las ecuaciones que representan: Al pasar de la balanza de la izquierda a la derecha, el equilibrio permanece. Equivale a dividir por 4 los dos miembros de la ecuación. Al pasar de la balanza de la derecha a la de la izquierda, el equilibrio también permanece. Equivale a multiplicar por 4 los dos miembros de la ecuación. Si a los dos miembros de una ecuación se los multiplica o divide por un número distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la dada. 7 Simplificación de ecuaciones Aplicando la regla del producto también se pueden simplificar ecuaciones. Ejercicio Resuelto. Resolver la ecuación: 2x 10 3 Multiplicamos por 3 ambos miembros de la ecuación: 2x 3 10 3 3 Resulta: 2x 30 Dividimos por 2 ambos miembros de la ecuación: 2x 30 2 2 Se obtiene finalmente: x 15 Actividad 2. Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones, explicando cada uno de los pasos. a) 3x 24 4 b) 4x 12 3 c) 7x 28 2 d) 5x 2 20 2 2 e) 1x 5 15 5 2 f) 5x 7 2x 35 g) 3x 4 24 x h) 5x 2x 7 25 3 3