Download CORPORACIÓN EDUCACIONAL ÁREA: MATEMÁTICA

CORPORACIÓN EDUCACIONAL
COLEGIO SAN JUAN EVANGELISTA
ÁREA: MATEMÁTICA
NIVEL: 8º BÁSICO
GUÍA DE APOYO
RAZONES
RAZÓN: se llama a la comparación por cuociente entre dos cantidades a y b cualesquiera.
Una razón se puede expresar como:
a : b
a
b
ó
a, b  R, b  0
y se lee: a es a b.
Los términos de una razón de llaman antecedente ( a) y consecuente (b).
Toda razón tiene un cuociente, denominado valor de la razón. Así:
a
 k , k  R, k  valor de la razón
b
El valor de la razón es sólo un número, por lo tanto, es independiente de toda unidad en que estén
expresados los términos de la razón.
Los conceptos de razón y de fracción no son idénticos, a pesar de que las razones se expresan a veces
como fracciones.
5
5
1
5
Una razón es una comparación:
ó 5 : 1 (5 es a 1)
1
Una fracción es un número:
EJERCICIOS:
1) Escribe estas razones en forma de fracción:
a) 3 : 8
b) 5 : 11
c) 3 : 10
d) 7 : 4
2) Escribe la razón entre los siguientes pares de números:
a) 2 y 5
b) 3 y 4
d) 20 y 5
d)
f)
4 2
y
3 7
c) 1 y 6
3
y 5
4
g) 1,2 y
4
5
e) 10 y
5
6
h) 0,8 y 2,5
3) Escribe la razón entre las siguientes cantidades:
a) 5m y 10m
b) 20cm y 12cm
c) 3cm y 3m
d) 2km y 3000m
e) 2,5m y 50dm
f) 48m2 y 3600dm2
g) 2m3 y 6000dm3
h) 2kg y 4000g
i) 20l y 100dm3
4) Expresa estas razones entre fracciones, como una razón entre números enteros:
a)
2 3
:
3 4
b)
3 5
:
7 7
c)
4 3
:
7 8
d)
2 2
.
3 5
e)
7 5
:
9 6
f)
7 2
.
12 3
5) Completa el siguiente cuadro:
Razón
Antecedente
Consecuente
8
11
Valor de la razón
4 : 3
5
13
0,7
2,9
3, 21
3
10
0,4
2,8
6
7
8
13
3,5
0,22
8
9
17
5
9
6) Una prueba de matemática tiene 10 preguntas. Un alumno responde correctamente 6 de estas
preguntas y omite una. Escribe la razón entre:
a) el número de preguntas correctas y el número total de preguntas.
b) El número de preguntas incorrectas y el número total de preguntas.
c) El número de preguntas omitidas y el número total de preguntas.
7) En un curso de 50 alumnos, 10 fueron reprobados. ¿Cuál es la razón entre el número de reprobados y
el número de alumnos del curso?
8) Los lados de dos terrenos cuadrados miden respectivamente, 10m y 20m. ¿En qué razón están sus
áreas?
9) En una casa, el área construida es de 120m2 y el área libre es de 80m2. ¿Cuál es la razón entre el área
construida y el área del terreno total?
10) Las aristas de dos cubos miden, respectivamente 2cm y 4cm. ¿En qué razón están sus volúmenes?
11) La escala de un diseño es la razón entre la longitud representada en el dibujo y la correspondiente
longitud real, expresadas ambas en la misma unidad. ¿Cuál fue la escala utilizada en el diseño de la casa,
si una longitud de 6m fue representada por una longitud de 3cm?
12) En un curso, la razón entre el número de niños y de niñas es 3 : 2 . Si el número de niños es 18.
¿Cuál es el número de niñas?
13) En una residencia, la razón entre el área construida y el área libre es 2 : 3 . Si el área construida es
de 140m2, ¿cuál es el área libre?
14) La razón entre las velocidades de un avión y de un tren es de 15 : 2. Si la velocidad del avión es de
600 km/h, ¿cuál es la velocidad del tren?
15) La razón entre las longitudes de los lados de un rectángulo es 3 : 4 . Si el lado menor mide 15cm ,
¿cuánto mide el perímetro del rectángulo?
16) El perímetro de un rectángulo mide 54cm. Si uno de sus lados mide 15cm, ¿en qué razón están las
longitudes de los lados?
17) El plano de una ciudad está dibujado a escala 1 : 10 000. ¿Qué longitud en el plano representa una
distancia de 500m?
18) Un mapa está dibujado a una escala tal que 2,5cm corresponde a 40km.
a) Expresa esta escala como una razón.
b) ¿Cuántos km separan dos ciudades A y B, cuyos puntos en el mapa están separados 10cm?
c) La distancia entre dos ciudades C y D es 240 km. ¿A qué distancia están los puntos que
representan esas ciudades en el mapa?
19) Un avión vuela 4 000 km en 5 horas y otro vuela 1 000 km en 75 minutos.
a)
b)
c)
d)
¿Cuál es la razón entre las distancias recorridas por los aviones?
¿Cuál es la razón entre los tiempos de vuelo de los aviones?
¿Cuál es la velocidad de cada avión, en km/h?
¿En qué razón están las velocidades de los aviones?
CORPORACIÓN EDUCACIONAL
COLEGIO SAN JUAN EVANGELISTA
ÁREA: MATEMÁTICA
NIVEL: 8º BÁSICO
GUÍA DE APOYO
PROPORCIONES
PROPORCIÓN: se llama a la igualdad de dos razones.
Una proporción se expresa de las siguientes formas:
a : b = c : d
a c
 ,
b d
ó
 a, b, c, d  R, b  0 ; d  0
y se lee: a es a b como c es a d.
En una proporción, distinguimos términos medios, términos extremos, antecedentes y consecuentes.
Términos medios
Antecedentes
a c

b d
a : b = c : d
Términos extremos
Consecuentes
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES
“Dos razones forman una proporción si y sólo si el producto de sus términos extremos es igual al
producto de sus términos medios”
a c
  ad  bc ; b 0  d 0
b d
PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES:
A partir de la proporción
a c

se pueden obtener otras proporciones aplicando las siguientes
b d
propiedades:
1) Alternando los términos extremos:
d c

b a
2) Alternando los términos medios:
a b

c d
3) Invirtiendo las razones:
b d

a c
4) Permutando la proporción:
c a

d b
5) Componiendo la proporción
respecto al antecedente
ab cd

a
c
respecto al consecuente
ab cd

b
d
6) Descomponiendo la proporción:
respecto al antecedente
respecto al consecuente
ab cd

a
c
ab cd

b
d
7) Componiendo y descomponiendo la proporción:
ab cd

ab cd
Cuarta proporcional geométrica
Discontinuas:
a c

b d
abcd
a
b
a
x
x
a
a
b
c
bc
x
x
a
c
ad
 x
d
c
c
ac
 x
d
d
x
ad
 x
d
b

PROPORCIONES
Tercera proporcional geométrica
Continuas:
a b

b c
a b
b2
 x
b x
a
x b
b2
 x
b c
c
Media proporcional geométrica
a x
  x  ac
x c
SERIE DE RAZONES:
Se llama serie de razones a la igualdad de tres o más razones.
a c e
   ..............  k ,
b d
f
k  R , k  constante y valor de la razón
La propiedad básica de una serie de razones es la siguiente:
“La suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes como un antecedente cualquiera es a
su propio consecuente”.
a c e
a  c  e  ....... a c e
   ....... 
    .......  k
b d
f
b  d  f  ....... b d
f
EJERCICIOS:
1) Los cuatro números siguientes, en el orden dado, forman una proporción. Escribe, en cada caso, la
proporción e identifica los extremos y los medios.
a) 1 , 4 , 5 , 20
b) 30 , 10 , 9 , 3
c) 2 , 5 , 6 ,15
d) x , y , 4 , 3
2) Verifica si los siguientes pares de razones forman una proporción, aplicando la propiedad
fundamental de las proporciones:
a)
1 3
y
2 6
b)
3 9
y
4 10
c)
5 25
y
2 10
d)
3 6
y
2 9
e)
4 16
y
3 15
f)
7 1
y
21 3
3) Considera la proporción 18 : 12 = 9 : 6. Escribe aquellas que se obtienen invirtiéndola, permutándola,
alternando sus medios, componiendo y descomponiendo a la vez, descomponiendo con respecto al
consecuente y componiendo con respecto al antecedente.
4) La altura de una puerta y una ventana, en un edificio, mide 1,80m y 1,20m, respectivamente. La
puerta correspondiente, en la maqueta del edificio, mide 2cm. ¿Cuál es la altura de la ventana en la
maqueta?
5) Una persona tiene una fotografía de 5cm de alto por 8cm de ancho y desea sacar una ampliación que
tenga 20cm de alto. ¿Qué ancho deberá tener la ampliación?
6) La diferencia entre las edades de dos personas es de 21 años, y están en la razón 7 : 4. Calcula la
edad de cada persona.
7) La suma de dos números es 91 y están en la razón 4 : 3. Calcula el valor de cada número.
8) La diferencia entre la tara (peso) de dos vehículos es 120 kg y están en la razón 7 : 4. Calcula la tara
de cada vehículo.
9) Las edades de Ana y Julia están en la razón 3 : 2. ¿Qué edad tiene cada una, si la suma de sus edades
es 80 años?
10) Los lados de un rectángulo están en la razón 3 : 2 y su perímetro mide 40cm. Calcula el área del
rectángulo.
11) El perímetro de un rectángulo es 128cm, y la razón entre las medidas de sus lados es 5 : 3. Calcula
su área.
12) Dos amigos deben repartirse $27.000. Sus partes deben estar en la razón 5 : 4. ¿Cuánto dinero
recibe cada uno?
13) Dos socios deben repartirse $10.000.000 en la razón 3 : 2 . ¿Cuánto recibe cada uno?
14) Calcula la cuarta proporcional (4a P) en las siguientes proporciones:
6 15

24 x
7
3

21 x
1 5 1
:
 :x
6 12 3
x : 2,4 = 3 : 1,8
0,7 2,5

x
1,4
15) Calcula la cuarta proporcional (4a P) entre los siguientes valores:
6 , 18 , 15
2 , 7 , 12
0,4 ; 0,6 ; 12
1 1 1
; ;
2 3 4
3 1
;4;
8 2
0, 3;0, 21;7
16) Calcula los valores de la tercera proporcional (3ª P) para los siguientes pares de números:
4 y 9
6 y 9
12 y 20
1
y 4
4
1 1
y
2 5
3,2 y 1,4
-4 y -5
1
y 3
27
1,8 y
7
9
8 y 18
17) Calcula la media proporcional (1/2 P) entre los siguientes pares de números:
3 y 27
9 y 36
25 16
y
16 25
1
y 4
4
0,5 y 100
5 y 125
1
y 32
8
7 1
y
9 7
1
y 243
3
8 y 18
18) La suma de tres números es 50, y están en la razón 3 : 5 : 2. Calcula los números.
19) La suma de tres números están en la razón 2 : 4 : 3. ¿Cuáles son los números?
20) Tres personas se reparten $36.000 en la razón 1 : 2 : 3. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada una?
21) Calcula el valor de a , b y c, si a – b + c 0 20 y a : b : c = 7 : 5 : 2.
22) Calcula el valor de x , y , z, si x – y – z = 16 y x : 7 = y : 3 = z : 2.
23) Calcula el valor de a , b , c y d, si 6a + 5b -4c – 5d = 144 y a : 5 = b : 4 = c : 6 = d : 2.
__________ __________
________
____
__