Download TALLER DE GEOMETRIA

COLEGIO HERNANDO DURÁN DUSSAN IED.
PLAN DE MEJORAMIENTO: OCTAVO
DOCENTE: DANIEL MAURICIO CIFUENTES
TALLER DE GEOMETRIA
POLIGONOS:
Un polígono es un figura cerrada formada por segmentos de recta que no se cruza y que se
tocan solamente en sus extremos.
Si un polígono tiene todos sus lados de la misma longitud y todos sus ángulos internos son
de la misma amplitud, el polígono se llama regular.
Los polígonos reciben nombres específicos, de acuerdo con el número de lados que tengan.
 TRIANGULO: Tres lados
 CUADRADO: Cuatro lados
 PENTAGONO: Cinco lados
 HEXAGONO: Seis lados
 HEPTAGONO: Siete lados
 OCTAGONO: Ocho lados
 ENAGONO: Nueve lados
 DECAGONO: Diez lados
Lee el nombre, dibuja la figura, y completa el número de lados, vértices y ángulos.
DIBUJO
NOMBRE
Cuadrado
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
Nonágono
Decágono
LADOS
VERTICES
ANGULOS
COLEGIO HERNANDO DURÁN DUSSAN IED.
PLAN DE MEJORAMIENTO: OCTAVO
DOCENTE: DANIEL MAURICIO CIFUENTES
LADO: cada una de las líneas que forman el polígono
VERTICE: el punto donde se unen dos líneas
ANGULO: abertura que forman dos lados en el vértice donde se unen
EL TRIANGULO
Los triángulos son figuras geométricas formadas por tres lados. Existen diferentes clases de
triángulos y de ángulos.
TRIANGULOS SEGÚN SUS LADOS
1. EQUILATERO
Tres lados iguales
2. ESCALENO
Tres lados desiguales
3. ISOSCELES
Dos lados iguales
TRIANGULOS SEGÚN SUS ANGULOS
1. RECTANGULO
2.ACUTANGULO
Un ángulo recto = 90°
Tres ángulos agudos
3. OBTUSANGULO
Un ángulo obtuso mas de 90
En un triangulo existen dos líneas de gran importancia: la altura y la mediana, llamadas
líneas notables.
a. Altura: Es la línea perpendicular trazada desde un vértice hasta el lado opuesto de
un triangulo; para trazarla se utiliza un arregla.
b. Mediana: Es la línea que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Para
trazarlo, debe primero hallarse el punto medio de cada lado.
COLEGIO HERNANDO DURÁN DUSSAN IED.
PLAN DE MEJORAMIENTO: OCTAVO
DOCENTE: DANIEL MAURICIO CIFUENTES
¿Cuántas alturas y cuantas medianas tiene un triangulo?
APLICA:
1. Con una regla o una escuadra, mide los lados de los siguientes triángulos y
determina si son equiláteros, isósceles o escálenos
2. Con un transportador, mide los ángulos internos de cada triangulo y determina si
son acutángulos, rectángulos o obtusángulos.
3. Traza una altura y una mediana en cada uno de los siguientes triángulos
4. Dibuja 3 triángulos con las siguientes medidas, luego traza una mediana en cada
uno de ellos:
a. Triangulo equilátero de 6 cm. de lado
b. Triangulo rectángulo de lados con longitudes de 5cm, 4 cm. y3cm
c. Triangulo acutángulo en que uno de los lados mida 7 cm.
CUADRILATEROS
Los cuadriláteros son figuras que tienen cuatro lados, cuatro vértices y cuatro ángulos
(cuadri = cuatro y latero = lado). En cada cuadrilátero podemos clasificar los lados en
opuestos y adyacentes si esta uno a continuación de otro. Algunos cuadriláteros son:
PARALELOGRAMOS: Son cuadriláteros que tienen lados opuestos paralelos y de igual
medida y ángulos opuestos de igual medida, ellos son el cuadrado, el rectángulo, el rombo,
el paralelogramo y el trapecio.
COLEGIO HERNANDO DURÁN DUSSAN IED.
PLAN DE MEJORAMIENTO: OCTAVO
DOCENTE: DANIEL MAURICIO CIFUENTES
PERIMETRO DE CUADRILATEROS
Para hallar el perímetro de un cuadrilátero se halla la medida de todos sus lados y estas se
suman
P=LxL
El perímetro del siguiente rectángulo es la suma de la medida de todos sus lados
P = 12cm + 6cm + 12cm + 6cm = 36 cm
12 cm.
6 cm.
12 cm.
APLICA:
1. Dibuja los siguientes cuadriláteros utilizando una regla
a. Un cuadrado de 5cm de lado
b. Un rectángulo de 6 cm. de largo y 4 cm. de ancho
c. Un rombo de 8 cm. de lado
2. Halla el perímetro de los siguientes triángulos
6 cm.
COLEGIO HERNANDO DURÁN DUSSAN IED.
PLAN DE MEJORAMIENTO: OCTAVO
DOCENTE: DANIEL MAURICIO CIFUENTES
MEDIDAS DE SUPERFICIE
Cuando se dibuja una figura, como un triangulo, un cuadrilátero u otro polígono o una
circunferencia, obtenemos en su parte interna una superficie plana. La medida de esa
superficie interna se conoce como área.
EL AREA es la cantidad de unidades cuadradas que tiene la superficie de una figura.
B
C
A




¿Cuántas unidades cuadradas tienen las tres figuras?
¿Cuáles son las longitudes de los lados de las figuras A y b?
¿Cuál es el perímetro de cada una de las tres figuras?
Si el cuadrado patrón de 1 cm. de lado se llama centímetro cuadrado ¿ como se
llamara a un cuadrado patrón de 1 metro de lado?
AREA DE POLIGONOS REGULARES
Conocer la medida del área de ciertas superficies es muy importante en la vida diaria.
Si en mi casa cambian la baldosa por cerámica, debe conocerse el área del piso para saber
cuantos metros cuadrados de cerámica se necesita comprar.
EL AREA DE UN CUADRADO se halla multiplicando la longitud de un lado por si
mismo o en términos de potencia, calculando el cuadrado de la longitud del lado del
cuadrado.
Área = lado x lado = lado²
A=LxL=L²
EL AREA DEL RECTANGULO equivale al resultado de multiplicar la base por la altura
Área del rectángulo = base x altura
A=bxh
b = base
h = altura
EL AREA DE TRIANGULO: para hallar el área del triangulo solo se divide el área del
rectángulo por dos
Área del triangulo = base x altura
2
A= bxh
2
b = longitud de la base del triangulo
h = longitud de la altura del triangulo
AREA DEL PARALELOGRAMO: el área del paralelogramo es igual al área del
rectángulo
Área del paralelogramo = base x altura
A=bxh
b = longitud de la base del paralelogramo
h = altura del paralelogramo
COLEGIO HERNANDO DURÁN DUSSAN IED.
PLAN DE MEJORAMIENTO: OCTAVO
DOCENTE: DANIEL MAURICIO CIFUENTES
APLICA:
1. Determino el área de cada figura
2. encuentro el área de los siguientes polígonos
PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO:
ALTURAS: Un triángulo tiene tres alturas, una por cada lado. La altura ya
fue definida en la parte superior de este escrito.
Los segmentos a, b y c, son las alturas del triángulo ABC.
Las tres alturas se cortan en un mismo punto, llamado ORTOCENTRO.
MEDIANAS: Es el segmento que une un vértice del triángulo con el punto
medio del lado opuesto a este. Un triángulo tiene tres medianas, una por
cada lado.
COLEGIO HERNANDO DURÁN DUSSAN IED.
PLAN DE MEJORAMIENTO: OCTAVO
DOCENTE: DANIEL MAURICIO CIFUENTES
Los segmentos a, b y c, son las medianas del triángulo CDE.
Las tres medianas se cortan en un mismo punto, llamado BARICENTRO; que
quiere decir centro de gravedad del triángulo.
BISECTRICES: Es el segmento que divide exactamente en dos ángulos
iguales, un ángulo del triángulo y parte de un vértice al lado opuesto. Un
triángulo tiene tres bisectrices, una por cada ángulo.
Los segmentos a, b y c, son las bisectrices del triángulo ABC.
Las tres bisectrices se cortan en un mismo punto, llamado INCENTRO; que
es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.
MEDIATRICES: Es el segmento que une los puntos medios de los de un
triángulo. Un triángulo tiene tres mediatrices, una por cada lado.
Los segmentos s, r y m, son las mediatrices del triángulo ABC.
Los segmentos w, x e y; son las mediatrices del triángulo DEF.
COLEGIO HERNANDO DURÁN DUSSAN IED.
PLAN DE MEJORAMIENTO: OCTAVO
DOCENTE: DANIEL MAURICIO CIFUENTES
Las
tres
mediatrices
se
cortan
en
un
mismo
punto,
llamado
CIRCUNCENTRO que quiere decir que es el centro de una circunferencia
que pasa por los vértices del triángulo.
NOTA: En un triángulo equilátero coinciden las mediatrices, las bisectrices,
las alturas y las medianas; por lo tanto el circuncentro, el incentro, el
ortocentro y el baricentro, coinciden en un mismo punto llamado centro
del triángulo.
Actividad
1. Nombra cada triángulos, sus lados y ángulos
2. Traza en cada uno de los siguientes triángulos, las alturas, medianas y bisectrices,
señala el ortocentro, el baricentro y el incentro.
COLEGIO HERNANDO DURÁN DUSSAN IED.
PLAN DE MEJORAMIENTO: OCTAVO
DOCENTE: DANIEL MAURICIO CIFUENTES
INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA (TÉRMINOS, ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN)
1. Evalúe cada polinomio para los valores dados:
a) 4x2 –x +3
x=-2
b) x2 –3x +5
x=3
c) –x2 +7
x =5
d) 4xy –8y2
x=3
y=5
5. Eliminar los términos semejantes en los siguientes polinomios:
a) 8x -3x+7x=
b) 3x +9y –2x –6y=
c) 7a2 – 15b3 + 5b3 + 9a 2 – 4b3 =
d) 3a+ 4c + 9c – 7b – 7a- 15c =
e) 0,01 b2c – 0,2 c2b - 0,8 c2b + 0,99 b2c=
6. Eliminar paréntesis y reducir términos semejantes en los siguientes polinomios
a) (10b +4) +(6 –9b) –(3b-7)=
b) 20 + (-7 +2x) –(-3x-7)=
7. Dados los polinomios
A: 2b2c –3b + 6c
B: 4b - c2b + 12 b2c
C: 4 – 2c
Ejecute las siguientes operaciones:
a) A + B=
b) A - C=
c) B - A=
8. Calcular el perímetro de la siguiente figura:
2x2 +x
3x2 +x –3
9. El perímetro de un rectángulo es 8x –6 y un lado es 3x +7 ¿Cuánto mide el otro
lado?
COLEGIO HERNANDO DURÁN DUSSAN IED.
PLAN DE MEJORAMIENTO: OCTAVO
DOCENTE: DANIEL MAURICIO CIFUENTES
CARACTERÍSTICAS DE UN POLINOMIO:
Sea el polinomio:
3 2
1
x  5x 3  x 
4
3
Vamos a ordenarlo por el exponente de la variable y a describir sus elementos:
 5x3 
3 2
1
x x
4
3
 5x 3
3 2
x
4
x
Variable
Coeficientes de la variable
x
5
x
x
3
4
1
Exponentes de la variable
* Grado del polinomio
Término Independiente
3
3
2
1
Términos

1
3

1
3
*El grado del polinomio lo representa el exponente mayor de la variable
Clasificación de los Polinomios
Los polinomios, según el número de términos, se clasifican en:
-
Monomio: Es aquella expresión algebraica que consta de un solo término.
3
Ejemplos:  x 2
7
-
Binomio: Es aquella expresión algebraica que tiene dos términos:
Ejemplos: 3x  1
-
5
x4  a
4
ab
Trinomio: Es aquella expresión algebraica que tiene tres términos:
Ejemplos:
-
5
a 2 bx
2
6 3
1
x x
5
7
9 2
y  y 5
2
Polinomio: Es aquella expresión algebraica que tiene más de tres términos:
Ejemplo: 
3 4 2 3
x  x  x2 1
4
5
Recuerden que los términos en un polinomio se identifican porque están
separados unos de otros por el signo positivo (+) o el negativo (-).
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Anteriormente se dijo que con las expresiones algebraicas, se cumplen las operaciones
de adición, sustracción, multiplicación y división. Vamos a trabajar cada operación y
aprender un poco más de ellas.
Adición de polinomios: La adición consiste en reunir dos o más expresiones
algebraicas, llamadas sumandos, en una sola que se le llama suma.
En la aritmética la adición siempre significa aumento, pero en el álgebra es un concepto
más general por lo que puede significar aumento o disminución.
En una adición de polinomios se puede dar una agrupación de términos semejantes.
Incluso, hasta un polinomio puede tener inmerso términos semejantes.
Hay semejanza entre términos cuando:
 Tienen la misma variable o variables.
 Tienen igual exponente en la variable o variables.
COLEGIO HERNANDO DURÁN DUSSAN IED.
PLAN DE MEJORAMIENTO: OCTAVO
DOCENTE: DANIEL MAURICIO CIFUENTES
Multiplicación de Polinomios:
La multiplicación de polinomios, es una operación que consiste en multiplicar dos o más
polinomios llamados factores para obtener otro polinomio llamado producto. Para
multiplicar polinomios es necesario tener claro la regla de los signos, las leyes de la
potenciación y la agrupación de términos semejantes.
Ejercicios propuestos:


2- 9 x  x  24 x  3x  8x * x
3- 10 y  20 y  y  2* y  2
1- 3x 3  2 x 2  7 x  2 * x  2
4
5
8
3
6
2
2
2

1
2
1
1
1 1
1

4-  x 3  x 4  x 2  x   *  x 2  
2
3
2 2
3

PRODUCTOS ALGEBRAICOS Y FACTORIZACIÓN
Multiplicación de términos algebraicos:
Se debe multiplicar cada término del primer factor por cada término del otro factor,
considerando en la parte literal la regla correspondiente a la multiplicación de potencias de
igual base, y luego reducir los términos semejantes, si los hay.
Ejemplos:
1. 5xy2 · -7x3y2 =
2. 2xy·(-5x + 4y – 3xy) =
3. (3x – 2y)(4x + 5y)=
4. (2a – 5b) (a – 2b + 5ab – 7) =