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Programa de Electrónica
I.S.T.P. IDAT
CAPÍTULO 2
ALGEBRA DE BOOLE
El estudio de las funciones lógicas nos permitirá tener una mejor
perspectiva acerca de los circuitos lógicos combinacionales basados en
compuertas.
Se puede definir el Álgebra de Boole como el conjunto de reglas y
procedimientos destinados a la transformación y simplificación de funciones
lógicas o booleanas empleando únicamente las leyes y propiedades aceptadas
en esta teoría matemática.
2.1. Variable Booleana.- También conocida como variable lógica. Es aquella
que representa a una magnitud o evento físico o abstracto que sólo puede
tomar uno de dos estados predefinidos. Por ejemplo, si quisiéramos usar una
variable para representar un estado de alto o bajo, un estado de abierto o
cerrado, un estado de encendido o apagado, una condición de presente o
ausente, la condición de una proposición de ser verdadera o falsa, cualquiera
de los dígitos de un número escrito en sistema binario de numeración, o una
respuesta directa de sí o no, entonces esta variable es una variable booleana.
Alto
Variable
Booleana
Bajo
Verdadero
Falso
Presente
Abierto
On
Cerrado
Ausente
1
0
Off
En lo sucesivo, para las variables booleanas que emplearemos
admitiremos como únicos estados válidos los valores “0” y “1”, de esta forma
vemos la importancia que tiene el operar adecuadamente los números escritos
en el sistema binario de numeración.
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2.2. Función Booleana.- También llamada función lógica. Es aquella que
depende de una o más variables booleanas, relacionadas entre sí mediante las
únicas operaciones válidas en el álgebra de Boole: Complementación, Suma
Lógica y Producto Lógico.
Si en el dominio del tiempo quisiésemos representar el comportamiento
de una función típica algebraica de variable continua, y una función lógica,
entonces las gráficas resultantes serían aproximadamente:
f(t)
t
Función típica de variable continua.
f(t)
n2
n1
t
Función lógica o booleana típica.
Como se aprecia, una función continua de variable continua puede
presentar un valor cualquiera en cualquier instante pero no muestra
discontinuidades o quiebres. En cambio una función lógica puede llamarse
también discreta debido a que ya existen niveles predefinidos, que en este
caso son n1 y n2, y en cualquier instante de tiempo no se admiten otros valores
que no sean el n1 o el n2, además es normal que existan discontinuidades o
quiebres. Las señales analógicas se modelan como funciones continuas de
variable continua, mientras que las señales digitales se modelan como
funciones lógicas. Los circuitos electrónicos pueden clasificarse de acuerdo al
tipo de señales que procesan.
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2.3. Principios del Álgebra de Boole.- Ya hemos visto que las únicas
operaciones admitidas en el Álgebra de Boole son la complementación, la
suma lógica y el producto lógico. Y tomando en cuenta que los únicos valores
permitidos son el “0” y el “1”, entonces las siguientes igualdades pueden
considerarse como principios o postulados del Álgebra de Boole:
* Complementación:
_
0= 1
0
_
1= 0
1
abierto
cerrado
* Suma Lógica:
0+0=
0+1=
1+0=
1+1=
0
1
1
1
* Producto Lógico:
0.0=
0.1=
1.0=
1.1=
0
0
0
1
Las figuras de la derecha muestran en forma de asociaciones de
interruptores la relación entre las operaciones y circuitos de interruptores.
En el caso de la complementación, se puede considerar que un
interruptor abierto se representa como “0”, entonces su estado complementario,
es decir, el estado cerrado se representa como “1”.
En el caso de la suma lógica, se relaciona con interruptores en paralelo,
pues basta que sólo uno de los interruptores se encuentre cerrado para que el
comportamiento equivalente de ambos sea de cerrado y haría falta que ambos
se encuentren abiertos para que el comportamiento equivalente de ambos sea
de abierto; mientras que en álgebra de Boole basta que uno de los sumandos
sea “1” para que el resultado sea “1”, y haría falta que ambos sumandos sean
“0” para que el resultado sea “0”.
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En el caso del producto lógico, se relaciona con interruptores en serie,
pues basta que uno de los interruptores se encuentre abierto para que el
comportamiento equivalente sea de abierto y haría falta que ambos se
encuentren cerrados para que el comportamiento equivalente de ambos sea de
cerrado; mientras que en álgebra de Boole basta que uno de los factores sea
“0” para que el producto sea “0”, y haría falta que ambos factores sean “1” para
que el producto sea “1”.
2.4. Leyes del Álgebra de Boole.
Se deducen a partir de los principios y son válidas para cualquier
variable o función booleana:
A + 0 = A
A.0 = 0
A + 1 = 1
A.1 = A
A + A = A
A.A = A
A + A = 1
A. A = 0
La demostración de estas leyes puede realizarse asignando valores a la
variable A, y como los únicos valores permitidos son el “0” y el “1” entonces
sólo son dos posibilidades de análisis. Esta es la razón de ser del Álgebra de
Boole, es decir que mientras el álgebra convencional clásica se da para el
manejo de un dominio infinito de valores, el Álgebra de Boole sólo admite dos
valores y el uso de tablas funcionales constituye una herramienta poderosa en
el estudio de funciones booleanas
2.5. Propiedades del Álgebra de Boole.
Se deducen a partir de los principios y leyes, y son válidas para
cualquier variable o función Booleana.
2.5.1
A + AB = A
2.5.2
A + AB = A + B
2.5.3
( A + B ) ( A + C ) = A + BC
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Las propiedades del Álgebra de Boole son útiles para realizar
simplificaciones de funciones booleanas de pocos términos, o en las que sea
evidente la presencia de términos dispuestos de forma similar que en las
propiedades.
2.6. Leyes de De Morgan.
Estas leyes se refieren a identidades de negación de suma y negación
de producto. Son fácilmente demostrables usando tablas de función.
2.6.1
A B = A . B
2.6.2
AB = A  B
2.6.3
A  B  C  ...  U  A.B.C.....U
2.6.4
A.B.C.....U  A  B  C  ...  U
Las Leyes de De Morgan pueden comprobarse fácilmente mediante las
tablas de función que veremos a continuación.
2.7. Tabla de Verdad.
También llamada Tabla de Función. Es el conjunto de estados, unos y
ceros, asociados a cada arreglo de valores unos y ceros que toman las
variables independientes que definen a la función. Una forma primaria de
obtener la tabla de función es operar los unos y los ceros de acuerdo a los
valores de las variables independientes. Por ejemplo, obtengamos la tabla de
función de:
f = A (B+ C ) + A B
C B A
C B+ C A (B+ C ) A(B+ C ) B AB
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
A(B+ C )+A B
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Tabla de función de f
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2.8. Simplificación Por Álgebra de Boole.
Muchas funciones expresadas en términos de variables independientes,
pueden ser convertidas a otras formas, una de ellas es la suma de productos,
otra es el producto de sumas, también está la suma simplificada de productos y
el producto simplificado de sumas.
Puede llegarse a estas formas,
principalmente a una suma simplificada de productos usando las leyes y
propiedades del álgebra de Boole. Por ejemplo, tomemos la función
f = A (B+ C ) + A B
y tratemos de simplificarla.
Solución: Empezamos operando la negación de producto:
f=
A + B+ C + A B
f=
A+ B C + A B
f=
A + B C+A B
(Doble Negación)
f=
A +A B + B C
(Asociatividad)
f=
A + B + BC
f=
A+ B
(Por Ley de De Morgan)
(Por Ley de De Morgan)
(Propiedad 2.5.2)
(Propiedad 2.5.1, absorción)
Esta última es la forma simplificada (en este caso es una suma
simplificada de productos).
2.8.1. Términos Mínimos (Minterms) y Términos Máximos
(Maxterms). Son elementos asociados a una expresión básica
estandarizada de una función lógica. Permiten facilitar la representación
y simplificación de la función.
2.8.1.1. Término Mínimo (Minterm). Es un producto elemental
en el que participan todas las variables independientes que definen a la
función, tal que el resultado es “1” al reemplazar los valores de las
variables.
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2.8.1.2. Término Máximo (Maxterm). Es una suma elemental
en la que participan todas las variables independientes que definen a la
función, tal que el resultado es “0” al reemplazar los valores de las
variables.
2.8.2. Relaciones Entre Minterms y Maxterms. De acuerdo a la
cantidad de variables independientes que definen la función, existe una
cantidad de términos posibles. Veamos los términos mínimos y
máximos para funciones de hasta tres variables independientes:
2.8.2.1. Para funciones de una variable, f = f(A).
Equivalente
Decimal
Variables
A
Minterm
0
1
A
A
0
1
Maxterm
A
A
2.8.2.2. Para funciones de dos variables, f = f(B,A).
Equivalente
Decimal
Variables
B
A
0
0
0
1
0
1
2
1
0
3
1
1
Minterm
B
B
B
B
A
A
A
A
Maxterm
B+A
B+A
B+A
B+A
2.8.2.3. Para funciones de tres variables, f = f(C,B,A).
Equivalente
Decimal
Variables
C B A
Minterm
Maxterm
0
0 0 0
1
0 0 1
2
0 1 0
3
0 1 1
4
1 0 0
5
1 0 1
6
1 1 0
7
1 1 1
C B A
C BA
CBA
CBA
CB A
CBA
CB A
CB A
C+B+A
C+B+A
C +B+ A
C +B+A
C+B+A
C+B+A
C +B+ A
C +B+ A
Es evidente que por cada variable independiente adicional se duplica el
número de combinaciones.
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2.9. Formas de Expresión de Funciones Lógicas.
Existen distintas formas de expresión de funciones booleanas, y entre
ellas tenemos la suma de productos, la suma reducida de productos, el
producto de sumas, el producto reducido de sumas, las formas canónicas en
suma de productos y en producto de sumas, el Mapa de Karnaugh, etc.
Usaremos la función:
f = A (B+ C ) + A B
cuya tabla fue descrita en la página 23. En dicha tabla, se indican los
unos y ceros que caracterizan a f, lo cual, junto a los términos mínimos y
máximos permitirán distintas formas de expresión. Por ejemplo, en suma de
productos es
f=
A + B C+A B
Y se puede demostrar que en producto de sumas es
f = ( A + B )( A +C+ B )
Sabemos que una función booleana puede depender de una, dos, tres, cuatro,
cinco, etc. variables booleanas independientes, además, conociendo la tabla de
función de f, junto a los términos mínimos y máximos ya estudiados, tenemos
una correspondencia entre dichos elementos, y sólo como ejemplo
emplearemos la anterior función f de tres variables. Además, conociendo la
tabla de función de f, junto a los términos mínimos y máximos ya conocidos,
tenemos:
Equivalente
Decimal
Variables
C B A
Minterm
Maxterm
0
0 0 0
1
0 0 1
2
0 1 0
3
0 1 1
4
1 0 0
5
1 0 1
6
1 1 0
7
1 1 1
C B A
C BA
CBA
CBA
CB A
CBA
CB A
CB A
C+B+A
C+B+A
C +B+ A
C +B+A
C+B+A
C+B+A
C +B+ A
C +B+ A
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Función
f
1
1
1
0
1
1
1
0
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Entonces, hasta ahora, tenemos las siguientes formas de expresión de
la función f:
f = A ( B +C ) + A B
f=
Forma No Reducida
A + B C+A B
f = ( A + B )( A + C+ B )
f= C
Suma de Productos
Producto de Sumas
B A + C B A + C B A + C B A + CB A + CBA
f=(C+
B + A )( C + B + A )
Suma de Minterms o
Suma de Productos
Estándar
Producto de Sumas Standard
f=
 (0,1,2,4,5,6)
Notación Matemática Standard en Suma de Productos
f =

Notación Matemática Standard en Producto de Sumas
(3,7)
2.10. Problemas Resueltos.
2.10.1. Expresar como producto de maxterms:
K  CB  A
Solución. Se sugiere empezar aplicando la propiedad 2.5.3,
separando el primer producto:
K  (C  A)( B  A)
Ahora, como en cada paréntesis falta una variable para completar las
tres que definen a la función K, entonces hacemos que se presenten factores
que resulten igual a cero
K  (C  A  B B)( B  A  CC )
Entonces separamos los factores tal como en el primer paso:
K  (C  A  B)(C  A  B)( B  A  C )( B  A  C )
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Y como el primer factor es igual al último (sólo se distinguen por el orden
de los sumandos), entonces la expresión resultante es:
K  (C  A  B)(C  A  B)( B  A  C )
2.10.2. Expresar como suma de Minterms
J  BA  C
Solución. En este caso se agregan tantos factores “1” como variables le
falten a cada término:
J  BA(1)  C (1)(1)
Luego se reemplaza cada “1” por la suma de la variable que falta con su
respectivo complemento.
J  BA(C  C )  C ( A  A)( B  B)
Y efectuamos los productos:
J  BAC  BAC  (CA  C A)( B  B)
J  BAC  BAC  CAB  CAB  C AB  C AB
El primer término es semejante al tercero, entonces la función expresada
como suma de minterms es:
J  BAC  BAC  CAB  C AB  C AB
2.10.3. Simplificar y expresar como suma de productos:
f  BAC D(C A  B)  A  BC
Solución. Emplearemos las propiedades del Álgebra de Boole y
las leyes de De Morgan descritas en las secciones 2.5 y 2.6.
__
f  BA(C  D)(C A  B)  A  BC ...............(Ley de De Morgan 2.6.2)
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__
f  BA(C  D)(C A  B)  ( A)( BC ) ..............(Ley de De Morgan 2.6.1)
f  BA(C  D)(C A  B)  ( A)( BC ) ......................(Doble negación)
f  BA(C  D)(C A  B)  ( A)( B  C) ............(Ley de De Morgan 2.6.1)
f  ( BAC  BAD)(C A  B)  ( A)( B  C) ........ (Ley distributiva)
f  BACC A  BACB  BADC A  BADB  ( A)( B  C ) ......(Ley distributiva)
f  BC A  BC A  BDC A  ADB  ( A)( B  C ) .................. (A.A=A)
f  BC A  BDC A  ADB  AB  AC ...... (Ley distributiva)
f  BC A  ADB  AB  AC ..................... (A+AB = A)
f  C ( BA  A)  ADB  AB ..................... (Ley asociativa)
f  C ( B  A)  ADB  AB ....................... ( A  AB  A  B )
Ahora, si empleamos la Ley distributiva, entonces tendremos finalmente
la expresión en suma reducida de productos:
f  CB  C A  ADB  AB
Si se desea emplear el menor número posible de compuertas lógicas, la
forma de la expresión simplificada puede tener diferencias con respecto a la
suma reducida de productos.
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2.10.4. Simplificar y expresar como suma de productos:
_
_
_
f = C D A + B C (A + B C)
Solución. Usaremos las leyes de De Morgan, las cuales indican que
una negación de suma se convierte en producto de negaciones y una negación
de producto se convierte en suma de negaciones.
_
_
_
f = C D A . B C (A + B C)
_ = _
_ =
_
f = (C + D + A) . (B + C) (A + B C)
__ _
_
_ _ _
_
f = (C B + C C + D B + D C + A B + A C). (A + B C)
__
_
__
_
___
__
_
f = CBA + DBA + DCA + AB A +ACA + CBB C +DBB C + DCB C
___
_ _
+ AB B C + A C B C
_ _
_
_
_ __
_ _
f= CBA+DBA+DCA+DBC+DCB+ABC+ACB
_
DBC
_ _
ABC
__
_
_
__
f= CBA+DBA+DCA+DBC+ABC
2.10.5. Simplificar y expresar como suma de productos:
g = B ( C + D A (B + C ) ) A B D
Solución: Nuevamente recurrimos a las Leyes de De Morgan
para descomponer las expresiones que incluyen negación de
operaciones booleanas.
g = B (C + D + A + B +C ) + A B D
g = B (C + D + A + B +C ) + A B D
g = B ( C+ D +A + B C ) + A B D
g = BC +BD + BA +A B D
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Debemos indicar que no siempre la suma de productos obtenida
por álgebra de Boole resulta ser la forma más reducida posible.
Usualmente no encontramos el artificio preciso que nos permita una
mejor simplificación, entonces debemos recurrir a otro método, éste es el
uso del Mapa de Karnaugh. Para usar este método necesitamos la
suma de productos que hemos obtenido de la aplicación del álgebra de
Boole.
2.11. Problemas Propuestos.
2.11.1. Obtener la tabla de Función para las siguientes funciones
booleanas:
__
a) f = ( A+ B C )(B + C ) +
b) g =
c) h =
AB
D B C + A BD + ABC + A B
B C + A D(A+BC)
2.11.2. Simplificar las siguientes funciones booleanas y expresarlas
como suma reducida de productos.
a) f = (AC+B)(
A +D) + (AD+A B C)(B+ D )
b) g = D + B C(A+D) + A B D + C
c) h = A D BC +
d) f = BC+ A + A
A B D + A(C D +B)+D
D +B C A(C+D)
2.12. Miscelánea.
El diseño de circuitos lógicos no sólo está regido por los objetivos
primarios que se desean alcanzar, también se debe tener en cuenta la
minimización y la optimización, por ello no sólo debemos conocer la Teoría del
Álgebra de Boole y las técnicas de simplificación: El razonamiento lógico y
matemático constituye la estructura de la solución. Se sugiere que los
problemas que a continuación se plantean se tomen como tema de discusión
grupal.
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*** Acerca de Porcentajes
Como una forma de ejercitar su mente para realizar sus
actividades cotidianas, un matemático decide efectuar sus compras de la
siguiente forma: gastar su dinero hasta que lo que gaste represente el
25% de lo que no gaste. Después de efectuadas las compras y
habiendo cumplido sus objetivos se da cuenta que si hubiera gastado 24
soles más, entonces lo gastado habría representado exactamente igual
al 100% de lo no gastado. ¿Con cuánto dinero inició sus gastos el
matemático?
*** Depende de la base.
Estamos acostumbrados a ver las páginas de los libros
numeradas en el sistema decimal de numeración, e incluso nos puede
resultar justificable ver la numeración romana en las primeras paginas de
algunas publicaciones y monografías. Pero si aceptásemos que la
numeración de las páginas se realice en el sistema binario de
numeración, ¿cuántas veces estaría impresa la cifra “1” desde la página
1 hasta la página 64?
*** Tarea Compartida.
Cuando realizamos una tarea en conjunto con otra persona de
nuestras mismas cualidades, es obvio que culminaremos el trabajo en la
mitad del tiempo que normalmente tardaríamos si trabajásemos solos.
Pero cuando las habilidades son distintas, la situación es otra. En el
caso de Silvia y Lucrecia, Silvia es capaz de tipear 40 páginas en una
hora mientras que Lucrecia es capaz de tipear 50 páginas en dos horas.
Si ambas trabajaran juntas, ¿cuánto tardarán en tipear 200 hojas?
*** Reservorio Dinámico.
Un reservorio tiene un grifo que lo puede llenar por completo en 4
horas. Pero el reservorio también tiene un desagüe que lo puede vaciar
por completo en 6 horas. Estando el reservorio por la mitad de su
capacidad se abren en simultáneo el grifo y el desagüe. ¿cuánto tarda
el reservorio en resultar completamente lleno o completamente vacío?
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*** Policías y Ladrones.
Un policía persigue a un ladrón. Al inicio los separa una distancia
igual a la que el ladrón puede recorrer en 60 saltos El tiempo que
demora el policía en dar 5 saltos es igual al tiempo que el ladrón demora
en dar 6 saltos, pero el policía en 4 saltos avanza tanto como el ladrón
en cinco saltos. ¿Dará alcance el policía al ladrón? Y si la respuesta
fuese afirmativa, ¿cuántos saltos deberá dar el policía?
*** Fido y la Información.
Por una línea de transmisión de datos pueden enviarse 10000
caracteres en un segundo. Fido puede transportar un maletín con un
disco que contiene 2’000000 de caracteres avanzando 4 metros cada
segundo. ¿Hasta que distancia se puede considerar que Fido es más
eficiente que la línea de transmisión mencionada?
*** Un problema clásico:
Tres amigos se reúnen en un cafetín y luego de una amena
conversación llaman al mesero...
- Son 27 soles-, dijo el mesero.
Cada uno de los amigos entregó al mesero un billete de diez soles
y ya cuando el mesero está en la caja, la cajera le dice que el consumo
es de sólo 25 soles por lo cual le da vuelto de cinco monedas de un sol.
Muy nervioso por lo que estaba a punto de hacer, se dirige a la mesa de
los amigos y al llegar, les da de vuelto a cada uno una moneda de un sol
y disimuladamente pone las otras dos monedas en su bolsillo. Los
amigos sólo se limitaron a recibir cada uno su moneda y se retiraron. Ya
en su casa, el mesero piensa en el suceso pero se hizo una pregunta
que no pudo responder: “Si en total los amigos pagaron 27 soles y yo me
quedé con dos soles... ¿Dónde está el sol que falta?”
*** Los ojos de las esclavas.
“...Después de haber dado solución a los más complicados
problemas que se le habían presentado, Beremís Samir, el hombre que
calculaba, se acercó resueltamente al palacio del rey a conquistar su
Álgebra Aplicada
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mejor triunfo: el corazón de la bella Sasha, hija del rey. El poderoso
hombre no podía creer la valentía de aquel joven y su tamaña osadía.
- ¡Has logrado irritarme muchacho!..., te propondré un problema tal que
si lo resuelves no sólo tendrás a mi adorable hija sino un lugar propio en
la corte hasta mi muerte en que te convertirás en soberano, pero si no lo
haces, ¡¡¡Pobre de ti!!!... preferirás estar muerto mil veces antes que
sufrir siquiera una de las penalidades por las que pasarás.
El joven no se amilanó y le dijo:
- Tengo plena certeza de lo que sé hacer y si no lo consigo, gustoso
sufriré las consecuencias pues tener conmigo a Sasha, que es la más
radiante estrella del firmamento, ha sido el más dulce objetivo que he
perseguido en mi vida.
El rey llamó a uno de sus ministros y luego de una breve
conversación, el funcionario se retiró para luego regresar con cinco
esclavas totalmente cubiertas por velos rojos y cada una con un número
del 1 al 5.
Este es el problema: De las cinco esclavas, hay dos que tienen
los ojos negros y las otras los ojos verdes, las esclavas de ojos negros
jamás te dirán una mentira, pero las de ojos verdes sólo saben mentir.
Tienes derecho de escoger a tres esclavas para hacerles una pregunta a
cada una, y luego de eso me dirás el color de ojos de cada una de las
cinco.
Nunca se había encontrado Beremís ante un problema similar y la
sangre se le heló ante la incertidumbre de no saber a quién preguntar
primero decidiéndose, luego de una breve pausa, por acercarse a la
esclava # 1:
- ¿De qué color son tus ojos?.
- Kens ta jalre.
Beremís protestó, no se le había dicho que las esclavas no
hablaban el idioma del reino.
Todas ellas hablan nuestro idioma - dijo el rey -, pero provienen
de distintas partes del mundo y es comprensible que te respondiera así.
Las otras te responderán en nuestro idioma, pero sólo te quedan dos
preguntas por hacer.
¡Sólo dos preguntas! ... Casi instintivamente, Beremís se acercó a
la esclava #2 y le preguntó:
- ¿Qué ha dicho la esclava # 1?
- Ha dicho “mis ojos son verdes”.
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Es difícil imaginar el dolor que sentía Beremís en el pecho. Su
corazón latía aceleradamente pero demostraba una asombrosa calma
ante la situación. Y con el alma en un hilo, luego de pensar unos
instantes se dirigió a la esclava # 3 y le preguntó.
- ¿De qué color son los ojos de las esclavas # 1 y # 2?
Tan pronto hizo la pregunta, Beremís sintió un pánico mortal, pues
también debió preguntarle por el color de ojos de las esclavas # 4 y # 5
pero no hubo tiempo para ello ya que al instante la esclava # 3 le
respondía...
- La esclava # 1 tiene los ojos negros y la # 2 los ojos verdes.
Beremís dio un hondo suspiro, quería dar rienda suelta a su
alegría pues las palabras de la esclava le permitieron salir del laberinto
en que se encontraba... se acercó lentamente al rey y en voz baja le dio
su repuesta... la respuesta correcta.
- ¡¡¡Por el turbante del Gran Profeta!!!... ya he degollado a muchos cuya
soberbia no alcanzó para resolver este problema, y ni en mi corte ni en
las cortes de reinos vecinos y lejanos he encontrado mentes capaces de
darle solución... pero este joven con su increíble capacidad y sin perder
la calma lo ha resuelto... ahora le otorgo mi joya más preciada: mi
querida hija Sasha y el derecho de sucederme a mi muerte.
La boda se celebró entre la desbordante alegría del pueblo que no
cesaba de corear los nombres de Beremís y Sasha. A la muerte del rey,
que fue muy sentida, Beremís asumió un reino de justicia, amor y
equidad que posteriormente, sin éxito, otros quisieron igualar...”
Pero ... ¿Cual fue la respuesta de Beremís? Y ... ¿Por qué le
invadió el pánico después de hacer su segunda pregunta?.
(Adaptado de “El Hombre que Calculaba”, Autor Anónimo)
Álgebra Aplicada
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Primer Ciclo
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2.13. Solución a los Problemas del Capítulo 2
2.11.1.a)
2.11.1.b )
Álgebra Aplicada
C B A
f
0 0 0
1
0 0 1
0
0 1 0
1
0 1 1
0
1 0 0
0
1 0 1
0
1 1 0
1
1 1 1
0
D C B A
g
0 0 0 0
1
0 0 0 1
1
0 0 1 0
1
0 0 1 1
1
0 1 0 0
1
0 1 0 1
1
0 1 1 0
0
0 1 1 1
1
1 0 0 0
1
1 0 0 1
1
1 0 1 0
0
1 0 1 1
1
1 1 0 0
1
1 1 0 1
1
1 1 1 0
0
1 1 1 1
1
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2.11.1. c)
D C B A
h
0 0 0 0
1
0 0 0 1
1
0 0 1 0
1
0 0 1 1
1
0 1 0 0
1
0 1 0 1
1
0 1 1 0
1
0 1 1 1
1
1 0 0 0
1
1 0 0 1
1
1 0 1 0
1
1 0 1 1
1
1 1 0 0
1
1 1 0 1
1
1 1 1 0
0
1 1 1 1
1
2.11.2.a)
_ _ _
f = ACB + D + AB
2.11.2.b)
_
_
g = D + C + BA
2.11.3.c)
_
__
_
___
h = DBC + DA + A B D + B C D
2.11.3.d)
_
_
f = CB + DBA
Álgebra Aplicada
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2.14. Matemática Recreativa
Analizar las siguientes demostraciones:
¿1+1=1?
ba
b 2  ab
b 2  a 2  ab  a 2
(b  a)(b  a)  a(b  a)
ba  a
aa a
a a a
 
a a a
11  1
ó
¿1+1=3?
4  10  9  15
25
25
4  10 
 9  15 
4
4
5
5
5
5
(1  1) 2  2(1  1)( )  ( ) 2  3 2  2(3)( )  ( ) 2
2
2
2
2
5
5
[(1  1)  ( )] 2  [3  ( )] 2
2
2
5
5
(1  1)  ( )  3  ( )
2
2
11  3
¿Qué error se ha cometido en cada caso?
Álgebra Aplicada
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