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Programa Profesional de Electrónica
I.S.T.P. IDAT
ALGEBRA APLICADA
Introducción:
Ante todo, reciban ustedes, estimados participantes, nuestra más cordial
bienvenida al Programa Profesional de Electrónica del Instituto Superior
Tecnológico IDAT, que en estos últimos años ha alcanzado por esfuerzo
conjunto de su Cuerpo Directivo y Docente, el protagonismo en formación
tecnológica y particularmente en la especialidad de Electrónica; tanto que
nuestros egresados están debidamente capacitados para desempeñarse como
profesionales técnicos de primer nivel.
El estudio que a continuación nos proponemos desarrollar pertenece al
curso de Álgebra Aplicada, que se dicta en el Primer Ciclo del Programa
Profesional de Electrónica del I.S.T. IDAT. Este curso es el fundamento de las
dos grandes ramas de la electrónica: Electrónica Analógica y Electrónica
Digital.
A fin de facilitar el desarrollo de nuestro estudio, estructuraremos los
temas iniciando la base de la electrónica digital: Sistemas de Numeración,
Álgebra de Boole, Compuertas Lógicas Electrónicas y Circuitos
Combinacionales; para luego continuar con los Conjuntos Numéricos, Números
Complejos y Aplicaciones a Redes de Régimen Alterno.
Los temas corresponden a un ciclo normal de estudios, y los problemas
resueltos y propuestos se ajustan los requerimientos de la especialidad,
además se incluyen otros tomados de exámenes parciales, finales y
sustitutorios desde el semestre 2000-1 a la fecha.
El único objetivo es brindar una importante fuente de consulta a nuestros
alumnos del Primer Ciclo, por lo que esperamos que el esfuerzo realizado se
vea compensado por el interés del lector en estudiar los temas y resolver por sí
mismo todos los problemas incluidos, pues de esa forma los conocimientos
alcanzados serán los sólidos cimientos de esta competitiva carrera profesional.
La Dirección del Programa.
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CAPÍTULO I
SISTEMAS DE NUMERACIÓN.
Desde que el hombre ha hecho uso de la razón para cuantificar y operar
magnitudes físicas, se ha encontrado con la necesidad de representar
cantidades cómodamente, y probablemente la primera dificultad a superar fue
la definición de los símbolos asociados a las cantidades, entonces pudo
habérsele ocurrido representar cada número con un símbolo diferente…
¡¡¡Tremendo
problema!!!,
pues
¿Cuántos
números
hay?.
Hace
aproximadamente 5 mil años se resolvió el problema de la cantidad de
símbolos recurriendo a los órdenes de magnitud, por ejemplo, el número 953
en ese entonces se logró escribirlo como 9c5d3u, el número 706 se escribía
como 7c6u,… ¿y el cero?… La historia del cero es relativamente... “nueva”,
data de hace unos 1500 años y fue introducido por los indios y árabes, por lo
cual a los dígitos modernos también se les conoce como dígitos arábigos. La
revolución que supuso la introducción del cero se manifestó en la facilidad que
tuvieron entonces los matemáticos para realizar cálculos más rápidos y
precisos, en tal escala a nivel mundial, que aun en las lenguas más ajenas a
nuestras raíces como el chino, japonés, hebreo, etc. se emplean los dígitos
arábigos en la numeración.
Pero, no hemos reparado en un detalle: ¿Por qué hace miles de años el
número 3507 se escribía como 3m5c7u?, simplemente porque ya entonces y
hasta nuestros días se da la idea que para obtener una unidad de orden
superior es necesario formar un grupo de diez unidades ¿y por qué diez? ¿es
un número mágico?, nada de eso…Sucede que desde edad muy temprana los
hombres se ayudan con sus dedos para contar, sumar, restar, multiplicar,
dividir, entonces... ¡la respuesta está en el total de dedos de nuestras manos!,
por ello, como seres humanos que somos, si nos proponen escribir el número
doscientos cuarenta y cinco, el real procedimiento de escritura dependerá del
siguiente razonamiento:
Con doscientas cuarenticinco
unidades, ¿cuántos grupos de diez
unidades
se
pueden
formar?…
Veinticuatro grupos y sobran cinco,
entonces ya se puede ir escribiendo:
Base 10 (Sist. Decimal)
5
Ahora, con veinticuatro unidades, cuántos grupos de diez se pueden
formar?… Dos grupos de 10 y sobran 4, entonces podemos ir escribiendo:
45
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Finalmente, con dos unidades ya no es posible formar grupos de diez,
entonces terminamos escribiendo:
245
Para nosotros, de acuerdo al sistema de educación tradicional, esto no
sería más que una pérdida de tiempo, pero… ¿qué pasaría si sólo tuviésemos
siete dedos?
Base 7 (Sist. Heptal)
Si
quisiéramos
escribir
doscientos
cuarenticinco en el sistema de base siete,
entonces la idea es formar grupos de siete, nos
preguntamos: con doscientos cuarenticinco
unidades, ¿cuántos grupos de siete podemos
formar?… hacemos la división de doscientos
cuarenticinco entre siete, obteniendo treinticinco
de cociente y cero de residuo.
Entonces con doscientos cuarenticinco unidades se pueden formar
treinticinco grupos de siete y sobran cero unidades, y ya podemos escribir:
0
ahora, con treinticinco unidades se pueden formar cinco grupos de siete y
sobran cero, entonces ya podemos escribir:
00
y como con cinco unidades ya no se pueden formar grupos de siete, entonces
finalmente escribimos:
500
Sin embargo, esta escritura sería insuficiente pues no hemos señalado
la base empleada, lo que se indicará al final:
500(7) o también 5007
El subíndice al final es usualmente empleado en matemáticas para
indicar que el número está escrito en una base diferente a la base diez.
Pero, para terminar, ¿cómo se escribiría doscientos cuarenticinco
unidades en el sistema de base tres?.
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Base 3 (Sist. Ternario)
Como en los casos anteriores, esta vez
tratamos de formar grupos de tres y efectuamos la
división, esta vez doscientos cuarenticinco entre tres,
obteniendo ochentiuno de cociente y dos de residuo,
es decir se pueden formar ochenta y un grupos de
tres y sobran dos unidades, entonces escribimos:
2
Ahora, con ochenta y una unidades podemos formar veintisiete grupos
de tres y sobran cero unidades, entonces escribimos:
02
Luego, con veintisiete unidades podemos formar nueve grupos de tres y
sobran cero unidades, entonces escribimos:
002
Con nueve unidades se pueden formar tres grupos de tres y sobran cero
unidades, escribimos:
0002
Con tres unidades se forma un grupo de tres y sobra cero:
00002
Finalmente, con una unidad no se pueden formar grupos de 3 y
escribimos:
100002
Para concluir con el indicador de la base:
100002(3)
Una observación importante es que al escribir:
245 = 245(10) = 500(7) = 100002(3)
en todos los casos hemos representado doscientos cuarenticinco y
cometemos un gran error si decimos “quinientos de base 7”, pues sólo en el
sistema decimal se ha definido la numeración hablada y cuando veamos 500 (7)
debemos llamarle por su nombre correcto: doscientos cuarenticinco. También
es correcto que al 500(7) lo describamos como “cinco” “cero” “ cero” de base
siete.
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Conocido el concepto de la formación de grupos, estamos listos para
definir términos asociados a la teoría de numeración.
1.1. Número y Numeral.
Número es un ente matemático abstracto asociado a la idea de cantidad.
Numeral es el símbolo o conjunto de símbolos aceptados para
representar un número.
Supongamos que deseamos representar el número de dedos de una
mano, entonces, al escribir:
5
V
IIIII
Cinco
10(5)
101(2)
lo que realmente estamos haciendo es escribir numerales capaces de
representar al número cinco.
Sin embargo, a fin de no complicar el desarrollo de los temas siguientes
emplearemos la palabra número al referirnos al numeral que lo representa.
1.2. Sistema de Numeración.
Se define como Sistema de Numeración al conjunto de reglas que se
aceptan para la representación de cualquier número siguiendo el criterio de
la formación de grupos de acuerdo a una cantidad llamada Base.
1.2.1 Base.- Se define como base de un sistema de numeración a la
cantidad de unidades necesarias para formar una unidad del orden
inmediato superior. También se le puede definir como la cantidad de
símbolos permitidos para escribir cualquier número en un sistema de
numeración.
1.2.2 Dígitos o Símbolos.- Son las únicas representaciones aceptadas
para la escritura de los números en un sistema. Universalmente se ha
aceptado la simbología arábiga para la escritura de números en cualquier
sistema de numeración. El siguiente cuadro, nos muestra los dígitos o
símbolos permitidos en los distintos sistemas.
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SISTEMA
BASE
DÍGITOS O SÍMBOLOS PERMITIDOS
Binario
Ternario
Cuaternario
Quinario
Exal
Heptal
Octal
Nonario
Decimal
Undecimal
Duodecimal
Hexadecimal
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
16
Vigesimal
20
“De Base 13”
“De base 14”
“De Base 15”
13
14
15
“De Base 17”
17
0,1
0,1,2
0,1,2,3
0,1,2,3,4
0,1,2,3,4,5
0,1,2,3,4,5,6
0,1,2,3,4,5,6,7
0,1,2,3,4,5,6,7,8
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,(10)
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,(10),(11)
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,(10),(11),(12),(13),(14),
(15),(16),(17),(18),(19)
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,(10),(11),(12)
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,(10),(11),(12),(13)
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,(10),(11),(12),(13),(14)
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,(10),(11),(12),(13),(14),
(15),(16)
Obsérvese que no existe el sistema de Numeración de Base 1.
En la especialidad de Electrónica Digital, es usual emplear los
sistemas Decimal, Binario y Hexadecimal. El sistema binario de
numeración es el más indicado para realizar procesamiento de datos,
pues sus dos únicos símbolos, “uno” y “cero”, pueden ser fácilmente
relacionados con las condiciones “verdadero” o “falso” del Álgebra de
Boole y con los niveles “Alto” y “Bajo” de las compuertas lógicas
electrónicas.
De otro lado, únicamente para las especialidades de Electrónica
e Informática, en sistema Hexadecimal, las letras A, B, C, D, E, F
representan una cantidad de unidades:
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
1.2.3 Numeración Ascendente en Cualquier Sistema.- Los números
pueden ser escritos en cualquier sistema de numeración. Mostraremos
un cuadro de equivalencias con respecto al sistema decimal (Base 10).
Como ya se ha indicado, si quisiéramos nombrar a los números
debemos usar la denominación asignada en sistema decimal:
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Base Base Base Base Base Base Base Base
10
9
8
7
6
5
4
3
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
10
4
4
4
4
4
4
10
11
5
5
5
5
5
10
11
12
6
6
6
6
10
11
12
20
7
7
7
10
11
12
13
21
8
8
10
11
12
13
20
22
9
10
11
12
13
14
21
100
10
11
12
13
14
20
22
101
11
12
13
14
15
21
23
102
12
13
14
15
20
22
30
110
13
14
15
16
21
23
31
111
14
15
16
20
22
24
32
112
15
16
17
21
23
30
33
120
16
17
20
22
24
31 100
121
17
18
21
23
25
32 101
122
18
20
22
24
30
33 102
200
19
21
23
25
31
34 103
201
20
22
24
26
32
40 110
202
21
23
25
30
33
41 111
210
22
24
26
31
34
42 112
211
23
25
27
32
35
43 113
212
24
26
30
33
40
44 120
220
25
27
31
34
41
100 121
221
26
28
32
35
42
101 122
222
27
30
33
36
43
102 123 1000
28
31
34
40
44
103 130 1001
29
32
35
41
45
104 131 1002
30
33
36
42
50
110 132 1010
31
34
37
43
51
111 133 1011
32
35
40
44
52
112 200 1012
33
36
41
45
53
113 201 1020
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
Álgebra Aplicada
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Base
2
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10000
10001
10010
10011
10100
10101
10110
10111
11000
11001
11010
11011
11100
11101
11110
11111
100000
100001
Base
16
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
1D
1E
1F
20
21
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1.3. Conversión Entre Sistemas de Numeración.
Un número puede ser escrito en diversos sistemas, y para ello basta con
aplicar el concepto de la formación de grupos. Pueden darse los siguientes
casos:
1.3.1. De Sistema de Base 10 a Sistema de Base “n”. Se emplea el
método de divisiones sucesivas, donde el primer dividendo es el número
original en base 10, se toma “n” como el divisor en todas las divisiones,
los siguientes dividendos serán los cocientes anteriores y el resultado se
obtiene con el último cociente y los residuos anteriores.
Por ejemplo, sea el caso de escribir el número quinientos ochenta
y dos en el sistema de base 6, entonces el procedimiento sería:
582
6
54
97
6
042
6
16
6
42
37
12
2
0
36
1
4
Así, finalmente:
582 = 2410(6)
1.3.2. De Sistema de Base “n” a Sistema de Base 10. En este caso
se emplea el método de descomposición polinómica, el cual consiste en
asignarle un peso a cada cifra de acuerdo a la base, luego multiplicar
cada cifra por su propio peso y finalmente sumar los productos parciales
obtenidos. Por ejemplo, convertir el número 2134(6) al sistema decimal.
216 36
6
1
2 1 3 4
(6)
Entonces efectuamos: 2x216 + 1x36 + 3x6 + 4x1 = 432+36+18+4 = 490
Finalmente se tiene:
2134(6) = 490
1.3.3. De Sistema de Base “m” a Sistema de Base “n”. Se puede
usar el método indirecto, es decir pasar primero a sistema de base 10
con el método de descomposición polinómica y luego pasar al sistema
de base “n” usando el método de divisiones sucesivas.
1.3.4. De Sistema de Base “b” a Sistema de Base “bn”. En este caso
especial, en que la base de destino es potencia exacta de la base de
origen, no será necesario pasar al sistema de base 10, tan sólo se
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deben formar grupos de cifras de acuerdo a “n”, de derecha a izquierda y
obtener su valor (convirtiendo cada grupo a sistema de base 10). Por
ejemplo, convertir 120122121102(3) al sistema de base 9.
Observamos que 32 = 9, entonces el exponente 2 nos indica que
cada dos cifras generarán una cifra para el sistema de base 9.
1 2 0 1
5
1
2 2 1 2
8
1 1 0 2
5
4
2
(3)
(9)
Finalmente, tenemos que: 120122121102(3) = 518542(9)
Veamos otro ejemplo, sea el caso de convertir al sistema hexadecimal el
número 11011000011011101111(2)
Observamos que 24 = 16, entonces el exponente 4 nos indica que cada
cuatro cifras del sistema de base 2 generarán una cifra en el sistema
hexadecimal.
1 1 0 1 1 0 0 0
(13)
0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
8
6
(14)
(15)
(2)
(16)
Entonces: 11011000011011101111(2) = (13)86(14)(15)(16) = D86EFH
Nótese que en la última expresión se ha empleado la simbología
permitida únicamente en electrónica digital para el sistema hexadecimal, donde
la H al final significa que la base es 16.
1.3.5. De Sistema de Base “bn” a Sistema de Base “b”. Este es el
caso inverso al anterior, es decir, que cada cifra del número escrito en el
sistema de base bn generará n cifras en su escritura en base b, por
ejemplo, sea el caso de escribir el número 5602147 (8) en el sistema de
base 2.
Observamos que 8 = 23, entonces cada cifra del número escrito en base
8 generará 3 cifras en el sistema de base 2, luego:
5
6
0
2
1
4
7
(8)
1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1(2)
Finalmente:
5602147(8) = 101110000010001100111(2)
En el estudio de electrónica digital, computación e informática, es usual
emplear principalmente los sistemas de numeración decimal, binario y
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hexadecimal, por ello es importante conocer las reglas de conversión entre
estos sistemas.
1.4. Operaciones Aritméticas en Cualquier Sistema de Numeración.
Si bien es cierto que conocemos reglas prácticas para realizar adición,
sustracción, multiplicación y división en el sistema decimal de numeración, es
posible realizar estas operaciones en cualquier otro sistema, siempre a partir
de la formación de grupos de acuerdo a la base.
1.4.1. Adición.- Se efectúa sumando todas las unidades en el primer
orden formando grupos de acuerdo a la base, y lo que sobra ya es parte
de la respuesta en ese orden. Con la cantidad de grupos formados en el
orden anterior (lleva), se inicia la suma en el siguiente orden siempre
tratando de formar grupos de acuerdo a la base y así sucesivamente
hasta terminar con todas las cifras. Por ejemplo, efectuar:
3 5 7(8)+
4 0 6 7 (8)
5 6 4 (8)
7 5 (8)
6 6 4 3 (8)
Para empezar a resolver, efectuamos la suma de unidades en el
primer orden: 7 + 7 + 4 + 5 + 3 = 26; con 26 unidades se pueden formar
3 grupos de 8 y sobran dos, entonces podemos ir escribiendo:
3
35
40 6
5 6
7
6 6 4
7 (8)+
7 (8)
4 (8)
5 (8)
3 (8)
2 (8)
Nótese que se ha colocado la cifra 2 por ser dos unidades
sobrantes, y se ha establecido una “lleva” de 3 unidades por haber sido
tres los grupos formados. En el segundo orden, efectuamos entonces:
3 + 5 + 6 + 6 + 7 + 4 = 31, y ahora, con 31 unidades se pueden formar 3
grupos de 8 y sobran 7, entonces escribimos
:
3 3
35
40 6
5 6
7
6 6 4
7
Álgebra Aplicada
7 (8)+
7 (8)
4 (8)
5 (8)
3 (8)
2 (8)
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Luego, en el tercer orden; efectuamos 3 + 3 + 0 + 5 + 6 = 17; con
17 unidades formamos 2 grupos de 8 y sobra 1, entonces:
2 3 3
3 5 7 (8)+
4 0 6 7 (8)
5 6 4 (8)
7 5 (8)
6 6 4 3 (8)
1 7 2 (8)
Finalmente, en el cuarto orden efectuamos 2 + 4 + 6 = 12; con 12
unidades formamos 1 grupo de 8 y sobran 4, entonces:
1
2 3 3
3 5 7 (8)+
4 0 6 7 (8)
5 6 4 (8)
7 5 (8)
6 6 4 3 (8)
4 1 7 2 (8)
y como en el quinto orden ya no hay unidades en los sumandos,
entonces sólo queda la lleva de 1, y la operación completa queda como:
1
2 3 3
3 5 7 (8)+
4 0 6 7 (8)
5 6 4 (8)
7 5 (8)
6 6 4 3 (8)
1 4 1 7 2 (8)
obsérvese que para establecer las “llevas”, sólo interesa la
cantidad de unidades que se lleven al siguiente orden. No se debe
pretender sumar cantidades expresadas en distintos sistemas de
numeración, ante esta situación, lo correcto es primero expresar todos
los sumandos en el mismo sistema.
1.4.2. Sustracción.- Los elementos de la sustracción son el minuendo,
el sustraendo y la diferencia, y antes de efectuar las operaciones nos
aseguraremos que el minuendo es mayor que el sustraendo. En este
caso se pueden emplear dos métodos: el primero es el de las restas
directas y los préstamos, y el otro es el del complemento aritmético.
Por ejemplo, sea el caso de restar:
2 9 5 0 D 4 A H8 B 7 B 6 H
Álgebra Aplicada
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Tomando en cuenta la equivalencia de cada letra para el sistema
hexadecimal, y siempre empezando por el primer orden, 10 – 6 = 4;
entonces no es necesario hacer préstamos, por lo cual:
2 9 5 0 D 4 A H–
8 B 7 B 6 H
4 H
Pero en el segundo orden, 4 – 11 sería negativo, entonces del
tercer orden que tiene 13 unidades prestamos una unidad, quedando el
tercer orden con 12 unidades. La unidad prestada, al bajar al segundo
orden se convierte en 16 unidades y sumando a las 4 unidades
existentes se tendría 16 + 4 = 20, y restaríamos 20 – 11 = 9, resultando
por ahora:
C 16
2 9 5 0 D 4 A H–
8 B 7 B 6 H
9 4 H
Ahora en el tercer orden, 12 – 7 = 5 entonces:
C
2 9 5 0 D 4 AH–
8 B 7 B 6H
5 9 4H
En el cuarto orden, 0 – 11 resultaría negativo, entonces, del quinto
orden donde hay cinco unidades prestamos una quedando el quinto
orden con 4 unidades, pero la unidad prestada se convierte en 16 del
cuarto orden y sumando a las 0 existentes se tendría 16 + 0 = 16, y
restando menos 11: 16 – 11 = 5, entonces:
4 16 C
2 9 5 0 D 4 A H8 B 7 B 6 H
5 5 9 4 H
En el quinto orden se tiene 4 – 8 que resultaría negativo,
prestamos una unidad de las 9 que tiene el sexto orden quedando el
sexto orden con 8 unidades, y la unidad prestada se convierte en 16 del
quinto orden y sumando a las 4 existentes se tendría 16 + 4 = 20, y
restando menos 8: 20 – 8 = 12, entonces:
16
8 4
C
2 9 5 0 D 4 A H8 B 7 B 6 H
C 5 5 9 4 H
Finalmente, en el sexto y sétimo orden no hay unidades en el
sustraendo, entonces;
Álgebra Aplicada
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8 20
C
2 9 5 0 D 4 A H8 B 7 B 6 H
2 8 C 5 5 9 4 H
Sin embargo, el método del complemento aritmético puede
resultar más cómodo y es aplicable en cualquier sistema de numeración.
Se trata de convertir la sustracción en adición usando como sumandos el
minuendo, el complemento aritmético a “b-1” del sustraendo (donde la
base del sistema de numeración es “b”), y la unidad (en cualquier
sistema). Luego de sumar todas estas cantidades se deja de lado la
unidad de mayor orden obtenida y las cifras que quedan constituyen la
diferencia buscada.
Entonces nuestro ejemplo anterior se resolvería así:
1 1
1
1
2 9 5 0 D 4 A H+
F F 7 4 8 4 9 H
1 H
1 2 8 C 5 5 9 4 H
Cada cifra del segundo sumando
se obtuvo restando 15 menos su
relativo del sustraendo.
Y dejando de lado la unidad más significativa, resultaría lo mismo
que en el caso anterior: 28C5594H.
1.4.3. Multiplicación. Los elementos de la multiplicación son el
multiplicando, el multiplicador y el producto, pudiendo existir productos
parciales en caso que el multiplicador tenga dos o más cifras. Para
multiplicar en otras bases siempre efectuaremos la multiplicación de
cifra a cifra en base 10. La multiplicación es realmente una suma
abreviada, donde el multiplicando es una cantidad que se sumará varias
veces, y el multiplicador es la cantidad de veces que se suma el
multiplicando.
Por ejemplo, efectuar:
4 6 5(8) x
7 4(8)
Esta multiplicación provocará dos productos parciales, uno por
cada cifra del multiplicador. Para obtener el primer producto parcial
procedemos así: 4 x 5 = 20, y con 20 unidades se pueden formar 2
grupos de 8 y sobran 4, entonces:
2
4 6 5
7 4
4
Álgebra Aplicada
(8)
x
(8)
(8)
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Para el segundo orden efectuamos: 4 x 6 + 2 = 26; y con 26
unidades se pueden formar 3 grupos de 8 y sobran 2, entonces:
3
2
4 6 5
7 4
2 4
(8)
x
(8)
(8)
Para el tercer orden efectuamos 4 x 4 + 3 = 19, con lo cual
podemos formar 2 grupos de 8 y sobran 3, entonces:
2 3
2
4 6 5
7 4
3 2 4
(8)
x
(8)
(8)
Y como no hay más cifras en el multiplicando, entonces
concluimos el primer producto parcial:
2 3
2
4 6 5
7 4
2 3 2 4
(8)
x
(8)
(8)
Para el segundo producto parcial, se tiene en el primer orden: 7 x
5 = 35, con lo cual se pueden formar 4 grupos de 8 y sobran 3:
2 3
4
2
4 6 5 (8) x
7 4 (8)
2 3 2 4 (8)
3 (8)
Para el segundo orden, se tiene: 7 x 6 + 4 = 46, con lo cual se
pueden formar 5 grupos de 8 y sobran 6:
5
2 3
4
2
4 6 5 (8) x
7 4 (8)
2 3 2 4 (8)
6 3 (8)
Para el tercer orden, terminando el segundo producto parcial se
tiene: 7 x 4 + 5 = 33, Con lo cual se pueden formar 4 grupos de 8 y
sobra 1, entonces:
4 5
2 3
4
2
4 6 5 (8) x
7 4 (8)
2 3 2 4 (8)
4 1 6 3 (8)
Finalmente efectuamos la suma en base 8:
Álgebra Aplicada
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4 5
2 3
4
2
4 6 5 (8) x
7 4 (8)
2 3 2 4 (8)
4 1 6 3 (8)
4 4 1 5 4 (8)
1.4.4. División.- Sus elementos son el dividendo, el divisor, el cociente
y el residuo. El procedimiento es un tanto más tedioso que las
operaciones anteriores. Lo más indicado es tener a mano una tabla de
multiplicar del divisor en la base propuesta, y proceder en forma similar
que en base 10. Por ejemplo, sea el caso de dividir 92C7A32H  B3H
(todas estas operaciones se mostrarán en el sistema hexadecimal)
B3 x 0 =
B3 x 1 =
B3 x 2 =
B3 x 3 =
B3 x 4 =
B3 x 5 =
B3 x 6 =
B3 x 7 =
B3 x 8 =
B3 x 9 =
B3 x A =
B3 x B =
B3 x C =
B3 x D =
B3 x E =
B3 x F =
0
B3
166
219
2CC
37F
432
4E5
598
64B
6FE
7B1
864
917
9CA
A7D
9 2 C 7 A 3 2
9 1 7
0 1 5
B
A
9
B 3
D 1 E B 7
7
3
4 A
C A
0 8 0 3
7 B 1
0 5 2 2
4 E 5
3 D
Concluimos que al efectuar la división de 92C7A32H  B3H se
obtiene como cociente D1EB7H y como residuo 3DH.
1.5. Problemas Resueltos.
1.5.1. Convertir a sistema octal el mayor número de 36 cifras del sistema
hexadecimal. Dar como respuesta la suma de las cifras.
Solución. Para lograr escribir el mayor número de una cierta cantidad de
cifras en un sistema de numeración, basta con repetir aquella cifra o
símbolo que resulte ser una unidad menos que la base. Así, por
ejemplo, en base 10, el mayor número de 5 cifras es el 99999; en base
8, el mayor número de 3 cifras es el 777 8; en base 4, el mayor número
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de 6 cifras es el 3333334. Por ello, en base 16 el mayor número de 36
cifras es aquél formado por 36 cifras “F”.
En el problema planteado, se busca llevarlo a la base 8, pero
como entre las bases 16 y 8 no existe una relación de potencia,
entonces usamos la base 2 como base intermedia. Se efectuará
entonces primero la conversión de base 16 a base 2 y posteriormente de
base 2 a base 8:
36 cifras
F
144 cifras
F
1 1 1 1 1 1 1 1
48 cifras
7
7
7
...
F
F
...
1 1 1 1
1 1 1 1
...
7
7
H
(2)
7 (8)
Finalmente, si sumamos 48 veces la cifra 7, obtenemos
(48)(7)
= 336
1.5.2. Convertir a decimal el número 101.1101
(2)
Solución. Cada cifra tiene un peso relativo, inclusive las cifras que están
a la derecha del punto. Este peso relativo se obtiene como potencia de
la base empleada de acuerdo a un orden:
22 21 20 . 2 -1 2 -2 2 -3 2 -4
1 0 1 . 1
1 0 1
1x2 -4 = 1x0.0625 = 0.0625 +
0x2 -3 = 1x0.125 = 0.0
1x2 -2 = 1x0.25 = 0.25
1x2 -1 = 1x0.5 =
0.5
1x20 = 1x1 =
1.0
0x21 = 0x2 =
0.0
1x22 = 1x4 =
4.0
5.8125
Finalmente,
101.1101 (2) = 5.8125
Nótese el orden decreciente en los exponentes de las potencias de 2
que se han utilizado.
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1.5.3. Efectuar:
2645(7) x 56(7)
Solución.
Tal como se explicó en el ejemplo del texto,
mostraremos el proceso de los productos cifra por cifra, teniendo en
cuenta que se trata de formar grupos de acuerdo a la base que en este
caso es siete:
4
44
2645(7) x
56(7)
2(7)
2645(7) x
56(7)
02(7)
33
2544
433
2544
2645(7) x
56(7)
23502(7)
24(7)
2645(7) x
56(7)
23502(7)
524(7)
3
2544
2544
2645(7) x
56(7)
23502(7)
2433
2544
2645(7) x
56(7)
23502(7)
4(7)
2433
2544
2645(7) x
56(7)
23502(7)
20524(7)
2645(7) x
56(7)
23502(7)
20524(7)
232042(7)
Nótese que la suma de los productos parciales se ha realizado en el
sistema de base 7.
1.5.4. Efectuar:
213032(6)  523(6)
Solución. Debemos formar una tabla de multiplicar para el divisor en
base 6. Del mismo modo, todas las operaciones de sustracción se
realizan en base 6.
523 x 0 =
523 x 1 =
523 x 2 =
523 x 3 =
523 x 4 =
523 x 5 =
0
523
1450
2413
3340
4303
213032
1450
2403
1450
5132
4303
425
523
225
Finalmente, el cociente es 225(6) y el residuo es 425(6)
1.5.5. Efectuar:
E07AC2 H - B893EH
Solución.
La forma más sencilla es recurriendo al método del
complemento aritmético. Consiste en obtener primero, cifra por cifra, el
complemento a 15 del sustraendo, es decir, cuánto le falta a cada cifra
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para ser igual a quince. Finalmente se suman el minuendo, el
complemento aritmético del sustraendo y la unidad:
E07AC2H+
F476C1H
1H
1D 4 F 1 8 4 H
Cuando se deja de lado la cifra de mayor orden del
resultado de esta suma, las cifras restantes constituyen la diferencia
buscada, en este caso la respuesta es D 4 F 1 8 4 H.
1.5.6. Un numero menor que 800 se escribe con 4 cifras idénticas en el
sistema de base 4. Hallar los posibles valores del número.
Solución:

N < 800
a a a a (4) < 800
64 a + 16a + 4a + 1a < 800
85a < 800
a
800
85
a < 9.4
a=9
a=8
a=7
a=6
a=5
a=4
a=3
a=2
a=1
Estas cifras no
pueden usarse
en base 4
Por último, los posibles valores del
número buscado son:
333(4), 222(4), 111(4)
1.6. Problemas Propuestos.
1.6.1. Efectuar las siguientes conversiones:
1.6.1.1.- 34023(5) a base 7.
1.6.1.2.- 10011010111(2) a base 9.
1.6.1.3.- 10043(6) a base 16.
1.6.1.4.- 9AB8C7H a base 2.
1.6.1.5.- 673202457754(8) a hexadecimal.
1.6.1.6.- DDDDDDDH a base 8.
1.6.2. Convertir a binario el mayor número de tres cifras del sistema
octal.
1.6.3. Hallar el valor de “a” en el número: (a-3)(2a)57(9)
1.6.4. Un número mayor que 300 y menor que 400 se escribe con 3
cifras idénticas en el sistema heptal. Hallar el número.
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1.6.5. Si “m” es menor que 12, hallar los posibles valores de “m+n”
sabiendo que 43(n) = 25(m)
1.6.6. Un número se escribe en sistema hexadecimal con 30 cifras “C”.
Hallar la suma de sus cifras cuando se le escribe en sistema
octal.
1.6.7. Efectuar las siguientes operaciones:
1.6.7.1.
1.6.7.2.
1.6.7.3.
1.6.7.4.
1.6.7.5.
1.6.7.6.
3425(6) + 401224(6) + 321554(6) + 23(6)
6210457(8) – 35276(8)
45BC3AH – 11101100011011101(2)
246(9) x 225(9)
5326(8) x E5H
233144(5)  213(5)
1.6.8. Reconstruir la división propuesta, sabiendo que cada asterisco
corresponde a una cifra. La división está realizada en sistema
decimal.
* * * * * 1 * *
3 *
0 0* *
* * * 9 *
6*
3* *
* * 8
0 * * *
* * *
00 5
1.7. Miscelánea.
*** El problema de los 35 camellos.
“...los pobladores se preguntaban ¿por qué el anciano Jeremías habrá
querido repartir su herencia de ese modo?... no existe sobre la tierra un
mortal capaz de hacer semejante reparto sin sacrificar dos o más
animales.... Pero la sabiduría del fallecido anciano iba más allá de la
simple lógica con que sus vecinos pensaban, y es que en su testamento
dispuso que sus hijos Ahmed, Jerón y Misael se repartiesen los 35
camellos del siguiente modo: Por su obediencia y eficientes servicios a
su padre, Ahmed se llevaría la mitad; por su perseverancia aunque con
algo de lentitud en el trabajo, Jerón se llevaría la tercera parte; y por
haber cumplido deficientemente en las tareas, Misael se llevaría sólo la
novena parte. Sin embargo el anciano dispuso una cláusula de
cumplimiento obligado: Ningún camello debía ser sacrificado pues si sólo
uno se sacrificaba entonces los 34 restantes pasarían al poder de su
ambicioso sobrino Joaquín...
Los hermanos se sentían impotentes de cumplir semejante
propósito... ¡La mitad de 35 es 17.5... la tercera parte de 35 es 11.6666..,
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y la novena parte de 35 es 3.8888...!, entonces... ¿cómo no sacrificar
alguno?. Además el jeque era muy estricto en el cumplimiento de los
testamentos de sus súbditos y por ello Joaquín ya pensaba en lo que
haría con sus 34 camellos.
-
Ha sido sólo la última broma que en su locura senil nos ha
hecho nuestro padre –murmuraba Misael.
-
Ahora entreguémosle todo el lote de camellos a Joaquín, y
esperemos su buena voluntad -decía Jerón- tal vez nos
otorgue algo...
-
Esperen –dijo Ahmed-, me parece que a lo lejos viene Beremís
Samir
-
¿Y quién es él? –preguntó Jerón.
-
Es un calculista muy hábil, le vi resolver acertijos cuando
estuve en la ciudad con nuestro padre... Tal vez quiera
ayudarnos.
Beremís se acercó al tumulto y Ahmed le pidió ayuda. Los
vecinos se miraban entre sí, los otros hermanos pensaban que se
trataba de una broma cruel, mientras el ambicioso Joaquín, que se
jactaba de ser un gran calculista, expresaba la más burlona de sus
sonrisas -pero qué ridículo es- pensaba.
Sin embargo, luego de conocer todos los detalles del problema,
ahora el que sonreía era Beremís, por ello, con absoluta confianza, se
dirigió a los vecinos y solicitó prestado un camello. Con mucho recelo
uno de los curiosos le ofreció el suyo y entonces Beremís puso el
camello prestado junto al grupo de los 35 y ahora ya habían 36.
Entonces se dirigió a Ahmed y le dijo: “Tú deberías recibir 17.5 y ahora
te corresponde la mitad de 36, entonces llévate 18 y ve en paz...”, el
escribano del jeque no sabía qué decir..., los otros hermanos se
pusieron nerviosos pensando que les correspondería menos. Beremís
se dirigió ahora a Jerón y le dijo “Tú deberías recibir 11.6666... y ahora
te corresponde la tercera parte de 36, entonces llévate 12 y ve en paz...”
Misael ya estaba por desfallecer y el escribano estaba a punto de
mandar a arrestar a Beremís pero éste se dirigió a Misael y le dijo
“Finalmente, tú deberías recibir 3.8888... y ahora te corresponde la
novena parte de 36, entonces llévate 4 y ve en paz...”.
Todos vieron con asombro que aún sobraban 2 camellos, y era
lógico pues lo repartido fue 18 + 12 + 4 = 34, entonces, Beremís devolvió
el camello prestado, montó en el último y prosiguió su camino ahora con
un camello de su entera propiedad...”
Pero, ¿de dónde salió el camello que se llevó Beremís?
(Tomado del libro “EL HOMBRE QUE CALCULABA”)
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1.8. Solución a los problemas del Capítulo 1.
1.6.1.1.
1.6.1.2.
1.6.1.3.
1.6.1.4.
1.6.1.5.
1.6.1.6.
1.6.2.
1.6.3.
1.6.4.
1.6.5.
1.6.6.
6651(7)
1626(9)
52BH
100110101011100011000111(2)
DDA0A5FECH
1567356735(8)
111111111(2)
4
342
Dos soluciones: m+n = 14; ó m+n = 17
140
1.6.7.1.
1.6.7.2.
1.6.7.3.
1.6.7.4.
1.6.7.5.
1.6.7.6.
1131114(6)
6153161(8)
43E35DH
56683(9)
2330556(8)
El cociente es 1042(5); y el residuo es 43(5)
1.6.8.
3 2 9 541 3 2
3 2
0 09 5
1 0 2 9 8
6 4
3 1 4
2 8 8
0 2 6 1
2 5 6
0 0 5
Problema Propuesto: Sin pasar dos
veces por el mismo punto, realizar un trazo
de 4 segmentos rectilíneos consecutivos,
sin levantar la mano, para unir todos los
puntos indicados:
Álgebra Aplicada
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1.9. ENSAYO: ¿ES EL CERO UN NÚMERO NATURAL?
Ni siquiera en las universidades más prestigiosas del mundo culmina
esta controversia y en el Perú no se da la excepción. En el Programa
Profesional de Electrónica del I.S.T. IDAT, nuestra querida institución, los
docentes de Matemática y de la especialidad de Electrónica sostenemos
permanentemente tertulias técnicas destinadas a elevar el nivel de la
enseñanza y enriquecer nuestros conocimientos, y como parte de estas
actividades tocamos el tema del cero como número natural. Quienes están a
favor de este principio proponen que como los símbolos para escribir los
números naturales son diez: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, entonces el cero es un
número natural. Pero quienes proponen que el cero no es un número natural
no pueden dejar de plantear la pregunta obvia: ¿Cuál es la característica
común de los números naturales?... distintos autores y de distintas épocas
plantean que los números naturales son aquellos que hacen referencia a
cantidades de unidades completas y el cero no corresponde a esta definición.
Pero aún hay más. Propongamos las siguientes preguntas:
1. Si tuviese Ud. que contar los dedos de sus manos... ¿contaría del
cero al nueve o contaría del uno al diez?
2. En una competencia olímpica ¿se le da medalla de oro al que llegó
en el lugar uno o al que llegó en el lugar cero?
3. Quienes estudiaron formalmente las características y propiedades de
los conjuntos numéricos fueron matemáticos europeos, particularmente
ingleses, hace cientos de años ¿sabe Ud. por qué al conjunto de números
naturales lo representaron con la letra N y al conjunto de números enteros con
la letra Z?
Las respuestas a estas sencillas preguntas debieran ser suficientes para
resolver definitivamente la controversia, sin embargo el asunto no es tan
simple. Al emplear los símbolos 0 y 1 como indicadores de estado lógico, no
podemos dejar de pensar en que el tratamiento aritmético de la información
binaria por parte de un sistema lógico combinacional necesariamente pasa por
el uso del cero. Y de otro lado, las tablas funcionales del Álgebra de Boole se
plantean iniciándose en una combinación de ceros lo cual no es otra cosa que
el número cero.
Por todo ello, la controversia sigue abierta y dar una conclusión final
puede llevarnos al error de soslayar los puntos de vista opuestos a dicha
conclusión. Existen razones de orden práctico para admitir o no al cero como
parte del conjunto de números naturales, y lo que es más importante: tal vez
esta controversia no tenga un final de consenso..., de cualquier forma en tanto
más nos interesemos en temas apasionantes como éste, revisaremos con
mayor ímpetu todos los temas anexos lo cual será para nosotros de muchísimo
provecho pues entraremos en contacto con la vida y la obra de los más
grandes matemáticos y físicos de todos los tiempos... Las puertas de nuestra
voluntad deben estar siempre abiertas para el conocimiento!!!
Álgebra Aplicada
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