Download Ejercicios de operaciones combinadas de números racionales

Taller Operatoria Conjuntos Numéricos
El conjunto de los números naturales está formado por:
N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien
expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).
Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales:
5 > 3; 5 es mayor que 3.
3 < 5; 3 es menor que 5.
Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro
número natural.
Operaciones con números naturales
Suma de números naturales
a+b=c
Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.
Propiedades de la suma
1. Interna: a + b
2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
5+5=2+8
10 = 10
3. Conmutativa: a + b = b + a
2+5=5+2
7=7
4. Elemento neutro: a + 0 = a
3+0=3
Resta de números naturales
a-b=c
Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c,
lo llamamos diferencia.
Propiedades de la resta
1. No es una operación interna
2−5
2. No es Conmutativa
5−2≠2−5
Multiplicación de números naturales
a·b=c
Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.
Propiedades de la multiplicación
1. Interna: a · b
2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5)
6 · 5 = 2 · 15
30 = 30
3. Conmutativa: a · b = b · a
2·5=5·2
10 = 10
4. Elemento neutro: a · 1 = a
3·1=3
5. Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c
2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5
2 · 8 = 6 + 10
16 = 16
6. Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c)
2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)
6 + 10 = 2 · 8
16 = 16
División de números naturales
D:d=c
Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo
llamamos cociente.
Propiedades de la división
1. División exacta
15 = 5 · 3
2. División entera
17 = 5 · 3 + 2
3. No es una operación interna
2:6
4. No es Conmutativo.
6:2≠2:6
5. Cero dividido entre cualquier número da cero.
0:5=0
6. No se puede dividir por 0.
1. Operaciones combinadas sin paréntesis
1.1 Combinación de sumas y diferencias.
9−7+5+2−6+8−4=
Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.
=9−7+5+2−6+8−4=7
1.2 Combinación de sumas, restas y productos.
3·2−5+4·3−8+5·2=
Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15
1.3 Combinación de sumas, restas , productos y divisiones.
10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 =
Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos
operaciones tienen la misma prioridad.
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10
1.4 Combinación de sumas, restas, productos, divisiones y potencias.
23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 22 − 16 : 4 =
Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.
= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16 : 4 =
Seguimos con los productos y cocientes.
= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 26
2. Operaciones combinadas con paréntesis
(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) −5 + (10 − 23)=
Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos.
= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8 )=
Quitamos paréntesis realizando las operaciones.
= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18
3. Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes
[15 − (23 − 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 3 ) =
Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.
= [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) =
Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.
= [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2=
En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente:
= (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2=
Operamos en los corchetes.
= 12 · 7 − 3 + 2
Multiplicamos.
= 84 − 3 + 2=
Restamos y sumamos.
= 83
Ejercicios de operaciones combinadas con números naturales
1 ) 27 + 3 · 5 – 16 =
27 + 3 · 5 – 16 = 27 + 15 − 16 = 26
2) 27 + 3 – 45 : 5 + 16=
27 + 3 – 45 : 5 + 16 = 37
3) (2 · 4 + 12) (6 − 4) =
(2 · 4 + 12) (6 − 4) = (8 + 12) (2) = 20 · 2 = 40
4) 3 · 9 + (6 + 5 – 3) – 12 : 4 =
3 · 9 + (6 + 5 – 3) – 12 : 4 = 27 + 8 – 3 = 32
5) 2 + 5 · (2 ·3)³ =
2 + 5 · (2 ·3)³ = 2 + 5 · (6)³ = 2 + 5 · 216 = 2 + 1080 = 1082
6) 440 − [30 + 6 (19 − 12)] =
440 − [30 + 6 (19 − 12)] = 440 − (30 + 6 · 7)] = 440 − (30 + 42) =
= 440 − (72) = 368
7) 2{4[7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} =
= 2{4[7 + 4 (15 − 9)] − 3 (40 − 8)}=
= 2[4 (7 + 4 · 6) − 3 (32)] = 2[4 (7 + 24) − 3 (32)]=
2[4 (31) − 3 (32)]= 2 (124 − 96)= 2 (28)= 56
8) 7 · 3 + [ 6 + 2 · (23 : 4 + 3 · 2) – 7 · ] + 9 : 3 =
= 7 · 3 + [ 6 + 2 · (8 : 4 + 3 · 2) – 7 · 2 ] + 9 : 3 =
= 21 + [ 6 + 2 · (2+ 6) – 14] +3 =
= 21 + ( 6 + 2 · 8 – 14) +3 =
= 21 + ( 6 + 16 – 14) + 3 =
= 21 + 8 + 3 = 32
Conjunto de los números enteros
El conjunto de los números enteros está formado por los naturales, sus opuestos (negativos) y el
cero.
= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.
Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un
subconjunto de los números enteros.
Valor absoluto de un número entero
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.
|−a| = a
|a| = a
Criterios para ordenar los números enteros
1. Todo número negativo es menor que cero.
−7 < 0
2. Todo número positivo es mayor que cero.
7>0
3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.
−7 >− 10
|−7| < |−10|
4.De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
10 > 7
|10| > |7|
Operaciones con números enteros
Suma de números enteros
1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el
signo común.
3+5=8
(−3) + (−5) = − 8
2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el
menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.
−3+5=2
3 + (−5) = − 2
Propiedades de la suma de números enteros
1. Interna:
a+b
3 + (−5)
2. Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c) ·
(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]
5 − 5 = 2 + (− 2)
0=0
3. Conmutativa:
a+b=b+a
2 + (− 5) = (− 5) + 2
−3=−3
4. Elemento neutro:
a+0=a
(−5) + 0 = − 5
5. Elemento opuesto
a + (-a) = 0
5 + (−5) = 0
−(−5) = 5
Resta de números enteros
La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.
a - b = a + (-b)
7−5=2
7 − (−5) = 7 + 5 = 12
Propiedades de la resta de números enteros
1.Interna:
a−b
10 − (−5)
2. No es Conmutativa:
a-b≠b-a
5−2≠2−5
Multiplicación de números enteros
La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor
absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de
la regla de los signos.
Regla de los signos
2 · 5 = 10
(−2) · (−5) = 10
2 · (−5) = − 10
(−2) · 5 = − 10
Propiedades de la multiplicación de números enteros
1. Interna:
a·b
2 · (−5)
2. Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]
6 · (−5) = 2 · (−15)
-30 = -30
3. Conmutativa:
a·b=b·a
2 · (−5) = (−5) · 2
-10 = -10
4. Elemento neutro:
a ·1 = a
(−5)· 1 = (−5)
5. Distributiva:
a · (b + c) = a · b + a · c
(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5
(−2)· 8 =- 6 - 10
-16 = -16
6. Sacar factor común:
a · b + a · c = a · (b + c)
(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)
División de números enteros
La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos
entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los
signos.
10 : 5 = 2
(−10) : (−5) = 2
10 : (−5) = − 2
(−10) : 5 = − 2
Propiedades de la división de números enteros
1. No es una operación interna:
(−2) : 6
2. No es Conmutativo:
a:b≠b:a
6 : (−2) ≠ (−2) : 6
Potencia de números enteros
La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor
absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las
siguientes reglas:
1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.
2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.
Propiedades
a0 = 1 ·
a1 = a
am · a
n
= am+n
(− 2) 5 ·(− 2) 2 = (− 2) 5 + 2 = (− 2) 7 = − 128
am : a
n
= am
- n
(− 2) 5 : (− 2) 2 = (− 2) 5
(a m ) n = a m
- 2
= (− 2) 3 = − 8
· n
[(− 2) 3 ] 2 = (− 2) 6 = 64
an · b
n
= (a · b)
n
(− 2 ) 3 · (3 ) 3 = (−6 )
an : b
n
= (a : b)
(− 6 ) 3 : 3
3
3
= − 2 16
n
= (−2 ) 3 = − 8
Potencias de exponente entero negativo
Operaciones combinadas con números enteros
Prioridades en las operaciones
1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves..
2º.Calcular las potencias y raíces.
3º.Efectuar los productos y cocientes.
4º.Realizar las sumas y restas.
E j er c ic i o s y p ro b l emas d e n ú mer o s ent er o s
1 . Or d e n ar,
en
se n t id o
cre cie n te ,
re pre se n tar
gráf icamen t e ,
y
ca lcu lar lo s op u e st os y valo re s ab solu tos d e lo s sigu ien t e s nú mer o s
en t er o s :
8 , − 6 , − 5 , 3 , − 2 , 4 , −4 , 0 , 7
2 . Re p re se nt ar
gráf icame n te ,
y
calcu lar
lo s
op u e st o s
y valo re s
a b so lut o s d e lo s sigu ie nt e s n ú mer o s ent er o s :
−4, 6, −2, 1, −5, 0, 9
3 . Sac ar f ac t o r c o mú n e n las e xp re sion e s:
1 3 · 2 + 3 · (− 5 ) =
2 (− 2 ) · 1 2 + (− 2 ) · (−6 ) =
3 8 · 5 + 8 = 8 · (5 + 1 ) =
4 (− 3 ) · (− 2 ) + (− 3 ) · (− 5 ) =
4 Re a liz ar las sigu ie nt e s op er ac i o n es c o n n ú mer o s en t er o s
1 (3 − 8 ) + [ 5 − (− 2 )] =
2 5 − [6 − 2 − (1 − 8 ) − 3 + 6 ] + 5 =
3 9 : [6 : (− 2 )] =
4 [ (− 2 ) 5 − (− 3 ) 3 ] 2 =
5 (5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6 ) : (7 − 8 : 2 − 2 ) 2 =
6 [ (1 7 − 1 5 ) 3 + (7 − 1 2 ) 2 ] : [ (6 − 7 ) · (1 2 − 2 3 )] =
5 Re aliz ar las sigu ie nt e s op er ac i o n es c o n n ú mer o s en t er o s
1 (7 − 2 + 4 ) − (2 − 5) =
2 1 − (5 − 3 + 2 ) − [ 5 − (6 − 3 + 1 ) − 2] =
3 − 12 · 3 + 1 8 : (− 1 2 : 6 + 8 ) =
6Calcula,
si existe:
1
2
3
4
5
6
7Realizar
las siguientes opera ciones con potencias de núme ros
enteros:
1 (−2)2 · (−2)3 · (−2)4 =
2 (−8) · (−2)2 · (−2)0 (−2) =
3 (−2)−2 · (−2)3 · (−2)4 =
4 2−2 · 2−3 · 24 =
5 22 : 23 =
6 2−2 : 23 =
7 22 : 2−3 =
8 2−2 : 2−3 =
9 [(−2)− 2]
3
· (−2)3 · (−2)4 =
10 [(−2)6 : (−2)3 ]3 · (−2) · (−2)−4 =
8Realizar
las siguientes operaciones con potencias de núme ros
enteros:
1(−3)1 · (−3)3 · (−3)4 =
2 (−27) · (−3) · (−3)2 · (−3)0=
3 (−3)2 · (−3)3 · (−3)−4 =
4 3−2 · 3−4 · 34 =
5 52 : 53 =
6 5−2 : 53 =
7 52 : 5
−3
=
8 5−2 : 5−3 =
9 (−3)1 · [(−3)3]2 · (−3)−4 =
10 [(−3)6 : (−3)3]
3
· (−3)0 · (−3)−4 =
Conjunto números racionales
Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros,
con denominador distinto de cero. Se representa por
.
Operaciones con números racionales
Suma y resta de números racionales
Con el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
Con distinto denominador
En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los
numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.
P r o p i e d a d e s d e l a s um a d e n ú m e r o s r a c i on a l e s
1. Interna:
a + b
2 . A s oc i a t i v a :
(a + b) + c = a + (b + c) ·
3. Conmutativa:
a + b = b + a
4 . E l e m e n t o n e u t r o:
a + 0 = a
5. Elemento opuesto
a + ( − a) = 0
E l o p u e st o d e l o p u e s to d e u n n úm e ro e s i gu a l a l m i sm o n ú m e ro .
M u l t i p l i c ac i ó n d e n ú m e r o s r a c i o n a l e s
P r o p i e d a d e s d e l a mu l t i p l i c ac i ó n d e n ú me r o s r a c i o n a l e s
1. Interna:
a · b
2 . A s oc i a t i v a :
(a · b) · c = a · (b · c)
3. Conmutativa:
a · b = b · a
4. Elemento neutro:
a ·1 = a
5. Elemento inverso:
6 . D i st r i b u t i v a :
a · (b + c) = a · b + a · c
7 . S a c ar f a c t or c om ú n :
a · b + a · c = a · (b + c)
División de números racionales
.
E j e r c i c i os d e o p e r a c i o n e s c o n n ú m e r o s r a c i o n a l e s
C a l c u l a l a s s i g u i e n te s o p e r a c i o n e s c o n n ú m e r o s r a c i o n a l e s :
1)
2)
3
4
E f e c t ú a l as d i v i s i o n e s d e n ú m e r o s r ac i o n a l e s :
a)
b)
3
Realiza las operaciones con números racionales:
1
2
Efectúa las operaciones con números racionales :
P o t e n c i a s d e n ú m er o s r a c i o n a l e s
Potencias de exponente entero y base racional
Pr o p i ed ad es
1.
2.
3 . P r o d u c t o d e p o t e n c i a s c o n l a m i s m a b as e :
4 . D i v i s i ó n d e p o t e n c i a s c o n l a mi sm a b a se :
5 . P o t e n c i a d e u n a po t e n c i a :
6 . P r o d u c t o d e p o t e n c i a s c o n e l mi s m o e xp o n e n t e :
7 . C o c i e n t e d e p o t e n c i a s c o n e l mi s m o e xp o n e n t e :
E j e r c i c i os d e p o t e n c i a s d e n ú m e r o s r a c i o na l e s
R e a l i z a l a s s i g u i e nt e s o p e r ac i o n e s co n p o te n c i a s d e f ra c c io n e s :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Halla las operaciones de fracciones con potencias:
E j e r c i c i os d e o p e r a c i o n e s c o m b i n a d a s d e n ú m e r o s r ac i o n a l e s
P r i m e r o o p er a m o s co n l a s p r o d u c t o s y n ú m e r o s m i xt o s d e l o s
paréntesis.
Operamos
en
el
primer
paréntesis,
quitamos
s i m p l i f i c am o s e n e l te r c e ro y o pe r am o s e n e l ú l t im o .
el
s e gu n d o ,
R e a l i z a m o s e l p r o d u c t o y lo si m pl i f i c a m o s .
R e a l i z a m o s l as o p e r a c i o n e s d e l p a r é n t e s i s .
Hacemos
l as
operaciones
s i m pl i fi c a m os e l re s ul t a d o .
Opera:
de l
numerador,
d i v i d i m os
y
R e s u e lv e l a s o p e r a c i on e s c o m b i n a d a s :
E f e c t ú a o p e r ac i o n e s c o m b i n a d a s
R e a l i z a l a s o p e r a c i o n e s c o m bi n a d a s c o n po t e n c i a s :