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MATERIAL DE APOYO PARA REFORZAR ESTUDIANDO Y EJERCITANDO
Práctica sobre las proposiciones
Contesta a las siguientes preguntas teniendo presente si cumplen los
requisitos para ser una proposición. En caso afirmativo, especifica si es
una proposición verdadera o falsa.
es una proposición con valor
de verdad V
"Algunos perros ladran"
es una proposición con valor
de verdad F
no es una proposición
es una proposición con valor
de verdad V
"El rey de Francia es calvo"
es una proposición con valor
de verdad F
no es una proposición
es una proposición con valor
de verdad V
"La vida inteligente abunda en el
universo"
es una proposición con valor
de verdad F
no es una proposición
es una proposición con valor
de verdad V
"La constitución inglesa tiene faltas de
ortografía"
es una proposición con valor
de verdad F
no es una proposición
es una proposición con valor
de verdad V
"Francia es una república, y en
Francia no tienen rey"
es una proposición con valor
de verdad F
no es una proposición
OPERACIONES CON PROPOSICIONES
LOS CONECTORES LÓGICOS
Conjunción
Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones
a la proposición p Ù q (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es:
p q p q
1 1
1
1 0
0
0 1
0
0 0
0
Disyunción
Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción de las proposiciones p y q es la
proposición p  q cuya tabla de valor de verdad es:
p q pq
1 1
1
1 0
1
0 1
1
0 0
0
Implicación o Condicional
Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p  q (si p entonces q) cuya
tabla de valores de verdad es:
p q pq
1 1
1
1 0
0
0 1
1
0 0
1
Doble Implicación o Bicondicional
Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p  q (se lee "p si y
sólo si q") cuya tabla de valores de verdad es
p q pq
1 1
1
1 0
0
0 1
0
0 0
1
Negación
Dada una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada
por ~ p (se lee "no p") que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Por ejemplo:
p: Diego estudia matemática
~ p: Diego no estudia matemática
Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad:
p
~ p
1
0
0
1
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Utilizando tablas de verdad, clasifica en contingencias, tautologías y
contradicciones las siguientes formulas:
(a)
p ∧q →r
(b) (p ∧ q) ∧ (p → ￢q)
(c) (p ∧ q) → q
(d) (p ∧ q → q) →r
(e) (￢p → q) → (￢q → p) ∧ (p ∨ q)
(f) p → (p → q) → (q → r) → (p → r)
Haciendo uso de las tablas de verdad podemos verificar cuando una
proposición es una tautología, cuando es una contingencia y cuando es una
Contradicción, para tal efecto se dan las definiciones siguientes:
Definición 1. Una proposición compuesta es una Tautología si al construir su
tabla de verdad el resultado en cada renglón es verdadero independientemente
de los valores de verdad que tomen las proposiciones simples que intervienen.
Definición 2. Una proposición compuesta es una Contradicción si al construir
su tabla de verdad el resultado en cada renglón es falso independientemente
de los valores de verdad que tomen las proposiciones simples que intervienen.
Definición 3. Una proposición compuesta es una Contingencia si al construir
su tabla de verdad no resulta tautología o contradicción.
Traduce las siguientes proposiciones a la forma simbólica:
a) x = 10 si y sólo si 2 x = 20
b) 3 x + 2 = 11 es equivalente a x = 3
c) ni fumar ni beber es bueno para la salud
d) no es cierto que, invierto mi dinero en acciones o lo pongo en
una cuenta de ahorro.
e) Es suficiente que tenga un compromiso previo para que no
pueda ir contigo
Clasifica las siguientes formas proposicionales en tautología,
contradicción o contingencia. Justifica tu respuesta.
a) p  ( p  q)
b) (~ p  q )  q
c)
(s  t )  ( ~ s  ~ t)
Desarrolla las tablas de verdad de las siguientes expresiones lógicas y
razona si son fórmulas contradictorias, consistentes o tautológicas:
1. ¬ (p Λ q) ↔ (¬p V ¬q)
2. ¬ (p Λ ¬p)
3. (p V q) ↔ (q ↔ p)
4. [p Λ (q V r)] ↔ [(p Λ q) V (p Λ r)]
5. [p → (q V r)] ↔ [(p → q) V (p → r)]
Traduce al lenguaje formal y construye la tabla de verdad de
las siguientes expresiones:
� Si los coches dejaran de utilizar este tipo de combustible, entonces
contaminarían menos.
� No sé si iré a casa de mi amiga o si me quedaré en casa estudiando.
� No es cierto que no haya estudiado el examen, pero me van a
suspender igual.
� Si estudio más, aprenderé a construir tablas de verdad correctamente.
Y si además no voy a la fiesta, entonces con todo ello conseguiré
aprobar el curso.
¿Qué es un enunciado lógico?
Una proposición o enunciado es el significado de cualquier frase declarativa (o
enunciativa) que pueda ser o verdadera (V) o falsa (F). Nos referimos a V o a F como
los valores de verdad del enunciado.
Ejemplo 1: las proposiciones

La frase "1=1" es un enunciado, puesto que puede ser verdadero o
falso. Como resulta que es un enunciado verdadero, su valor de verdad
es V.

La frase "1=0" también es un enunciado, pero su valor de verdad es F.

"Lloverá mañana" es una proposición. Para conocer su valor de verdad
habrá que esperar hasta mañana.

El siguiente enunciado podría salir de la boca de un enfermo mental:
"Si soy Napoleón, entonces no soy Napoleón". Este enunciado, como
veremos más adelante, equivale al enunciado "No soy Napoleón".
Como el hablante no es Napoleón, es un enunciado verdadero.

"Haz los ejercicios de lógica" no es un enunciado, puesto que no se le puede
asignar ningún valor de verdad (Está en modo imperativo, es una orden, y no
una frase declarativa)

"Haz el amor y no la guerra" tampoco es un enunciado, puesto que no
se le puede asignar ningún valor de verdad (También está en modo
imperativo, es una orden, y no una frase declarativa)

"El perro" no es una proposición, puesto que no es ni siquiera una frase
completa (al menos en este contexto).
Los enunciados como resultado de los juicios
El acto mental que tiene como resultado una proposición o enunciado se denomina
juicio (sustantivo, del verbo enjuiciar). La expresión verbal de un juicio es un
enunciado. Los seres humanos realizamos un juicio cada vez que pensamos que algo
es alguna otra cosa (a lo que llamamos afirmación), y también cuando pensamos que
algo no es otra cosa (a lo que llamamos negación). En consonancia con lo que
decíamos al principio, enjuiciar consiste en afirmar o negar.
Si tú piensas que este ordenador es complicado, entonces estás ejecutando un juicio.
Si expresas verbalmente este juicio, lo habrás de hacer en forma de un enunciado o
proposición: la proposición "Este ordenador es complicado". El juicio es el acto mental
que ocurre cuando piensas que este ordenador es complicado, y la proposición es la
oración que construyes para expresar dicho pensamiento.
Fíjate bien en esto...
Los enunciados son diferentes de las oraciones que los contienen. Así, "Fulanito ama
a Menganita" expresa exactamente la misma proposición que "Menganita es amada
por Fulanito". En los enunciados lo esencial es el significado de la frase enunciativa.
De manera análoga, la proposición "Hoy llueve aquí" se puede utilizar para transmitir
diferentes proposiciones, dependiendo del lugar y del momento en que se encuentre la
persona que profiera dicho enunciado ("El 15 de agosto de 2003 llueve en León",
"El 12 de mayo de 2007 llueve en Madrid", etc.). En este caso, el momento y el lugar
hacen cambiar el significado del enunciado, de manera que su valor de verdad
depende de estas circunstancias.
Pero, cada proposición es o bien verdadera o bien falsa. En algunas ocasiones, por
supuesto, no conocemos cuál de estos valores de verdad (verdadero o falso) es el que
tiene una determinada proposición, (por ej. "Hay vida inteligente fuera del planeta
Tierra") pero podemos estar seguros de que tiene o uno u otro.
El lenguaje formal de la Lógica
¿Qué es un lenguaje formal?
Un lenguaje formal, en tanto que lenguaje artificial, está formado por los
siguientes elementos básicos:



Unos signos primitivos del lenguaje, esto es su alfabeto.
Unas reglas de combinación de dichos signos, es decir una gramática
que especifique cómo combinar unos signos primitivos con otros para
tener expresiones bien formadas.
En nuestro caso, como buscamos aplicar el lenguaje formal a la
reconstrucción de la estructura lógica del lenguaje natural,
precisaremos de unas reglas que nos ayuden en la formalización o
traducción de expresiones del lenguaje natural al de la lógica formal.
Veamos el primero de ellos a continuación.
El alfabeto del lenguaje formal en la lógica proposicional
El lenguaje lógico de la lógica proposicional consta de tres tipos de signos en
su tarea de reconstruir la estructura lógica del lenguaje natural:
(1) Unos signos para representar las proposiciones simples o atómicas: se trata
de las letras proposicionales, que por convención suelen designarse con las
letras minúsculas p, q, r, etc.
(2) Unos signos para formar proposiciones complejas o moleculares
conectándolas entre sí: se trata de las conectivas (también llamados
conectores, o juntores). En la siguiente tabla presentamos el nombre, el signo y
la equivalencia con el lenguaje natural de las cinco conectivas que utilizaremos: