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Las Mareas y la Luna
Las mareas oceánicas son verdaderamente el fenómeno natural
observable más espectacular vinculado a las fuerzas gravitacionales
de la luna y el sol. Si la marea ya fue bien descrita desde la
antigüedad, especialmente por Plinio el Viejo en su Historia Natural,
habría que esperar a Sir Isaac Newton (1643 – 1727) y su obra
Philosaphiae Naturalis Principia Mathemática en julio de 1687 para
tener la primera explicación física exacta del fenómeno.
El fenómeno es complejo y explicarlo requiere nociones de mecánica y algunos
conocimientos matemáticos. No hay que olvidar que las matemáticas son el
lenguaje de las ciencias y tanto las fuerzas de marea como la gravitación universal
se describen mejor con ellas.
En un primer momento las mareas se han descrito como lo hacía Plinio el Viejo, a
partir de la observación y registro durante muchos años de la altura de la marea; y
en el caso concreto de la costa atlántica francesa se han constatado los fenómenos
siguientes:

2 mareas al día separadas por un intervalo medio de 12h 25m 14s. Se dice
que la marea es semidiurna

La marea alta sigue el tránsito de la Luna por el meridiano superior y el
meridiano inferior en un intervalo de tiempo casi constante; este intervalo
se denomina Establecimiento Medio de Puerto (3h 19m en San
Sebastián).

Las dos mareas semidiurnas son de amplitudes ligeramente diferentes.
Cuando la declinación de la luna es positiva, la amplitud de la marea que
sigue al tránsito superior es mayor que la amplitud de la marea que sigue al
tránsito inferior, y viceversa, cuando la declinación de la Luna es negativa,
la amplitud de la marea que sigue al tránsito inferior de la Luna es mayor
que la amplitud de la marea que sigue al tránsito superior. Las dos
amplitudes son similares cuando la declinación de la Luna es nula (la Luna
está en el ecuador)

Durante una lunación, la amplitud de la marea no es constante y varía en
función de la fase lunar, durante la luna llena y la luna nueva se observan
mareas vivas; y mareas muertas durante el cuarto creciente y el
menguante.

La más fuerte de las mareas vivas y la más débil de las mareas muertas no
coinciden exactamente con las fases lunares; ambas fluctúan con relación a
las fases lunares alrededor de tres mareas, este fenómeno se llama Edad de
la Marea

Se observan mareas de amplitud muy fuerte durante los equinoccios,
aunque la marea viva más próxima al instante de equinoccio no es siempre
la más viva
El análisis de estas observaciones permite los siguientes supuestos:
La correlación entre los tránsitos de la luna por los meridianos y los instantes de
marea alta permite atribuir el fenómeno de las mareas a la Luna.
El hecho de que las mareas sean sensibles a las fases lunares implica una
interacción con el sol también, de modo que hay una componente lunar y otra solar
que se solapan cuando los dos cuerpos están en conjunción o en oposición, y se
diluyen cuando están en cuadratura.
El que las mareas altas sucedan tras los tránsitos de la luna por los meridianos en
mayor medida que tras los tránsitos del sol implica que la fuerza de marea lunar
debe ser superior a la del sol.
La presencia de mareas fuertes durante los equinoccios implica que la marea solar
es más fuerte cuando el sol está próximo al plano del ecuador terrestre, y del
mismo modo para la componente lunar, la marea lunar es más fuerte cuando la
Luna está próxima al ecuador terrestre.
Como se supone que las fuerzas de marea son de naturaleza gravitacional, se
puede esperar que sean proporcionales a la masa de los cuerpos perturbadores y
que varíen en función de la distancia.
Hasta aquí no hemos hecho más que describir la marea lunisolar semidiurna
observable en nuestras costas. Para explicar esta fuerza de marea debemos de
recurrir a las nociones de mecánica newtoniana.
NOCION de FUERZA
En mecánica, una fuerza, una aceleración y una velocidad son representadas por vectores. Un
vector es un segmento orientado. Para una fuerza. El origen del vector corresponde al punto donde
se aplica la fuerza, la longitud del vector es proporcional a la intensidad de la fuerza y la dirección
del vector señala la dirección de la fuerza. Por ejemplo la aceleración por peso de un objeto está
representada por un vector g vertical dirigido hacia abajo y cuya longitud es proporcional a la
intensidad del peso.
Centro de
masas de
la manzana
F = m
g
Vector g de
aceleración
por peso
Los vectores pueden sumarse o sustraerse, y su resultado es un vector trazado a partir de la
diagonal del paralelogramo trazado cuyos lados son los dos vectores iniciales
F1
F2
F
La fuerza F es la suma de las fuerzas F1 y F2
Y si la descomponemos tenemos también F1 y F2
Sistema de referencia inercial en mecánica newtoniana
Se llama sistema de referencia inercial al referente que está animado de un
movimiento de traslación uniforme (a veces se utiliza la expresión referente
galileano); todos los referentes inerciales se mueven a una velocidad constante los
unos con relación a los otros.
En el Sistema Solar, si no se tiene en cuenta la atracción gravitacional de las
estrellas próximas, se puede considerar que un referente que tiene por centro el
baricentro del Sistema Solar, es un sistema de referencia inercial (este referente es
llamado también referente copernicano).
Un referente que está sometido a una aceleración no nula no es inercial, así que
todos los referentes centrados en los centros de los distintos cuerpos del Sistema
Solar no son inerciales.
Cuando se describe el movimiento de un cuerpo en un sistema de referencia no
inercial, se deben de atender las aceleraciones de arrastre e debidas a su traslación
y a su rotación, y en mayor o menor medida, si el sistema de referencia está en
rotación, a la aceleración complementaria c.
La aceleración en un sistema de referencia inercial es una aceleración absolutaa, la
aceleración en un sistema de referencia no inercial es una aceleración relativar.
La aceleración relativa es igual a la aceleración absoluta menos las aceleraciones de
arrastre y complementaria.
El producto de una masa por la aceleración es una fuerza.
Se denominan fuerzas inerciales de arrastre a las fuerzas vinculadas a las
aceleraciones de arrastre, y fuerza inercial complementaria a la fuerza vinculada a
la aceleración complementaria.
Como la marea es un fenómeno terrestre, nuestra posición como observadores ha
de colocarse en un sistema referencial vinculado al centro de masas de la tierra y
girando con una velocidad de rotación sidérea de la Tierra de:
 = 7,2921150 10-5 rad/s
Una partícula de masa m colocada en un punto M sobre la superficie terrestre
estará sometida a fuerzas de inercia de arrastre debidas al desplazamiento del
centro de masas de la Tierra por la órbita terrestre, y a la rotación sidérea del
referente terrestre; y a una fuerza de inercia complementaria cuando la partícula se
mueva de motu propio y su velocidad sobre la superficie terrestre no sea nula.
La aceleración relativa de la partícula se escribe de la manera siguiente:
r = a – e1 – e2 - c donde e1 y e2 son las aceleraciones de arrastre
Hay dos aceleraciones de arrastre, una debida a la traslación del centro de masas
de la Tierra y la otra debida a la rotación sidérea de la Tierra sobre si misma.
Si se multiplica la aceleración por la masa de una partícula tenemos una fuerza y en
el caso de nuestra partícula tenemos las relaciones siguientes:
m r = m a – m e1 – m e2 – m c
y de aquí
m r = m a + Fe1 + Fe2 + Fc
(1)
Fuerzas de inercia en mecánica newtoniana
La fuerza inercial de arrastre Fe1 está vinculada a la traslación del centro de
gravedad de la Tierra, y es la suma de las fuerzas inerciales de arrastre provocadas
por cada cuerpo perturbador (el Sol, la Luna y los planetas). Para cada cuerpo
perturbador la intensidad de esta fuerza es proporcional a la masa del cuerpo
perturbador e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre el centro
de masas de la Tierra y el centro de masas de dicho cuerpo.
La constante de proporcionalidad es la constante gravitacional k.
Esta fuerza es paralela a la línea que une el centro de la Tierra y el centro del
cuerpo perturbador, su dirección es opuesta a la fuerza de atracción debida a dicho
cuerpo. Por ejemplo la fuerza inercial de arrastre causada por la Luna sobre una
partícula de masa m sea cual sea su posición tendrá por intensidad k m ML/2
donde  es la distancia entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna, y M la
masa de la Luna (figura 3).
La fuerza inercial axífuga Fe2 es una fuerza perpendicular al eje de rotación, la
aceleración axífuga es proporcional al cuadrado de la velocidad angular y a la
distancia al eje de rotación. Si la descomponemos tenemos una componente
vertical, normal a la superficie, que se opone a la atracción terrestre y una
componente horizontal que es la causa del achatamiento terrestre. La figura media
de equilibrio de una fuerza inercial axífuga es un elipsoide de revolución. De hecho,
como consecuencia de la distribución de masas en el interior y en la corteza y
superficie terrestre la verdadera figura es el geoide.
La fuerza de Coriolis Fc es una fuerza que modifica las trayectorias de los objetos
en movimiento, ella es responsable por ejemplo del desvío hacia el este de un
cuerpo en caída libre. Es esta fuerza la que hace girar el plano de oscilación del
péndulo de Foucault, una prueba experimental de la rotación terrestre. Esta fuerza
es nula si el cuerpo no está en movimiento.
Expresión del principio fundamental de la dinámica
Conviene explicar ahora el principio fundamental de la mecánica: el producto de la
masa m de la partícula por la aceleración absoluta a es igual a la suma de las
fuerzas exteriores a la masa m. Para la partícula M estas fuerzas son:
 P: fuerzas de presión hidrostática
 FR: fuerzas de rozamiento
 G: fuerza de atracción gravitacional ejercida por la Tierra
 JA (M): fuerza de atracción gravitacional ejercida sobre la masa m por
cada cuerpo A del sistema solar.
La expresión sería:
m a = P + FR + G + A JA (M)
(2)
Si la partícula está fija en el referente terrestre, un sistema referencial en equilibrio
(geoide), su velocidad relativa y su aceleración relativa son nulas, de manera que la
fuerza de Coriolis y las fuerzas de rozamiento son nulas; y por otro lado las fuerzas
de presión hidrostática que compensan el peso determinan que el sistema esté en
equilibrio por lo que: P = -mg
Si sustituimos la aceleración absoluta de la ecuación (1) por su valor obtenido
mediante la ecuación (2) nos encontramos con la ecuación siguiente:
m g = G + Fe2 (M) + A (JA (M) + Fe1 (M))
La fuerza del peso es pues la suma de tres fuerzas:
1. la fuerza de atracción gravitacional ejercida por la Tierra
2. la fuerza inercial de arrastre axífuga
3. la suma de la fuerza de atracción gravitacional ejercida por cada cuerpo
perturbador más la fuerza inercial de arrastre debida a la traslación del
centro de referencia vinculado a la Tierra
Es esta tercera fuerza la denominada fuerza de marea.
Si se descompone la fuerza inercial de arrastre en las fuerzas de inercia provocadas
por cada cuerpo del Sistema solar, se puede considerar la fuerza general de marea
como la suma de las fuerzas de marea causadas por cada cuerpo del Sistema solar,
de las cuales, las más fuertes son la de la Luna y la del Sol.
Siguiendo con nuestra partícula M, si nos detenemos en la influencia sobre ella de
un cuerpo en particular, por ejemplo la Luna, la fuerza de atracción generada por la
Luna es proporcional a la masa de ésta e inversamente proporcional al cuadrado de
la distancia entre la partícula M y el centro L de la Luna.
La fuerza de marea es la suma de esta fuerza de atracción generada por la Luna
(fuerza que varía en dirección y e intensidad a medida que M se desplaza con la
rotación de la Tierra), y la fuerza inercial de arrastre debida a la Luna que es
constante.
Estas dos fuerzas no tienen la misma dirección, de modo que la fuerza resultante,
la fuerza de marea, no está dirigida hacia la luna (figura 5), excepto para aquellos
lugares que tienen a la Luna en el cenit. Para los puntos situados sobre la línea
Tierra-Luna las dos fuerzas tienen dirección contraria:

para el punto que tiene la Luna en el cenit, la fuerza de atracción es superior
a la fuerza de inercia, el resultado es una fuerza dirigida hacia la Luna

para el punto que tiene a la luna en el nadir, la fuerza de atracción es más
débil que la fuerza de inercia, el resultado está dirigido en el sentido
contrario
Esto explica los dos abultamientos de la figura de equilibrio de la marea lunar
estática. La marea es un efecto diferencial
De
nuevo
esta
fuerza
de
marea
puede separarse en
dos
componentes,
una
componente
vertical
y
otra
horizontal (ver zoom
de la figura 5).
La
componente
horizontal
es
la
fuerza
generadora
de la marea y la que
provoca que el agua
se mueva sobre la
superficie terrestre
horizontalmente en
búsqueda de una
posición de equilibrio
que es el origen de
las variaciones de
nivel de los océanos y que constituye la marea.
En un supuesto equilibrio estático, la representación característica de la superficie
de equilibrio de los océanos tiene forma de ovoide y presenta dos abultamientos
alineados con el centro terrestre y el centro de la Luna (figura 6).
Naturaleza de la fuerza de marea
Para un astro perturbador dado (la Luna o el Sol), se puede demostrar que la
intensidad de esta fuerza es proporcional a la masa de los cuerpos perturbadores e
inversamente proporcional al cubo de su distancia, y que ella también depende de
la altura del astro sobre el horizonte, es decir, de su declinación y de su ángulo
horario.
Esta fuerza nunca es nula; presenta máximos cuando el astro se encuentra sobre el
meridiano local y es mínima cuando el astro está en el horizonte.
Es una fuerza extremadamente débil comparada con la fuerza por gravedad de la
Tierra. Debido a su débil intensidad la fuerza de marea es inapreciable
directamente en la mayor parte de los fenómenos terrestres a excepción de las
mareas oceánicas, los aspectos geodésicos y los fenómenos físicos observables en
sistemas de experimentación que requieren una gran precisión como en los
aceleradores de partículas.
La aceleración media debida a la Luna es 5,62 10 -8 g, y la aceleración media debida
al Sol es 2,58 10 -8 g, siendo g la aceleración media por gravedad superficial
terrestre a una latitud de 45º de g = 9,8062 m s-2 (el valor de g varía con la latitud
y con la altura; equivale a 981 Gal, símbolo utilizado en honor de Galileo, 1 Gal es
una aceleración de 1 cm/s2).
La fuerza de marea de la Luna es entonces 2,18 veces más fuerte que la del Sol, lo
que explica que la marea oceánica siga el movimiento de la Luna.
Se puede demostrar también que esta fuerza deriva de un potencial gravitacional y
que en su expresión, dada de la variación de la altura de la marea, se distinguen
tres factores.



Un factor semi-diurno que depende del doble del ángulo horario del astro y
presenta dos extremos por día (al paso por los meridianos superior e
inferior), es responsable de la marea semi-diurna
Un factor diurno que depende del ángulo horario del astro y presenta un
extremo por día (al paso por el meridiano superior), es responsable de la
marea diurna
Un factor mixto que no depende del ángulo horario del astro pero que
depende del doble de la declinación del astro, su periodo es pues la semirevolución sidérea de la Luna para la marea lunar y la semi-anual sidérea
para la marea solar
La amplitud de la marea es la suma combinatoria de estos tres factores
La observación de las mareas muestra que el factor semi-diurno es generalmente
preponderante, sobre todo en nuestras costas y en general en las dos orillas de la
costa atlántica. Pero no ocurre siempre así porque en la superficie de nuestro
planeta se distinguen cuatro tipos de marea.
1. La marea semi-diurna
2. La marea semi-diurna de desigualdad diurna
3. La marea mixta
4. las mareas diurnas
1.- La marea semi-diurna
Los factores diurnos son inapreciables ante los factores semi-diurnos, así que
tienen lugar dos mareas de importancia parecida por día; estas mareas son
características en nuestras costas.
2.- La marea semi-diurna de desigualdad diurna
Los factores diurnos apenas son apreciables ante los semi-diurnos. Tienen lugar
entonces dos pleamares y dos bajamares por día, pero las alturas de las mareas
pueden ser muy diferentes tanto en bajamar como en pleamar; estas mareas son
características en el Índico y en algunos lugares del Pacífico como por ejemplo en
Seattle (EEUU).
3.- La marea mixta
Los factores diurnos predominan pero los factores semi-diurnos aparecen
relevantes en función de la declinación de la Luna. Tienen lugar entonces dos
mareas por día cuando la Luna está próxima al ecuador con declinación = 0º, y
una única marea por día cuando la Luna está próxima a su máxima declinación <
- 28º, o >+28º. Estas mareas son características en Indonesia, Vietnam, Antillas,
costas de Siberia y Alaska.
4.- Las mareas diurnas
Los factores semi-diurnos son inapreciables frente a los factores diurnos. Tiene
lugar entonces una única marea cada día. Estas mareas son características en el
Pacífico, en Siberia oriental y en el golfo de Tonkin. Las amplitudes de las mareas
son máximas cuando la declinación de la Luna es extrema, bajo los trópicos, de ahí
su nombre “mareas trópicas”; y son mínimas cuando la Luna está sobre el ecuador.
Como la fuerza de marea está determinada por factores como la distancia de los
astros perturbadores, sus declinaciones y las fases lunares, encontramos en las
variaciones de la fuerza de marea diferentes ciclos resultado de la combinación de
los intervalos que determinan estos factores:
Factor distancia
 mes anomalístico de la Luna, intervalo entre dos perigeos 27,5545501 d
 intervalo entre dos perihelios 365,256363 d
Factor declinación de la Luna
 mes draconítico, intervalo entre dos pasos consecutivos de la luna por el
nodo ascendente de la eclíptica, 27,212220 d
 mes trópico, 27,3215823 d
Factor declinación del Sol
 año eclíptico, paso del sol aparente por el nodo lunar, 346,62005 d
 año trópico, intervalo entre equinoccios, 365,242189 d
Factor fases lunares
 mes sinódico, intervalo entre dos fases lunares, Luna llena o nueva,
29,5305884 d
De la marea estática a la marea dinámica
La marea de equilibrio hasta ahora descrita constituye la marea estática, que es
puramente teórica. Ella no explica los desajustes horarios con relación a los
tránsitos de la luna por los meridianos ni los desajustes entre las más fuertes de las
mareas vivas ni las más débiles de las mareas muertas con relación a las fases
lunares.
Para explicar estos desajustes es necesario utilizar una formulación mucho más
compleja que tenga en cuenta la dinámica de fluidos y que modele el
desplazamiento de las partículas de agua.
La marea está igualmente condicionada por la estructura de las cuencas oceánicas,
como la profundidad y el relieve
de los fondos marinos; los parámetros
ambientales como la presión atmosférica, temperatura del agua, grado de
salinidad; y las características locales, como corrientes marinas, dimensiones y
relieve de la plataforma continental, y orientación, altura, pendiente y dibujo de la
línea de costa.
Un poco de historia
La primera teoría que permitió modelar el flujo de marea para un lugar dado fue
elaborada por Pierre-Simon Laplace (1749 – 1827). En 1775 publicó en La
Mécanique Céleste el desarrollo de la fuerza de marea estática en función del
ángulo horario, de la declinación y de la distancia de los astros. Laplace demuestra
que la marea real es proporcional a la marea estática con los desajustes horarios.
Los coeficientes de proporcionalidad y los desfases para un lugar dado pueden
deducirse y confirmarse mediante la observación de la marea en dicho lugar.
Las fórmulas que permiten este cálculo están basadas sobre la hipótesis de
linealidad que reposa sobre dos principios fundamentales, el principio de las
oscilaciones de fuerzas y el principio de superposición de pequeños movimientos.
En Francia el primer anuario sobre mareas será publicado en 1839 por el ingeniero
hidrográfico Rémi Chazallon (1839 – 1872) gracias a las observaciones de las
mareas realizadas en Brest. Rémi Chazallon introduce nuevas ondas de marea en el
desarrollo del potencial de la fuerza de marea, destacando la onda cuarto-diurna. A
Laplace se le debe la introducción del sistema de coeficientes que permiten calcular
con sencillez la altura de la marea; sistema que es utilizado hoy en día.
En 1869, Daniel Thomson (1824 – 1907) introduce el método de análisis armónico
a partir de la división del potencial de la fuerza de marea en sus componentes
fundamentales y en 1876 inventa un mecanismo, el Tide Preditor para calcular y
predecir las mareas.
En 1921, A.T. Doodson (1890 -1968), utilizando la teoría de la Luna de E.W.
Brown, calcula el primer desarrollo realmente armónico del potencial generador de
la marea. Doodson determina aproximadamente 400 componentes del potencial y
utiliza 5 ángulos fundamentales además del tiempo lunar medio. La nomenclatura
de los diferentes armónicos de Doodson, así como sus fórmulas aún se usan hoy en
día. Con la aparición de los ordenadores, nuevos métodos numéricos van a ver la
luz; en 1971, con métodos de análisis numérico completamente diferentes (FFT,
Fast Fourier Transform) y utilizando nuevos parámetros, Cartwrigth y Tayler
calculan un nuevo desarrollo de potencial generador de mareas que confirma los
resultados obtenidos 50 años antes por Doodson.
En 1994/95, Hartmann y Wenzel calculan un desarrollo que contiene 12935 ondas
de marea, de las que 1483 ondas son directamente debidas a efectos de los
planetas. El desarrollo tiene en cuenta el potencial de las fuerzas de marea de
objetos astronómicos como la Luna, el Sol, Venus, Júpiter, Marte, Mercurio y
Saturno. Semejante precisión resulta superflua para el cálculo de las mareas
oceánicas pero es imprescindible para modelar el campo gravitacional y disponer de
sistemas y herramientas que midan la gravedad con la precisión de 1 Gal, lo que
se vuelve útil para medir la aceleración de la marea con gran precisión.
El estudio de las ecuaciones que describen la marea ha permitido igualmente
predecir la propagación de las ondas de marea en los océanos y descubrir la
existencia de puntos donde la amplitud de la marea es nula, puntos de donde
parten las líneas cotidales correspondientes a las líneas de las crestas de la onda de
marea, es decir, los lugares donde la pleamar ha tenido lugar a la misma hora en la
que ha tenido lugar el tránsito de la Luna por el meridiano de Greenwich.
La marea a escala global
Si la predicción de las horas y alturas de la marea es indispensable para la
seguridad de la navegación costera, esta información tiene un carácter puramente
local.
Desde 1970, la altimetría mediante satélites (GEOS, TOPEX-POSEIDON, JASON)
permite medir con una precisión cada vez mayor la altura de los océanos. Estas
alturas son calculadas a partir de las distancias entre el satélite y la superficie
oceánica obtenidas por sistemas de radar estableciendo la posición del satélite en
un sistema de referencia geocéntrico; las posiciones del satélite, conocidas con
precisión de centímetros, son obtenidas y continuamente actualizadas por métodos
de posicionamiento como GPS, Telemetría Láser, Sistema DORIS.
Esto permite representar la altura de los océanos a escala mundial. En un principio
se representaba la altura de los océanos en alta mar; recientemente, combinando
las observaciones con satélites y las observaciones mareográficas, resulta posible
representar y predecir la altura de los océanos en las proximidades de las costas a
escala global.
Un ejemplo de esto es el modelo Mercator Océan (www.mercator-ocean.es/) que
permite la descripción y la previsión del estado del océano hasta con 14 horas de
antelación mostrando datos de temperatura, salinidad, corrientes y altura de las
mareas.
La marea terrestre y la marea en la Luna
Las fuerzas de marea agitan de igual modo la corteza terrestre. La amplitud de la
marea terrestre es del orden de 30 a 40 cm aproximadamente. El desajuste entre
la marea terrestre y el tránsito de la Luna por el meridiano está en torno a los 30
segundos de tiempo.
La marea luni-solar modifica la distribución de masas de la corteza terrestre
añadiéndose a la de las fuerzas perturbadoras intrínsecas de la Tierra. Estas fuerzas
perturbadoras se estudian y calculan en la teoría de la Luna.
Las fuerzas de marea son universales, así pues también se dan fuerzas de marea
sobre la Luna que son provocadas por la Tierra y el Sol. La fuerza de marea debida
a la Tierra es la responsable de la sincronización entre la revolución sidérea de la
Luna alrededor de la Tierra y la rotación sidérea de la Luna sobre ella misma, razón
por lo que la Luna siempre nos muestra su misma cara.
Patrick Rocher, Institut de Mécanique Céleste et de calcul des éphémerides,
Observatoire de Paris
Traducción Josean