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FUERZA E INTERACCIÓN
Unidad 13
CONTENIDOS.
1.2.-
Evolución histórica del concepto de fuerza (concepciones pregalineanas).
Naturaleza de las fuerzas
2.1.
2.2.
2.3.
3.-
Carácter vectorial de la fuerza.
Medida de las fuerzas.
Fuerza elástica. Ley de Hooke.
Fuerza resultante.
3.1.
3.2.
3.3.
Composición de fuerzas concurrentes.
Composición de fuerzas paralelas.
Descomposición de fuerzas. Componentes normal y tangencial.
4.-
Momento de una fuerza.
5.-
Condiciones generales de equilibrio.
4.1.
5.1.
6.7.-
Par de fuerzas.
Palanca y polea.
Interacción gravitatoria. Ley de gravitación universal. Peso de un cuerpo.
Campo gravitatorio.
Interacción eléctrica. Ley de Coulomb. Campo eléctrico.
EVOLUCIÓN HISTÓRICA DEL CONCEPTO DE FUERZA
Aristóteles
Diferencia entre movimientos:

Naturales (caída libre, rotación de planetas). No precisan, al igual que en reposo, la

existencia de fuerzas.
No naturales. Precisan de fuerzas (aunque sean uniformes).
Si se lanza un objeto, la fuerza existiría mientras exista movimiento
Galileo




“Las fuerzas son las causantes de los cambios de velocidad”.
Por tanto, en el MRU, en donde v es constante no es preciso la existencia de fuerzas.
En cambio, en el MCU, v sí que varía pues aunque no cambie su módulo sí que
cambian la dirección y el sentido constantemente. Por tanto, necesita F.
Igualmente un MRUA o un MCUA precisan la existencia de fuerzas.
Newton


Además de las fuerzas por contacto “vis impresa” existen las fuerzas que actúan a
distancia “vis centrípeta” (incluso en el vacío).
Un ejemplo de estas últimas son las “fuerzas gravitatorias” que gobiernan el
movimientos de los planetas.
2

El peso de los cuerpos es una fuerza gravitatoria en donde uno de los objetos es
siempre la Tierra.
Definición actual de Fuerza.
Fuerza “es toda acción capaz de cambiar el estado de reposo o de movimiento, o
de producir en él alguna deformación”.
Concepto de Dinámica.
Dinámica “es la ciencia que estudia el movimiento, pero atendiendo a las causas
que los producen, es decir, las fuerzas”.
CARÁCTER VECTORIAL DE LAS FUERZAS.

La fuerza F es una magnitud vectorial ya que posee además de un valor concreto
(módulo) una dirección y un sentidos determinados.
Por tanto puede expresarse como:


 
F = Fx i + Fy j + Fz k que expresaremos como F = Fx i + Fy j + Fz k
MEDIDA DE LAS FUERZAS. UNIDADES.
La unidad de medida de las fuerzas en el Sistema Internacional es el Newton (N)
que es la fuerza aplicada a 1kg de masa para que adquiera una aceleración de 1 m/s 2.
m
N = Kg · ——
s2
Otra unidad de fuerza muy usada es el
“kilo”).
kilopondio (kp)
(normalmente llamado
1 kp = 9,8 N
FUERZA ELÁSTICA.
Al estirar un muelle, la deformación de éste es proporcional a la fuerza aplicada. En
esta propiedad se basan los dinamómetros para saber la fuerza que
se aplica sobre ellos.
Ley de Hooke
La expresión matemática se conoce como Ley de Hooke:
Felast. = – k · r
3
“k” se conoce como constante elástica y depende
lógicamente del tipo de muelle.
La fuerza que hay que aplicar para estirar o comprimir el
muelle (fuerza deformadora) es igual y de sentido contrario
(k ·r).
Normalmente, sólo es necesario calcular el módulo de
dicha fuerza. Como el módulo del vector desplazamiento de
un punto situado al final del muelle es la variación de longitud
del mismo:
F = k · l = k ·|l –l0|
Hay una fuerza límite, a partir de la cual el muelle deja de comportarse como
elástico.
Por encima de esta fuerza se encuentra el límite de fractura.
Ejemplo:
Un muelle de constante elástica de 200 N/m tiene una longitud de 50 cm cuando no se
aplica ninguna fuerza. Calcula: a) el alargamiento que sufre al aplicar 50 N; b) la fuerza
que debe aplicarse para que el muelle mida 60 cm.
a)
F
50 N
l = — = ————— = 0, 25 m = 25 cm
k
200 N·m-1
b) l = 60 cm – 50 cm = 10 cm = 0,10 m
F = k · l = 200 N·m-1 · 0,10 m = 20 N
SUMA DE FUERZAS CONCURRENTES.
Sean FA = (4 i + 6 j) N y FB = (6 i + 2 j) N
La fuerza suma será:
FA+B = (10 i + 8 j) N
SUMA DE FUERZAS PARALELAS.
Al ser las fuerzas vectores deslizantes (se pueden trasladar en la misma dirección)
en fuerzas paralelas es imposible hacer el punto de aplicación de ambas fuerzas.
El módulo de la fuerza resultante es la suma (en fuerzas del mismo de la fuerza
resultante sentido) o la resta (en fuerzas de sentido contrario) de los módulos de cada
fuerza.
4
El Punto de aplicación de la fuerza resultante se obtiene aplicando la ley de la
palanca: F1· d1 = F2· d2, siendo d1 y d2 las distancias de las rectas que contienen las
fuerzas al Punto de Aplicación de la fuerza resultante.
El Punto de aplicación queda entre medias de las dos rectas paralelas en caso de
fuerza del mismo sentido o a un lado (el de la fuerza de mayor módulo) en caso de
fuerzas de sentido contrario.
Pueden ser:


Mismo sentido.
Sentido contrario.
Ejemplo:
En los extremos de una barra de 2 m de longitud se ejercen dos fuerzas paralelas y de
sentido contrario de 10 N y 20 N y perpendiculares a la barra. Determina a) el módulo de
la fuerza resultante; b) la distancia del punto de aplicación a fuerza de 10 N.
Sean F1 = 10 N y F2 = 20 N
a) R = F2 – F1 = 20 N – 10 N = 10 N
b) F1· d1 = F2· d2
Sustituyendo: 10 N · d1 = 20 N· (d1 –2 m)
10 N · d1 = 20 N · d1 – 40 N·m
10 N · d1 = 40 N·m
De donde:
40 N·m
d1 = ———— = 4,0 m
10 N
DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS
Normalmente, las fuerzas oblicuas a la
línea de movimiento se descomponen en una
5
fuerza paralela al movimiento PT = PT · uT (PT es la componente tangencial) y otra
perpendicular al mismo PN = PN · uN (PN es la componente normal)
Por ejemplo, el peso cuando actúa en un plano inclinado.
CÁLCULO DE COMPONENTES
P = PT + PN = PT · uT + PN · uN
El ángulo  que forman P y PN es el mismo de
la inclinación de la rampa (ambos lados
perpendiculares).
Por trigonometría se sabe que:
PT = P · sen 
;
PN = P · cos 
Ejemplo:
Calcula el valor de las componentes tangencial y normal del peso correspondiente a un
cuerpo de 5 kg colocado sobre un plano inclinado de 30º de inclinación.
sen 30º = 0,5; cos 30º = 0,866
PT = P · sen  = m · g · sen  ;
PN = P · cos  = m · g · cos 
Sustituyendo los datos:
PT = 5 kg · 9,8 m · s–2 · 0,5 = 24,5 N
;
PN = 5 kg · 9,8 m · s–2 · 0,866 = 42,4 N
MOMENTO DE UNA FUERZA.
Las fuerzas aplicadas en una dirección que no
pasa por el centro de gravedad de un objeto
producen un giro en éste.
Para medir la magnitud de este giro se define
Momento de una fuerza con respecto a un
punto O como un vector cuya dirección es
perpendicular al plano que forman O con la recta
dirección de F y el sentido lo marca la regla del
tornillo.

 
| M | = | F | · | r | · sen 
Su módulo vale M = F · r · sen  = F · d siendo “” el ángulo que forman los dos
vectores y “d” la distancia (más corta) de O a la recta dirección de F.
La unidad en el S.I. Es el N·m.
6
Ejemplo:
En los extremos de una barra de 2 m de longitud se ejercen dos fuerzas paralelas y de
sentido contrario de 10 N y 20 N y perpendiculares a la barra. a) Determina el módulo del
momento resultante de dichas fuerzas sobre el punto medio de la barra; b) Dibuja dicho
Momento.
a) Los Momentos de ambas fuerzas tienen
la misma dirección y sentido con lo que:
Mtotal = M1 + M2 = F1 · d1 + F2 · d2 =
= 10 N · 1,0 m + 20 N · 1,0 m =
10 N·m + 20 N·m = 30 N·m
PAR DE FUERZAS.
Es un sistema formado por dos fuerzas paralelas de igual módulo pero de sentido
contrario aplicadas sobre un sólido rígido.
Al ser fuerzas iguales y de sentido contrario la
fuerza resultante es nula con lo que no se produce
traslación.
Sin embargo, se produce un giro sobre el punto
medio de los P.A. de dichas fuerzas debido a que los
Momentos de las mismas tienen el mismo sentido y sus
módulos se suman.
d
d
M=F·— +F·—=F·d
2
2
en donde “d” es la distancia que separa las rectas dirección de ambas fuerzas (brazo
del par).
CONDICIONES GENERALES DE EQUILIBRIO.
Se llama “ESTÁTICA” a la parte de la Dinámica que estudia los cuerpos en equilibrio
(reposo o velocidad constante).
Para que un cuerpo esté en equilibrio deben cumplirse dos condiciones
simultáneamente:

  Fi = 0  No aceleración lineal. (traslación)

  Mi = 0  No aceleración tangencial. (rotación)
7
LA PALANCA Y LA POLEA.
Son máquinas que se basan en  Mi = 0
Palanca:
F1  d1 – F2  d2 = 0
F1  d1 = F2  d2
(ley de la palanca)
Polea:
Como d1 = d2 = R
 F1 = F2
Ejemplo:
En un balancín de 4 m de largo se columpian dos
niños de 20 y 30 kg en sus extremos ¿En dónde
se tendría que colocar un adulto de 70 kg para
lograr el equilibrio?
M=0
20 kp · 2 m + 70 kp · d – 30 kp · 2m = 0
30 kp · 2m – 20 kp · 2 m
d = ——————————— = 0,286 m
70 kp
TENSIÓN.
Siempre que hay objetos suspendidos o unidos por cuerdas, éstas
ejercen o transmiten sobre un cuerpo una fuerza debido a la acción del otro
cuerpo al que están unidas.
Esta fuerza se denomina “Tensión”.
Así, por ejemplo, si un cuerpo está suspendido de una cuerda ésta
ejerce sobre el cuerpo una fuerza igual al peso y de sentido contrario de
forma que la suma de ambas fuerzas sea nula.
Ejemplo:
Se desea colgar del techo un cuerpo de 2 kg de masa mediante
dos cuerdas igual de largas y que forman entre sí un ángulo de
60 º. Calcula la tensión que soporta cada cuerda.
Si el cuerpo está en equilibrio:
a = 0   F = T1 + T2 + P = 0
8
Descomponiendo en componentes cartesianas: P = –m ·g · j
T1 = T1x · i + T1y · j
T2 = T2x · i + T2y · j
Si  F = 0   Fx = 0 ;  Fy = 0
Las componentes cartesianas se obtienen a partir de T y del
ángulo :
T1x = T1 · cos 120º = –0,5 T1
T1y = T1 · sen 120º = 0,866 T1
T2x = T2 · cos 60º = 0,5 T2
T2y = T2 · sen 60º = 0,866 T2
 Fx = T1x + T2x = –0,5 T1 + 0,5 T2 = 0  T1 = T2
 Fy = T1y + T2y + P = 1,732 T1 – 19,6 N = 0  T 1 = T 2 = 11,3 N
FUERZAS NATURALES





Gravitatorias.
Eléctricas
Magnéticas.
Fuerza nucleares fuertes.
Fuerza nucleares débiles.
FUERZA GRAVITATORIA
Es la fuerza que mantiene unidos los astros y es responsable del movimiento de los
mismos.
Ley de gravitación universal (Newton):
m1  m2
N m2
F12 = –G ———— u1 ; G = 6,67 · 10–11 ———
d2
kg2
Normalmente, una vez determinado la dirección
y sentido nos limitamos a calcular el módulo cuya
expresión es:
m1  m2
F = G · ————
d2
9
Ejemplo:
¿Cuanto pesará una persona de 75 kg en la Luna sabiendo que la masa de ésta es
7,35·1022 kg y su radio de 1738 km? ¿y en Júpiter? (mJupiter = 2 ·1027 kg; rJupiter = 7 ·107 m)
m · mL
N m2 75 kg · 7,35·1022 kg
–11
PL = G · ——— = 6,67·10 —— · ————————— = 121,7 N
RLuna2
kg2
(1,738· 106 m)2
m · mL
N m2 75 kg · 2 ·1027 kg
–11
PJ = G · ——— = 6’67 · 10 —— · ———————— = 2047 N
RJúpiter2
kg2
(7· 107 m)2
Ejercicio:
Sabiendo que la masa del sol es 1,99 · 10 30 kg y la fuerza con que atrae a la Tierra es de
3,54·1022 N, calcular la distancia del Sol a la Tierra?
m · mL
d2 = G · ———
F
d2
=
N m2 5,97· 1024 kg · 1,99 · 1030 kg
· —————————————  d = 1,49 ·1011 m
2
kg
3,54 · 1022 N
6’67·10–11 ——

PESO (P)
“Es la fuerza con la que la Tierra atrae a los objetos que están en su proximidad”.
Si los cuerpos están cerca de la superficie terrestre, la aceleración que sufren dichos
cuerpos es más o menos constante y se denomina “gravedad”



P = m · g = m · (–9,8 m/s2 ) · j
La componente cartesiana del peso es siempre negativa, pues la masa sólo puede
ser positiva, lo que indica que está dirigida siempre hacia abajo.

GRAVEDAD Y CAMPO GRAVITATORIO (g).
Newton es el primero en darse cuenta que la
fuerza que atrae a dos astros haciendo giran uno con
respecto a otro es la misma que provoca la caída de
los cuerpos (peso). Igualando ambas fuerzas para un
objeto situado en la superficie terrestre:
10

m · mTierra 


F = –G · ————— · u = – m g u = m g
RTierra2
siendo u un vector unitario perpendicular a la superficie terrestre hacia el exterior.
mTierra
N m2 5’97· 1024 kg
–11
g = G · ——— = 6’67 · 10 —— · —————— = 9’8 m/s2
RTierra2
kg2 (6’38· 106 m)2
El campo gravitatorio es el vector g = – g· u., es decir tiene la misma dirección que la
fuerza (dirigido hacia el centro).
F
M
g = — = – G · —— · u
m
d2
El módulo de “g” depende pues de la masa y de la distancia al centro del planeta a
la que esté situado el objeto.
Ejemplo:
¿Cuanto valdrá el módulo del campo gravitatorio (gravedad) en la órbita geoestacionaria
situada a 36200 km de altura? (mT = 5,97 ·1024 kg; rT = 6,38 ·106 m; G = 6,67 · 10–11
N·m2/kg2).
mT
mT
g = G · —— = G · ————
d2
(RT + h)2
g = 6,67 ·
N m2
5,97· 1024 k g
· ————————————— = 0,22 m/s2
2
kg
(6,38 ·106 m + 3,62 ·107 m)2
10–11 ——
Ejercicio:
Calcula el módulo de la fuerza que sufrirá una nave espacial de 80 toneladas y módulo del
campo gravitatorio en un punto situado a 1/4 parte de la distancia que une la Tierra y la
Luna desde la Luna y en el segmento entre ambos astros. Haz un esquema de la fuerza y
del campo. (G = 6,67 · 10–11 N·m2·kg–2. Distancia Tierra-Luna: d = 3,84·108 m; MT = 5,98 ·
1024 kg; ML = 7,47 · 1022 kg)
MT
N m2 5’98· 1024 kg
–11
gT = G · —— = 6’67 · 10 —— · —————— = 0,00481m/s2
d2
kg2 (2,88· 108 m)2
11
ML
N m2 7,47· 1022 kg
–11
gL = G · —— = 6’67 · 10 —— · —————— = 0,00054 m/s2
d2
kg2 (9,6· 107 m)2
g = gT – gL = 0,00481m/s2 – 0,00054 m/s2 = 0,00427 m/s2
F = m · g = 80000 kg · 0,00427m/s2 = 341,6 N
CARGA ELÉCTRICA.





Es una propiedad de la materia.
Puede ser positiva o negativa según el cuerpo tenga defecto o exceso de electrones.
Puede trasmitirse de unos cuerpos a otros bien por contacto, o incluso, a distancia, al
producirse descargas (rayos).
Son los electrones las partículas que pasan de unos cuerpos a otros.
Se mide en culombios. (C). La carga de un electrón es –1’6 · 10–19 C.
LEY DE COULOMB.
 Cargas del mismo signo se repelen entre sí.
 Cargas de distinto signo se atraen entre sí.
La fuerza con que se atraen o repelen dos cargas vienen determinada por la ley de
Coulomb:
q1 · q2
N · m2
F12 = – F21 = K · ——— · ; K = 9 · 109 ———
d2
C2
en donde K depende del medio y u12 es un vector unitario cuya dirección es la línea
que une las cargas q1 y q2 y el sentido va de 1 hacia 2.
Normalmente, una vez determinado la dirección y sentido nos limitamos a calcular el
módulo cuya expresión: (no es preciso poner signo a las cargas)
q1 · q2
F = K · ———
d2
;
K=9·
109
N · m2
———
C2
Si existen dos cargas que actúan sobre una tercera, habrá que sumar las fuerzas
que cada una ejerce sobre la tercera de manera vectorial.
Las fuerzas eléctricas tienen valores muy superiores a las gravitatorias y unen el
“microcosmos”.
Ejemplo:
¿Qué fuerza actuará sobre una carga de –2 C situada en (0,0) si situamos dos cargas en
(0, –1) y (1,0) de 3 C y 5 C respectivamente? Las unidades se toman en metros.
Sean q1 = –2 C; q2 = 3 C; q3 = 5 C
12
q1 · q2
N · m2 –2·10–6 C · 3·10–6 C
9
F21 = K ——— j = 9 · 10 ——— · ————————— j
d2
C2
1 m2
q1 · q3
N ·m2 –2·10–6 C · 5·10–6 C
9
F31 = K ——— (–i) = 9·10 ——— · ————————— (–i)
d2
C2
1 m2
F21 = –0,054 N j ; F31 = 0,090 N i ;
F1 = (0,090 i – 0,054 j) N
F1 = (F212 + F312)½ = [(–0,054 N)2 + (0,090 N)2]½ = 0,105 N
 = arctg [0,090/(–0,054)] = –(59º 2’ 10”)
Ejercicio:
¿Qué fuerza actuará sobre una fuerza de 5 C al situar a 5 cm de la misma otra de –2 C
en el vacío? Haz un esquema de las cargas y la fuerza indicando la dirección y el sentido
de la misma.
q1 · q2
N · m2 2·10–6 C · 5·10–6 C
F = K · ——— = 9 · 109 ——— · —————————
d2
C2
(0,05 m)2
F = 36 N
Ejercicio:
¿A qué distancia en el vacío estarán colocadas dos cargas de 3 C y 6 C para que se
repelar con una fuerza cuyo módulo es de 3 N?
d2
q1 · q2
N m2 3·10–6 C · 6 ·10–6 C
9
= K · ——— = 9·10 —— · ————————— = 0,054 m2
F
C2
3N
Realizando la raíz cuadrada se tiene: d = 0,23 m

CAMPO ELÉCTRICO (E)
Al igual que g = F/m, el campo eléctrico E
es el cociente entre la fuerza F y la carga sobre
la que actúa la carga generadora del campo.
F
Q
E = — = K · —— · u
q
d2
A diferencia de “g”, “E” puede estar
dirigido hacia el exterior si Q es positiva y hacia
el interior si Q es negativa.
13
Ejemplo:
Dos cargas eléctricas de +10 C y –30 C están situadas en (0,0) y (3,0) respectivamente. Calcula el valor del campo eléctrico en (1,0). Las unidades se toman en metros.
E  E1  E2  K
2
1105 C
q1
q2
3 105 C
9 N m
u

K
u

9

10

u

u1

1
2
1
2
2
d12
d 22
C2
 2 m
 1 m 
 



E  157500 N  C 1 u1
OTRAS FUERZAS NATURALES
Fuerza magnética:


Se produce entre imanes o cargas en movimiento.
Va unida a la eléctrica por lo que hablamos de fuerza “electromagnética”.
Fuerza nuclear fuerte:



Son las más intensas de todas.
Son las responsables de la unión de nucleones (protones y neutrones) en el núcleo.
Tienen un alcance del orden de 10–15 m.
Fuerza nuclear débil:


Son las responsable de la desintegración radiactiva.
Tienen un alcance del orden de 10–17 m.