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FUERZA E INTERACCIÓN
Unidad 13
Contenidos (1).
1.- Evolución histórica del concepto de fuerza
(concepciones pregalineanas).
2.- Naturaleza de las fuerzas
2.1. Carácter vectorial de la fuerza.
2.2. Medida de las fuerzas.
2.3. Fuerza elástica. Ley de Hooke.
3.- Fuerza resultante.
3.1. Composición de fuerzas concurrentes.
3.2. Composición de fuerzas paralelas.
3.3. Descomposición de fuerzas.
Componentes normal y tangencial.
2
3
Contenidos (2).
4.- Momento de una fuerza.
4.1.
Par de fuerzas.
5.- Condiciones generales de equilibrio.
5.1.
Palanca y polea.
6.- Interacción gravitatoria. Ley de gravitación
universal. Peso de un cuerpo.
Campo gravitatorio.
7.- Interacción eléctrica. Ley de Coulomb.
Campo eléctrico.
Evolución histórica del
concepto de Fuerza
Aristóteles
 Galileo
 Newton
 Definición actual

4
5
Aristóteles

Diferencia entre movimientos:
– Naturales (caída libre, rotación de planetas).
No precisan, al igual que en reposo, la
existencia de fuerzas.
– No naturales. Precisan de fuerzas (aunque
sean uniformes).
 Si se lanza un objeto, la fuerza existiría mientras
exista movimiento
6
Galileo
“Las fuerzas son las causantes de los
cambios de velocidad”.
 Por tanto, en el MRU, en donde v es
constante no es preciso la existencia de
fuerzas.
 En cambio, en el MCU, v sí que varía pues
aunque no cambie su módulo sí que cambian
la dirección y el sentido constantemente. Por
tanto, necesita F.
 Igualmente un MRUA o un MCUA precisan la
existencia de fuerzas.

7
Newton
Además de las fuerzas por contacto “vis
impresa” existen las fuerzas que actúan a
distancia “vis centrípeta” (incluso en el
vacío).
 Un ejemplo de estas últimas son las “fuerzas
gravitatorias” que gobiernan el movimientos
de los planetas.
 El peso de los cuerpos es una fuerza
gravitatoria en donde uno de los objetos es
siempre la Tierra.

Definición actual de Fuerza.
Concepto de Dinámica.
 Fuerza “es toda acción capaz de
cambiar el el estado de reposo o de
movimiento, o de producir en él alguna
deformación”.
 Dinámica “es la ciencia que estudia el
movimiento, pero atendiendo a las
causas que los producen, es decir, las
fuerzas”.
8
Carácter vectorial de las
fuerzas.


La fuerza F es una magnitud vectorial ya
que posee además de un valor concreto
(módulo) una dirección y un sentido
determinados.
 Por tanto puede expresarse como:





F = Fx· i + Fy· j + Fz· k
9
10
Medida de las fuerzas. Unidades.

La unidad de medida de las fuerzas en el Sistema
Internacional es el Newton (N) que es la fuerza
aplicada a 1kg de masa para que adquiera una
aceleración de 1 m/s2.

m
N = Kg · ——
s2


Otra unidad de fuerza muy usada es el kilopondio
(kp) (normalmente llamado “kilo”).
1 kp = 9,8 N
11
Fuerza elástica.
Al estirar un muelle, la deformación
de éste es proporcional a la fuerza
aplicada. En esta propiedad se
basan los dinamómetros para saber
la fuerza que se aplica sobre ellos.
 La expresión matemática se conoce
como Ley de Hooke:

Felast. = – k · r

“k” se conoce como constante
elástica y depende lógicamente del
tipo de muelle.
Felast.
r
12
Fuerza elástica (cont).

La fuerza que hay que aplicar para estirar o
comprimir el muelle (fuerza deformadora) es
igual y de sentido contrario ( k · r ).
 Normalmente, sólo es necesario calcular el
módulo de dicha fuerza. Como el módulo del
vector desplazamiento de un punto situado al
final del muelle es la variación de longitud del
mismo:

F = k · l = k ·|l –l0|.
13
Fuerza elástica (cont).
Hay una fuerza límite, a
partir de la cual el muelle
deja de comportarse como
elástico.
 Por encima de esta fuerza
se encuentra el límite de
fractura.

F
x
x0
(long. inicial del muelle)
14
Un muelle de constante elástica de
200 N/m tiene una longitud de 50 cm cuando no se
aplica ninguna fuerza. Calcula: a) el alargamiento
que sufre al aplicar 50 N; b) la fuerza que debe
aplicarse para que el muelle mida 60 cm.
Ejemplo:
a)
F
50 N
l = — = —————
= 0, 25 m = 25 cm
-1
k
200 N·m
b) l = 60 cm – 50 cm = 10 cm = 0,10 m
F = k · l = 200 N·m-1 · 0,10 m = 20 N
15
Suma de fuerzas concurrentes.





Sean
FA = (4 i + 6 j) N
FB = (6 i + 2 j) N
La fuerza suma
será:
FA+B = (10 i + 8 j) N
Fy
10
5 FA
FA*B
FB 5
10
Fx
16
Suma de fuerzas paralelas.

Al ser las fuerzas vectores deslizantes (se pueden
trasladar en la misma dirección) en fuerzas
paralelas es imposible hacer el punto de aplicación
de ambas fuerzas.
 El módulo de la fuerza resultante es la suma (en
fuerzas del mismo de la fuerza resultante sentido) o
la resta (en fuerzas de sentido contrario) de los
módulos de cada fuerza.
17
Suma de fuerzas paralelas.
El Punto de aplicación de la fuerza resultante
se obtiene aplicando la ley de la palanca:
F1· d1 = F2· d2, siendo d1 y d2 las distancias de las
rectas que contienen las fuerzas al Punto de
Aplicación de la fuerza resultante.
 El Punto de aplicación queda entre medias de las
dos rectas paralelas en caso de fuerza del mismo
sentido o a un lado (el de la fuerza de mayor
módulo) en caso de fuerzas de sentido contrario.

18
Suma de fuerzas paralelas.


Mismo sentido
d1
d2
d1

F2

F1
 
F1 + F2
Sentido contrario
 
F1 – F2 
F1
d2

F2
En los extremos de una barra de 2 m de 19
longitud se ejercen dos fuerzas paralelas y de sentido
contrario de 10 N y 20 N y perpendiculares a la barra.
Determina a) el módulo de la fuerza resultante; b) la
distancia del punto de aplicación a fuerza de 10 N.
Ejemplo:
Sean F1 = 10 N y F2 = 20 N
a) R = F2 – F1 = 20 N – 10 N = 10 N
b) F1· d1 = F2· d2
Sustituyendo: 10 N · d1 = 20 N· (d1 –2 m)
10 N · d1 = 20 N · d1 – 40 N·m
10 N · d1 = 40 N·m
De donde:
40 N·m
d1 = ———— = 4,0 m
10 N
20
Descomposición de fuerzas

Normalmente, las fuerzas
oblicuas a la línea de
movimiento se descomponen
en una fuerza paralela al
uT
movimiento PT = PT · uT
PT
uN
(PT es la componente
PN
tangencial) y otra
perpendicular al mismo
P
PN = PN · uN
(PN es la componente normal)
 Por ejemplo, el peso cuando
actúa en un plano inclinado.
21
Cálculo de componentes
P = PT + PN = PT · uT + PN · uN
 El ángulo  que forman P y PN es el
mismo de la inclinación de la rampa
(ambos lados perpendiculares).
 Por trigonometría se sabe que:
PT
P
PT = P · sen 
 N
PN = P · cos 


P
22
Calcula el valor de las componentes
tangencial y normal del peso correspondiente a un
cuerpo de 5 kg colocado sobre un plano inclinado
de 30º de inclinación.
sen 30º = 0,5;
cos 30º = 0,866
PT = P · sen  = m · g · sen  ;
PN = P · cos  = m · g · cos 
Sustituyendo los datos:
PT = 5 kg · 9,8 m · s–2 · 0,5 = 24,5 N
PN = 5 kg · 9,8 m · s–2 · 0,866 = 42,4 N
Ejemplo:
PT = 24,5 N
PN = 42,4 N
23
Momento de una fuerza.
Las fuerzas aplicadas en una dirección que no
pasa por el centro de gravedad de un objeto
producen un giro en éste.
 Para medir la magnitud de este giro se define
Momento de una fuerza con respecto a un punto
O como un vector cuya dirección es
perpendicular al plano que forman O con la recta
dirección de F y el sentido lo marca la regla del
tornillo.
 
 
| M | = | F | · | r | · sen 

24
Momento de una fuerza.
Su módulo vale
M = F · r · sen  = F · d
siendo “” el ángulo
que forman los dos
vectores y “d” la
distancia (más corta)
de O a la recta
dirección de F.
 La unidad en el S.I. Es
el N·m.

En los extremos de una barra de 2 m de 25
longitud se ejercen dos fuerzas paralelas y de
sentido contrario de 10 N y 20 N y perpendiculares a
la barra. a) Determina el módulo del momento
resultante de dichas fuerzas sobre el punto medio de
la barra; b) Dibuja dicho Momento.
Ejemplo:
a) Los Momentos de ambas
fuerzas tienen la misma
dirección y sentido con lo
que Mtotal = M1 + M2
Mtotal = F1 · d1 + F2 · d2 =
10 N · 1,0 m + 20 N · 1,0 m =
10 N·m + 20 N·m 
Mtotal = 30 N·m
b)
Mtotal
M2
M1
F2
F1
26
Par de fuerzas.

Es un sistema formado por dos fuerzas paralelas
de igual módulo pero de sentido contrario
aplicadas sobre un sólido rígido.
 Al ser fuerzas iguales y de sentido contrario la
fuerza resultante es nula con lo que no se produce
traslación.
 Sin embargo, se produce un giro sobre el punto
medio de los P.A. de dichas fuerzas debido a que
los Momentos de las mismas tienen el mismo
sentido y sus módulos se suman.
27
Par de fuerzas.


d
d
M=F·— +F·—=F·d
2
2
en donde “d” es
la distancia que
separa las
rectas dirección
de ambas
fuerzas (brazo
del par).
Condiciones generales de
equilibrio.
28
Se llama “ESTÁTICA” a la parte de la Dinámica
que estudia los cuerpos en equilibrio (reposo o
velocidad constante).
 Para que un cuerpo esté en equilibrio deben
cumplirse dos condiciones simultaneamente:




 Fi = 0  No aceleración lineal. (traslación)

 Mi = 0  No aceleración tangencial. (rotación)
29
La palanca y la polea.
d1
F1
R
d2
F2
F1
F2
Son máquinas que se basan
en  Mi = 0
 Palanca:
 Polea:
• F1 · d1 – F2 · d2 = 0
–Como d1 = d2 = R

• F1 · d1 = F2 · d2
(ley de la palanca)
– F1 = F2
Ejemplo: En un balancín de 4 m de largo se
30
columpian dos niños de 20 y 30 kg en sus extremos
¿En dónde se tendría que colocar un adulto de 70 kg
para lograr el equilibrio?
120 kp
2m
20 kp
d
2m
30 kp
70 kp
M=0
20 kp · 2 m + 70 kp · d – 30 kp · 2m = 0
30 kp · 2m – 20 kp · 2 m
d = ——————————— = 0,286 m
70 kp
31
Tensión.

Siempre que hay objetos suspendidos o
unidos por cuerdas, éstas ejercen o
transmiten sobre un cuerpo una fuerza
debido a la acción del otro cuerpo al que
están unidas.
 Esta fuerza se denomina “Tensión”.
 Así, por ejemplo, si un cuerpo está
suspendido de una cuerda ésta ejerce
sobre el cuerpo una fuerza igual al peso y
de sentido contrario de forma que la suma
de ambas fuerzas sea nula.
T
P
Ejemplo:
Se desea colgar del techo
un cuerpo de 2 kg de masa mediante
dos cuerdas igual de largas y que
forman entre sí un ángulo de 60 º.
T1
Calcula la tensión que soporta cada
cuerda.
32
T2
P
Si el cuerpo está en equilibrio: a = 0
  F = T1 + T2 + P = 0
T1y T2y
Descomponiendo en componentes
60º
60º
cartesianas: P = –m ·g · j
T1x
T2x
T1 = T1x · i + T1y · j
T2 = T2x · i + T2y · j
P
Si  F = 0   Fx = 0 ;  Fy = 0
(continúa en diapositiva siguiente)
33
Ejemplo:
Se desea colgar del techo
un cuerpo de 2 kg de masa mediante
dos cuerdas igual de largas y que
forman entre sí un ángulo de 60 º.
Calcula la tensión que soporta cada
cuerda.
T1
T2
P
Las componentes cartesianas se
obtienen a partir de T y del ángulo :
T1x = T1 · cos 120º = –T1/2
T1y T2y
–
60º
T1y = T1 · sen 120º = 3/2 T1
60º
T2x = T2 · cos 60º = T2/2
T1x
T2x
–
T2y = T2 · sen 60º = 3/2 T2
P
 Fx = T1x + T2x = –T1/2 + T2/2 = 0  T1 = T2
–
 Fy = T1y + T2y + P = 3 T1 – 19,6 N = 0 
T 1 = T 2 = 11,3 N (viene de diapositiva anterior)
34
Fuerzas naturales





Gravitatorias.
Eléctricas
Magnéticas.
Fuerza nucleares fuertes.
Fuerza nucleares débiles.
35
Fuerza gravitatoria



Es la fuerza que mantiene unidos los astros responsable del
movimiento de los mismos.
Ley de gravitación universal (Newton):
m 1 · m2
m1
F12 = – G · ————
u
1
m2
d2
F21 u1
F12
2
N· m
–11
G = 6’67 · 10 ———
u2
kg2
Normalmente, una vez determinado
la dirección y sentido nos limitamos
a calcular el módulo cuya expresión es:
m1 · m2
F = G · ————
d2
d
Ejemplo: ¿Cuanto pesará una persona de 75 kg
36
en la Luna sabiendo que la masa de ésta es
7,35 ·1022 kg y su radio de 1738 km? ¿y en Júpiter?
(mJupiter = 2 ·1027 kg; rJupiter = 7 ·107 m)
2 75 kg · 7,35·1022 kg
m · mL
N
m
–11 —— · ————————— =
PL = G · ———
=
6’67·10
RLuna2
kg2
(1,738· 106 m)2
PL = 121,7 N
2 75 kg · 2 ·1027 kg
m · mj
N
m
PJ = G · ———2= 6’67 · 10–11 ——
· ————————
=
2
7
2
RJúpiter
kg
(7· 10 m)
PJ = 2042 N
Ejercicio: Sabiendo que la masa del sol es
37
1,99 · 1030 kg y la fuerza con que atrae a la Tierra
es de 3,54 · 1022 N, calcular la distancia del Sol a
la Tierra? (mTierra = 5,97· 1024 kg)
d2
mT · mS
= G · ———
F
2 5,97 1024 kg · 1,99 · 1030 kg
N
m
·
2
–11
d = 6’67·10 ——2 · —————————————
kg
3,54 · 1022 N
d = 1,50 ·1011 m

38
Peso (P)
“Es la fuerza con la que la Tierra atrae a los
objetos que están en su proximidad”.
 Si los cuerpos están cerca de la superficie
terrestre, la aceleración que sufren dichos cuerpos
es más o menos constante y se denomina
“gravedad”





P = m · g = m · (–9,8

m/s2 ) ·
j
La componente cartesiana del peso es siempre
negativa, pues la masa sólo puede ser positiva, lo
que indica que está dirigida siempre hacia abajo.
Variación del peso con la
distancia (en km)
39
Newton
Gravedad.



40
Newton es el primero en darse cuenta que la fuerza
que atrae a dos astros haciendo giran uno con
respecto a otro es la misma que provoca la caída de
los cuerpos (peso). Igualando ambas fuerzas para
un objeto situado en la superficie terrestre:

m · mTierra 

 Gravitación
F = –G · —————
· u = – m · g· u = m · g
(Encarta)
2
RTierra
siendo u un vector unitario perpendicular a la
superficie terrestre hacia el exterior.
2 5’97 1024 kg

mTierra
N
m
·
–11
g = G · ———2 = 6’67 · 10 ——2 · ——————
RTierra
kg (6’38· 106 m)2

g = 9’8 m/s2

41
Campo gravitatorio (g).

El campo gravitatorio es el
vector g = – g· u., es decir
tiene la misma dirección
que la fuerza (dirigido
hacia el centro).


F
M 
g = — = – G · ——
·u
2
m
d

El módulo de “g” depende
pues de la masa y de la
distancia al centro del
planeta a la que esté
situado el objeto.
g2
u
g1
Ejemplo: ¿Cuanto valdrá el módulo del campo
42
gravitatorio (gravedad) en la órbita geoestacionaria
situada a 36200 km de altura? (mT = 5,97 ·1024 kg;
rT = 6,38 ·106 m; G = 6,67 · 10–11 N·m2/kg2).
mT
mT
g = G · ——
= G · ————2
2
d
(RT + h)
2
24 k g
N
m
5,97
10
·
–11
g = 6,67 · 10 ——
· —————————————
2
kg
(6,38 ·106 m + 3,62 ·107 m)2
g = 0,22 m/s2
Ejercicio: Calcula el módulo de la fuerza que sufrirá una
43
nave espacial de 80 toneladas y módulo del campo gravitatorio
en un punto situado a 1/4 parte de la distancia que une la Tierra
y la Luna desde la Luna y en el segmento entre ambos astros.
Haz un esquema de la fuerza y del campo.
(G = 6,67 · 10–11 N·m2·kg–2. Distancia Tierra-Luna:
d = 3,84·108 m; MT = 5,98 · 1024 kg; ML = 7,47 · 1022 kg)
gT
gL
Luna
Tierra
g
2 5’98 1024 kg
MT
N
m
·
2
gT = G · —2 = 6’67 · 10–11 ——
·
——————
=0,00481m/s
d
kg2 (2,88· 108 m)2
2 7,47· 1022 kg
ML
N
m
2
gL = G · —2 = 6’67 · 10–11 ——
·
——————
=0,00054
m/s
d
kg2 (9,6· 107 m)2
g = gT – gL = 0,00481m/s2 – 0,00054 m/s2 = 0,00427 m/s2
F = m · g = 80000 kg · 0,00427m/s2 = 341,6 N
Carga eléctrica.





Es una propiedad de la materia.
Puede ser positiva o negativa según el
cuerpo tenga defecto o exceso de electrones.
Puede trasmitirse de unos cuerpos a otros
bien por contacto, o incluso, a distancia, al
producirse descargas (rayos).
Son los electrones las partículas que pasan
de unos cuerpos a otros.
Se mide en culombios. (C). La carga de un
electrón es –1’6 · 10–19 C.
44
45
Ley de Coulomb.
Cargas del mismo signo se repelen entre sí.
 Cargas de distinto signo se atraen entre sí.
 La fuerza con que se atraen o repelen dos cargas
vienen determinada por la ley de Coulomb:
q1 · q 2
N · m2
9 ———
F12 = – F21 = K ·———
·
u
;
K
=
9
·
10
12
d2
C2


en donde K depende del medio y u12 es un vector
unitario cuya dirección es la línea que une las
cargas q1 y q2 y el sentido va de 1 hacia 2.
46
Ley de Coulomb (cont.)
Normalmente, una vez determinado la dirección y
sentido nos limitamos a calcular el módulo cuya
expresión: (no es preciso poner signo a las cargas)
2

q1 · q2
N
·
m
9 ———
F = K · ———
;
K
=
9
·
10
d2
C2

Si existen dos cargas que actúan sobre una tercera,
habrá que sumar las fuerzas que cada una ejerce
sobre la tercera de manera vectorial.
 Las fuerzas eléctricas tienen valores muy
superiores a las gravitatorias y unen el
“microcosmos”

Ejemplo: ¿Qué fuerza actuará sobre una carga
47
de –2 C situada en (0,0) si situamos dos cargas
en (0, –1) y (1,0) de 3C y 5C respectivamente?
Las unidades se toman en metros.
Sean q1 = –2 C; q2 = 3 C; q3 = 5 C
q1 = –2 C
(0,0)
F21
F31
F1
q2 = 3 C
(0,–1)
q3 = 5 C
(1,0)
Ejemplo: ¿Qué fuerza actuará sobre una carga
48
de –2 C situada en (0,0) si situamos dos cargas
en (0, –1) y (1,0) de 3C y 5C respectivamente?
Las unidades se toman en metros.
Sean q1 = –2 C; q2 = 3 C; q3 = 5 C
2 –2·10–6 C · 3·10–6 C
q1 · q2
N
·
m
9 ——— · ————————— ·j
F21 = K · ———
·j
=
9
·
10
d2
C2
1 m2
2
–6 C · 5·10–6 C
q1 · q3
N
·m
–2·10
9 ——— · ————————— ·(–i)
F31 = K·———
·(–i)
=
9·10
d2
C2
1 m2
F21 = –0,054 N j ; F31 = 0,090 N i ;
F1 = (0,090 i – 0,054 j) N
F1 = (F212 + F312)½ = [(–0,054 N)2 + (0,090 N)2]½ =
F1 = 0,105 N
 = arctg [0,090/(–0,054)] = –(59º 2’ 10”)
Ejercicio: ¿Qué fuerza actuará sobre una fuerza
49
de 5C al situar a 5 cm de la misma otra de –2 C
en el vacío? Haz un esquema de las cargas y la
fuerza indicando la dirección y el sentido de la
misma.
2 2·10–6 C · 5·10–6 C
q1 · q2
N
·
m
9 ——— · —————————
F = K · ———
=
9
·
10
d2
C2
(0,05 m)2
F = 36 N
–2 C
1
F12
5 C
2
Ejercicio: ¿A qué distancia en el vacío estarán
50
colocadas dos cargas de 3C y 6C para que se
repelar con una fuerza cuyo módulo es de 3 N?
d2
q1 · q2
= K · ———
F
2 3·10–6 C · 6 ·10–6 C
N
m
2
d2 = 9·109 ——
·
—————————
=
0,054
m
C2
3N
Realizando la raiz cuadrada se tiene:
d = 0,23 m
51

Campo eléctrico (E)


Al igual que g = F/m, el campo
eléctrico E es el cociente entre
la fuerza F y la carga sobre la
que actúa la carga generadora
del campo.
F
Q
E = — = K · ——
·u
2
q
d
A diferencia de “g”, “E” puede
estar dirigido hacia el exterior
si Q es positiva y hacia el
interior si Q es negativa.
u
+
u
E
–
E
52
cargas eléctricas de +10 C y
–30C están situadas en (0,0) y (3,0) respectivamente. Calcula el valor del campo eléctrico en (1,0).
Las unidades se toman en metros.
Ejemplo: Dos
q1 = +10 C

(0,0)
u1



q2 = – 30 C
(3,0)

E2
(1,0) 
E1

E
u2

q1 
q2 
E = E1 + E2 = K · ——·
u1+ K · ——
u2
2
2
d1
d2
2 10 ·10–6 C 
–6 C
N
·
m
–30
·10

9
E = 9 ·10 ———
—————
u
+
—————
(–u
)
1
1
C2
(1 m)2
(2 m)2


E = 157500 N ·
C–1

u1
Otras fuerzas naturales

53
Fuerza magnética:
– Se produce entre imanes o cargas en movimiento.
– Va unida a la eléctrica por lo que hablamos de fuerza
“electromagnética”.

Fuerza nuclear fuerte:
– Son las más intensas de todas.
– Son las responsables de la unión de nucleones
(protones y neutrones) en el núcleo.
– Tienen un alcance del orden de 10–15 m.

Fuerza nuclear débil:
– Son las responsable de la desintegración radiactiva.
– Tienen un alcance del orden de 10–17 m.