Download el conjunto de los números enteros

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TEMAS: EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
”Aprender es la ocupación más universal e importante del hombre; la gran tarea de la
niñez y la juventud, y el único medio de progreso en cualquier periodo de la vida.” Kelly
Joven estudiante, vas a iniciar un nuevo método de estudio, en el cual lo más importante es el
deseo que tengas de superarte; ya que el éxito del mismo depende de la responsabilidad,
esmero y entusiasmo con que desarrolles este módulo.
No hay que olvidar que cada persona aprende de una manera determinada con un ritmo
personal y unas motivaciones específicas. Nadie puede aprender por otro. Por tanto, es
importante que estudies los temas y practiques, con el fin de presentar la prueba sumativa en
donde logres resolver un gran número de ejercicios.
Durante el desarrollo del módulo, encuentras teorías, ejemplos; con todos los pasos necesarios,
actividades que debes realizar, seguida de una práctica para verificar si has aprendido el
tema.
Si tienes alguna duda inicialmente consulta la bibliografía facilitada, como siguiente paso con
tu profesor y puedes resolver tus dudas en los días que citaremos para inducciones y
ejercicios.
El módulo instruccional permite transmitir conocimientos sin el intermedio directo del docente,
respetando las características individuales. Además el tiempo del aprendizaje lo determina
cada persona de acuerdo a su voluntad para aprender.
Además, hemos facilitado el camino hacia los nuevos conceptos mediante la explicación de los
ejemplos conducentes y mediante los pasos lógicos que llevan a la resolución de problemas y
actividades sugeridas
Puesto que resulta difícil cubrir todo el campo de las Matemáticas de 7° grado, en el curso
regular que generalmente se le asigna, y existen diferencias considerables entre el sistema
que desarrollaremos con este módulo, que quedan así a modo de resúmenes con puntos de
consulta fácilmente accesibles.
Con el propósito de ofrecer nuestra cooperación en el desarrollo de la Educación Nacional de
nuestro país, entregamos este módulo instruccional, a los estudiantes que deben Matemáticas
de séptimo grado y que no pueden realizarla en el horario regular por diversos motivos; el
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mismo cumple con los objetivos del programa vigente y actualizado del Ministerio de
Educación de la República de Panamá.
Será tarea de los jóvenes estudiantes y sus padres darle los medios necesarios para que
desarrollen éste módulo instruccional, y así logren obtener la meta propuesta.
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TABLA DE CONTENIDOS
I.
El Conjunto de los Números enteros
1.
Concepto de los números enteros
2.
Representación de los números enteros como puntos en una recta
3.
Números Opuestos
4.
Valor absoluto
5.
Orden entre los números enteros
6.
Adición de Números enteros
a. Propiedades de la adición
7.
Sustracción de Números enteros
8.
Multiplicación de Números enteros
a. Propiedades de la Multiplicación
9.
División de Números enteros
10.
Potenciación de Números enteros
a. Propiedades de la Potenciación de Números enteros
11.
Radicación de Números enteros
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INFORMACIÓN PARA EL ESTUDIANTE
Estimado estudiante, al trabajar con este módulo, debes organizar tu tiempo para que cada
día puedas revisar los temas, convirtiendo esto en un hábito personal, consciente y sobre todo
voluntaria.
Es importante que acondiciones un lugar con ambiente tranquilo y limpio para que desarrolles
o personalices una Técnica apropiada de estudio con el fin de analizar, sintetizar y aplicar
aquellos datos de la teoría para resolver las actividades. Ya que en el campo educativo el
estudiante debe adquirir unos conocimientos más profundos y duraderos, así como un dominio
para manejarlos cuando lo precise. No se trata, pues, sólo de “tragar conocimientos”, sino
de aprender y que la información acumulada sea útil.
¿Qué hacer para desarrollar este módulo?
 Lee y analiza el texto: en cada tema encontrarás conceptos de los términos utilizados y
explicaciones resumidas sobre el mismo, con esto se busca que tengas una visión del tema
tratado
 Investiga y amplia tus conocimientos, en sitios web, textos folletos, de manera que tu
entusiasmo sobre el tema te lleve a adquirir más información que la resumida en este
módulo, y así abrir discusiones con tus compañeros. Al finalizar este módulo, se presenta la
bibliografía utilizada que te guiará en este camino.
 Examina los ejemplos y compáralos con la teoría estudiada, reconoce los pasos para
desarrollar las prácticas adjuntas
 Desarrolla las prácticas incluidas después de los temas en este módulo, con las cuales
adquirirás dominio del tema estudiado
 Realiza las actividades sugeridas en casa, que perfeccionaran tus conocimientos y te
prepararás mejor para las pruebas programada
 Cuando los pasos anteriores estén dominados, estarás preparado/a para las pruebas
respectivas de cada tema, que además de obtener evaluaciones sumativas te indicarán tu
evolución con respecto al módulo de aprendizaje.
 Al final del Bimestre realizarás una prueba Bimestral con la cual terminaremos este módulo
La metodología del módulo se caracteriza por una presentación clara y resumida de cada
tema, de fácil comprensión, ya que se hace uso de un vocabulario sencillo, al alcance de los
estudiantes, con la finalidad de reducir al mínimo las dificultades propias de la materia y que
harán que el aprendizaje de la matemática resulte más agradable e interesante.
Al desarrollar este módulo de aprendizaje con prácticas y actividades; con las exigencias y
guías de tu Profesora de Matemáticas, estarás realizando un camino paralelo al de los
estudiantes regulares de 7° grado, que se convertirá en tu herramienta para pasar esta
materia.
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INTRODUCCIÓN
Este módulo Instruccional está estructurado para un bimestre y esta basado en el Conjunto de
los Números Enteros, reglas y propiedades para desarrollar operaciones del mismo.
Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye
números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así
los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos
interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto enteros negativos
que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de
restar a 0 un número natural).
Los enteros se representan gráficamente en la recta de números enteros como puntos a un
mismo espacio entre sí desde menos infinito, ..., -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3,... hasta más infinito: los
números enteros no tienen principio ni fin.
Los números negativos pueden aplicarse en distintos contextos, como la representación de
deudas, profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, entre otros. Inicialmente
el primer campo de aplicación fue la contabilidad donde los números negativos significaban
deudas y los positivos haberes o activos poseídos. El hecho de que un número sea entero,
significa que no tiene parte decimal. Imaginemos que disponemos de dos barras de chocolate,
cada una con tres divisiones, las cuales van a repartirse entre tres personas. Es claro que esta
operación puede realizarse convenientemente si a cada persona le tocan dos partes de las
tres que tiene cada barra. Ahora bien, imaginemos que tenemos 7 balines (esferas de metal)
que queremos repartir entre las mismas tres personas. Es claro que no puede partirse un balín
para que a cada persona le toque la misma cantidad de balines, así que a cada uno le
deben tocar dos balines y regalar uno para que la repartición sea justa, o bien conseguir
otros dos balines para que a cada uno le toquen tres.
Los balines ilustran así, por analogía, los números enteros: números que no pueden dividirse, a
menos que la división sea exacta, por decir:
8/4 sí es exacta: 8/4 = 2 y es un entero, pero 8/3 no es exacta y no puede ser, en
consecuencia, un número entero.
Los números negativos adquieren carta de naturaleza cuando se empieza a visualizar,
representándolos sobre la recta numérica. Los primeros en utilizar los números negativos
fueron los chinos. Su éxito se debió a que fueron capaces de visualizar al utilizar como
máquina de calcular unos ábacos con bolas negras para números positivos y rojos para los
números negativos.
Los números enteros pueden ser sumados y restados, multiplicados y comparados. Si la
división es exacta, también pueden dividirse dentro del mismo conjunto de los enteros.
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OBJETIVO GENERAL
 Reconocer la importancia de extender los números Naturales a Enteros y realizar
operaciones con expresiones aritméticas utilizando adecuadamente los Números Enteros.
 Formar la bases del pensamiento lógico matemático para resolver situaciones y problemas
en los diferentes campos del saber humano
 Aplicar los códigos y Sistemas de Numeración con sus propiedades para que les permita
analizar e interpretar comprender y valorizar situaciones y problemas de la vida
cotidiana.
Objetivos Específicos
 Identificar el conjunto de los números enteros.
 Asociar los Números enteros con puntos de una recta numérica.
 Resolver operaciones básicas del conjunto de los Números Enteros aplicando sus
propiedades.
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EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
El hombre siempre tuvo la necesidad de contar. Para hacerlo, creó lo que se conoce como
números naturales. Sin embargo, estos números no le fueron suficientes para representar
algunas cantidades, ni distinguir ciertas situaciones de otras. Por ejemplo, las
temperaturas sobre cero y bajo cero, las pérdidas o los años transcurridos antes y después
de Cristo.
Los números enteros se representan por la letra Z.
Observación: El símbolo  representa subconjunto.
El símbolo  es elemento de
El símbolo  no es elemento de
1. Conjunto de los números enteros
El conjunto de los números enteros esta formado por los: enteros positivos, negativos y el
cero.
a) Enteros positivos (los naturales): son los números que tienen delante el signo + y los
representamos por Z+.
Z+= +1, +2, +3, +4 . . .
Un entero positivo se puede representar con el signo (+) o sin ningún signo.
Por ejemplo: +1, +2, +3, +4 . . . = 1, 2, 3, 4 . . .
Podemos decir que Z+  Z
b) Enteros negativos: Son los números que tienen delante el signo ( - ) y los representamos
por ZZ- = -1, -2, -3, -4 . . .
Lectura y escritura de un número entero negativo:
-1
1 negativo o menos uno
- 10
10 negativo o menos 10
c. El cero: Número entero que no es positivo ni negativo.
Por lo tanto, el conjunto de los números enteros es la unión de tres conjuntos a saber:
Z = Z+ U 0 U ZZ =  . . . -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .
2. Representación de los números enteros como puntos en una recta.
Para representar gráficamente los números enteros los asociamos a puntos en una línea
recta extendida indefinidamente, en cada una de las dos direcciones ubicando el cero en
la parte central de la línea y localizaremos puntos a la izquierda y derecha del cero. Así:
8
3. Números opuestos
Dos números enteros que se encuentran a la misma distancia del cero, pero en sentido
contrario uno del otro, se denominan números enteros opuestos
Ejemplo:
a)
1y -1
b)
2y -2
c) 3 y – 3
4. Valor absoluto
Definición: Es la distancia a la que se encuentra el número del cero.
La distancia entre el origen y el punto 3 es igual a la distancia entre el origen y el punto
–3.
Esta distancia se representa por medio del número 3 en ambos casos.
El valor absoluto se expresa encerrando el número entre dos barras.
Así, escribimos
3  = 3
y
-3  = 3
o sea que 3  = -3  = 3
y concluimos que:
- El valor absoluto de cualquier número entero es positivo
- El valor absoluto de cero es cero.
5. Orden entre los números enteros
Utilizaremos los símbolos “< ” y “ > ” para representar “es menor que” y “es mayor
que”, respectivamente. El signo “= ” para sustituir las palabras “es igual a”.
De acuerdo al orden de los números enteros sobre la recta numérica, podemos escribir:
a< b a es menor que b,
a = b a es igual a b,
a > b a es mayor que b.
Observaciones generales:
Todo número positivo es mayor que cero.
Todo número negativo es menor que cero. Así, -5 < 0
y – 4 < 0.
Todo número positivo es mayor que todo número negativo. Así, 5 > -2 , 8 > -10
De dos números negativos, es mayor el que está más cerca del cero. Así, - 2 > -8, -1
> -10
- De dos números positivos, es mayor el que está más lejos del cero. Así, 10 > 2
-
Nuestra primera inducción esta programada para el miércoles 11 de abril y la prueba
sumativa #1 el día17de abril, ambos en el salón #3, a las 11:00 a.m. Este día me
entregarán la práctica #1
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Práctica Nº 1
Nombre:___________________________________
I.
Fecha:________________
Da el opuesto de cada uno de los siguientes enteros.
1) + 5 es _____
2) + 8 es _____
3) 2 es _____
4) 7 es _____
5) 10 es _____
II.
6) – 50 es _____ 11) – n es _____
7) – 6 es _____ 12) 0 es _____
8) - 5 es _____ 13) a es _____
9) – 424 es _____ 14) – 2 es _____
10) -1 es _____ 15) – 8 es _____
16) – 3 es _____
17) – 15 es _____
18) – 8 es _____
19) 35 es _____
20) 100 es _____
Halla el valor absoluto de
1) 5 =
6)
0 =
11) -83 =
16) 7+0 =
2) -2 =
7)
-9 =
12) 150 =
17) 8 +14 =
3) -3 =
8)
-5 =
13) -348 =
18)
4) 1 =
9) -1 =
14) 1000=
19) 10 – 1 =
5) - 4 =
10) - 34 =
15) 4 + 2 =
20) 3 – 0 =
9- 5 =
III. Coloca el signo correspondiente entre las siguientes parejas de números usar =, <, >
1)
8_____5
6) 15_____- 8
11) -5_____-5
16)
2) -2_____6
7) 0 _____-7
12) -3_____0
17) -3_____-3
3) -10_____-8
8) -1_____-5
13) - 3_____-7
18) -86_____0
4) -4_____3
9)
5) -10_____8
10) -5_____6
0_____+11 14) -9_____9
15) -1_____0
IV. Ordena de mayor a menor.
1) –7 , 5 , 0 , 20
____________________________
2 8 , 5, -1 , 0, 4, 17 ____________________________
3 - 3, - 7 , -11 , -8 , 0 ____________________________
III. Ordena de menor a mayor.
1) 0, 5, -7, -1, 10 ____________________________
2) 6, -3, 3, 16, 0 ____________________________
3) -5, 3, -2, 1
____________________________
4_____-4
19)
7_____-7
20)
8_____-8
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6. Adición de números enteros.
Veamos la suma geométricamente sobre la recta numérica.
Caso 1: Suma de números enteros de igual signo. Se suman los números y su signo es el
mismo.
Ejemplos:
5
1)
Suma 2 +3
3
2
2
Solución: 2 + 3 = 5
ambos sumandos son positivos.
2) Suma ( -3 ) + ( -2 )
-5
-2
-3
Solución: ( -3 ) + ( -2 ) = -5 ambos sumandos son negativos.
Caso 2: Suma de dos números enteros de signos diferentes. Se restan los números y su
signo es igual al del número de mayor valor absoluto.
Ejemplos.
-6
1) Suma 5 + (-6 )
-1
5
Solución: 5 + (- 6) = –1 ambos sumandos son de signos diferentes
2) Suma 5 + ( - 2 )
4
Solución: 5 + ( - 2 )= 3 ambos sumando son de signos diferentes
Propiedades de la adición
Las propiedades de la adición en Z son:
Cerrada: la suma de dos enteros es otro número entero.
Conmutativa: el orden de los sumandos no altera la suma 2 + (-3) = (-3) + 2
Asociativa: 2 + (-5) + 4= 2 + ((-5) + 4) = (2+ (-5)) +4
Elemento neutro: es el cero, la suma es el mismo número, 2 + 0 = 2
(-4) + 0 = -4
Inverso aditivo u opuesto: la suma es cero, 2 + (-2) = 0
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Práctica Nº2
Nombre:___________________________________
Fecha:________________
I. Suma.
1. (12) + (-4) =
2. (8) + (5) =
3. (-4) + (1) =
4. (-317) + 250 =
5. (3 ) + (-3) =
6. (-4) + (-3) =
7. (-456) + 100 =
8. (-20) + (5) =
9. (24) + (-10) =
10. (39) + (-26) =
11. (-900) + 189 =
12. 1235 + (-761) =
13. (80) + (-10)=
14. (-18) + (-9) =
15. 36 + 50 =
II. Sume:
1. 1 – 8 –10 +8
8. –3 –5 –11 – 4
15. – 2 – 5 – 11 + 40 +12
2. – 1 – 7 –11 - 5
9. 5 –4 +7 –8 +3 –1
16. 34 + 18 – 66 - 33
3. – 8 – 5 + 9 +4
10. –1 +5 – 20 + 30
17. –5 +15 – 3 + 6 – 1
4. 7 – 9 +14 –8
11. –5 – 30 + 11 +8
18. – 3 – 7 – 4 –5 + 1
5. – 9 +4 –12 +1 0
12. 15 – 8 – 4 – 3
19. 62 +185 + 300 – 500
6. – 9 +7 – 3 +19
13. 82 – 100 – 1 + 76
20. – 357 – 264 + 600 - 800
7. – 8 – 8 – 4 +20
14. –25 – 4 –325 +120
III.
Resuelva los siguientes problemas:
1. .Si un hombre nació en el año 32 antes de nuestra era y murió 43 años después de
nuestra era. ¿Cuántos años vivo?
2. Un señor tiene B/10000 en el banco y le llega una cuenta de B/7500. ¿Cómo queda
su cuenta?
3. Una señora debe B/175, le dan B/385 y le llega una factura de B/40. ¿Cuál es su
saldo?
4. En una ciudad comenzó la temperatura a 5 °C bajo cero, la temperatura se eleva
8°C, después desciende 10°C y finalmente se eleva 8°C. Hallar la temperatura final.
5. Una persona posee acciones con la bolsa de valores. El lunes la acción subió B/ 18,
bajo B/5 el martes y otros B/7 el miércoles, subió B/3 el jueves y el viernes cerró con
alza de B/ 8. Determine el precio de cierre de las acciones el viernes.
IV. Diga la propiedad aplicada en la suma de enteros.
1) 5 + (-2 ) = -2 + ( 5 ) _______________
6) 0 + ( 8 )= 8 _________________
2) – 9 + 0 = - 9
_________________
7) x + ( - x )=0_________________
3) – 7 + ( -4 ) = – 4 + ( -7 )_______________
8) c + d = d + c________________
4) (-8 +6 ) + 3 = - 8 + (6 +3 )_______________ 9) – 6 + (6) =0_________________
5) (x + y ) + z = x + ( y + z)______________
10) y + 0 = y_________________
Nuestra siguiente inducción y segunda prueba sumativa sobre Adición y Sustracción de
Números Enteros el martes 24 de abril en el salón #3 a las 11:00 a.m. Este día me entregarán
la práctica # 2y 3
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7. Sustracción de números enteros
Para restar dos números enteros, se le suma al minuendo, e l opuesto o el inverso del
sustraendo.
O multiplicamos el signo de la operación por l signo del sustraendo y aplicamos las leyes
de la adición de enteros. Así : ( - ) x (+ ) = (-) x(-) =+
Por ejemplo:
1) Restar 10 – (- 2 ) = 10 + 2 = 12
como son positivos se suman
2) Restar – 11 – (+ 6) = -11 – 6 = -17
como son negativos se suman
3) Restar -7 – ( 6) = - 7 - 6 = - 13
como son negativos se suman
4) Restar –20 - ( - 4) = - 20 + 4 = -16
como son de signos opuestos se restan y se
coloca el signo del mayor
Práctica Nº3
Nombre:___________________________________
Fecha:________________
I. Efectúa las siguientes restas:
1) (+7 ) – ( +1) =
6) (-2 ) – ( +5) =
11) (+2 ) – ( +4) =
2) (-1 ) – 0 =
7) (-10 ) – ( -3) =
12) (-50 ) – ( +29) =
3) 0 – ( -8 ) =
8) (-2 ) – ( -2 ) =
13) (-20 ) – ( -5 ) =
4) 0 – ( +72 ) =
9) (+43 ) – (-36 ) =
14) (+7 ) – ( +2) =
5) (+6 ) – ( +5) =
10) (+9 ) – ( +1) =
15) (+7 ) – ( -7 ) =
II. Resta:
1. De ( +15) restar ( -20 )=
2. De ( -300) restar ( -189)=
3. De (+1291) restar (+879 )=
4. De ( - 30 ) restar ( -11 )=
5. De (-450) restar ( +325)=
6. De ( -345-95) restar (-2786)=
7. De ( +1) restar ( -8 )=
8. De ( +500) restar ( -189)=
9. De ( -35) restar ( +18 )=
10. De (-348) restar ( -125 )=
III. Resuelva los siguientes problemas
1. Si un automóvil avanzó 150 Km y luego retrocedió 100 Km. ¿Qué distancia
recorrió?
2. Si un submarino está a 100 m debajo del nivel del mar y desciende 150 m. ¿A
que profundidad llega?
3. Una compañía invirtió B/ 8000. El primer mes tuvo B/ 3500 en perdidas, el
segundo mes obtuvo ganancias de B/ 4200 y el tercer mes ganó B/ 5750. ¿A
cuánto ascendieron las ganancias de la coman?
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8. Multiplicación de números enteros
Para multiplicar números enteros debemos conocer la ley de los signos:
(+) x ( +) = +
(+) x ( - ) = (- ) x (+ ) = (- ) x ( - ) = +
En la multiplicación signos iguales siempre dan positivo y signos diferentes siempre dan
negativo.
Por ejemplo:
1) (+6) (4 ) = + 24
3) ( +5 ) ( -6 ) = - 30
2) ( -3) (-6 ) = + 18
4) ( -4 ) ( +11 ) = - 44
Propiedades de la multiplicación:
Las propiedades de la multiplicación son:
1. Propiedad clausurativa
(-5) (3) = - 15
2. Propiedad conmutativa
(-2) (5) = (5) (-2)
3. Propiedad asociativa
(-2)(3) (4)= (-2) (3)(4)
4. Propiedad elemento neutro
(-5) (1) = - 5
5. Propiedad distributiva con respecto a la adición (-3) (2+5) =(-3)(2) + (-3)(5)
6. Propiedad distributiva con respecto a la sustracción a. (b - c)= (a. b) - (a. c)
Práctica Nº4
Nombre:___________________________________
Fecha:________________
I. Encuentre el producto de las siguientes multiplicaciones aplicando la regla.
1) (4)(5)=
6) (3)(9)=
11) (-7)(6)=
16)
2) (-4)(-5)=
7) (1)(-8)=
12) (-3)(-9)=
17)
3) (-7)(2)=
8) (-8)(-9)=
13) (-6)(6)=
18)
4) (10)(-4)=
9) (-20)(0)=
14) (-15)(5)=
19)
5) (3)(7)=
10) (0)(36)=
15) (-30)(-4)=
20)
II. Multiplica.
1) (-4) (-2) (+3) =
2) (-1) (-4) (+5) (+2) =
3) (-2)(-3)(-1)(-4)(-1) =
III. Indica la propiedad aplicada
1. (3) (7) = (7)(3)
2. (5)(2) (-3)= (5) (2)(-3)
3. (-11).0 = 0. (-11)
4. (4)(-11)(-3) = (-11)(-3)(4)
5. (27) (1) = 27
6. (3+4)(-5) = (3)(-5) + (4)(-5)
(0)(72)=
(0)(-40)=
(-3)(-1)=
(0)(6)=
(1)(-4)=
4) (-3) (-3) (-3) =
5) (-1)(-1)(-1)(-1) =
_______________________________
_______________________________
_______________________________
_______________________________
_______________________________
_______________________________
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División de números enteros.
Para dividir dos números enteros, se aplica la ley de los signos:
+  += +
- - =+
+- =- +=En la división signos iguales siempre dan positivos y signos diferentes siempre dan
negativo.
Por ejemplo:
1) (+12)  (+ 3) = + 4
2) (-25)  (-5) = +5
3) (+30)  (-5) = - 6
4) (-24) (+) = - 4
Práctica Nº 5
Nombre:___________________________________
Fecha:________________
I. Efectúa las siguientes divisiones.
30

3
21
2)

-7
- 12
3)

-4
15
4)

-3
- 25
5)

5
- 10
6)

2
1)
46

-1
- 12
8)

- 12
-7
9)

-7
48
10)

- 12
- 75
11)

25
100
12)

- 20
7)
- 800

- 400
- 80
14)

 80
24
15)

-6
- 30
16)

6
-7
17)

1
50
18)

-1
13)
28

-7
- 16
20)

16
- 27
2I)

1
- 50
22)

2
0
23) 
5
0
24)

-3
19)
0

14
0
26)

-8
-7
27)

0
11
28) 
0
4
29) 
4
- 10
30)

- 10
25)
II. Efectúa la suma de los cocientes parciales obtenidos, luego, halla el cociente de las
siguientes divisiones.
1) ( + 12 – 16 + 20 ) ( 2 )=
2) (- 5 + 20 – 15 + 35 –85 )  (-5)=
3) ( - 15 + 12 -18 +21)  (-3) =
4) ( + 8 –14 + 20 – 8)  ( -2 )=
5) (- 8 – 12 + 16 – 20 +24 )  (4) =
El día 2 de mayo en el salón #3, para la prueba #3 sobre Multiplicación y División de
Números Enteros, a las 11:00 am. Este día me entregarán la práctica #4y 5
15
9. Potenciación de números enteros.
Potencia: es el producto de factores iguales. Ejemplo: 3x3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 3 6
Términos de la potencia:
Base: es el número que se repite.
Exponente: es el número que indica cuantas veces se repite la base.
Regla de los signos de las potencias:
- Toda potencia de exponente par es positiva.
- Toda potencia de exponente impar tiene el signo de la base.
Propiedades de la potenciación de números enteros
- Producto de potencia de igual base:
Se copia la misma base y se suman los exponentes. Ejemplo:
(2)2 (2)3 = 22+3 =25 =32
- Cociente de potencia de igual base:
Se copia la misma base y se restan los exponentes. Ejemplo:
(2)5 (2)3 = 25-3 = 22 = 4
- Potencia de potencia:
Se copia la misma base y se multiplican los exponentes. Ejemplo:
(22)3 =22x3 =26 = 64
- Potencia de un producto:
Se debe elevar cada factor al mismo exponente y desarrollar la potencia indicada.
Ejemplo:
(3 x 2)5 = 35 x 25 =243 x 32 = 7776
- Potencia de un cociente:
Se debe elevar al mismo exponente el dividendo y el divisor y luego desarrollar la
potencia indicada. Ejemplo:
(3  2)5 = 35  25 =243  32
- Propiedad del cero:
Todo número o expresión elevada a exponente cero es igual a la unidad. Ejemplo:
(3)0 =1;
(-4 x 5)0 =1
10.
Radicación de números enteros
La radicación es el proceso inverso de la potenciación. Ley de lo signos:
1) Si el índice es impar la raíz lleva el signo del radicando
5
- 32  2
3
8 2
3
- 8  2
5
32  2
3
- 125  5
2) Si el índice es par sólo existe la raíz de radicando positivo, la de radicando negativo
no existe
4
9 3
16  4
- 1  
- 25  
6
64  2
4
11
16
Práctica Nº 6
Nombre:___________________________________
Fecha:________________
I. Desarrolla las siguientes potencias:
1) (2)2 =
6) (-3)3 =
11) (-3)7 =
16) (-1)8 =
2) (-2)2 =
7) (-3)4 =
12) (-4)5 =
17) (-3)0 =
3) (2)3 =
8) (4)2 =
13) (-15)4 =
18) (18)0 =
4) (-2)3 =
9) (-4)2 =
11) (10)3 =
16) (-345)0 =
5) (-2)4 =
6) (-4)3 =
11) (-1)5 =
16) (745)0 =
II. Aplique las propiedades de la potencia:
1) ((3)2)3 =
2) ((7)3)5 =
3) [(-3)2]3 =
4) [(-4)2]2 =
5) {[(-1)2]3}5=
6) ((-y)3)2 =
7) [(x)2]3 =
8) {[(-a)2]2 }0=
9) 22 . 23 =
10) (-3)4(-3)2 =
11) (-1)6(-1)7 =
12) (-2)5(-2) =
13) (2)2(2)6(2)=
14) (-4)0(-4)3 =
15) 15 .13 .14=
17) 25 :23 =
18) 36 :32 =
19) 1010 :1010 = 20) (-4)5 : (-4)4 =
46  48  42
21)

45
10 2  10 3  10 6
22)

10  10 2
25) [(3)(4)]2 =
26) [(1)(-4)]4 =
29) [(+15)(+3)]0 =
30) [(9)(-4)(-10)]0 =
3 4  4 5  36
23)

35  4 4
16) (-5)(-5)0=
2- 3 
24)
2 4
42

27) [(-4)(-8)(1)]0 = 28) [(2)(3)(-6)]3 =
31) [(-2)(-5)(3)]2 = 32) [(3)(-7)]3 =
III. Halla las siguientes raíces:
3
1)
8
2)
3
5)
3
 1000 
6)
9)
3
 343 
10)
13))
225 
14)
 125 
3)
3
 27 
4) 3 1000 
1
7)
4
625 
8) 144 
 25 
11)
36 
12) 7  1 
1
15)
 625 
16)  100 
5
5
4
Nuestra última y cuarta prueba sumativa, será el 8 de mayo, en el saló #3 a las 11:00 a.m.
Este día se entregará la práctica # 6
17
SITUACIÓN DE APRENDIZAJE
Exhortamos a los estudiantes a poner en marcha este módulo para convertirlo en la
herramienta para desarrollar el Concepto de los Números Enteros, las propiedades y sus
operaciones; para ello detallaré las actividades propuestas a realizar
 Investigarán sobre el surgimiento del Conjunto de los Números enteros
 Identificarán en una recta Numérica los Números, Simétricos y opuestos
 Medirán distancias en la recta real entre un número y el cero para entender claramente
el concepto de valor absoluto.
 Ordenarán números enteros de mayor a menor y viceversa
 Enunciarán y analizarán la regla de los signos de la adicción de los Números enteros
 Resolverán adiciones y sustracciones de Números enteros, aplicando las reglas
estudiadas
 Enunciarán y analizarán las reglas de los signos de la multiplicación y división.
 Aplicarán las propiedades de la multiplicación y división en ejercicios variados
 Resolverán potencias y radicaciones con Números enteros.
 Aplicarán las propiedades en las potencias y radicaciones.
 Resolver las prácticas y ejercicios que incluyen el conocimiento y aprendizaje que debes
haber logrado.
 Resolver ejercicios formativos y sumativos cortos después de cada tema discutido.
ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN
La evaluación del Módulo se hará de manera continua e incluiré evaluaciones diagnosticas
formativas y sumativas
DIAGNOSTICAS: En las inducciones programadas se realizarán preguntas exploratorias
para percibir los conocimientos previos y tener una mejor idea del contexto del grupo.
FORMATIVAS:
Nos permite obtener información como resultado de la inducción
realimentándola de manera permanentemente; desarrollo de prácticas en el tablero y en
casa, que deben entregar en la fecha asignada.
SUMATIVA: Permite determinar el alcance de los objetivos; y el resultado se expresa en
una calificación de acuerdo a la escala vigente. Se realizarán 4 pruebas sumativas de
20 puntos cada uno, en la fecha señalada al final de cada tema, donde lo importante
será evaluar el procedimiento de cada operación y la forma d expresar la respuesta, o
sea con el signo correcto. Al final, el Módulo se evaluará con una prueba Bimestral de 50
puntos, que será realizada según programación de la Dirección. La evaluación total será
la suma de 1/3 por notas de Pruebas programadas; 1/3 por asistencia y realización de
prácticas y el último 1/3 por Nota Bimestral.
18
CONCLUSIÓN
El aprendizaje constituye un hecho básico en nuestras vidas; razón por la cual la educación
Básica General proporciona los conocimientos para la formación integral de cada individuo, y
garantizará los conocimientos a través de módulos instruccional con guías y actividades
programadas, como una de las innovaciones que introduce la ley Orgánica de Educación la
cual modifica el Sistema Educativo.
Cada vez es más importante tener una buena preparación, ya que estamos inmersos en un
mundo en continuo progreso; razón por la cual de manera rápida nuestro sistema numérico
quedo limitado, pues no nos permitía representar numéricamente muchas cosas, como por
ejemplo, una deuda, una temperatura bajo cero o un saldo en contra. Para solucionar este
problema aparecen los números enteros, mismos que pueden ser positivos o negativos.
En este módulo instruccional daré una inducción de las nociones básicas sobre números enteros
y se practican con ellos las operaciones suma, resta, multiplicación, división, potenciación y
radicación.
Es conveniente que los alumnos sigan los pasos de la instrucciones para el estudiante donde se
detalla como estudiar con este módulo y luego de leer, investigar y analizar por ellos el tema,
se explicará y resolverán la s actividades y prácticas programadas para lograr dominio
suficiente y realizar sus pruebas sumativas. Esta unidad didáctica puede servir como repaso
para afianzar mejor los conceptos y la realización de operaciones con esos números.
Los números que aparecen en cada tema se generan al azar, lo que permite utilizarla
indefinidamente, y sacar de cada una de ellas innumerables actividades diferentes. Además
los números son frecuentemente de una sola cifra cuyos cálculos se hacen mentalmente con
facilidad.
En las actividades se utilizan cuadrados mágicos, pero siempre hay que tener en cuenta que
el objetivo es aprender a manejar los números enteros, no se trata de aprender cosas sobre
cuadrados mágicos.
El propósito de éste módulo instruccional; no es tanto poner al alcance del alumno un gran
número de conocimientos; sino lograr la capacitación para conocer, practicar y realizar
operaciones con los Números Enteros interrelacionándola con la vida cotidiana del joven.
19
BIBLIOGRAFÍA
1. Lajón Diana y Ricardo Lajón
Matemática Séptimo Grado. Editorial Sibauste
Panamá, 2005
2. Alonso, Raquel M de V.
Matemáticas 7°, Ediciones Santillana S.A.
Buenos Aires Argentina, 1997
3. Contreras M., Héctor E.
Logros Matemáticos, Editorial Mc Graw Hill S.A.
Santa Fe, 1996
4. w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/primaria/matematicas/conmates/
unid-4/numeros-enteres2.htm
5. www.escolar.com/matem/13nument.htm