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Comentarios a los objetivos y contenidos de los borradores de enseñanzas mínimas de Matemáticas del Bachillerato
I.
A)
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales
Sobre los Objetivos
1. Una primera observación de tipo general es que las finalidades se expresan
en términos de “capacidades”, mientras que en la ESO van expresadas –al
parecer- en términos de “competencias”. Para el profesorado de Secundaria puede ser un motivo más de dispersión la variación de nomenclaturas diferentes para las mismas cosas (¿o no son las mismas?). Sería conveniente
unificar la tipología de objetivos o (si son diferentes en una y otra etapa)
aclarar los motivos.
2. Una segunda observación general es que entre los 9 objetivos entiendo que
hay deslabazamientos y un cierto desorden: hay objetivos que se refieren a
actitudes y otros a conocimientos; convendría agruparlos para una mejor
claridad en lo que se pretende. Así por ejemplo:
a) el objetivo 1 (Aplicar los conocimientos matemáticos a situaciones diversas, utilizándolos, en particular, en la interpretación de fenómenos y procesos de las ciencias sociales y humanas) y la primera parte del 3 (Elaborar
juicios y formar criterios propios sobre fenómenos sociales y económicos,
utilizando tratamientos matemáticos), se podrían reunir puesto que expresan la misma idea
b) la segunda parte del 3 (Expresar e interpretar críticamente opiniones, datos
y mensajes, argumentando con precisión y rigor y aceptando discrepancias
y puntos de vista diferentes como un factor de enriquecimiento) determina
una actitud, con lo que podría ir como segunda parte del 4.
c) La 2ª parte del 4 (Asumir la precisión como un criterio subordinado al contexto, las apreciaciones intuitivas como un argumento a contrastar y la
apertura a nuevas ideas como un reto) es en realidad un modo de hacer
matemáticas y tiene que ver, por tanto, con los conocimientos matemáticos.
d) La 1ª parte del objetivo 7 (Utilizar el conocimiento matemático para interpretar y comprender la realidad) ya está señalada en el objetivo 1 y debiera ir
allí, mientras que aquí es conveniente enfatizar la conexión con el entorno
social y con la aparición histórica de los conocimientos matemáticos. Es
decir hacer aparecer el pensamiento matemático como parte de la cultura y
no como procedimientos o métodos atemporales. No en balde, estamos en
un currículo para “humanistas”.
e) En el objetivo 8, la categoría “financiera” es de otro ámbito diferente del de
“gráfica, estadística y algebráica” por lo que no deberían estar unidos.
Además de la “financiera” hay otras categorías en el campo de las humanidades que también podrán tener su importancia, como la estética o la filosófica, por poner sólo dos ejemplos.
1
3. En definitiva, se trata de expresar que:
B)

La matemática tiene como finalidad conocer la realidad (1 y 3)

Su método (2) es racional (5) y hace uso de recursos variados (8)

Tiene un lenguaje propio que hay que conocer (6) y un progresivo uso de la
precisión (3 y 4)

A lo largo de la historia y actualmente forma parte de la cultura (7)

Puede ayudar a crear actitudes y compromisos humanos (2 y 9)
Sobre los contenidos.
1.
Conectando en cierto modo con la anterior observación d) parece que
se ha optado por una matemática de apoyo al cálculo de las asignaturas del
ámbito universitario de las ciencias sociales. Aunque nada hay que objetar a
ello, y es perfectamente legítimo hacerlo así, echo en falta una asignatura de
matemáticas más volcada hacia el pensamiento matemático y no tanto hacia
los procedimientos en matemáticas. (En todo caso podría dejarse como opción para unos y para otros). Creo que junto a alumnos con una decidida inclinación hacia la economía, creo que habrá otros decididos hacia formaciones humanísticas más conceptuales, basadas en el pensamiento y en la historia, que en los métodos y procedimientos algorítmicos.
2.
Una (¿leve?) discrepancia en relación a que se ha preferido presentar
los contenidos organizándolos a partir de los bloques temáticos tradicionales
(álgebra, aritmética, funciones,…) en vez de a través de procesos y problemas que ataca la matemática (el crecimiento y sus tipos, los procesos de medida y de ordenación, la representación de las relaciones, el modo de tratamiento de los procesos indeterministas, el ámbito de aplicación de conocimientos mediante métodos de extrapolación y de interpolación, tratamiento y
métodos para optimizar, los procesos de decisión en la obtención de datos
económicos o sociales en situaciones de información escasa, etc.). En unos
contenidos para alumnos que han de trabajar en el ámbito de lo social, merecía la pena haber pensado en “otras matemáticas”.
3.
Aún aceptando esta distribución de contendidos, echo en falta que no
existen contenidos de ámbito geométrico. ¿No existen en las ciencias sociales?
4.
Hay algo que creo que debiera incluirse: una referencia a métodos generales de representación en matemáticas. Ejemplos:
4.1. sistemas de representación polar o circular de los fenómenos sociales,
puesto que muchas veces aparecen estos sistemas en fenómenos sociales
de tipo periódico y en la literatura sobre ellos. (Aquí hay una pequeña parte de
geometría)
4.2. representaciones de las relaciones, como diagramas en árbol y grafos.
En el caso de las relaciones de orden (o de jerarquía) y de sus diversos tipos
(parciales, totales) son muy utilizadas en ámbitos de problemas sociales y son
de mucha utilidad para aclarar situaciones reales.
4.3. tablas de doble entrada, lo que conectaría al siguiente curso con las matrices, y en este curso con la parte de estadística descriptiva en dos variables
(regresión y correlación)
2
5.
Sobre la aritmética y álgebra (1º curso)
5.1. Estimo que es un error la separación de las ecuaciones (1º curso) de las
inecuaciones (2º curso). Hay un gran parecido en los procedimientos de resolución de ambas, y es justo en la comparación de las diferencias donde se
aprenden el por qué de éstas.
5.2. Los cálculos financieros (incluido el interés simple y compuesto) son importantes, pero no deben figurar como un contenido “matemático” sino como
aplicaciones de un contenido, lo mismo que el crecimiento biológico, o en
cualquier otro ámbito de la realidad.
5.3. Los números índice no son exclusivamente “financieros” sino de muchos
otros ámbitos y no hay que ligarlos exclusivamente a la economía.
6.
Sobre las funciones (1º curso).
6.1. Las funciones no sólo se expresan en forma de tablas o de gráficas, sino
también dando una expresión algebráica o del lenguaje habitual. Por eso,
creo que sería mejor empezar como:
“Formas de expresar una función: tablas, gráficas, algebráica, etc” y luego
continuar con “Aspectos globales….”
6.2 En el apartado tercero, donde dice “Identificación…” creo que se debería añadir las periódicas y decir: “Diferentes tipos usuales de funciones: polinómicas, …., definidas a trozos, periódicas. Expresión analítica y gráfica. Situaciones concretas donde aparecen”.
6.3. No aparece en ningún sitio referencia alguna a las sucesiones. Creo
que deben aparecer porque es una de los tipos de funciones muy usados, y
las tablas son una buena introducción a ellas.
6.4 En conexión con lo anterior, ello permitiría al hablar de tasa de variación
y de tendencia, que se consideren los casos continuo (funciones reales) y discreto (sucesiones)
6.5 Puesto que no hay nada de Geometría en los contenidos, debería aprovecharse las funciones para obtener la ecuación de una recta y de una parábola, (o al menos hacer una referencia a ello, si ya lo hubiesen dado en la
ESO) y de las regiones que determinan en un plano (semiplanos, regiones
curvas). Es un modo de hacer ver que la Geometría es también una parte de
la Matemática.
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Sobre la probabilidad y estadística. (1º curso)
7.1. Convendría destacar que los dos primeros puntos (no sólo el primero)
son Estadística descriptiva, de una variable en el primer caso, y de dos variables en el segundo.
7.2. Además de “regresión” debiera hacerse una referencia a “correlación”. Es
de suponer que va incluido en lo de “grado de relación entre … “ pero justo
por ello debiera incluirse la palabra correlación, que es de uso bastante común en la literatura de eventos sociales
3
7.3. En el punto tercero ya se habla de probabilidad (y no de estadística).
Creo que debiera redactarse al revés, empezando por una aclaración sobre
los sucesos probabilizables, y los métodos de asignación de probabilidades
(donde se incluirían algo de los métodos combinatorios, aunque ni mucho
menos como exclusivos), y una vez asignadas las probabilidades a los sucesos, las distribuciones a que dan lugar dichas asignaciones.
8.
Sobre el álgebra (2º curso)
Una vez que se pasara las inecuaciones de una variable a 1º,
podría quedar aquí la representación de las inecuaciones de dos variables,
representando a conjuntos del plano. La programación lineal debiera presentarse como una parte (importante) de los problemas de optimización que se
estudian en cualquier tipo de “programación”.
9. Sobre las funciones (Análisis) (2º curso)
9.1. Incomprensiblemente queda de nuevo fuera del estudio de los Bachilleres, la integración, al menos como el método que resuelve un problema matemático importante: el área de regiones limitadas por curvas. La incoherencia
es mucho mayor puesto que a lo largo del currículo aparece la curva de la distribución normal y el área bajo ella. No se trata de dedicar tiempo y más tiempo a los métodos de integración, sino de asimilar el concepto y de comprender su conexión con la derivación.
9.2. En el punto 3º sería mucho más interesante que la representación gráfica
de un determinado tipo de funciones (las polinómicas o racionales sencillas),
cosa que se puede hacer con una calculadora gráfica, que se ampliara la globalidad de las funciones y se pidiera un esbozo de una gráfica a partir de propiedades –locales o globales- que se conozcan de una función. (No quiero
decir que no se deba hacer lo que pone ese punto, sino que no se exclusivice)
10. Sobre probabilidad y estadística (2º curso)
10.1. Sería conveniente que el muestreo no apareciera desgajado en cuatro
puntos, al parecer aislados y reducidos a métodos de obtención de unos determinados resultados. En el punto 3º es fundamental que aparezca que se
trata de conocer sobre todo qué es el muestreo, y porqué es necesario, junto
con los problemas que se pueden resolver y cuáles son sus dificultades
10.2. En los otros dos puntos debe aparecer que se trata de procesos de decisión (y no de la obtención programada de intervalos o de procedimientos de
contraste), para los cuales hay que echar mano de ciertos instrumentos que
permitan esa decisión y su grado de fiabilidad.
4
II.
Matemáticas I y II
A. Sobre los objetivos
1.
La observación general sobre las “capacidades” y las “competencias”
realizadas en el documento para las Matemáticas para las Ciencias Sociales,
en relación con los cambios que se introducen sin mayor justificación y la esquizofrenia y el descrédito sobre las afirmaciones oficiales, que puede producir
en el profesorado son válidas también aquí.
2.
Debería ponerse mayor énfasis en la utilización de medios y recursos
tecnológicos de uso cotidiano en la sociedad (calculadoras, ordenadores, programas informáticos: derive, matemática, etc.) , para conseguir un mayor uso
de la ciencia y reducir la separación entre el trabajo escolar y el trabajo cotidiano.
3.
También aquí parece que debería haber una cierta ordenación de los
objetivos, pues no todos tienen la misma potencia, apareciendo como fundamentales: 1, 2, 3, 5 y 6. Mientras que el 4, 7 y 9 son especificaciones del 2
(aunque no está mal ponerlas de manifiesto como características esenciales
del conocimiento matemático que se pretende), el 8 está en conexión con el 3
(creación de actitudes)
B. Sobre los contenidos
1. El documento de contenidos parece ser bastante coherente, aunque
muy restringido en sus ambiciones. Quizás eso esté en relación con su
carácter de ser un documento de “mínimos” con la idea de que pueda
ser ampliado en las correspondientes Comunidades Autónomas.
2. Además, el documento parece considerar la Matemática excesivamente
sesgada a ciencia auxiliar de la Física, y aunque ese carácter “aplicado“
de la matemática no puede olvidarse, no debería considerarse en exclusiva, y aparecer más como centrada en ella misma y en sus métodos y
conceptos fundamentales
3. Me parece un acierto dar carácter transversal a la resolución de problemas, aunque creo que debiera ponerse mayor énfasis en ello y en el
análisis de las estrategias empleadas, para no confundirlo con la simple
hechura de ejercicios prácticos que concretan la parte teórica.
4. La transversalidad de los otros conocimientos de álgebra es interesante,
porque hay estrategias análogas en distintos núcleos temáticos, y puede
así ponerse de manifiesto la potencia de las estructuras generales de la
matemática y la conexión de los conocimientos matemáticos que no
aparecen así como islas.
5. Al mismo tiempo, hay conocimientos excesivamente restringidos a un
determinado proceso estandarizado. La matemática aparece así como
5
una serie de “recetas” y no, como la búsqueda del mejor procedimiento
para el estudio de la realidad. Por ejemplo, el crecimiento de una función
se hace estudiar dependiendo exclusivamente de la derivada (aplicación
al estudio local de funciones), cuando queda mucho más abierto el análisis de los distintos tipos de crecimiento de una función (potenciales, exponenciales, logarítmicos, etc), y luego buscar el instrumento más adecuado para el estudio de cada crecimiento, sea la derivada o cualquier
otro. No es que “para estudiar el crecimiento, se hace la derivada”
6. Aunque la subdivisión de los contenidos por bloques temáticos pueda
ser en este Bachillerato Científico más acertada e interesante que en el
de Ciencias Sociales, la crítica que se hace allí se puede también aplicar
ahora, porque aparecen los núcleos de manera muy aislada sin conexiones entre ellos, cuando esa es justamente una de las potencialidades
del conocimiento matemático. Ejemplos:
 la trigonometría es interesante como conocimiento geométrico (y
puede aparecer en el bloque de Geometría), pero es muy interesante
la aparición de las fórmulas trigonométricas para la integración de
funciones (y deberían aparecer allí también)
 La linealidad que introducen los vectores es interesante como una
forma de estudiar de manera más simple los conceptos de incidencia
y alineación en geometría, pero es muy interesante considerar que
son el tipo de funciones más simples
7. El reparto por cursos parece que está excesivamente condicionado a la
prueba de acceso a la Universidad y a la necesidad de que determinados temas deban entrar (o no) en dicha prueba. Debemos ser conscientes de que la desaparición de la probabilidad y estadística en 2º curso
trae como consecuencia práctica que deje de estudiarse en Bachillerato,
lo que nos parece gravísimo. Cada bloque temático debe tener continuidad en los dos cursos del Bachillerato. Entonces o bien la prueba de acceso se hace sobre los dos cursos, o bien se hace un reparto equilibrado
en ambos
8. Sobre Aritmética y Álgebra (1º curso)
La resolución de ecuaciones e inecuaciones parece dar por hecho que
se incluirían los sistemas correspondientes, aunque estimo que en general el tratamiento debe ser el de “condiciones” o “sistema de condiciones” (sean ecuaciones, inecuaciones, desigualdades, o de cualquier otro
tipo) tanto de tipo conjuntivo como disyuntivo.
9. Sobre Geometría (1º curso)
Quizás fuera conveniente introducir algunas transformaciones (simetrías,
traslaciones, giros) y utilizarlas para resolver problemas geométricos, así
como los cambios que una transformación provoca en la ecuación de
una figura que se transforma, y en la gráfica si se trata de una función.
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10. Sobre Estadística y Probabilidad (ambos cursos)
10.1. Además de “regresión” debiera hacerse una referencia a “correlación”.
Es de suponer que va incluido en lo de “relación entre dos variables … “
pero justo por ello debiera incluirse la palabra correlación, que es de
uso bastante común en los textos periodísticos y científicos
10.2. No está claro si se quiere estudiar “distribuciones bidimensionales” (obteniendo para ellas los parámetros fundamentales de centralización y
dispersión, con algunas de sus propiedades como la relación de estas
distribuciones con sus distribuciones marginales correspondientes) o se
trata de una “cita” para introducir la relación entre dos variables estadísticas sobre un mismo conjunto.
10.3. Se habla de la distribución normal (en 1º) sin haber estudiado
previamente “el área bajo una curva”, o sea la integral. Podría ser
mejor pasar este punto a 2º curso, y dejar aquí, por ejemplo, el
estudio de la correlación entre dos variables y la binomial, como
ejemplo de distribución discreta. (Aunque cabrían también otros
repartos entre ambos cursos)
11. Sobre Álgebra lineal (2º curso)
Se debería introducir un estudio inicial de la estructura vectorial y las
aplicaciones lineales, pues la primera permitiría ver muchas de las conexiones internas (objetivo 5) entre matrices, geometría y funciones, y tener un primer ejemplo del ahorro de trabajo, y consecuentemente de la
cantidad de información que se obtiene al reconocer la estructura vectorial en un conjunto.
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