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LOGICA DE PREDICADOS
LOGICA DE PREDICADOS O CUANTIFICACIONAL
La lógica de enunciados solo analiza los racionamientos cuya validez no depende de
la estructura interna de las proposiciones. Hay racionamientos validos en la parte
formal en los que es preciso penetrar la estructura interna del enunciado. Dada una
proposición, la lógica de predicados distingue entre individuos y sus propiedades
Ejemplo:
“Manuel estudia Ingeniería de Sistemas”
Es una proposición simple, donde los sujetos se simbolizaran con letras minúsculas
a, b, c y se llaman constante individual o términos.
Se llama predicado a la palabra o frase que hace referencia al sujeto o termino, y se
simboliza A, B, C
Ejem:
Manuel estudia ingeniería de sistemas:
a
A
FUNCIONES PROPOSICIONALES
Considere una proposición:
Gustavo es ingeniero
Pedro es ingeniero
Mario es ingeniero
Estas proposiciones tienen algo en común y es el predicado. Esto se puede expresar
utilizando una variable individual  x  .
“ x es ingeniero”
Esta expresión no es una proposición puesto que no es verdad ni falsedad . x es una
variable que toma valores dentro de un conjunto (referencial), estas expresiones
reciben el nombre de funciones preposicionales.
La notación que se empleará para cualquier Proposición Simple serán las letras
p, q, r ,... etc., mientras que una función proposicional la representamos por
Px , Qx , Rx ,...
etc.
Ejemplo:
“ x es un numero racional y z es un numero entero”
En símbolos:
Rx  E z
CUANTIFICADORES
Las expresiones:
“Todo hombre es mortal”
“Algunos hombres son ignorantes”
Pueden traducirse:
Para todo x , si x es hombre entonces es mortal
Existe un x , tal que x es hombre y x es sabio.
Estos cuantificadores se dividen en:
a)
CUANTIFICADOR UNIVERSAL

Símbolo: x
Significa: “Para todo x ”
Todo x
Cualquier x
Cada x
b)
CUANTIFICADOR EXISTENCIAL

Símbolo: x
Significa: Hay x
Existe un x , tal que
Algún x
Algunos x
Existen tres formas de convertir una función proposicional PX en una proposición a
saber:
Haciendo la sustitución de las variables por un termino especifico
Anteponiendo la expresión “Para todo x ”
Anteponiendo la expresión “Existe un x ”
 x PX  : Existe un x tal que
 x PX  : Para todo x , PX
PX
Al anteponerle a la función proposicional PX un cuantificador, x pasa a ser una
variable ligada.
Una proposición
 x PX  es V , cuando todas las sustituciones de la variable
x por
elementos del conjunto de referencia convierte a PX en verdadera.
 P 
Una proposición x X es V , cuando toda las sustituciones de la variable x por al
menos un elemento del conjunto de referencia.
Ejemplo:
Decir si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas
a.
b.
c.
d.
x  Z 3x  7  4x  14
x  Z x 2  1  0
x  Z x 2  1  0
x  Z x  12  x 2  2 x  1
Solución:
a.
x  Z 3x  7  4x  14
Como 33  7  43  14 ,
vacío y, por tanto,
b.
entonces el conjunto solución es 3, que no es
la proposición es verdadera.
x  Z x 2  1  0
Como esta proposición se debe cumplir para todo entero y 0  Z
0  1  1  0 , entonces
2
c.
y
la proposición es falsa.
x  Z x 2  1  0
2
No es posible encontrar un entero tal que x  1  0 , por tanto la proposición
es falsa.
d.
x  Z x  12  x 2  2 x  1
2
Del algebra se sabe que  x  1
 x 2  2 x  1 , entonces la proporción es
verdadera.
NEGACION DE PROPOSICIONES CUANTIFICADAS
Las proposiciones universales pueden negarse como en el enunciado:
“No todos los ingenieros”.
Y se simboliza:
 x M X 
También se puede utilizar: “Ninguno, ningún, nada, nadie “.
La proposición “Ninguno es mecánico” no equivales a “No todos son mecánicos”, sino
a la expresión: Para todo x , x no es mecánico
 x M X 
Las proposiciones anteriores pueden ser negadas como por ejemplo:
“No es cierto que hay mecánicos”. En símbolos:
“Alguien no es mecánico”.
En símbolos:
x M X 
x M X  .
Para estudiar la negación de funciones proposicionales, es conveniente fijar nuestra
atención en el diagrama dado. Veamos las cuatro formas de proposiciones generales
que hay tradicionalmente en la lógica:
A:
E:
I:
O:
Todo S es P:
Ningún S es P:
Algún S es P:
Algún S no es P:
Todos los hombres son mortales.
Ningún hombre es mortal.
Algún hombrees mortal.
Algún hombre no es mortal.
En las formas anteriores, S significa un sujeto del cual se afirma o niega algo, y P es el
predicado, o sea lo que se dice del sujeto.
Observe que las dos primeras proposiciones son universales, la primera afirmativa y la
segunda negativa; las dos últimas son particulares, la primera afirmativa y la segunda
negativa.
A continuación se presentan las equivalencias, usando funciones proposicionales con
cuantificadores:
A:
Todo S es P:
E:
Ningún S es P:
I:
Algún S es P:
O:
Algún S no es P:
xPx 
x Px 
x Px 
x Px 
Universal afirmativa
Universal negativa
Particular afirmativa
Particular negativa
En Conclusión:
La negación de una función proposicional con un cuantificador universal es
equivalente a la negación de la misma función proposicional, precedida por el
cuantificador existencial y viceversa.
Es decir:
x  S Px   x  S Px 
ó
x  S Px   x  S Px 
Ejemplo:
Encontrar la negación de las siguientes proposiciones:
a.
Solución:
b.
Solución:
x  x  3  10
x  x  3  10  x  x  3  10
x  x  3  7
x  x  3  7  x  x  3  7
CUANTIFICACION RESTRINGIDA
Estas proposiciones universales o existenciales algunas de ellas poseen en el
lenguaje ordinario estructuras simples realmente poseen estructuras compuestas.
Ejemplo:
“Todos los hombres son pensantes”
Se puede escribir:
“Para todo x , si x es un hombre entonces x es pensante”
Se puede simbolizar:
( x )( H X  PX )
Este es un ejemplo de proposiciones universal o existencial que tienen más de un
predicado bajo el alcance de un cuantificador.
LEYES DE INTERCAMBIO DE CUANTIFICADORES
 x PX   x PX 
x PX    x PX 
 x PX   x PX 
 x PX    x PX 
Estas leyes expresan que la negación de una proposición existencial es equivalente a
la afirmación de un cuantificador universal cuya función proposicional es la negación
de la primera.
También podemos afirmar que:
 P 
x
X
Si
verdadera
es falsa entonces
 x PX 
es verdadera, por tanto,
x PX 
es
FUNCIONES PROPOSICIONALES BINARIAS
A un predicado puede estar unido con más de un sujeto como:
“Yohan es amigo de Rodrigo”
Este tipo de predicado expresa una relación entre términos, en este caso se presentan
2 términos: Yohan y Rodrigo. Sin embargo uno de ellos hace parte del predicado
gramatical.
En este caso se presenta una relación entre dos sujetos que se denomina “Binaria o
diatica”
También se puede presentar relaciones entre 3 o mas individuos
Ejemplo: “ x esta entre a y c”
“Yohan es amigo de Rodrigo”
La proposición
Ajr ó
jAr
Se simboliza:
Las cuales son resultado de la sustitución dentro de la función proposicional:
“ x es amigo de y ”
que se simboliza
xAy o Axy
Cuando se tiene una función proposicional de dos variables, es posible convertirla en
una proposición sustituyendo cada una de las variables por un término de un conjunto
de referencia o añadiendo un cuantificador a cada variable.
Ejemplo:
Las siguientes son las diferentes maneras de obtener una proposición a partir de una
función proposicional dada:
Sea Axy = “ x es amigo de y ”
Yohan es amigo de Rodrigo Ajr
Todos son amigos de todos
( x )( y )( Axy)
Todos son amigos de algunos
( x )( y )( Axy)
Algunos son amigos de todos
( x )( y )( Axy)
Algunos son amigos de algunos
Yohan es amigo de todos
( x )( y )( Axy)
( y )( Ajy)
Yohan es amigo de algunos
( y )( Ajy)
Todos son amigos de Rodrigo
( y )( Axr)
Algunos son amigos de Rodrigo
( x )( Axr)