Download unidad 1 - lógica y pensamiento matematico

CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR
COMPETENCIA: Desarrollar habilidades que le permitan razonar lógica, crítica y objetivamente
en una situación problema
1
CONTENIDO:
1.
LOGICA
1.1.
Introducción a la Lógica
1.2.
Proposiciones y su Clasificación
1.3.
Conectores lógicos.
1.4.
Tablas de verdad.
1.5.
Lógica de Predicados.
1.1.
INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA
LÓGICA:
Es un término que se deriva del griego “λογική- λόγος” (Logike-Logikos) que significa “razón”.
El nacimiento de la lógica está relacionado con el nacimiento intelectual del hombre. Nace
como mecanismo espontáneo en el enfrentamiento del hombre con la naturaleza, para
abstraerla, comprenderla y aprovecharla.
La lógica matemática:
Una definición precisa de la lógica, que la caracterice totalmente, depende del sistema
filosófico que se adopte. Para nuestro fin bastará que demos las definiciones siguientes:
La lógica matemática es una ciencia que es anterior a las demás, que contiene las ideas y los
principios en que se basan todas las ciencias.
Esta definición parcial es de K. Gödel (1906) y me parece que es también según la mente de
Santo Tomás y análogamente de Aristóteles y de la escolástica medieval. Aunque conviene
notar que en Aristóteles y en la escolástica la lógica es generalmente considerada como un
arte que como una ciencia; un arte que da la manera de operar válidamente con conceptos y
proposiciones, y no como ciencia, porque carece de objetos propios a los que corresponda
algo en la naturaleza.
Una definición muy precisa y moderna es la de A. Church (1903). Lógica es el estudio
sistemático de la estructura de las proposiciones y de las condiciones generales de válida
inferencia por un método que abstraiga del contenido o materia de las proposiciones y tenga
en cuenta solamente su forma lógica. Se distingue entre materia y forma cuando distinguimos
entre la legitimidad lógica o validez de un texto razonado y la verdad de las premisas de las
cuales se deduce; y en este sentido es familiar en el lenguaje ordinario. Sin embargo, es
necesario establecer con precisión la distinción con referencia a un lenguaje particular o
sistema de notación, un lenguaje formalizado, el cual evite las inexactitudes y las irregularidades
de estructura y expresión que sistemáticamente llevan a equivocaciones y que se encuentran
en los lenguajes ordinarios, y el cual siga o reproduzca la forma lógica, a costa de la brevedad y
facilidad de comunicación cuando sea necesario. De modo que adoptar un lenguaje
formalizado particular es adoptar un sistema o teoría particular de análisis lógico. Entonces se
puede caracterizar el método formal diciendo que se trata de la forma objetiva de las
sentencias que expresan proposiciones, y suministra en estos concretos términos, criterios para
determinar si las sentencias tienen sentido, criterios de inferencia válida, y de otras nociones
estrechamente asociadas a éstas. Por consiguiente, según el logicismo la matemática es una
rama de la lógica, sin duda extensa y con vida propia, pero cuyo método se identifica con el
propio método de la lógica. Se concibe así la matemática como una disciplina universal que
regiría todas las formas de argumentación.
El avance increíble en los medios de comunicación que caracterizaron las últimas décadas del
siglo veinte y que en el comienzo del nuevo siglo, hace que cualquier fantasía en este campo
sea rápidamente una realidad. Nos provee de información continua en todas las áreas, sin
embargo en muchos casos la cantidad de ésta no se equipara con su calidad. Es, en particular,
en este aspecto: el procesamiento o análisis crítico, individual y colectivo de la información
recibida y producida, en diferentes modalidades, sobre el que quiero llamar la atención; y al
respecto destaco con referencia a él, los siguientes elementos. La manipulación de la
información, manifiesta desde los mensajes publicitarios cotidianos inductores al consumismo
desmedido, plagados de falacias hábilmente diseñadas por sus autores por un lado y
aceptadas por el desconocimiento del público por el otro.
Las posiciones políticas sostenidas públicamente por líderes mundiales, que no resisten el menor
análisis por las contradicciones y sofismas que conllevan, pero que pasan airosos en todos los
auditorios sin ninguna crítica a su contenido. La ausencia preocupante de interlocutores
válidos, veraces, objetivos, en diferentes escenarios donde se toman decisiones cruciales que
pueden afectar desde una población local hasta la humanidad completa, nos llevan a
presenciar como la ausencia de la fuerza argumentativa es reemplazada, lamentablemente en
muchas ocasiones, por la fuerza bruta; y en muchos otros la palabra comprometida hoy,
mañana se olvida.
Estas situaciones reales parecen apuntar a un “nuevo orden” en el cual son protagonistas la
información liviana, acrítica, convincente, fácilmente asimilable, donde importa mucho la
forma pero muy poco el fondo; y que inevitablemente me lleva a pensar si ese objetivo ideal de
la argumentación válida con todos los elementos que la caracterizan, que obviamente está en
contravía con este diagnóstico actual, ha caducado y su existencia se reduce exclusivamente
al lenguaje de las matemáticas.
Sin embargo creo que nuestra obligación como seres pensantes, como integrantes de una
cadena evolutiva, como formadores, nos impide claudicar, y hoy como nunca nos exige
cultivar denodadamente todos los elementos que enriquezcan nuestra racionalidad, que
estimulen y movilicen nuestros esquemas cognitivos. Es en este aspecto esencial donde
considero que la lógica, como disciplina formativa, tiene un papel importante que tenemos que
aprovechar como parte de un proceso educativo integral; que tenga como objetivo hacernos
ciudadanos responsables, críticos sanos y objetivos, tanto en la información que recibimos
como en los juicios que emitimos.
Es el reto al que nos convoca una sociedad que avanza vertiginosamente en muchos campos,
pero que igualmente nos demanda mejor formación para ser participantes activos en ella.
Un objeto esencial de la lógica, siempre, ha sido el estudio de la inferencia y buena parte de
nuestro trabajo estará orientado en esta dirección. Estudiaremos reglas para evaluar las
inferencias y aprenderemos a distinguir las correctas de las incorrectas.
La lógica matemática cuestiona con rigor los conceptos y las reglas de deducción utilizados en
matemáticas lo que convierte a la lógica en meta-matemática.
OBJETIVO DE LA LÓGICA:
Es el estudio de inferencias y el pensamiento, nos proporciona principios para determinar que
tipo de evidencia es apropiada para una situación.
PENSAMIENTO:
Proceso mediante el cual el hombre abstrae la realidad, hasta hacer percepción de los
fenómenos al conformar una imagen de estos.
FACTORES DE PROCESO:
a)
Un sujeto pensante que produce el pensamiento.
b)
Un objeto al que se refiere el pensamiento y que determina su contenido.
c)
La forma en que se expresa el pensamiento.
INFERENCIAS:
Es una evaluación que realiza la mente entre conceptos, que al interactuar muestra
propiedades de forma discreta, utilizamos la abstracción para entender el problema que
permite tratar una línea lógica de causa-efecto.
En la lógica se desarrollan sistemas lógicos para caracterizar diferentes clases de argumentos
validos.
1.2.
PROPOSICIONES Y SU CLASIFICACIÓN
LÓGICA PROPOSICIONAL
Es un sistema lógico que trata la clase de argumentos cuya validez exclusivamente dependen
de cómo están conectados los enunciados.
PROPOSICIONES Y CONECTORES LOGICOS:
Una proposición o enunciado es una oración diofántica (bivalente) que puede ser V o F, pero
no puede tener estos dos valores de verdad al tiempo
La proposición es un elemento fundamental de la lógica preposicional
Cada proposición tiene una forma lógica la cual se expresa con un nombre o variable
preposicional. Se distinguen cuatro tipos de proposiciones:
Enunciados Abiertos
Enunciados Cerrados
Proposiciones Simples
Proposiciones Compuestas
a)
ENUNCIADOS ABIERTOS:
Un enunciado abierto es una oración donde el sujeto de la acción no se identifica claramente.
Ejemplo:
x es un número par y primo
y es un día de la semana.
Un enunciado abierto que involucra una igualdad y en la que se desconocen uno o varios de
sus términos se llama ECUACIÓN.
b)
ENUNCIADOS CERRADOS:
Es un enunciado que puede ser VERADERO o FALSO, cuando identificamos claramente el sujeto
que realiza la acción.
Un enunciado abierto, puede convertirse en un enunciado cerrado, verdadero o falso, al
sustituir el término variable por un término constante elegido de un conjunto referencial.
3
Ejemplo:
2 es un número par y primo (Verdadero)
7 es un número par y primo (Falso)
Carlos es un día de la semana
(Falso)
Jueves es un día de la semana
(Verdadero)
c)
PROPOSICIONES SIMPLES:
Una proposición se considera simple si en ella no intervienen conectores lógicos o términos de
enlace.
Las proposiciones simples se representan mediante las letras del alfabeto español p, q, r, s, t,
usadas comúnmente. A las cuales se les denomina como Variables Proposicionales.
Ejemplo:
p : Camila estudia Medicina
q : Laura estudia Comunicación Social
ENLACES LOGICOS:
Los conectores son las contrapartidas formales de las conjunciones gramaticales, mediante las
cuales formamos de enunciados simples, otros llamados compuestos.
“y”
se representa
““
“o”
se representa
“ ”
“Si…entonces…”
se representa
“…si y sólo si…“
se representa
“No…, ni…”
se representa.
d)
“  ” o “ ”
“  ” o “ ”
“  , ~”
PROPOSICIONES COMPUESTAS:
Una proposición compuesta es un enunciado de verdad que esta compuesto por dos o más
proposiciones simples, unidas mediante conectores lógicos, formando una nueva oración.
Una proposición se considera compuesta o molecular si se juntan dos o más proposiciones
simples con términos de enlace o conectores.
y
Los conectores o términos de enlace “ “, “ o ”, “Si… entonces”, “Si y solo si”; se usan para ligar
dos proposiciones, el termino “ no ”se agrega a una sola proposición.
Ejemplos:
p : Hoy es día miércoles.
q : Hay clase de lógica matemática.
Estas proposiciones son simples, y con ellas de puede formar o construir proposiciones
compuestas.
Como:
a.
Hoy es día miércoles y hay clase de lógica matemática.
Y se presenta simbólicamente así: “p y q”
En notación lógica:
b.
Hoy es día miércoles o hay clase de lógica matemática.
Y se presenta simbólicamente así: “p o q”
En notación lógica:
c.
pq
pq
Si hoy es día miércoles entonces hay clase de lógica matemática.
Y se presenta simbólicamente así: “Si p entonces q”
En notación lógica:
pq
d.
Hoy es día miércoles si y sólo si hay clase de lógica matemática.
Y se presenta simbólicamente así: “p si y sólo si q”
pq
En notación lógica:
e.
Hoy no es día miércoles, ni hay clase de lógica matemática.
Y se presenta simbólicamente así: “no p, ni q”
En notación lógica:
“
p , q ”
SIGNOS DE AGRUPACION:
  Paréntesis
  Corchetes
 Llaves
5
Con estos elementos del vocabulario, variables, conectivos y signos de agrupación se puede
presentar la sintaxis de la lógica, podemos explicitar las reglas sintácticas mediante las cuales
podemos formar proposiciones moleculares a partir de otras formulas o proposiciones atómicas.
VALORES DE VERDAD DE UNA PROPOSCIÓN
Una proporción puede tener un solo valor de verdad, así este conformando una proposición
compuesta.
Pueden suceder las siguientes probabilidades de acuerdo a cada opción de trabajo:
Si es una proporción Simple
P
F
V
Si son proposiciones compuestas, depende del número de proposiciones compuestas:
Si son 2 proposiciones
Si Son 3 Proposiciones
P Q
P Q R
V V
V V V
V F
V V F
F V
V F V
F F
V F F
F
F
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
Si observamos, de acuerdo con el número de proposiciones simples, que conformen una
proporción compuesta, obedece a la sucesión
2 
n
2 = 2   2 , quiere decir que tiene 2 valores de verdad.
2 = 2   4 ; es
Si una proposición compuesta, tiene 2 proposiciones simples, tendríamos que
Si es una proposición
n
1
n
decir, cada proposición puede tener cuatro valores de verdad.
2
2  2   8 ; es
n
Si una proposición compuesta, tiene 3 proposiciones simples, tendríamos que
=
decir, cada proposición puede tener ocho valores de verdad. Y así sucesivamente.
3
1.3.
CONECTORES LÓGICOS.
CONECTIVOS LOGICOS
CONJUNCION
La conjunción es una proposición compuesta que resulta de unir las proposiciones simples con el
enlace “y”. Símbolo: “  “
pq
Enunciado compuesto:
Significado: “y”,…”pero”….,…”aunque”…
Ejemplo:
“El automóvil enciende cuando tiene gasolina y tiene corriente la batería”
p : El automóvil enciende cuando tiene gasolina.
q : El automóvil enciende cuando tiene corriente.
Se representa
pq
La tabla de verdad es:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pq
V
F
F
F
Según esto:
p : V Significa que el auto tiene gasolina en el tanque
q : V Significa que la batería tiene corriente
p  q = V Representa que el auto puede encender.
Si p o q tiene como valor de verdad F implica que no tiene gasolina en el tanque o no tiene
energía la batería y que por lo tanto no puede encender.
Conclusión:
Una conjunción es verdadera cuando las proposiciones simples que la forman son verdaderas.
DISYUNCIÓN
La disyunción es una proposición compuesta que resulta de unir las proposiciones simples con el
enlace “o”. Se clasifica en DISYUNCIÓN INCLUSIVA y DISYUNCIÓN EXCLUSIVA.
DISYUNCION INCLUSIVA
La disyunción Inclusiva es una proposición compuesta que resulta de unir las proposiciones
simples con el enlace “o”. Su símbolo: “  ”
Enunciado compuesto: “
pq”
Significado “… o …, …u….”
Con este conector se obtiene un valor de verdad V cuando alguna de las dos proposiciones es
verdadera.
Ejemplo:
“Una persona puede entrar al teatro si compra el boleto u obtiene una invitación gratuita”
p : Una persona entra al teatro si compra el boleto.
q : Una persona entra al teatro si obtiene una invitación gratuita.
Se representa
pq.
La tabla de verdad es:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
La única forma en la que no puede ingresar al teatro (
(p=F) y que no obtenga una invitación gratuita (q =F)
pq
V
V
V
F
p  q =F), es que no compre su boleta
7
Conclusión:
La Disyunción Inclusiva implica que puede verificarse una de las dos proposiciones simples, o
ambas a la vez; ya que uno no excluye a la otra.
DISYUNCION EXCLUSIVA
La disyunción Exclusiva es una proposición compuesta que resulta de unir las proposiciones
simples con el enlace “o”. Su símbolo: “  ”
Enunciado compuesto: “
pq”
Su significado: “o bien...”
Con este conector se presenta que al menos una de las opciones es verdadera, pero solo una,
si p=V y q =V entonces
p  q =F
Ejemplo:
“o Juan es cristiano o musulmán”
p : Juan es cristiano
q : Juan es musulmán
Se representa
pq
La tabla de verdad es:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pq
F
V
V
F
En este conector si se plantea (p=V)y (q =V) el resultado de
cristiano o musulmán y no las dos.
p  q es falso porque Juan es
Conclusión:
La Disyunción Exclusiva implica que se verifica una de las dos proposiciones, pero no ambas a
la vez.
NEGACION
La Negación es una proposición simple, que resulta de contradecir el sentido de verdad de
dicha proposición. Su símbolo: “  , ~”
Su enunciado compuesto: “
p , ~p”
Su significado: “No, no es cierto que…, ni”
Su función es negar los enunciados o proposiciones, esto significa que si alguna proposición es
verdadera y se aplica el operador su negación es Falso.
Ejemplo:
p : Hoy esta lloviendo.
Su negación: ~p : Hoy no esta lloviendo
La tabla de verdad es:
p
V
F
~p
F
V
CONDICIONAL O IMPLICACION
Una condicional es una proposición de la forma “Si p entonces q”, donde “p es una condición
suficiente para que q se cumpla”. Su símbolo: “  ” o “  ”
Su enunciado compuesto:
P  Q o P  Q.
Su significado: “Si … entonces…”
Una proposición condicional esta compuesta por dos proposiciones simples: que se llaman
pantecedente o Hipótesis y qcon sec uente o Tesis.
P  Q
Antecedente
Consec uente
Ejemplo:
Un candidato a la alcaldía dice:
Si salgo elegido alcalde, los niños recibirán alimentación gratuita.
p :
q :
Salio elegido alcalde.
Los niños recibirán alimentación gratuita.
Se representa:
pq
Su tabla de verdad es:
p
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
pq
V
F
V
V
Cuando p=V significa que salio elegido, y q =V significa que los niños recibirán alimentación
gratuita, por tanto
p  q =V y el candidato cumplió su palabra.
p  q =F, el candidato no cumplió por que fue elegido y no le
Cuando p=V y q =F significa que
dio alimentación gratuita a los niños.
Cuando p=F y q =V significa que aunque el candidato no fue elegido le dio alimentación
gratuita a los niños, por tanto
p  q =V
Conclusión:
La Condicional es una proposición compuesta falsa, si el antecedente es verdadero y el
consecuente es falso, en los demás casos la proposición es verdadera.
BICONDICIONAL O DOBLE IMPLICACION
Una Bicondicional es una proposición donde “p es una condición necesaria y suficiente para
q”. Su símbolo:  o  .
PQ
Su enunciado compuesto:
Su significado: “…si y sólo si…“

 

Sea proposición bicondicional p  q Y se puede expresar: p  q  q  p . Esto significa
que p es verdadera si y solo si q es verdadera. O bien p es falsa si y solo si q también lo es.
Ejemplo:
Apruebas la asignatura, si y solo si entrega las actividades escolares.
p : Apruebas la asignatura.
q : Entrega las actividades escolares.
Se representa:
pq
Su tabla de verdad es:
p
V
V
F
F
pq
Q
V
F
V
F
V
F
F
V
Conclusión:
Las proposiciones condicionales solamente son verdaderas si tanto p como q son falsas o
verdaderas.
RESUMEN
Recuerde que:
Una proposición es un enunciado del que se puede decir que es verdadero o falso.
El valor de verdad de una proposición es la veracidad o falsedad de está.
Una proposición compuesta, son dos proposiciones unidas mediante unos símbolos
denominados conectivos lógicos.
La siguiente tabla muestra los diferentes conectivos de la lógica proposicional con su respectivo
nombre, símbolo, notación y lectura.
NOMBRE
CONJUNCIÓN
DISYUNCIÓN
DISYUNCIÓN
EXCLUSIVA
IMPLICACIÓN
CONDICIONAL
DOBLE
IMPLICACIÓN
EQUIVALENCIA
BICONDICIONAL
NEGACIÓN
SÍMBOLO


NOTACÍÓN

pq

pq

pq
p si y sólo si q
p es equivalente a q

p
No p; es falso que p
pq
pq
LECTURA
p y q
p o q
p o q , pero no
ambas
p implica q
Si p entonces q
9
La siguiente tabla muestra los valores de verdad de las proposiciones compuestas para cada
uno de los diferentes conectivos.
p
V
V
F
F
1.4.
q
V
F
V
F
pq
pq
pq
pq
pq
p
q
V
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
F
V
TABLAS DE VERDAD.
Teniendo en cuenta que la forma correcta de escribir una variable proposicional es la sintaxis y
la semántica es lo que significa. En la lógica una variable proposicional une solamente dos
valores de verdad V o F. Para determinar de una Variable Proposicional, debemos seguir las
reglas que se dieron en el tema conectores. Esto se hace mediante interpretación que son un
conjunto de valores que se asignan a sus proposiciones simples o atómicas; Al realizar la
interpretación de Variable Proposicional se obtiene un valor de verdad V o F. Cada tabla tiene
un número de interpretaciones que aparezcan en la familia.
El criterio para determinar cuántas interpretaciones posibles hay, tiene una formula
n es el numero de proposiciones simples.
Así la tabla de verdad de una fórmula que tenga 2 variables tendrá
2 n donde
2 2  4 filas, una que tenga
3, 2  8 , etc.
Luego de calcular el número de filas se procede de la siguiente manera:
La columna 1 corresponde a la asignación de todas las combinaciones de valores de verdad
posibles de las V o F que aparecen en la formula.
Calculo del valor de verdad de la negación de las V o F.
Calculo de los conectores binarios que afectan a los resultados del paso anterior o a
negaciones.
Se calculan todos los conectivos binarios hasta llegar al conector principal.
3
El resultado de la tabla aparece reflejado en la ultima columna donde este el conector
principal.
Ejemplo 1:
P  q  p  q
Construcción de tabla de verdad
Esta proposición compuesta tiene 2 proposiciones simples, por tanto
22  4
p
q
p
q
pq
p  q
 p  q  p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
Ejemplo 2:
 p  q  q  p  r
La proposición compuesta tiene las proposiciones simples P, Q, R por tanto 2  8
3
p
q
r
q
 p  q
q p
 p  q  q  p
r
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
El resultado de la tabla de verdad de una formula es la última columna. En este resultado
pueden ocurrir tres casos: Que el resultado final de la tabla solo arroja signos V.
El resultado final de la tabla solo arroja signos F - El resultado final presenta signos de V y signos
de F indistintamente.
Se dice que es:
TAUTOLOGÍA: Si y solo si su valor de verdad es siempre V, para toda interpretación posible. Esto
significa que el resultado de la tabla arroja solo V en su columna final.
CONTRADICCIÓN: Si la tabla de verdad arroja solamente F.
CONTINGENCIA: Si y solo si su valor de verdad es falso para al menos una interpretación y V
para al menos otra.
La cual se divide en:
Consistencia: Cuando la tabla de verdad arroja mayor cantidad de valores verdaderos que
falsos.
Inconsistencia: Cuando la tabla de verdad arroja mayor cantidad de valores falsos que
verdaderos.
1.5.
LOGICA DE PREDICADOS
LOGICA DE PREDICADOS O CUANTIFICACIONAL
La lógica de enunciados solo analiza los racionamientos cuya validez no depende de la
estructura interna de las proposiciones. Hay racionamientos validos en la parte formal en los que
es preciso penetrar la estructura interna del enunciado. Dada una proposición, la lógica de
predicados distingue entre individuos y sus propiedades
Ejemplo:
“Manuel estudia Ingeniería de Sistemas”
a , b, c
Es una proposición simple, donde los sujetos se simbolizaran con letras minúsculas
y se
llaman constante individual o términos.
Se llama predicado a la palabra o frase que hace referencia al sujeto o termino, y se simboliza
A, B, C
Ejemplo:
Manuel estudia ingeniería de sistemas:
a
A
11
FUNCIONES PROPOSICIONALES
Considere una proposición:
Gustavo es ingeniero
Pedro es ingeniero
Mario es ingeniero
Estas proposiciones tienen algo en común y es el predicado. Esto se puede expresar utilizando
una variable individual
x  .
“ x es ingeniero”
falsedad
Esta expresión no es una proposición puesto que no es verdad ni
. x es una variable
que toma valores dentro de un conjunto (referencial), estas expresiones reciben el nombre de
funciones preposicionales.
La notación que se empleará para cualquier Proposición Simple serán las letras
mientras que una función proposicional la representamos por
p, q, r ,... etc.,
Px , Qx , Rx ,... etc.
Ejemplo:
“ x es un numero racional y z es un numero entero”
En símbolos:
Rx  E z
CUANTIFICADORES
Las expresiones:
“Todo hombre es mortal”
“Algunos hombres son ignorantes”
Pueden traducirse:
Para todo x , si x es hombre entonces es mortal
Existe un x , tal que x es hombre y x es sabio.
Estos cuantificadores se dividen en:
a)
CUANTIFICADOR UNIVERSAL

Símbolo: x
Significa: “Para todo
Todo x
Cualquier x
Cada x
b)
x”
CUANTIFICADOR EXISTENCIAL

Símbolo: x
Significa: Hay x
Existe un x , tal que
Algún x
Algunos x
Existen tres formas de convertir una función proposicional PX en una proposición a saber:
Haciendo la sustitución de las variables por un termino especifico
Anteponiendo la expresión “Para todo x ”
Anteponiendo la expresión “Existe un x ”
 x PX  : Existe un x tal que
 x PX  : Para todo x , PX
PX
Al anteponerle a la función proposicional
ligada.
Una proposición
PX un cuantificador, x pasa a ser una variable
 x PX  es V , cuando todas las sustituciones de la variable
del conjunto de referencia convierte a
 P 
x por elementos
PX en verdadera.
x
X
Una proposición
es V , cuando toda las sustituciones de la variable
elemento del conjunto de referencia.
x por al menos un
Ejemplo:
Decir si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas
a.
b.
c.
d.
x  Z 3x  7  4x  14
x  Z x 2  1  0
x  Z x 2  1  0
x  Z x  12  x 2  2 x  1
Solución:
a.
x  Z 3x  7  4x  14
Como 33  7  43  14 , entonces el conjunto solución es 3, que no es vacío y, por
tanto, la
b.
proposición es verdadera.
x  Z x 2  1  0
Como esta proposición se debe cumplir para todo entero y
entonces
la
proposición es falsa.
0  Z y 0 2  1  1  0 ,
NEGACION DE PROPOSICIONES CUANTIFICADAS
Las proposiciones universales pueden negarse como en el enunciado:
“No todos los ingenieros”.

M 
x
X
Y se simboliza:
También se puede utilizar: “Ninguno, ningún, nada, nadie “.
La proposición “Ninguno es mecánico” no equivales a “No todos son mecánicos”, sino a la
 M 
x
X
expresión: Para todo x , x no es mecánico
Las proposiciones anteriores pueden ser negadas como por ejemplo:
“No es cierto que hay mecánicos”. En símbolos:
“Alguien no es mecánico”.
En símbolos:
x M X 
x M X  .
Para estudiar la negación de funciones proposicionales, es conveniente fijar nuestra atención
en el diagrama dado.
13
Veamos las cuatro formas de proposiciones generales que hay tradicionalmente en la lógica:
A:
Todo S es P:
Todos los hombres son mortales.
E:
Ningún S es P: Ningún hombre es mortal.
I:
Algún S es P:
Algún hombrees mortal.
O:
Algún S no es P:
Algún hombre no es mortal.
En las formas anteriores, S significa un sujeto del cual se afirma o niega algo, y P es el predicado,
o sea lo que se dice del sujeto.
Observe que las dos primeras proposiciones son universales, la primera afirmativa y la segunda
negativa; las dos últimas son particulares, la primera afirmativa y la segunda negativa.
A continuación se presentan las equivalencias, usando funciones proposicionales con
cuantificadores:
A:
E:
I:
O:
xPx 
Universal afirmativa
x Px  Universal negativa
Ningún S es P:
x Px 
Algún S es P:
Particular afirmativa
x Px  Particular negativa
Algún S no es P:
Todo S es P:
En Conclusión:
La negación de una función proposicional con un cuantificador universal es equivalente a la
negación de la misma función proposicional, precedida por el cuantificador existencial y
viceversa.
Es decir:
x  S Px   x  S Px 
ó
x  S Px   x  S Px 
Ejemplo:
Encontrar la negación de las siguientes proposiciones:
a.
Solución:
x  x  3  10
x  x  3  10  x  x  3  10
x  x  3  7
b.
Solución:
x  x  3  7  x  x  3  7
ACTIVIDADES DE CARPETA
ACTIVIDAD PROPUESTA UNO
A.
Separe el término del predicado en cada una de las siguientes proposiciones:
1. El lenguaje es la forma de comunicación más común que usa el ser humano.
2. 328 + 245 = 573
3. Doña Bárbara es la obra más importante de Rómulo Gallegos.
B.
Escriba 3 proposiciones y separa en cada una de ellas el término del predicado.
C.
Determine cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones y cuáles no lo son:
1. Jorge usa anteojos.
2. ¿Tres es un número par?
3. 15 es múltiplo de 4.
4. ¡Dile que salga!
5. El libro está en el escritorio?
D.
Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:
1. La Luna es un satélite de Marte.
2. 24 es múltiplo de 4.
3. El periódico llega todas las mañanas.
4. Todos los lunes son festivos.
5. La Constitución que nos rige fue promulgada en 1991.
E.
Construye proposiciones compuestas con las siguientes parejas de proposiciones
simples (utiliza los enlaces lógicos adecuados):
1. Pedro tiene 15 años.
Su padre tiene 38 años.
ACTIVIDAD PROPUESTA DOS
A.
a)
c)
e)
g)
Determine a qué corresponde, (Falacia, tautología, o indeterminación) cada una de las
siguientes
proposiciones:
 p  q   p  q
 p  q   p  q
 p  q   p  q
 p  q  p  p  q
b)
d)
f)
h)
p  q  p
 p  q  p  q
 p  q  s   p  q  s
 p  q  p  q  p
B.
Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones, si el conjunto
universal
son los números reales:
a.
x x 2  x 
b.
x x  x
15