Download PROBLEMAS: Un rociador tiene cuatro brazos de 50cm de largo

I.
PROBLEMAS:
1. Un rociador tiene cuatro brazos de 50cm de largo con boquillas a
ángulos rectos con los brazos y a 45° con el suelo como se muestra
en la figura. Si la velocidad de flujo total es de 0.01m 3/s y las
boquillas son de 12mm de diámetro, calcule la velocidad de rotación
del rociador. Ignorar la fricción.
Solución:
- La velocidad de salida sera:
Ve 
Q
A
Q = Gasto, descarga, flujo total
sabemos que:
A  π.D 2 /4  A  π(0.012)2 /4
Q
0.01
4
Entonces:
(porque son 4 boquillas, por lo tanto 4 áreas de salida)
Ve 
(0.01)
 Ve  22.1m/s
 (0.012)2
- Fijando el marco de referencia como se indica y tomando los
diferenciales, tenemos:
Ahora el momento inercial sera:
d 2 A
dΩ 
M I   r   2  2Ω V  Ω  (Ω  r) 
 r  ρ.d
dt
dt


pero:
r  [Ω  (Ω  r)]  0
y suponiendo que el rociador es
d2A
0
estacionario de manera que
dt 2
También la velocidad angular () es constante, entonces:
d
0
dt
La nueva ecuación será:
M I   r  [2Ω  V] ρ.d
Realizando las respectivas direcciones y d = A dr , tenemos:
0.5
M I  4  r i  (2Ω k  V i ) ρAdr
0
0.5
M I  8 A Ω V k  r dr

MI  ρ A Ω k
0
Aplicando la ecuación de Cantidad de movimiento:
(  M)Z - (M I ) Z   (r  V ) Z V n ρA
Pero (M)Z = 0 , por lo que no hay momentos externos alrededor del
eje Z, entonces reemplazando tenemos:
- ρAVΩ  4
 [0.5 i  (0.707 V
e
Asalida
k - 0.707 Ve j )] ZVe . .dA
- Ae .Ve .Ω  4  0.5  0.707 Ve .Ae
 Pero A.V  Ae .Ve
Ω  4  0.5  0.707  Ve
Ω  4  0.5  0.707  22.1
 Ω  31.25 rad/seg
2. Las boquillas de un rociador forman un ángulo de 0° con el suelo y
90° con los brazos. En el instante t = 0 ,de repente se abre el agua
con el rociador estático. Determínese la velocidad angular en
función del tiempo (t) resultante si el diámetro del brazo es de
24mm. Ignore la fricción.
Solución:
- La Ecuación del Momento de la cantidad de movimiento es:
(  M)Z - (M I ) Z 
d
dt
 r  Vρ d   r  V(V. n)ρA
Pero (M)Z = 0 y r x V = 0 ya que r esta en la misma dirección de V
0.5
M I  4  r  [2Ω  V  Ω  (Ω  r) 
0
Entonces tenemos:
d
k  r i] . A.dr
dt
0.5
( M ) Z  4  r i  [2k  V i  Ω k  (k  r i ) 
0
d
k  r i] . A.dr
dt
d
r i V i  d  4  0.5 i Ve ( j )Ve ρ dA
dt 
Asalida
Desarrollando y dividiendo entre 4
0.5
0.5
dΩ
 2AV.Ω  r.dr 
A  r 2 dr  0.5 Ve2 Ae
dt 0
0
Pero A.V = Ae.Ve = 0.01 m3/s y Ve = 2.21m/s
d
 132.6 Ω  58.62 ... (a)
dt
Donde (a) es una ecuación diferencial de primer grado lineal y
desarrollando esta ecuación tenemos:
Ω(t)  C
e132.6t  44.2
Utilizando las condiciones iniciales (0) = 0, tenemos:
C = -44.2
La ecuación será:
Ω(t)  44.2 (1 -
e132.6t ) rad/seg
3. Considere el flujo simétrico de aire alrededor del cilindro. El
volumen de control , excluido del cilindro , se muestra en la figura.
La distribución de velocidad consiste abajo del cilindro es
aproximadamente parabólica, como se muestra. Determine la fuerza
de retardo por metro de longitud que actúa en el cilindro.
Use  = 1.23 Kg/m3.
Solución:
-
Se debe conocer que todo el flujo de masa que entra por AB sale
por CD, por consiguiente, algo de flujo de masa debe salir por AD
y BC. La ecuación de cantidad de movimiento para el flujo
continuo, aplicado al volumen de control ABCD, asume la forma:
  .V
-F 
X
.Vm.dA 
S.C.
  .u.Vm.dA    .u.Vm.dA 
ACD
AAD
 ρ.u.Vm.dA   ρ.u.Vm.dA
ABC

  .u
2
.dA  (Vm)( mAD )  (Vm)( mBC ) 
ACD
AAB
  .u
2
.dA
AAB

y2 
dy  (2  30)(m AD )  (1.23  30 2  20) ...(1)
 2  1.23 29 
100 

0
10
Donde mBC = mAD es le flujo de masa que atraviesa BC y AD con la
componente de velocidad x igual a 30m/s.
Vm = Vm , la cual es la pequeña componente de la velocidad y ahora
utilizamos la continuidad para determinar mAD .
0
 .m.V .dA    .m.V.dA    .m.V.dA    .m.V.dA    .m.V.dA
AAD
ABC
10
AA
 mAD  mBC  2   .u(y).dy  ( ρ  20  30)
0
ACD

y2 
dy  (1.23  20  30)
 2mAD  2  1.23   29 
100


0
10
mAD  8.2 Kg/s Por metro de longitud
Reemplazamos en (1):
F = - 21170 – 492 + 22140
F = 478 N/m
4. A través del codo de una tubería horizontal fluye agua y sale a la
atmósfera , como se muestra en la figura. La velocidad del flujo es
de 0.3ft3 /s. Calcule la fuerza en cada una de las varillas que
mantienen al codo en su posición. Pase por lato las fuerzas del
cuerpo, los efectos viscosos y la fuerza cortante en las varillas.
Solución:
-
Elegimos un volumen de control que envuelve la codo. Como se
cortaron las varillas, se incluyen las fuerzas que estas ejercen en
el volumen de control. La sección flexible resiste la presión interna
aunque no trasmite fuerza axial o momento.
Las velocidades promedio son:
Q
0.3 ft 3 /s
V1 

 6.11 ft/s
A1 ( /4)(3/12) 2 ft 2
Q
0.3 ft 3 /s
V2 

 24.45 ft/s
A2 ( /4)(1.5/12 )2 ft 2
-
Luego calcularemos las presiones p1 y p2 . La presión p2 = 0,
porque el flujo sale hacia la atmósfera. La presión p1 se
determina mediante la ecuación de la Energía o de Bernoulli.
2
V1
p1 V22 p2



2g 
2g 
p1 
-
 p1 
2g 2
(V2  V12 )
γ
62.4 lb/ft 3
(24.4 2  6.112 ) ft 2 /s 2  540.70 lb/ft 2
2
2  32.2 ft/s
Ahora se puede aplicar la ecuación de cantidad de movimiento en
la dirección x e y para determinar Rx y Ry.
Dirección x:
p1 . A1  Rx  m(V2 X  V1 X )
p1.A1  Rx  .Q(V1X )
(540.70 lb/ft 2 )[(π[(π/4)12)2 ft 2 ]  Rx  (1.94)(0.3 ft/s)( 6.11 ft/s)
Rx = 30.10 Lb
Dirección y:
Ry  m(V2Y  V1Y )
Ry  (1.94)(0.3 ft/s)(24.4 ft/s)
Ry = 14.20 Lb
5. El tubo horizontal que se muestra, originalmente esta lleno con agua
a lo largo de la distancia x. Un chorro de velocidad constante choca
contra la parte llena. La fuerza de fricción del fluido en la pared
del tubo esta dado por 0 Dx , donde 0 =  f V22/8. Establézcanse
las ecuaciones que describen este escurrimiento para las siguientes
condiciones iniciales; para t = 0, x = x0 y V2 = V2o . Determínese la
rapidez con que cambia V2 y x respecto al tiempo, para V1 = 20m/s ,
D1 = 6cm , V2o = 50cm/s , D2 = 25cm , x0 = 100m ,  = 997.3Kg/m3 y
f = 0.02
Solución:
-
Para analizar este problema de flujo no permanente, se emplearán
las ecuaciones de continuidad y de la cantidad de movimiento.
Considérese el volumen de control formado por la pared del tubo y
las dos secciones transversales en los extremos separadas una
distancia l, como se indica en la figura.
La ecuación de continuidad:
0
d
dt
 dv   VdA
Se reduce a:
d
[ A2 x  A1 (l  x)]   (V2 A2 - V1 A1 )  0
dt
Donde A1 =  D12/4 , A2 =  D22/4
Al simplificar se obtiene:
d
( A2  A1 )  V2 A2 - V1 A1  0
dt
La ecuación de la cantidad de movimiento para la dirección
horizontal x se escribe como:
 Fx 
d
dt
ρv
x
dv   ρ vxV dA
vc
sc
Es decir:
f V22 π D2 x
d
ρ

[ρ A2 x V2  ρ A1 (l  x)V1 ] 
8
dt
2
ρ A2 V2 - ρ A1 V1
2
La cual se simplifica a:
f V22 π D2 x
d
dx
2
2
 A2 (x V2 ) - A1V1
 A2V2 - A1V1  0
8
dt
dt
Dado que t es la unica variable independiente, las derivadas parciales
se pueden reemplazar por derivadas totales, escribiéndose para la
ecuación de continuidad:
dx V2 A2 - V1 A1

dt
A2 - A1
Al desarrollar la ecuación de cantidad de movimiento y al sustituir
dx/dy de la ecuación de continuidad, se obtiene:
dV2
1 
f V22 π D2 x ( A2V2  A1V1 ) 2 
2
2

A1V1  A2V2 


dt
xA2 
8
A2  A1

Las dos ultimas ecuaciones no lineales se pueden resolver
simultáneamente utilizando metodos numéricos si se conocen los
valores iniciales. La rapidez con que cambia x y V2 para este
problema particular, se determinan directamente de las ecuaciones,
obteniéndose:
dV2
 0.0496 m/s 2
dt
dx
 0.692 m/s
dt
6. Determinese la fuerza que actua sobre un álabe fijo cuando un
chorro con 2pie3/s de agua a una velocidad de 150pie/s es
desviado un ángulo de 135° por el álabe.
Solución:
-
Tal como se muestra en la figura , aplicaremos la ecuación de la
cantidad de movimiento en la direcciones x e y, encontrándose
que:
 Fx  ρ V0 Cos θ V0 A0  ρ V0 ( V0 A0 )
Fy  ρ V0 Sen θ V0 A0
Por tanto:
Fx  (1.935 slugs/pie
Fy  (1.935 slugs/pie
3
3
)(2 pie 3 /s)(150 Cos135   150 pie/s)  990 Lb
)(2 pie 3 /s)(150 Sen135  pie/s)  410 Lb
Las componentes de la fuerza que actua sobre el álabe son iguales y
opuestas a Fx y Fy
7. Un motor de combustible sólido se enciende horizontalmente sobre
una plataforma de pruebas, como se muestra en la figura. El
combustible se quema con un gasto másico m = 2Kg/s y la
velocidad Ve del chorro del cohete es de 200m/s. Calcule la fuerza
limitadora F que se necesita para mantener el cohete en su lugar.
Solución:
-
Elija un volumen de control que encierre el cohete e intercepte la
columna del chorro en un punto suficientemente alejado corriente
abajo de modo que la presión de la columna iguale a la presión
atmosferica, aplique la componente horizontal del teorema de la
cantidad de movimiento:
d
 
 

Vd
v

m
V



 mV 
dt   v

 sal 
 ent
   (  p.n)dS    τ.dS     ρ.g.dv   Fex
S
S
v
0  mVe  0  0  0  F
Advierta que el termino no estacionario, la cantidad de movimiento del
flujo de entrada y la fuerza de gravedad son cero, asi como la fuerza de
presión y la fuerza viscosa puesto que la presion es constante y el
esfuerzo viscoso es cero en la superficie de control. Al evaluar la fuerza
F, se tiene:
F  mVe
= ( 2 Kg/s )( 200 m/s ) = 400N
II.
CONCLUSIONES:
 Podemos decir que la ecuación de la cantidad de movimiento se
utiliza principalmente para determinar las fuerzas que los fluidos en
movimiento ejercen sobre los elementos.
 La ecuación de la cantidad de movimiento es importante porque nos
permite conocer el comportamiento, funcionamiento; de los
mecanismos de propulsión.
 Concluimos que estas ecuaciones, tienen una infinidad
aplicaciones en las distintas necesidades de ingenieria.
de
III.
BIBLIOGRAFÍA:
 “Mecánica de Fluidos”, Potter Merle C., Wigger David C.,
International Thomson Editores S.A. de C.V., México 2002, Páginas
(141, 142).
 “Mecánica de Fluidos, una introducción física”, Smits Alexander J.,
Alfaomega Grupo Editor S.A. de C.V., México 2003, Páginas (114 a
119).
 “Mecánica de Fluidos”, Fay James A., Editorial Continental S.A. de
C.V., México 1997, Páginas (197 a 232).
 “Mecánica de los Fluidos”, Streeter Victor L., Wylie Benjamín E.,
Editoriales McGraw-Hill.