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FISICA 1 (F) – PRIMERA PARTE –1er CUATRIMESTRE/2009
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1. REPASO MATEMATICO
1 - Hallar el módulo del vector de origen en (20,-5,8) y extremo en (-4,-3,2).
2 - a) Hallar las componentes cartesianas de los siguientes vectores:
(i)
(ii)
y

| A | 4

A
y

A

| A | 4
  30º
  135º
x
(iii)
y

A
x
(iv)

| A | 7.3
(v)
y
  330º

| A | 7
x
x

A
y

A

| A | 2.25
x
b) Hallar elmódulo y dirección de los siguientes vectores
y representarlos gráficamente:

A = (3,3)
(i)
(iv) D
= (5,0)


(ii) B = (-1.25,-2.16)
(v) E = (0,3)
1

(iii) C = (-2.5,4.33)


3 - Qué propiedades tienen los vectores A y B tales que:
 

  
a) A  B  C
y
AB C
   
b) A
  B  A
B
A2  B 2  C 2
c) A  B  C
y
4 - Usando la definición de producto escalar, calcular
a) iˆ  ˆj
e) ˆj  ˆj
b) iˆ  kˆ
f) kˆ  kˆ
c) ˆj  kˆ
d) iˆ  iˆ
g) ˆj  iˆ
donde iˆ = (1,0,0), ĵ = (0,1,0), k̂ = (0,0,1).
5 - Haciendo uso
la propiedad distributiva del producto escalar respecto de la suma,
 de
 
  
C  E  F  C  E  C  F y de los resultados obtenidos en el ejercicio anterior,


demostrar que si A = ax iˆ + ay ĵ + az k̂ y B = bx iˆ + by ĵ + bz k̂ entonces,


 
A  B = axbx + ayby + azbz.
6 - a) Utilizando el teorema de Pitágoras y la definición de las funciones trigonométricas,
demostrar en el triángulo de la figura el “Teorema del Coseno”:
AC2 = AB2 + BC2 – 2AB BC cos ,
donde AB, BC y AC son las longitudes de los respectivos lados.
A

B


C
D
AYUDA: Considerar los triángulos rectángulos ABD y ADC.
b) Utilizando la definición del seno demostrar sobre los mismos triángulos que
AC/sen  = AB/sen ,
2
y generalizar el resultado para demostrar el “Teorema del Seno”:
AC/sen  = AB/sen  = BC/ sen .
7 - a) Sean iˆ , ĵ y k̂ los versores de la terna mostrada en la figura (a). Usando la definición
de producto vectorial, calcular
(i) iˆ  ˆj
(ii) kˆ  iˆ
(iii) ˆj  kˆ
(iv) iˆ  iˆ
(v) ˆj  ˆj
(vi) kˆ  kˆ
b) Repetir el cálculo anterior para la terna de la figura (b) y comparar con los resultados
obtenidos en ambos casos.
z
z
k̂
iˆ
k̂
ĵ
y
ĵ
x
x
iˆ
y
(a)
(b)
NOTA: En lo sucesivo se convendrá en trabajar con ternas análogas a las del caso (a), en las
cuales iˆ x ĵ = k̂ , que se denominan “Ternas Derechas”.
 
8 - a) Demostrar que el producto vectorial no es asociativo y que dados los vectores A , B
y C , se cumple:
  
     
A B  C  B AC  C A B .

 
 

a) Probar que cualesquiera que sean los vectores, se cumple:






        
A B C  B  C  A  C  A B  0 .
 

c) Demostrar que el producto mixto de tres vectores cualesquiera A , B y C es igual al
volumen del paralelepípedo construido sobre los mismos una vez llevado a partir de
su origen común.
 

d) Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que tres vectores A , B y C
sean paralelos a un mismo plano es que su producto mixto sea nulo.
9 - Hallar la expresión de los vectores posición, velocidad y aceleración en coordenadas
polares y cilíndricas. Representar gráficamente.
3
2. CINEMÁTICA
10 - Un cuerpo que en el instante t = 0 se encuentra en un punto A, viaja en línea recta con
velocidad constante de módulo desconocido v. Cuando transcurre un tiempo T el móvil
pasa por un punto B que está a distancia d de A.
a) Halle v.
b) Dé dos expresiones para la posición del cuerpo en función del tiempo, una
considerando un sistema de coordenadas con origen en A y otra considerando un
sistema de coordenadas con origen en B, y grafíquelas.
11 - Un automóvil viaja en línea recta con velocidad constante desde A hasta C, pasando
por B. Se sabe que por A pasa a las 12 hs., por B a las 13 hs. y por C a las 15 hs. (AB =
50 km, BC = desconocido).
a) Elija un origen de tiempo y un sistema de referencia.
b) Elija un instante t0 ¿cuánto vale x0? Escriba la ecuación de movimiento.
c) Elija otro instante t0 ¿cuánto vale x0? Escriba la ecuación de movimiento.
d) Calcule la velocidad del auto y la distancia BC.
12 - Un móvil 1 viaja en línea recta desde A hacia B (distancia AB = 300 km) a 80 km/h y
otro móvil 2 lo hace desde B hacia A a 50 km/h. El móvil 2 parte 1 hora antes que el
móvil 1.
a) Elija un origen de tiempo y un sistema de referencia.
 
b) Escriba los vectores velocidad v1 y v2 de los móviles 1 y 2, respectivamente.
c) En un mismo gráfico represente posición vs. tiempo para ambos móviles. Interprete
el significado del punto de intersección de ambas curvas.
d) En un mismo gráfico represente velocidad vs. tiempo para ambos móviles. ¿ Cómo
encontraría en este gráfico el tiempo de encuentro ?.
13 - Repetir el problema anterior para el caso en que ambos móviles viajan desde A hacia
B.
14 - Un cuerpo viaja en línea recta con aceleración constante de módulo desconocido a y
dirección como la de la figura. En el instante t = 0 el móvil pasa por el punto A con

velocidad v0 como la de la figura, en t = t0 el móvil pasa por B y tiene velocidad nula y
en t = t1 el móvil pasa por C.
a
C
v0
A
v =0
B
a) Elija un sistema de referencia y escriba las expresiones para la posición y la
velocidad del móvil en función del tiempo, o sea x(t) y v(t).
4
b) Halle a y la distancia AB.
c) Calcule la distancia BC y la velocidad del móvil cuando pasa por C, ¿ puede usar
para este cálculo las expresiones x(t) y v(t) que escribió en el inciso a) ?.
d) Halle la velocidad media entre A y B y entre A y C, ¿ coinciden estas dos
velocidades medias ? ¿ por qué ?.
15 - Un auto viaja por una ruta a 20 m/seg, un perro se cruza a 50 m,
a) ¿cómo deben ser los sentidos de los vectores aceleración y velocidad para que el auto
frene?.
b) ¿Cuál es la desaceleración mínima que debe imprimirse al automóvil para no chocar
al perro?.
c) Idem que (b) teniendo en cuenta que el tiempo de respuesta del chofer es 0.3 seg.
d) Muestre la situación calculada en (b) y (c) en un gráfico posición vs. tiempo.
16 - Un cuerpo se deja caer desde un globo aerostático que desciende con velocidad
12 m/seg.
a) Elija un sistema de referencia y escriba las ecuaciones que describen el movimiento
del cuerpo.
b) Calcule la velocidad y la distancia recorrida por el cuerpo al cabo de 10 seg.
c) Resuelva los incisos (a) y (b) considerando que el globo asciende a 12 m/seg.
17 - Una piedra en caída libre recorre 67 m en el último segundo de su movimiento antes de
tocar el piso. Suponiendo que partió del reposo, determine la altura desde la cual cayó, el
tiempo que tarda en llegar al piso y la velocidad de llegada.
18 - Desde una terraza a 40 m del suelo se lanza hacia arriba una piedra con velocidad
15 m/seg.
a) ¿Con qué velocidad vuelve a pasar por el nivel de la terraza?.
b) ¿Cuándo llega al suelo?.
c) ¿Cuándo y dónde se encuentra con una piedra arrojada desde el suelo hacia arriba con
una velocidad de 55 m/seg y que parte desde el suelo en el mismo instante que la
anterior?.
d) Represente gráficamente.
19 - Un automóvil cuya velocidad es 90 km/h pasa ante un puesto caminero. En ese instante
sale en su persecución un patrullero que parte del reposo y acelera uniformemente de
modo que alcanza una velocidad de 90 km/h en 10 seg. Halle:
a) El tiempo que dura la persecución.
b) El punto en que el patrullero alcanza el automóvil.
c) La velocidad del patrullero en el punto de alcance.
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3. DINÁMICA – INTERACCIONES
20 - En el sistema de la figura señale las fuerzas que actúan sobre cada uno de los cuerpos e
indique los pares de interacción.
Sugerencia: aísle cada cuerpo, dibuje las fuerzas que actúan sobre él, aclarando qué
interacción las origina.
m1
m2
g
21 - Sea el sistema de la figura donde: no hay fricción, el hilo tiene masa despreciable y es
inextensible y la polea es de masa despreciable y sin rozamiento.
m1
g

m2
a) Diga cuáles son todas las fuerzas ejercidas sobre las masas y sobre el hilo. Indique los
pares de acción y reacción.
b) ¿Cuál es la aceleración del sistema en función de m1 , m2 ,  y g?
22 - El sistema de la figura, formado por dos partículas de masas m1 y m2 parte del reposo y
se mueve de tal forma que la masa m1 sube recorriendo todo el plano inclinado en un
tiempo T. Intercambiando las partículas, m2 recorre todo el plano subiendo en un tiempo
T/4 (no hay rozamiento). Sabiendo que m1/m2 = 9, hallar .
g
m1
m2

6
4. INTERACCIÓN DE ROZAMIENTO
23 - Un cuerpo se apoya sobre un plano inclinado que forma un ángulo  con la horizontal.
El coeficiente de rozamiento estático entre el cuerpo y el plano es e = 0,2 y el dinámico
d = 0,1.
a) ¿ Cuánto debe valer  para que el cuerpo abandone su estado inicial de reposo ?.
b) ¿ Cuál es la aceleración del cuerpo para el ángulo calculado en (a) ?.
5. TRABAJO Y ENERGÍA
24 - i) ¿Qué trabajo realiza un levantador de pesas que levanta 100 kg a una altura de 2m
(note que la pesa tiene velocidades inicial y final nulas).
ii) Compare el resultado en i) con el trabajo realizado por una persona de 70 kg que sube
cuatro pisos por escalera (distancia vertical: 12 m).
iii) Estimando los tiempos requeridos para realizar los trabajos de i) y ii), halle las
potencias correspondientes.
25 - Una partícula de masa m se mueve sobre una superficie horizontal. El coeficiente de
rozamiento es d . Considere una trayectoria circular de radio R.
i) Calcule el trabajo de la fuerza de rozamiento cuando la partícula se mueve desde A
hasta B, siendo A y B dos puntos diametralmente opuestos.
ii) Repita el cálculo anterior cuando la partícula se mueve sobre la recta AB.
26 - Un cuerpo de 15 kg se deja caer desde una altura de 15 m y alcanza el suelo en 2 seg.
Suponga constante la fuerza de resistencia del aire.
a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de resistencia?.
b) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo inmediatamente antes de chocar contra el suelo?.
27 - En la figura se muestra el esquema de un juguete que consiste en un auto sobre un riel
que forma un círculo vertical de radio R.
a) ¿Cuál es la velocidad mínima del autito en la parte superior del "loop" para que no
se caiga?.
b) Suponiendo que el juguete es de buena calidad, y que el rozamiento es despreciable,
¿cuál es la altura h desde la que se deberá dejar caer el auto?.
c) Después de haber usado este juguete varias veces, se observa que la altura h mínima
requerida para que el auto dé la vuelta sin caerse, es 1,3 veces la calculada en b),
¿cuál es el trabajo de las fuerzas disipativas?.
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CINEMÁTICA
1 - Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ecuación
x  kt3  bt 2 , con k, b constantes  0 .
a) Calcule la velocidad y la aceleración del cuerpo en función del tiempo, y grafíquelas.
b) Halle el instante de tiempo, y la correspondiente posición, en el cual el cuerpo tendrá
velocidad nula.
c) Describa cualitativamente el movimiento indicando en qué intervalos de tiempo el
movimiento es acelerado y en cuáles desacelerado.
2 - Una partícula se desplaza en línea recta de acuerdo a la ecuación
x
x 0  2 kt , con x 0 , k constantes > 0.
2
a) Calcule la velocidad y la aceleración de la partícula en función del tiempo.
b) Exprese las magnitudes del punto a) en función de la posición, y grafíquelas partiendo
de la posición a t = 0.
3 - Un cuerpo se mueve en línea recta partiendo a t = 0 de la posición x(t = 0) = 0 con
velocidad v (t = 0) = v0 .
Encuentre x (t ) y x(v) en los casos en que la aceleración del cuerpo está dada por la
ecuación (k constante):
a) a  kt 2
,
2
b) a   kv ,
c) a  kvx ,
k > 0.
k > 0.
k > 0.
4 - A t=0 se deja caer un cuerpo sin velocidad inicial desde una altura H del piso. Además
del peso actúa una fuerza en la dirección horizontal que provoca una aceleración en esa
dirección que puede expresarse como ax   kt 2 con k > 0.
a) Escriba las ecuaciones de movimiento y halle la ecuación de la trayectoria.
b) Diga en qué punto del eje x el cuerpo tocará el suelo. Compare con los resultados que
se obtienen para ax  0
5 - Un helicóptero se encuentra suspendido en la posición x  L , y  H . En t = 0 el
helicóptero comienza a descender con aceleración a y   kt (k constante > 0). En el
8
origen de coordenadas hay un cañón que forma un ángulo α con la horizontal y dispara
proyectiles con velocidad de salida v 0 .
a) Encuentre la trayectoria del proyectil (o sea, dé y en función de x). Grafique y vs x
para el proyectil y para el helicóptero.
b) ¿Para qué valores de vo la trayectoria del proyectil y la del helicóptero se intersectan ?
c) Si v 0 es alguno de los valores hallados en b) diga en qué instante debe efectuarse el
disparo para que el proyectil haga impacto sobre el helicóptero.
6 - Un juego de un parque de diversiones consiste en una pelotita que se mueve por un
carril rectilíneo con aceleración a = kt hacia la derecha, con k constante > 0. A t = 0, la
pelotita se halla en reposo en el extremo izquierdo del carril (punto A). El jugador
dispone de un rifle, ubicado a una distancia D del punto A, que dispara bolas con
velocidad v 0 variable, pero con un ángulo α fijo.
g
v0
a=kt

carril
A
rifle
D
a) ¿Con qué velocidad v 0 debe disparar el jugador para que le sea posible acertar en la
pelotita? Es decir, ¿para qué valor de v0 las trayectorias de la bala y la pelotita se
intersectan?.
b) Si v0 es alguna de las velocidades halladas en a), ¿en qué instante debe disparar el
jugador para pegarle a la pelotita?.
7 - Un jugador de fútbol patea la pelota fuera de la cancha hacia las tribunas con velocidad
inicial v 0 y ángulo de elevación . La tribuna forma un ángulo α con la horizontal (ver
fig.). Se aconseja utilizar un sistema de referencia con los ejes (x,y) en las direcciones
horizontal y vertical, respectivamente.
9
L
v0 

a) Muestre que la expresión del alcance L en función del ángulo  está dada por:
2v02
L
sen(   ) cos .
g cos 2 
b) Grafique el alcance L en función de  y demuestre que para cada valor de L hay dos
valores posibles de  (tiro rasante y tiro de elevación).
c) ¿Cuál es el ángulo  para el cual el alcance es máximo?
8 - Un cuerpo inicialmente en reposo ( (t = 0) = 0, t00es acelerado en una
trayectoria circular de 1,3 m de radio, de acuerdo a la ley  = 120 s 4 t 2  48 s 3 t  16 s 2
donde  es la aceleración angular medida en seg 2 .
Halle:
a)  =  (t)
b)  =  (t)
c) el vector aceleración (utilice la descomposición polar).

d) ¿cuánto vale v en t = 2 seg ?
9 - Un mecanismo de relojería utilizado para controlar cierta maquinaria consiste de dos
agujas A y B que se mueven ambas en sentido horario. La aguja A se mueve con
velocidad angular constante  0 partiendo de  A (t = 0) = 0, la aguja B se mueve con
una aceleración angular constante  partiendo con velocidad angular  B (t = 0) = 2 0
de la posición  B (t = 0) = 0.
a) Calcule en qué instantes ambas agujas coinciden.
b) Idem en el caso en que la aguja A se mueva en sentido antihorario.
10 - Un auto azul parte del reposo desde el punto O en el instante t = 0, y describe una
trayectoria circular de radio R = 90 m con una aceleración angular  a = kt (k= 6 s 3 ).
Pasado un tiempo de 3 s desde la partida del auto azul, parte del reposo desde O un auto
rojo que se mueve en línea recta hacia el punto P con una aceleración constante:
10
ar  a0 xˆ
y
azul
O
x
P
rojo
R
a) ¿Cuánto tiempo tarda el auto azul en llegar al punto P ?.
b) ¿Cuál debe ser el valor de a 0 para que el auto rojo pueda alcanzar al auto azul en el
punto P ?.
11 - Un faro que gira con velocidad angular constante w, proyecta su luz sobre una pantalla
ubicada a una distancia d = OP (ver fig.).
x
P
A
faro
O
L
pantalla


a) Halle la velocidad lineal del punto luminoso sobre la pantalla en función de datos y de
x.
b) Calcule en función de datos y de x la velocidad angular del punto luminoso para un
observador situado a una distancia D  AP de la pantalla. (Sugerencia: haga este
cálculo usando trigonometría).
c) ¿Cómo debería ser la velocidad angular del faro para que el punto luminoso se mueva
con velocidad constante?
11
12 - Una catapulta está ubicada a una distancia D de un castillo (ver fig.). La catapulta se
utiliza para lanzar proyectiles y consiste en un dispositivo mediante el cual cada proyectil
parte desre la posición (1) con velocidad nula, luego se mueve sobre la trayectoria circular
de radio R con una aceleración angular  dada por    ( nn1)1K  n (donde K y n son
constantes, n = 4) y finalmente es liberado en la posición (3).
g
catapulta
3

2
R
P
proyectil
1
D
a) Exprese la velocidad tangencial v del proyectil (cuando está en la catapulta) en
función de K, R y  . Calcule v para la posición (2).
b) Calcule (en función de K, R y g) la distancia D a la que hay que ubicar la catapulta
para que los proyectiles lanzados por ella peguen en el punto P del castillo.
13 - Un nadador puede nadar a 0,7 m/seg. respecto del agua. Quiere cruzar un río de 50 m
de ancho. La corriente del agua es de 0,5 m/seg.
a) Si quiere llegar al punto opuesto en la otra orilla, ¿en qué dirección debe nadar?
¿cuánto tarda en cruzar?.
b) Si quiere cruzar en el menor tiempo posible, ¿en qué dirección debe nadar?, ¿a qué
punto llegará?.
14 - Sobre una rampa inclinada a 30º respecto de la horizontal, un móvil asciende con una
aceleración de 1 m/seg2. Si la rampa se acelera a partir del reposo hacia la derecha a 0,5
m/ seg2:
a) ¿Cuál es la aceleración del móvil respecto de la tierra?.
b) ¿Qué velocidad adquiere el móvil al cabo de 1 seg respecto de la rampa y de la tierra?.
12
DINÁMICA
1 - El sistema de la figura está inicialmente en reposo, las poleas y los hilos tienen masas
despreciables y los hilos son inextensibles.
B
m3
g
A
m2
m1
a) Escriba las ecuaciones de Newton para las masas y la condición de vínculo que
relaciona sus posiciones.
b) Halle la aceleración de cada cuerpo y las tensiones en los hilos en función de las
masas y de g.
2 - Como se muestra en la figura, un cuerpo de masa m1 está ubicado sobre una mesa plana
sin fricción. Considere que las sogas son inextensibles, y que sogas y poleas tienen
masas despreciables. El sistema está inicialmente en reposo y la polea A es móvil.
m1
A
B
g
m2
a) Escriba las ecuaciones de Newton para ambas masas y la condición de vínculo que
relaciona sus posiciones.
b) Cuando el sistema comienza a moverse, diga cuál es la relación que debe existir entre
13
las distancias d 1 y d 2 recorridas por m1 y m2 (condición de vínculo).
c) Encuentre la aceleración de cada masa y las tensiones en los hilos en función de m1 ,
m2 y g.
3 - El sistema de la figura utiliza dos contrapesos de masa m para levantar un cuerpo de
masa M, que se halla inicialmente en reposo sobre el piso. Considere que las sogas son
inextensibles, y que sogas y poleas tienen masas despreciables.
g
m
m


M
a) Escriba las ecuaciones de Newton y las de vínculo.
b) Calcule la aceleración de cada masa en función de m, M,  y g.
c) Si el sistema comienza a accionar cuando se quitan los soportes que sostienen los
contrapesos, indicar cuál es el mínimo valor de m para levantar el cuerpo a una altura H
en un tiempo T.
4 - Un bloque de masa m1 está colocado sobre un plano inclinado de masa m2 como
muestra la figura. El plano inclinado descansa sobre una superficie horizontal. Ambas
superficies son sin fricción y ambas, el bloque y el plano, pueden moverse (ver figura).
y
g
m1

m2
x
i) Si el plano inclinado está fijo, halle las componentes x e y de la aceleración del bloque.
ii) Si el plano inclinado es libre de moverse:
a) Muestre que la componente x de la aceleración del bloque es:
a1x  m2 gtan  /( m2 sec 2  + m1 tan 2 ).
14
b) Muestre que la componente x de la aceleración del plano inclinado (y su única
componente) es:
a 2 x  m1 g tan  /( m2 sec 2  + m1 tan 2 ).
c) Muestre que a1 y es:
a1y  ( m1 m2 ) g tan 2  /( m2 sec 2  + m1 tan 2 ).
5 - Una varilla de longitud d se deja caer sobre un plano inclinado sin rozamiento como se
ve en la figura, con H, L y  como datos. Un segundo después se dispara un proyectil

sobre el plano con una velocidad inicial v0 formando un ángulo de 45º con respecto a
la base del plano.
H
d

v0
g

45º
L
a) Escriba las ecuaciones de Newton para el proyectil y la varilla utilizando un sistema
de referencia fijo a la superficie del plano.
b) Calcule las aceleraciones de ambos cuerpos. Diga para qué valores de v 0 el proyectil
alcanza la varilla.
6 - Una masa se desliza sobre una semiesfera de radio R sin fricción.
m
g
R

a) Calcular el ángulo  para el cual se separa de la superficie esférica si inicialmente la
masa m es apartada, en un ángulo muy pequeño, de  = 0 y su velocidad inicial es cero.
b) Si la masa m se engarza en un riel semicircular sin fricción de radio R, hallar la
15
velocidad con que llega al suelo. ¿Qué aceleración tangencial tiene m en ese instante ?.
*c) Si la bolita está engarzada en el riel, estime numéricamente el tiempo que tarda en
llegar al suelo si R = 1cm, 10 cm, 50 cm, 100 cm. Confeccione un gráfico del tiempo de
llegada en función de g/R (si lo necesita, calcule el tiempo para otros valores de R).
7 - Se tiene una partícula de masa m unida al extremo de una barra rígida, sin masa, de
longitud L. La barra es libre de girar (en el plano vertical) alrededor de su otro extremo,
fijo en un punto P.
P

g
L
m
Si se conoce la velocidad v 0 de la partícula cuando pasa por el punto más bajo de su
trayectoria, determine:
a) El ángulo  v para el cual la velocidad se anula.
b) El ángulo  f para el cual la fuerza que hace la barra sobre la partícula se anula.
Observe que  f puede no existir.
c) ¿Bajo qué condiciones se puede reemplazar la barra por una cuerda inextensible sin
modificar la cinemática de la partícula ? Justifique.
*d) Analice el problema numéricamente para varias condiciones iniciales. ¿Qué tipo de
movimiento observa?. Confexione un gráfico que muestre la dependencia del período de
movimiento con su amplitud.
8 - Considere una partícula de masa m sujeta a una varilla rígida que le comunica un
movimiento circular uniforme con velocidad angular de módulo  en un plano vertical.
m
g
a) Escriba la ecuación de Newton para la partícula y las condiciones de vínculo a las que
está sujeto el movimiento.
16
b) Calcule la fuerza ejercida por la barra en función del ángulo .
9 - Un hilo inextensible pasa a través de un tubo delgado de vidrio y dos cuerpos de masas
M y m (M > m) penden de los extremos del hilo como se indica en la figura. El cuerpo de
masa m realiza una trayectoria circular alrededor del tubo, en un plano horizontal, de tal
forma que M permanece en reposo. El período del movimiento es T.
L
h
m
g
M
a) Diga cuál es el ángulo entre el hilo y el tubo en función de m y M.
b) Exprese el valor de L en función de T, m, M y g.
c) Exprese T en función de g y h.
10 - Un cuerpo de masa m se halla apoyado sobre una superficie cónica sin fricción,
colgando del extremo de una cuerda inextensible de longitud L. En el instante inicial el
cuerpo rota con velocidad angular de módulo  0 .

L
g
m
a) Escriba las ecuaciones de Newton y las condiciones de vínculo para la partícula.
b) Calcule la aceleración de la partícula.
c) Halle el valor de la tensión de la cuerda y de la fuerza de interacción ejercida por la
17
superficie. Diga para que valor de  0 esta última fuerza se anula.

11 - Para que un avión que vuela con v = cte. pueda realizar una trayectoria circular de
radio R, debe inclinar el plano de sus alas en un ángulo  respecto de la horizontal. La
fuerza de empuje aerodinámico actúa generalmente hacia arriba y perpendicular al plano
de las alas.
g


a) Obtenga la ecuación que da  en términos de v , R y g.

b) ¿ Cuál es el ángulo para v = 60 m/seg y R = 1 km ?
12 - Un juego de un parque de diversiones consiste en un carro de masa m1 que se desplaza
sobre un riel semicircular de radio R carente de rozamiento. El carro es arrastrado
mediante una soga que se desliza a lo largo del riel y que está enganchada a un sistema
de poleas del cual cuelga un contrapeso de masa m2 . Este contrapeso se mueve sobre un
plano inclinado que forma un ángulo  con la horizontal. Considere que las sogas son
inextensibles, y que sogas y poleas tienen masas despreciables.
g

m1
m2

a) Escriba las ecuaciones de Newton y de vínculo para ambas masas.
b) Diga para qué valor de  el carro podrá permanecer en reposo.
c) Encuentre la velocidad del carro como función de .
*d) Resuelva numéricamente la ecuación de movimiento y encuentre el tiempo que tarda
el carrito en subir hasta  =  /2, suponiendo que sen  =1/2, m1=m2,  (0)=0,  (0)  0.
18
INTERACCIÓN DE ROZAMIENTO
1 - Un cuerpo de masa m1 se apoya sobre otro de masa m2 como indica la figura. El
coeficiente de rozamiento estático entre ambos es E. No hay rozamiento entre la mesa y
el cuerpo 2.
a)
c)
F
g
1
g
2
1
F
2
¿Cuál es la fuerza máxima aplicada sobre el cuerpo 1 que acelera a ambos cuerpos, sin
que deslice uno respecto del otro?.
¿ Cuál es la aceleración del sistema ?.
Idem que a) y b) pero si se aplica la fuerza sobre el cuerpo 2.
Se aplica ahora sobre la masa 2 una fuerza el doble de la calculada en c). ¿Cuál es la
aceleración de m1 y m2 si el coeficiente de rozamiento dinámico es D ?.
Si la dimensión del cuerpo 2 es L y la del cuerpo 1 es l << L, ¿cuánto tardará en caerse si
inicialmente estaba apoyada m1 en el centro de m2?.
2 - Se tiene un bloque de masa m sobre un plano inclinado. El coeficiente de rozamiento
estático entre el bloque y el plano es E. Se trata de mover el bloque ejerciendo una
fuerza F (ver figura).
F
m
g


a) Si se conoce m y E y si F = 0 ¿para qué valores de  estará el bloque en reposo?.
b) Si  es alguno de los hallados en (a), ¿para qué valores de F permanecerá el bloque
en reposo?.

c) Si m = 2 kg y E = tg  = 0,3 hallar la F máxima que se puede ejercer de modo que el
bloque no se mueva.
3 - Un automóvil recorre una autopista que en un tramo tiene un radio de curvatura R. El
automóvil se mueve con velocidad constante v. La autopista es horizontal (sin peralte).
19
a) ¿Cuál debe ser el mínimo coeficiente de rozamiento para que el automóvil no deslice?
(estático o dinámico, ¿por qué?).
b) ¿Con qué peralte le aconsejaría a un ingeniero que construya una autopista que en una
zona tiene un radio de curvatura R?. Suponga que no hay rozamiento y que todos los
autos tienen velocidad v.
4 - Pregunta: Si sabe que un sistema de partículas está en reposo y quiere hallar la fuerza de
rozamiento ¿la obtiene a partir de las ecuaciones de Newton y de vínculo o la obtiene
poniendo fre = eN ?
5 - Dos bloques de masas m1 y m2 están unidos por una barra rígida de masa despreciable en
la forma indicada en la figura.
Los coeficientes de rozamiento estático entre los bloques (1) y (2) y la superficie son e1
y e2, respectivamente.
m2
m1
g

a) Suponga que los bloques están en reposo y encuentre una relación entre fr1, fr2, m1,
m2 y  (fr = fuerza rozamiento). Grafique la relación en un gráfico fr2 vs. fr1.
b) Si los datos son e2 = 0.6, e1 = 0.9, m1 = 5 kg, m2 = 10 kg,  = 30º dibuje en el
gráfico anterior la zona en donde el rozamiento puede ser estático.
c) Diga si es posible, con estos datos, el estado de reposo que hemos supuesto.
d) ¿Puede determinar los valores de fr1 y fr2?. Diga qué valores puede tomar  para que
el sistema permanezca en reposo.
6 - Sea el sistema de la figura donde D = 0,25, E = 0,3:
20
g
m1
m2


a) Inicialmente se traba el sistema de modo que esté en reposo. Cuando se lo destraba,
diga qué relaciones se deben cumplir entre las masas y los ángulos para que queden
en reposo.
b) Si m1 = 1 kg, m2 = 2 kg,  = 60º y  = 30º, ¿se pondrá en movimiento el sistema?.
c) Suponga ahora que inicialmente se le da al sistema cierta velocidad inicial y que los
datos son los dados en (b). Encuentre la aceleración y describa cómo será el
movimiento del sistema teniendo en cuenta los dos sentidos posibles de dicha
velocidad.
7 - Pregunta: ¿Cuál es el vicio del siguiente razonamiento? Sobre un cuerpo apoyado sobre
la pared se ejerce una fuerza F.
fr
F
N
g
mg
El cuerpo está en reposo porque su peso es equilibrado por la fuerza de rozamiento.
Como fr es proporcional a la normal, podemos conseguir que el cuerpo ascienda
aumentando el valor de F.
8 - Considere dos partículas de masas m1 y m2 y dos poleas de masa despreciable dispuestas
como en la figura. La partícula m1 está sobre un plano (fijo al piso) inclinado un ángulo
 siendo respectivamente e y d los coeficientes de rozamiento estático y dinámico
entre la partícula m1 y el plano. Los hilos (1) y (2) son inextensibles y de masa
despreciable y el hilo (2) está atado al piso en el punto P.
21
g
O
m1
m2

P
a) Dibuje m1, m2 y las poleas por separado e indique las fuerzas que actúan sobre cada
uno. Plantee las ecuaciones de Newton y de vínculo.
b) Halle la aceleración de m1 en función de la aceleración de m2. ¿Influye en su resultado
el hecho que los hilos sean inextensibles?.
c) Si el sistema se halla en reposo encuentre dentro de qué rango de valores debe estar
m2.
d) Si m2 desciende con aceleración constante A:
i)
Calcule m2. Diga justificando su respuesta si la aceleración A puede ser tal que
A>g.
ii)
Exprese la posición de la polea O en función del tiempo y de datos si en el
instante inicial estaba a distancia h del piso con velocidad nula. ¿La polea se
acerca o se aleja del piso?.
22
MOVIMIENTO OSCILATORIO
1 - Considere una partícula de masa m suspendida del techo por medio de un resorte de
constante elástica k y longitud natural l 0 . Determine cómo varía la posición con el
tiempo sabiendo que en t = 0 la partícula se halla a una distancia 2 l 0 del techo, con
velocidad nula.
2 - El sistema de la figura, compuesto por dos cuerpos de masas m1 y m2 y un resorte de
constante elástica k y longitud natural l0, se encuentra inicialmente en equilibrio. Se lo
pone en movimiento imprimiendo a la masa m1 una velocidad v 0 hacia abajo (no hay
rozamiento).
k, lo
m2
g
m1
a) Plantee las ecuaciones de Newton y de vínculo para m1 y para m2 .
b) Diga cómo varía la posición de m2 con el tiempo.
3 - Sean dos resortes de constantes elásticas k1 y k 2 , y un cuerpo de masa m, que desliza
sin rozamiento, conectados como en las figuras a), b) y c).
d
k2 k1
.
m
k1
(a)
k2
m
(b)
l01 = l02
k1
m
k2
(c)
i) Demostrar que la frecuencia de oscilación de m vale, en el caso a)
f 
1
2
k1k 2
k1  k2  m
23
y en los casos b) y c):
f 
k1  k2
m
1
2
ii) Encuentre las posiciones de equilibrio sabiendo que los resortes tienen longitudes
naturales l 01 y l 02 .
4 - Una bolita de masa m se halla sobre un plano inclinado sostenida por dos resortes, de
constantes elásticas k1 y k 2 , y longitudes libres l 01 y l 02 , respectivamente, los cuales se
encuentran fijos a dos paredes separadas una distancia L.
k1, l01
m
g
k2, l02

a) Plantee la ecuación de Newton para la bolita y encuentre la ecuación de movimiento.
b) Halle la posición de equilibrio y determine si es estable o inestable.
c) Si partiendo de la posición de equilibrio el sistema se pone en movimiento
imprimiéndole a la bolita una velocidad v 0 hacia arriba, encuentre la posición de la
bolita como función del tiempo.
5 - Cuatro resortes idénticos de constante elástica k desconocida y longitud natural l 0 se
hallan sosteniendo un cuerpo formado por dos pesas de masa m cada una, como muestra
la figura.
k
k
k
k
g
m
m
a) Sabiendo que la posición de equilibrio del cuerpo se halla a una distancia d del techo,
encuentre el valor de k.
b) Estando el sistema en su posición de equilibrio se retira una de las pesas sin
perturbarlo y se lo deja en libertad.
24
i) Obtenga la ecuación que rige el movimiento posterior del sistema. Calcule el
período de oscilación y la nueva posición de equilibrio.
ii) Utilizando las condiciones iniciales halle la posición del cuerpo en función del
tiempo.
6 - Un cuerpo suspendido de un hilo inextensible de longitud 80 cm realiza un movimiento
oscilatorio en un plano siendo  = (t) el ángulo entre la vertical y el hilo.
a) Plantee las ecuaciones de Newton para el cuerpo.
b) ¿Bajo qué aproximación el movimiento es armónico? ¿qué período tiene?
c) Si en t = 0 es  = 0,  = 0,2 seg 1 ¿se satisface la aproximación de b)  t ?
d) Usando las ecuaciones planteadas en a) halle la posición de equilibrio y diga si es
estable o inestable y por qué.
7 - Una bolita de masa m está enhebrada en un aro semicircular de radio R y sujeta a un
resorte de constante elástica k y longitud natural l 0 = R/2, como muestra la figura:
a) Halle la ecuación de movimiento.
b) Encuentre posiciones de equilibrio.
c) Diga cuándo el equilibrio es estable.
8 - Una bolita de masa m se mueve por un tubo delgado, carente de rozamiento, el cual
describe una semicircunferencia de radio R. La bolita se halla sujeta por un extremo a un
resorte de constante elástica k y longitud natural l 0 = R/2, y por el otro a una soga,
deslizando ambos elementos por el interior del tubo, tal como muestra la figura. Del
extremo de la soga pende, a través de una polea, otro cuerpo de masa M que actúa como
contrapeso. Considere la soga inextensible, y las masas de soga, resorte y poleas
despreciables. En el instante inicial la bolita se halla en el punto A (   0 ) con velocidad
v0.
25
a) Plantee las ecuaciones de Newton para cada una de las masas. Halle la ecuación
diferencial que rige el movimiento de la bolita.
b) Halle gráficamente la o las posiciones de equilibrio de la bolita, determinando si
corresponden a posiciones de equilibrio estable o inestable.
c) Halle la expresión de la fuerza de vínculo ejercida por el tubo sobre la bolita como
función del ángulo .
9 - Una masa m está enhebrada en un aro circular sin fricción de radio R y unida al extremo
de un resorte de constante k y longitud natural nula (se considera despreciable frente al
radio del aro). El otro extremo del resorte corre libremente a lo largo de un eje vertical,
de modo tal que el resorte permanece siempre en posición horizontal (ver figura).
m

g
R
a) Halle las ecuaciones de Newton para m.
b) Si inicialmente la masa se encuentra en  = /2 con velocidad nula, halle la expresión
de la fuerza de vínculo con el aro en función del ángulo .
c) Encuentre las posiciones de equilibrio y analice si son estables o inestables.
10 - Considere que el sistema de la figura está sumergido en un medio que le ejerce una
fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad del cuerpo. La constante de
26
proporcionalidad es r.
k
g
m
x
l0
a) Escriba el vector fuerza de rozamiento.
b) Escriba la ecuación de movimiento.
c) Definiendo  = r/2m,  20 = k/m, halle las soluciones x(t) de la ecuación de movimiento
y verifique que son:
i) si  2 >  20
x(t )  e   t  A1 e

ii) Si  2 =  20
iii) Si  2 <  20
 2  02 t
 A2 e
  2  02 t


x(t )  e   t  A1  A2 t 

x(t )  Ae   t cos  02   2 t  

e) Grafique x versus t para los tres casos de c) y analice los gráficos.
11 – Considere una partícula de masa m que se mueve sobre una recta (x). La partícula está
unida a un resorte de constante elástica k y longitud en reposo l0 (tal como se muestra en la
figura del problema 10). Hay rozamiento entre la partícula y el plano con coeficientes de
rozamiento estático e y dinámico d. En el instante t=0, la partícula se encuentra en a
posición x0>l0 con velocidad nula.
a) Describa cualitativamente el movimiento, analizandocuidadosamente el efecto del
rozamiento. Obtenga la ecuación diferencial que gobierna el movimiento. Demuestre
que, tal como ocurre en ausencia de rozamiento, el cuerpo tiene velocidad nula en todos
m
T
los instantes t n  n , donde T  2
y n es un número entero. Demuestre que la
k
2
distancia recorrida entre dos detenciones sucesivas (separadas por un intervalo T/2)
disminuye cada vez en una cantidad 2dmg/k. Diga en qué momento se detiene
definitivamente el movimiento.
mg
b) Si se considera x0  N d
(donde N es un número entero), diga cuántas veces
k
cambia el sentido de la velocidad del cuerpo antes de detenerse definitivamente
27
(considere el caso e<2 d). analice en particular los casos N=4 y N=7, grafique la
función x(t) y diga en qué lugar y en qué instante se detiene definitivamente el cuerpo.
c) Compare el movimiento del cuerpo con el caso en que el amortiguamiento se origina
por la fricción del cuerpo con el aire.
12 - Un péndulo simple de 10 g de masa tiene inicialmente un período de 2 seg y una
amplitud de 2º .Luego se lo sumerge en un medio con rozamiento y después de dos
oscilaciones completas la amplitud se reduce a 1,5º
Encuentre la constante de amortiguamiento r.
13 - Una partícula de masa m está unida al extremo de un resorte de constante elástica k y
longitud natural l0. El otro extremo del resorte está unido a una pared que se mueve de
acuerdo a la ley x p (t )  L cos t  . La partícula también está sometida a la acción de una

fuerza viscosa tal que Fv  r x xˆ .
a) Escriba la ecuación de Newton para la partícula. Indique claramente cuáles son las
fuerzas que actúan sobre ella.
r 2
c) Para el caso mk   2m
 , diga cuál es la solución de la ecuación de movimento x(t).
Para tiempos largos (  t  1 , con   2rm ), diga en qué dirección se mueve la
partícula cuando la pared se mueve hacia la derecha, si  
k
m
.
28
SISTEMAS NO INERCIALES
1 - En el piso de un colectivo está apoyado un paquete de masa m. El colectivo parte del
reposo con una aceleración constante, a.
Decir cuáles son las fuerzas aplicadas sobre el paquete, cuáles son de interacción y
cuáles de inercia y describir el movimiento del paquete visto por un observador en el
colectivo y por otro que está en la calle, en los casos:
a) El paquete no desliza sobre el piso del colectivo. Para este caso calcule, además, la
relación entre la máxima aceleración que puede tener el colectivo y el coeficiente de
rozamiento estático entre el paquete y el piso.
b) Se reduce a cero el rozamiento entre el paquete y el piso (por ejemplo, apoyando el
paquete en un carrito).
2 - Dos masas, m1 y m2 , penden de los extremos de un hilo inextensible que pasa a través
de una polea ideal fija al techo de un ascensor. Halle la aceleración de las masas para un
observador que se halla dentro del ascensor y para otro que se halla quieto afuera del
ascensor si:
a) El ascensor sube con velocidad constante.
b) El ascensor sube con aceleración a.
c) El ascensor baja con aceleración a.
d) Se corta el cable del ascensor.
3 - Una masa m, en reposo sobre una plataforma horizontal exenta de rozamiento, está
sujeta al extremo de un resorte de la manera indicada en la figura. La constante elástica
del resorte es k. Súbitamente se pone en movimiento la plataforma con una aceleración
constante a, en la dirección horizontal.
g
k, lo
m
a
a) Dibuje las fuerzas que actúan sobre la masa en un sistema de referencia unido a la
plataforma y luego en otro, exterior a ella, en reposo.
b) Describa el movimiento de m respecto de la plataforma.
c) Si la plataforma tiene masa M, determinar la fuerza necesaria para mantener constante
su aceleración.
29

4 - ¿Cuál es la aceleración a que debe imprimirse al plano inclinado para que la masa m
llegue al extremo superior del mismo con velocidad v1 partiendo de su extremo inferior
con velocidad inicial nula? (no hay rozamiento y ambas velocidades son medidas con
respecto al plano inclinado).
g
h
m

5 - Sea el sistema de la figura. Los coeficientes de rozamiento estático en las superficies
horizontal y vertical son  e 2 y  e1 . ¿Para qué valores de la aceleración a, m1 no sube ni
baja?
m2
a
m1
g
6 - Un tren sube una pendiente que forma un ángulo  con la horizontal.
El movimiento es uniformemente acelerado con una aceleración a. En el interior de uno
de los vagones se hacen los siguientes experimentos:
a) Se determina la dirección de la vertical usando una plomada.
b) Se determina el período de un péndulo para oscilaciones pequeñas.
c) Se determina la fuerza que registra un dinamómetro cuando se cuelga del mismo un
objeto de masa m.
Describa cualitativamente los resultados en los casos:
i)  = 0 , a  0.
ii)   0 , a = 0.
iii)   0 , a = - g sen; (¿qué significan estos datos ?)
iv)   0 , a  0.
30
7 - Una partícula de masa m se halla engarzada en un riel circular de radio R, que carece de
rozamiento. En un dado instante la partícula se encuentra en reposo en el punto C, y se
aplica sobre el riel una fuerza tal que a partir de ese instante el mismo se mueve con
aceleración constante A . Utilice para resolver el problema un sistema no inercial fijo a
la esfera.
g
A
R

m
C
a) Haga un diagrama de las fuerzas que actúan sobre m, y determine cuáles son sus pares
de interacción. Plantee las ecuaciones de Newton, y encuentre la ecuación de
movimiento de la partícula.
b) Exprese el valor de la normal ejercida por el riel sobre m como función del ángulo .
c) Encuentre la posición de equilibrio, y determine si el equilibrio es estable o inestable.
8 - Una plataforma de radio R, gira con velocidad angular  constante alrededor de un eje
vertical situado en su centro. Sobre la plataforma se halla apoyado un paquete de masa m
(hay rozamiento entre el paquete y la superficie de la plataforma, siendo  e y  d los
coeficientes de rozamiento estático y dinámico, respectivamente).
En el instante t = 0 el paquete se halla en reposo sobre la plataforma a una distancia l del
centro, con l < R.

g
m
R
l
a) Escriba las ecuaciones de Newton para el paquete en un sistema solidario a la
plataforma, S’, indicando los pares de acción y reacción de las fuerzas que actúan sobre
él.
31
b) Halle la máxima velocidad angular  max que puede tener la plataforma para que el
paquete no deslice sobre la plataforma.
c) Si desaparece el rozamiento, halle la velocidad del paquete en el sistema S’ como
función de la distancia al centro de la plataforma. Describa cualitativamente el
movimiento del paquete.
9 - Una bolita de masa m se encuentra dentro de un tubo que gira con velocidad angular w
constante alrededor de P.

P
a) Calcule la aceleración de la bolita respecto de un sistema inercial y respecto de un
sistema fijo al tubo.
b) Determine las fuerzas inerciales que actúan sobre la bolita en el sistema fijo al tubo y
escriba las ecuaciones dinámicas.
10 - Sobre una vía recta montada sobre una mesa horizontal que puede girar alrededor de un
eje vertical se mueve un carrito de masa m. Este está sujeto entre dos resortes que, a su
vez, están unidos a la vía como en la figura y tienen constantes elásticas k1 y k 2 y
longitudes naturales l 01 y l02 , respectivamente. Escriba las ecuaciones dinámicas para el
sistema (carrito + resortes) en un sistema de referencia fijo a la mesa.

g
k1
m
k2
R
11 - Dos masas m1 y m2 están unidas por una soga inextensible de longitud L y de masa
despreciable (ver figura). Los dos cuerpos están sobre un riel que gira con velocidad
angular  constante y el riel no permite que los cuerpos se muevan hacia los costados.
32
En el instante t = 0, la masa m1 se encuentra en la posición A con velocidad nula con
respecto al riel.

m2
m1

A
g
a) En un sistema no inercial solidario al riel, indique cuáles son las fuerzas y
pseudofuerzas que actúan sobre cada masa. Identifique los pares de acción y reacción.
b) Plantee las ecuaciones de Newton y de vínculo en un sistema no inercial solidario al
riel.
c) Resuelva las ecuaciones de movimiento y describa cómo será el movimiento de las
partículas.
12 - Una bolita de masa m se encuentra engarzada en un alambre circular de radio R,
ubicado en posición vertical. El aro de alambre gira alrededor de su diámetro vertical con
velocidad angular  constante, de manera tal que la bolita se halla en la posición de
equilibrio  0 .

g
0
R
m
a) Escriba las ecuaciones de Newton utilizando un sistema de referencia fijo al aro,
indicando las fuerzas de interacción que actúan sobre la bolita.
b) Calcule el ángulo  0 y determine si el equilibrio es estable o inestable.
c) Determine la ecuación de movimiento y encuentre la fuerza de vínculo ejercida por el
alambre sobre la bolita.
33
13 - Un entretenimiento llamado silla voladora consiste en un disco horizontal de radio R de
cuyo perímetro cuelgan hilos de longitud L. En el extremo de cada uno de estos hilos hay
una canastilla dentro de la cual se ubica una persona. Considere un sistema de
coordenadas fijo al disco el cual gira con velocidad angular constante  (ver figura).

g
R

L
Si todos los hilos forman con la vertical el mismo ángulo ,
a) ¿Es razonable inferir que todos los pasajeros tienen igual masa?.
b) Halle  .
34