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Colegio Particular “Esclavas del Sagrado Corazón de Jesús” LÓGICA MATEMÁTICA 1. LÓGICA PROPOSICIONAL Es el estudio de los métodos que aplican definiciones y leyes, con el propósito de determinar la validez o invalidez del razonamiento. 1.1. PROPOSICIÓN LÓGICA Es Aquella expresión u oración que se puede calificar o bien como verdadero (V) o bien como falso (F) y sin ambigüedad. Las proposiciones lógicas se denotan con letras minúsculas, tales como: p,q,r,s,....etc. Ejemplo: p :3+5=7 (F) q : Lima es la capital del Perú. (V) r : El gato es un felino. (V) OBSERVACIÓN: No son proposiciones lógicas las oraciones: - Interrogativas. - Imperativas. - Dubitativas. - Exclamativas. - Desiderativas. - Exhortativas. Ya que de ellas no se puede afirmar si son verdaderas o falsas 2. NEGACIÓN DE UNA PROPOSICIÓN Consiste en cambiar el valor de verdad que tiene una proposición. Si la proposición es “p” su negación se denota por “~p” : p ~p Se lee: V F F V No p Es falso que p No es cierto que p Ejemplo: p: 28 es un número perfecto. 3.2. CONJUNCIÓN (Se simboliza: “” , se lee: “y” ) Dos proposiciones se pueden enlazar por medio de la palabra “y”, para formar otra nueva proposición llamada conjunción de ambas. La conjunción de las proposiciones “p y q” Se denota: p q . (V) Su negación es: ~p: No es cierto que 28 sea un número perfecto. ( F) 3. CONECTIVOS LÓGICOS Son elementos que sirven de enlace entre las proposiciones, para formar otra, llamada proposición compuesta o molecular. Ejemplo: 4+5 es mayor que 7 o p V V F F 3x3 es menor que 10 q Conectivo lógico p Ejemplo: p: 10 es mayor que 8 q: 12 es menor que 14 q Conectivo lógico 3.1. DISYUNCIÓN INCLUSIVA Se simboliza: “” , se lee: “o” ) Dos proposiciones se pueden enlazar por medio de la palabra “o”, para formar otra nueva proposición llamada disyunción de ambas. La disyunción de las proposiciones “p o q” se denota: p q . p q es verdadero (V) cuando por lo menos uno de ellos es verdadero. p q pq V V V V F V F V V F F F Ejemplo: p: 5 es mayor que 3 (V) q: 5 es menor que 8 (F) Si: 10 es que 8 entonces p 10 es mayor que 8 5 es mayor que 3 o 5 es menor que 8 p q V V p V V F F (V) (V) 12 es menor que 14 p Su valor de verdad V q V V 3.3. CONDICIONAL (Se simboliza: “” , se lee: “entonces” ) Si se tienen dos proposiciones “p” y “q” , enlazadas de la forma “si p entonces q”, se dicen que dichas proposiciones se llaman condicionales. y se les denota por: “p. q”. p V V F F V y q V F V F pq V F V V p q es falsa (F) solamente cuando “p” es verdadera y “q” es falsa “AMAR, ADORAR Y SERVIR” 12 es que 10 q 3.4. BICONDICIONAL (Se simboliza: “” , se lee: “si y sólo si” ) Si se tienen dos proposiciones “p” y “q” , enlazadas de la forma “p si y sólo si q”, se les denota por: “p. q”. La conjunción de ambas será: La disyunción de ambas será: Su valor de verdad : La condicional de ambas será: 14 es un número par p (V) (F) Su valor de verdad : V F F p q es verdadero (V) cuando los dos son verdaderos. Los conectivos conocidos son: 17 es un número primo y pq V F F F q V F V F Ejemplo: p: 10 es mayor que 8 q: 12 es menor que 10 q V F V F pq V F F V p q es verdadera (V) solamente cuando “p” y “q” 32 tienen el mismo valor de verdad. Ejemplo: p: 10 es mayor que 8 q: 12 es menor que 10 La condicional de ambas será: (V) (F) 10 es que 8 si y sólo si 12 es que 10 p q Su valor de verdad: V F F 3.5. DISYUNCIÓN (EXCLUSIVA FUERTE) (Se simboliza: “” , se lee: “o.......o.........” ) Si se tienen dos proposiciones “p” y “q”, enlazadas de la forma “o p o q”, se les denota por: “p q”. Colegio Particular “Esclavas del Sagrado Corazón de Jesús” p V V F F pq F V V F q V F V F p q es verdadera (V) solamente cuando “p” y “q” tienen diferente valor de verdad. Ejemplo: p: 10 es mayor que 8 (V) q: 12 es menor que 10 (F) La condicional de ambas será: Su valor de verdad V F V 4. TABLA DE VERDAD Casi siempre es necesario representar proposiciones compuestas que pueden a su vez tener como componentes otras proposiciones compuestas; en este caso es necesario el uso de signos de colección (paréntesis, corchetes, etc.) A esta representación mediante variables proposicionales, conectivos lógicos y signos de colección llamaremos fórmula proposicional. Así por ejemplo: 4.1. CONSTRUCCIÓN DE UNA TABLA Antes de ver como se construye una tabla de verdad, tengamos lo siguiente: OBSERVACIONES: 1.- Consideremos dos tipos de proposiciones: simples son aquellas que no contienen conectivos lógicos ni adverbio de negación y compuestas que son aquellas formadas por dos o más proposiciones unidas por conectivos lógicos o por el adverbio de negación. F F V Si: n =3 hay: 23 = 8 Combinaciones p q p V V F F r V V F V F V F F V V En otros casos es necesario determinar los valores de verdad de una fórmula para todas las combinaciones de los valores de verdad de las componentes, a este proceso se le denomina evaluar una fórmula en una tabla de verdad. F F F Ahora si veamos como se construye una tabla de verdad: p q V V V F F V V V V V (p q) V V V F Practica domiciliaria q V F V F (p q) ~q V F F F F F F F F V F V Cuando los valores del operador principal tiene por lo menos una verdad y por lo menos una falsedad. F V F V p V V F F 4.2.3. CONTINGENCIA o CONSISTENCIA.- F V V F q V F V F Confeccione la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. a) Ejemplo: La proposición “( p q ) ~p” es una contingencia, tal como lo puedes comprobar en su tabla de verdad. p [ ( ~p q ) ~q ) ] p V V F F q V F V F F F “AMAR, ADORAR Y SERVIR” (p q) ~p V F F V F F V V V F V V ( p q) (q p) b) ( p q) ( p q) c) ( p q) ( p q) d) p (q p ) e) p(q p) f) ( p q) q g) V F F ~ q] p V V F F Ejemplo: La proposición “( p q ) ~ q” es una contradicción, tal como lo puedes comprobar en su tabla de verdad. F F V V V V Ejemplo: La proposición “p ( p q )” es una tautología, tal como lo puedes comprobar en su tabla de verdad. CONTRADICCIÓN.- Cuando los valores del operador principal son todos falsos. F V F V del operador principal son todos verdaderos. 4.2.2. V F Si en la fórmula anterior, se sabe que “p” es V y “q” es F, el valor de verdad lo obtenemos de la siguiente manera: V q V V p [ ( ~p q ) ~q ] p [ ( ~p q ) 4.2.1. TAUTOLOGÍA.- Cuando los valores 2.- El número posible de combinaciones de los valores de verdad de “n” proposiciones componentes es 2n Por ejemplo: Si n =2 hay: 22 = 4 Combinaciones p Practica de clase 4.2. RESULTADOS DE UNA TABLA De acuerdo al resultado obtenido, una fórmula proposicional recibe un nombre especial, así tenemos que: h) i) j) ( p q) (q p) [ p (q p)] q ( p q) ( p q) k) l) ( p q) ( p q) ( p q )p p q q