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Colegio Particular “Esclavas del Sagrado Corazón de Jesús”
LÓGICA MATEMÁTICA
1. LÓGICA PROPOSICIONAL
Es el estudio de los métodos que aplican
definiciones y leyes, con el propósito de
determinar la validez o invalidez del
razonamiento.
1.1. PROPOSICIÓN LÓGICA
Es Aquella expresión u oración que se
puede calificar o bien como verdadero
(V) o bien como falso (F) y sin
ambigüedad. Las proposiciones lógicas
se denotan con letras minúsculas, tales
como: p,q,r,s,....etc.
Ejemplo:
p :3+5=7
(F)
q : Lima es la capital del Perú.
(V)
r : El gato es un felino.
(V)
OBSERVACIÓN: No son proposiciones
lógicas las oraciones:
- Interrogativas.
- Imperativas.
- Dubitativas.
- Exclamativas.
- Desiderativas.
- Exhortativas.
Ya que de ellas no se puede afirmar si son
verdaderas o falsas
2. NEGACIÓN DE UNA
PROPOSICIÓN
Consiste en cambiar el valor de verdad que
tiene una proposición. Si la proposición es “p”
su negación se denota por “~p” :
p
~p
Se lee:
V
F
F
V
No p
Es falso que p
No es cierto que p
Ejemplo:
p: 28 es un número perfecto.
3.2. CONJUNCIÓN
(Se simboliza: “” , se lee: “y” )
Dos proposiciones se pueden enlazar por
medio de la palabra “y”, para formar otra
nueva proposición llamada conjunción de
ambas.
La conjunción de las proposiciones “p y q”
Se denota: p  q .
(V)
Su negación es:
~p: No es cierto que 28 sea un número
perfecto.
( F)
3. CONECTIVOS LÓGICOS
Son elementos que sirven de enlace entre las
proposiciones, para formar otra, llamada
proposición compuesta o molecular.
Ejemplo:
4+5 es mayor que 7
o
p
V
V
F
F
3x3 es menor que 10
q
Conectivo lógico
p
Ejemplo:
p: 10 es mayor que 8
q: 12 es menor que 14
q
Conectivo lógico
3.1. DISYUNCIÓN INCLUSIVA
Se simboliza: “” , se lee: “o” )
Dos proposiciones se pueden enlazar por
medio de la palabra “o”, para formar otra
nueva proposición llamada disyunción de
ambas.
La disyunción de las proposiciones “p o q”
se denota: p  q .
p  q es verdadero (V)
cuando por lo menos uno de
ellos es verdadero.
p q pq
V V
V
V F
V
F V
V
F F
F
Ejemplo:
p: 5 es mayor que 3
(V)
q: 5 es menor que 8
(F)
Si: 10 es  que 8 entonces
p
10 es mayor que 8
5 es mayor que 3
o
5 es menor que 8
p

q
V 
V 

p
V
V
F
F
(V)
(V)
12 es menor que 14

p
Su valor de verdad
V 
q
V
V
3.3. CONDICIONAL
(Se simboliza: “” , se lee: “entonces” )
Si se tienen dos proposiciones “p” y “q” ,
enlazadas de la forma “si p entonces q”, se
dicen que dichas proposiciones se llaman
condicionales. y se les denota por: “p.  q”.
p
V
V
F
F
V
y
q
V
F
V
F
pq
V
F
V
V
p  q es falsa (F) solamente
cuando “p” es verdadera y “q”
es falsa
“AMAR, ADORAR Y SERVIR”
12 es  que 10
q
3.4. BICONDICIONAL
(Se simboliza: “” , se lee: “si y sólo si” )
Si se tienen dos proposiciones “p” y “q” ,
enlazadas de la forma “p si y sólo si q”, se les
denota por: “p.  q”.
La conjunción de ambas será:
La disyunción de ambas será:
Su valor de verdad :
La condicional de ambas será:
14 es un número par
p
(V)
(F)
Su valor de verdad :
V  F F
p  q es verdadero (V) cuando
los dos son verdaderos.
Los conectivos conocidos son:
17 es un número primo y
pq
V
F
F
F
q
V
F
V
F
Ejemplo:
p: 10 es mayor que 8
q: 12 es menor que 10
q
V
F
V
F
pq
V
F
F
V
p  q es verdadera (V) solamente
cuando “p” y “q” 32 tienen el mismo valor
de verdad.
Ejemplo:
p: 10 es mayor que 8
q: 12 es menor que 10
La condicional de ambas será:
(V)
(F)
10 es  que 8
si y sólo si
12 es  que 10
p

q
Su valor de verdad:
V  F F
3.5. DISYUNCIÓN (EXCLUSIVA
FUERTE)
(Se simboliza: “” , se lee: “o.......o.........” )
Si se tienen dos proposiciones “p” y “q”,
enlazadas de la forma “o p o q”, se les denota
por: “p  q”.
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p
V
V
F
F
pq
F
V
V
F
q
V
F
V
F
p  q es verdadera (V) solamente cuando
“p” y “q” tienen diferente valor de verdad.
Ejemplo:
p: 10 es mayor que 8
(V)
q: 12 es menor que 10
(F)
La condicional de ambas será:
Su valor de verdad
V  F V
4. TABLA DE VERDAD
Casi siempre es necesario representar
proposiciones compuestas que pueden a su
vez tener como componentes otras
proposiciones compuestas; en este caso es
necesario el uso de signos de colección
(paréntesis, corchetes, etc.)
A esta representación mediante variables
proposicionales, conectivos lógicos y signos
de
colección
llamaremos
fórmula
proposicional. Así por ejemplo:
4.1. CONSTRUCCIÓN DE UNA TABLA
Antes de ver como se construye una tabla de
verdad, tengamos lo siguiente:
OBSERVACIONES:
1.- Consideremos dos tipos de proposiciones:
simples son aquellas que no contienen
conectivos lógicos ni adverbio de negación y
compuestas que son aquellas formadas por
dos o más proposiciones unidas por
conectivos lógicos o por el adverbio de
negación.
F
F
V
Si: n =3

hay: 23 = 8
Combinaciones
p
q
p
V
V
F
F
r
V V F
V F V
F F V
V
En otros casos es necesario determinar los
valores de verdad de una fórmula para todas
las combinaciones de los valores de verdad
de las componentes, a este proceso se le
denomina evaluar una fórmula en una tabla
de verdad.
F F F
Ahora si veamos como se construye una
tabla de verdad:
p q
V V
V F
F V

V
V
V
V
(p  q)
V
V
V
F
Practica domiciliaria
q
V
F
V
F
(p  q)  ~q
V
F
F
F
F
F
F
F
F
V
F
V
Cuando los valores del operador principal
tiene por lo menos una verdad y por lo menos
una falsedad.
F V F
V
p
V
V
F
F
4.2.3. CONTINGENCIA o CONSISTENCIA.-
F V V
F
q
V
F
V
F
Confeccione la tabla de verdad de las siguientes
proposiciones compuestas.
a)
Ejemplo: La proposición “( p  q )  ~p” es
una contingencia, tal como lo puedes
comprobar en su tabla de verdad.
p [ ( ~p  q )  ~q ) ]
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
F F
“AMAR, ADORAR Y SERVIR”
(p  q) ~p
V
F
F
V
F
F
V
V
V
F
V
V
( p  q)  (q   p)
b) ( p
 q)  ( p  q)
c)
( p  q)  ( p  q)
d)
p  (q  p )
e)
p(q  p)
f)
( p  q)  q
g)
V F F
~ q]
p
V
V
F
F
Ejemplo: La proposición “( p  q )  ~ q” es
una contradicción, tal como lo puedes
comprobar en su tabla de verdad.
F F
V V V
V
Ejemplo: La proposición “p ( p  q )” es
una tautología, tal como lo puedes comprobar
en su tabla de verdad.
CONTRADICCIÓN.- Cuando los
valores del operador principal son todos
falsos.
F V
F
V
del operador principal son todos verdaderos.
4.2.2.
V F
Si en la fórmula anterior, se sabe que “p” es
V y “q” es F, el valor de verdad lo obtenemos
de la siguiente manera:
V
q
V V
p  [ ( ~p  q )  ~q ]
p  [ ( ~p  q ) 
4.2.1. TAUTOLOGÍA.- Cuando los valores
2.- El número posible de combinaciones de
los valores de verdad de “n” proposiciones
componentes es 2n
Por ejemplo:
Si n =2  hay: 22 = 4
Combinaciones
p
Practica de clase
4.2. RESULTADOS DE UNA TABLA
De acuerdo al resultado obtenido, una
fórmula proposicional recibe un nombre
especial, así tenemos que:
h)
i)
j)
( p  q)  (q  p)
[ p  (q   p)]  q
 ( p  q)  ( p  q)
k)
l)
( p  q)  ( p  q)
 ( p  q )p
 p  q  q