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Unidades interactivas
TEORÍA
JAVIER SANZ
Física y Química.
Cinemática.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
La Cinemática es la rama de la Física que estudia los movimientos de los cuerpos sin
hacer referencia a sus causas. Un cuerpo se mueve cuando cambia su posición respecto
a otro cuerpo y se encuentra en reposo si su posición no se modifica respecto a dicho
cuerpo.
La trayectoria es la línea descrita en el espacio por un punto material en movimiento.
La posición de un punto es una magnitud vectorial definida por una distancia al origen del
sistema de referencia, en una determinada dirección y sentido.
El segmento orientado que une dos posiciones de un móvil es el vector desplazamiento.
El espacio recorrido es la longitud de la trayectoria recorrida por el móvil. En Física se define la
velocidad media como el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo empleado en
recorrerlo. Su expresión matemática es:
Vm = Sf- - So / tf - to
Se llama velocidad instantánea a la velocidad que lleva un cuerpo en un determinado
instante o en un punto concreto de su trayectoria.
La aceleración media es la magnitud que mide el cambio de velocidad por unidad de tiempo.
Su expresión matemática es:
Am = Vf- - Vo / tf - to
La aceleración que lleva un móvil en un momento o en un punto determinado de su
trayectoria se denomina aceleración instantánea.
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Ecuaciones: v = cte
> La trayectoria es una línea recta.
s = s0 + v t
> Su velocidad es constante
(s da la distancia al origen)
Observa que el espacio recorrido por el móvil es
siempre el mismo para un periodo de tiempo
dado (en la imagen 1 s)
Origen de
distancias
Origen
de
tiempos
s=0
v
s0
t=0
t=1s
t=2s
t=3s
Se denomina espacio inicial, s0 , a la distancia al origen cuando
se empieza a contar el tiempo
La gráfica s/t es una línea recta. La inclinación (pendiente) nos da la
velocidad. El punto de corte con el eje vertical da s 0
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El punto de corte con el eje S, nos da la
posición inicial del móvil so = 10 m.
Velocidad positiva
s(m)
s(m)
30
Velocidad negativa.
so = 30 m
Instante en que
pasa por el origen
Recta que pasa por el
origen (s0=0).
10
10
t(s)
t(s)
La gráfica v/t es una recta paralela
al eje t
v ( m/s)
t(s)
Movimiento con velocidad negativa
Para escribir la ecuación correspondiente a un movimiento rectilíneo y uniforme:
 Determina el valor de s0.
 Determina el valor de la velocidad
 Adapta las ecuaciones generales del movimiento al caso particular que estudias
poniendo los valores de s0 y v.
EVALUADOR: @Utiliza el applet de Java y la animación
Flash
que aparece en la dirección:
http://www.unalmed.edu.co/~daristiz/virtual/mecanicaparticula/applets/ap
plet_evaluador_desplazamiento/EvaluadorDesplazamiento.htm
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Ejemplo 1.
Un cuerpo que se mueve con velocidad constante de 3 m/s, se encuentra
situado a 15 m a la derecha del origen cuando comienza a contarse el
tiempo. Escribe las ecuaciones que describen su movimiento:
Solución:
Ecuaciones generales para el movimiento rectilíneo y uniforme:
v = cte.
s = s0 + v t
Valores de s0 y v para este caso: s0 = 15 m ; v = 3 m/s
v=3
s = 15 + 3 t
ECUACIÓN DE
MOVIMIENTO: @Utiliza el applet de Java y la
animación Flash
que aparece en la siguiente dirección de
Internet: http://lefmvespertino.usach.cl/flash/mur_ene2006.swf
Ejemplo 2.
Un cuerpo se mueve hacia el origen con velocidad constante de 2,3 m/s. Si
inicialmente se encuentra a una distancia de 100 m de éste ¿cuánto tiempo tardará en
pasar por él?
Esquema del movimiento:

100 m
Origen
Ecuaciones generales para el movimiento rectilíneo y uniforme:
v = cte.
s = s0 + v t
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Valores de s0 y v para este caso: s0 = 100 m ; v = - 2,3 m/s
Ecuaciones particulares para este movimiento:
v = - 2, 3
s = 100 – 2,3 t
Cuando pasa por el origen s = 0, luego:
0 = 100 – 2,3 t ;
t
100
 43,5 s
2,3
MOV. UNIFORME: @Utiliza el applet de Java y la animación
Flash
que aparece en la siguiente dirección de Internet:
http://www.unalmed.edu.co/~daristiz/virtual/mecanicaparticula/applets/ap
plet_mu/MU.htm
http://www.walter-fendt.de/ph11s/acceleration_s.htm
Ejemplo 3.
El movimiento de un cuerpo obedece a la ecuación siguiente: s =
a.
b.
c.
-
12 + 5 t.
Indica el tipo de movimiento del cuerpo y haz un esquema de su trayectoria.
¿Qué aspecto tendrán las gráficas s/t y v/t?
¿Cuánto tiempo tardará en pasar por el origen?
Solución:
El cuerpo se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme (m.r.u), ya que la ecuación s/t
es del tipo s = s0 + v t , siendo los valores de las constantes, para este caso:
s0 = - 12 m. El signo menos se debe a que inicialmente se encuentra situado a la
izquierda
del origen.
v = 5 m/s. El signo positivo nos indica que se mueve hacia la derecha.
t=0
t=1
t=2
t=3
2m
3m
5 m/s
12 m
7m
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s (m)
Gráficas:
v (m/s)
t (s)
2,4
-12
5
t (s)
t
Cuando pase por el origen se cumplirá: s = 0. Luego : 0 = - 12 + 5 t ;
12
 2,4 s
5
Ejemplo 5
7 m/s
3 m/s
A
B
30 m
10 m
a.
b.
Escribir las ecuaciones que describen el movimiento de los puntos considerados.
¿A qué distancia del origen se encuentran?
Solución
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MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORMEMENTE ACELERADO
> La trayectoria es una recta
Ecuaciones:
> La aceleración es constante
v = v0 + a t
La aceleración mide la rapidez
con la que varía la velocidad.
s = s0 + v0 t + ½ a t 2
Donde:
Se mide en m/s2. Así una
aceleración de 5 m/s2 indica que la
velocidad aumenta a razón de 5 m/s
cada segundo.
v0 = velocidad cuando t =0
s0 = distancia al origen cuando t =0
= distancia
al origen
(puede
que no(1
coincida
Observa sque
en el mismo
intervalo
de tiempo
s) cadacon
vezel
espacio
recorrido)
recorre más espacio, ya que la velocidad va aumentando.
t = 0, significa
el tiempo o
5 s cuando empieza a contarse
6s
cuando se aprieta el cronómetro
1s
2s
3s
4s
1m
4m
9m
16 m
25 m
36 m
6 m/s
8 m/s
10 m/s
12 m/s
2 m/s 4 m/s
La velocidad aumenta siempre lo mismo en 1 s. La aceleración
es constante. La velocidad aumenta linealmente con el tiempo.
v

v2
∆ v= v2 – v1
v1

∆ t= t2 – t1
t1
a
t2
v
t
La gráfica v - t es una recta. La inclinación de la recta
depende de la aceleración.
Para calcular v 0 determinar el punto de corte de la recta
con el eje “v”
t
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Para calcular la aceleración del movimiento,
calcular la pendiente de la recta
s
a2
a1
a2 > a1
La gráfica s/t es una parábola.
La aceleración es positiva si la parábola se abre hacia
arriba y negativa si lo hace hacia abajo.
s0 = 0
Cuanto más cerrada sea la parábola, mayor aceleración
El desplazamiento
inicial
s 0 se determina
viendo el rectilíneo y uniformemente
Para escribir las
ecuaciones
de un movimiento
punto
de corte con el eje “s”
acelerado:
 Fija el origen a partir del cual se va a medir la distancia.
 Fija el sentido al que se le asigna signo positivo
 Determina el valor de las constantes del movimiento: a, s0 , v0
 Adapta las ecuaciones generales al caso particular sustituyendo los valores de a,
s0 , v0 para el caso considerado.
Ten en cuenta que aunque no usemos los elementos matemáticos las magnitudes que estás usando:
distancia al origen, velocidad, aceleración, son lo que se llaman vectores (muy a menudo los
vectores se representan por flechas). Los vectores además de un valor (el número) tienen una
dirección y un sentido. Pues bien, el signo nos indica el sentido del vector (hacia adonde apunta la
flecha)1.
Ejemplo
Escribe las ecuaciones que describen el movimiento del punto de la figura
v= 20 m/s
t=0
100 m
a = 5 m/s2
Solución:
Ecuaciones generales para el movimiento:
v = v0 + a t
s = s0 + v0 t + ½ a t2
Se toma como origen de distancias la línea vertical.
Sentido positivo hacia la derecha.
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t
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Determinación de s0: ¿ A qué distancia del origen está el punto cuando t =0? s 0 = 100
m
Determinación de v0: ¿Cuál es la velocidad del punto cuando t =0? v0 = 20 m/s
Determinación de la aceleración: a =
izquierda).
- 5 m/s2 (signo menos, ya que apunta hacia la
Ecuaciones particulares para este movimiento:
v = 20 - 5 t
s = 100+ 20 t - 2,5 t2
Una vez escritas las ecuaciones se pueden resolver prácticamente todas las cuestiones
que se quieran plantear. Solamente hay que traducir de nuestro lenguaje al lenguaje de
la ecuación que solamente sabe de valores de s, v ó t.
Ejemplos: ¿Cuánto tarda en frenar el punto del ejemplo anterior?.
Traducción al lenguaje ecuación: ¿Qué valor toma t cuando v =0?
Si v = 0 ; 0 = 20 – 5 t ;
t
20
4s
5
¿Cuál es su velocidad al cabo de 5,3 s?
Traducción al lenguaje ecuación: ¿Qué valor toma v cuando t = 5,3 s?
Si t = 5,3 s ; v = 20 – 5 . 5,3 = - 6,5 m /s (el signo menos indica que se
desplaza hacia la izquierda. Después de frenar ha dado la vuelta)
Ejemplo 2
Un cuerpo parte del reposo y comienza a moverse. Los datos
tomados se recogen en la tabla adjunta. Indicar qué tipo de
movimiento tiene y determinar las ecuaciones para el mismo.
Solución:
Como se observa en la tabla adjunta el espacio recorrido no
varía linealmente con el tiempo. Esto es: en el intervalo de un
segundo recorre cada vez más espacio. Esto indica que su
velocidad va aumentando. Si se trata de un movimiento
uniformemente acelerado el aumento de velocidad, o lo que es
lo mismo, su aceleración, será constante.
t( s)
0
1
2
3
4
5
s ( m)
10
13
22
37
58
85
Si el movimiento es uniformemente acelerado deberá cumplir la ecuación: s = s 0 + v0 t
+ ½ a t2.
Como en este caso v0 = 0, la ecuación quedará: s = s0 + ½ a t2.
Despejando a :
2  s  s0 
1 2
a t  s  s0 ; a 
2
t2
Usando la ecuación anterior vamos probando con datos correspondientes de t y s
comprobamos si el valor de a es constante:
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a
2 13  10  m
1
2
2
s
6
2  22  10  m
2  37  10  m
m
m
m
; a
6 2 ; a
6 2
2
2
2
2
2
s
2 s
s
3 s
s
Por tanto estamos ante un movimiento uniformemente acelerado con a  6
m
s2
Para obtener las ecuaciones determinamos el valor de v 0 y s0 :
v0 = 0 , ya que nos lo dicen en el enunciado
s0 = 10 m, ya que es el valor de s cuando t = 0 (ver tabla).
Ecuaciones:
v=6t
s = 10 + 3 t2
@Utiliza el applet de Java y la animación Flash
que aparece
en la siguiente dirección de Internet:
http://www.unalmed.edu.co/~daristiz/virtual/mecanicaparticula/applets/ap
plet_muv/MUV.htm
Puedes ampliar tus conocimientos en la siguiente presentación PPt:
cinematica.ppt
Consulta la siguiente dirección de Internet para realizar el test y comprobar tus
conocimientos:
http://web.educastur.princast.es/proyectos/fisquiweb/Cuestionarios/mrua.htm
Realiza la siguiente unidad didáctica en la dirección de Internet:
http://newton.cnice.mec.es/2eso/cinematica/cineobjetivos.htm
Consulta la siguiente dirección para realizar la actividad en excell y comprobar tus
conocimientos: (haz control-click sobre la dirección)
mruexcel.xls
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MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
s
> La trayectoria es una circunferencia.
R
> La velocidad es constante
Si se considera un punto girando en una circunferencia es
fácil concluir que es mucho más sencillo medir el ángulo
girado en un intervalo de tiempo que el arco recorrido
(espacio). Por esto se define la velocidad angular  como
la rapidez con que se describe el ángulo ():


t

2  1 

t 2  t1
t
El ángulo (), debe medirse en radianes:
 (rad) 
longitud arco (m)
s

radio circunferencia (m) R
Según esta definición:

Para convertir vueltas o grados a
radianes:
30
0
 rad 
 rad
6
180 0
De la definición de velocidad
angular se deduce la relación
entre la velocidad angular  y
el ángulo girado :
=.t
1 vuelta = 360 0 = 2  radianes
El movimiento circular uniforme es un movimiento periódico,
ya½que
se repite
vuelta
= 180 0a=intervalos
 radianesregulares de tiempo.
Se denomina periodo
( T ) al tiempo que el punto tarda en dar
¼ de vuelta = 90 0 =  /2 radianes
una vuelta (el movimiento vuelve a repetirse).
Se denomina frecuencia ( f ) al número de vueltas que el punto
da en un segundo.
Periodo y frecuencia son magnitudes inversamente
1
1
proporcionales: T  ; f  ; T . f = 1
f
T
El periodo se mide en segundos (s)
La frecuencia se mide en s 1 o Hz (hertzios)
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Si cuando empieza a contarse
el tiempo (t = 0) el punto ya ha
descrito un ángulo 0, entonces
el ángulo girado en un tiempo t
será:
Teniendo en cuenta las
= 0de
+ periodo,
.t.
definiciones
frecuencia y velocidad
angular, se puede poner:

2
1
2
2 f
T
T
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Ejemplo 1
Un punto describe una trayectoria circular tardando 3,52 s en dar cinco vueltas. Calcular:
a) La velocidad angular en r.p.m y en rad/s
b) El periodo y la frecuencia del movimiento
c) El ángulo girado al cabo de 0,85 s de iniciado el movimiento.
Solución:
a)
b)

5 vueltas

5 vueltas
3,52 s
T
3,52 s
 0,704 s
5
f 
1
1

 1, 420 s1  1, 420 Hz
T 0,704 s
3,52 s
60 s
vueltas
 85,23
 85,23 r.p.m.
1 min
min
2 rad
1 vuelta
 2,84 
rad
 2,84  s1
s
c)  =  . t = 2,84  s – 1 . 0,65 s = 1,85  rad  5,81 rad
Ejemplo 2
En el laboratorio se estudia el movimiento de un disco, de radio 10 cm, que gira con velocidad
constante, midiéndose el tiempo que tarda en dar cinco vueltas. Los valores obtenidos se dan
en la tabla adjunta.
a) Calcular la velocidad angular del disco.
1
t (s) . Cinco
vueltas
4,252
2
4,305
3
4,221
Solución:
4
4,214
5
4,296
a) Calculamos el periodo del movimiento (tiempo que tarda en
dar una vuelta), hallando la media de los valores obtenidos y
dividiendo por cinco:
Medida
b) Determinar la velocidad lineal de un punto de su periferia y
de otro situado a 3 cm del centro.
c) ¿Cuánto tardará en girar 120 0?
tmed = 4,258 s ; T = 0,852 s.
Cálculo de la velocidad angular :

2
2
rad

 2,35 s1  7,38 s1  7,38
T
0,852 s
s
b) Un punto situado en la periferia del disco describirá una circunferencia de radio 10 cm =
0,10 m
v =  . R = 2,35  s-1. 0,10 m = 0,235  s-1  0,74 m .s-1 = 0,74 m/s
Par el punto situado a 3 cm del centro : R = 3 cm = 0,03 m:
v =  . R = 2,35  s-1. 0,03m = 0,0705  s-1  0,22 m .s-1 = 0,22 m/s
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Como se deduce del cálculo ambos puntos giran con idéntica velocidad
angular (), ya que recorren el mismo ángulo, pero la velocidad lineal
aumenta a medida que nos desplazamos hacia la periferia.
c) Pasamos los grados a radianes: 1200


t
;
t
 rad
 0, 67 rad
1800
0,67


 0,283 s
 2,35 s1
@Utiliza el applet de Java y la animación Flash
que aparece
en la siguiente dirección de Internet:
http://www.unalmed.edu.co/~daristiz/virtual/mecanicaparticula/applets/ap
plet_mcu/MCU.htm
Ejemplo 3
Un punto recorre una trayectoria circular de radio 36 cm con una frecuencia de 0,25 s -1.
a) Calcular el periodo del movimiento.
b) Calcular la velocidad angular y la lineal.
c) Determinar el ángulo girado en 1,54 s.
Solución:
a)
T
1
1

4s
f 0,25 s1
b)  = 2  f = 2  0,25 s-1 = 0,5  s-1 1,57 s-1
v =  R = 0,5  s-1 0,36 m = 0,18  m s-1 = 0,18  m/s  0,57 m/s
c)  =  t = 0,5  s-1 1,54 s = 0,77  rad
0,77  rad
1800
 138,60
 rad
Ejemplo 4
Un punto gira describiendo círculos con velocidad constante de forma tal que describe un
ángulo de 180 0 en 1,543 s.
a) Calcular su velocidad angular
t=0
b) Determinar el periodo y la frecuencia del movimiento
c) Suponiendo que los ángulos empiezan a contarse a partir del punto
más alto de la trayectoria y el cronómetro se pone en marcha cuando
el punto está formando un ángulo de 300 con la vertical (ver esquema)
¿en qué posición se encuentra el punto cuando transcurran 2,500 s?
Solución:
a)  =
=0
 rad
rad
 0, 65 
 0, 65  s1
1,543 s
s
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300
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b) Tarda 1,543 s en dar media vuelta (180 0), luego tardará : 2 . 1,543 = 3,086 s en dar
una vuelta completa. Por tanto:
T = 3,086 s.
f 
c)
300
1
1

 0,32 s1
T 3,086 s
 rad 
 rad
6
180
 = 0 + t =
1,79  rad


1
+ 0,65  s –1 2,50 s =
+ 1,625  =  ( + 1,625 ) = 1,79  rad
6
6
6
1800
 322, 20
 rad
Consulta la siguiente dirección de Internet para realizar las siguientes prácticas de
cinemática: http://www.iestiemposmodernos.com/diverciencia/index.htm
http://br.geocities.com/saladefisica3/laboratorio.htm
Puedes consultar la siguiente dirección de Internet para consultar distintos enlaces de
cinemática:
http://www.ies-mcatalan.com/otrasweb/orientacion/enlaces/fisica_quimica.htm
Puedes consultar la siguiente dirección de Internet para consultar un completo libro
virtual de Física General.
http://bellota.ele.uva.es/~imartin/libro/libro.html
Blog que incluye todo tipo de enlaces (animaciones, software, prácticas, webquest,
vídeos, imágenes, diagramas...) a contenidos concretos de la materia.
http://fisica-quimica.blogspot.com/
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