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Unidades interactivas TEORÍA JAVIER SANZ Física y Química. Cinemática. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME La Cinemática es la rama de la Física que estudia los movimientos de los cuerpos sin hacer referencia a sus causas. Un cuerpo se mueve cuando cambia su posición respecto a otro cuerpo y se encuentra en reposo si su posición no se modifica respecto a dicho cuerpo. La trayectoria es la línea descrita en el espacio por un punto material en movimiento. La posición de un punto es una magnitud vectorial definida por una distancia al origen del sistema de referencia, en una determinada dirección y sentido. El segmento orientado que une dos posiciones de un móvil es el vector desplazamiento. El espacio recorrido es la longitud de la trayectoria recorrida por el móvil. En Física se define la velocidad media como el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo empleado en recorrerlo. Su expresión matemática es: Vm = Sf- - So / tf - to Se llama velocidad instantánea a la velocidad que lleva un cuerpo en un determinado instante o en un punto concreto de su trayectoria. La aceleración media es la magnitud que mide el cambio de velocidad por unidad de tiempo. Su expresión matemática es: Am = Vf- - Vo / tf - to La aceleración que lleva un móvil en un momento o en un punto determinado de su trayectoria se denomina aceleración instantánea. Página 1 de 14 Unidades interactivas TEORÍA JAVIER SANZ Ecuaciones: v = cte > La trayectoria es una línea recta. s = s0 + v t > Su velocidad es constante (s da la distancia al origen) Observa que el espacio recorrido por el móvil es siempre el mismo para un periodo de tiempo dado (en la imagen 1 s) Origen de distancias Origen de tiempos s=0 v s0 t=0 t=1s t=2s t=3s Se denomina espacio inicial, s0 , a la distancia al origen cuando se empieza a contar el tiempo La gráfica s/t es una línea recta. La inclinación (pendiente) nos da la velocidad. El punto de corte con el eje vertical da s 0 Página 2 de 14 Unidades interactivas TEORÍA JAVIER SANZ El punto de corte con el eje S, nos da la posición inicial del móvil so = 10 m. Velocidad positiva s(m) s(m) 30 Velocidad negativa. so = 30 m Instante en que pasa por el origen Recta que pasa por el origen (s0=0). 10 10 t(s) t(s) La gráfica v/t es una recta paralela al eje t v ( m/s) t(s) Movimiento con velocidad negativa Para escribir la ecuación correspondiente a un movimiento rectilíneo y uniforme: Determina el valor de s0. Determina el valor de la velocidad Adapta las ecuaciones generales del movimiento al caso particular que estudias poniendo los valores de s0 y v. EVALUADOR: @Utiliza el applet de Java y la animación Flash que aparece en la dirección: http://www.unalmed.edu.co/~daristiz/virtual/mecanicaparticula/applets/ap plet_evaluador_desplazamiento/EvaluadorDesplazamiento.htm Página 3 de 14 Unidades interactivas TEORÍA JAVIER SANZ Ejemplo 1. Un cuerpo que se mueve con velocidad constante de 3 m/s, se encuentra situado a 15 m a la derecha del origen cuando comienza a contarse el tiempo. Escribe las ecuaciones que describen su movimiento: Solución: Ecuaciones generales para el movimiento rectilíneo y uniforme: v = cte. s = s0 + v t Valores de s0 y v para este caso: s0 = 15 m ; v = 3 m/s v=3 s = 15 + 3 t ECUACIÓN DE MOVIMIENTO: @Utiliza el applet de Java y la animación Flash que aparece en la siguiente dirección de Internet: http://lefmvespertino.usach.cl/flash/mur_ene2006.swf Ejemplo 2. Un cuerpo se mueve hacia el origen con velocidad constante de 2,3 m/s. Si inicialmente se encuentra a una distancia de 100 m de éste ¿cuánto tiempo tardará en pasar por él? Esquema del movimiento: 100 m Origen Ecuaciones generales para el movimiento rectilíneo y uniforme: v = cte. s = s0 + v t Página 4 de 14 Unidades interactivas TEORÍA JAVIER SANZ Valores de s0 y v para este caso: s0 = 100 m ; v = - 2,3 m/s Ecuaciones particulares para este movimiento: v = - 2, 3 s = 100 – 2,3 t Cuando pasa por el origen s = 0, luego: 0 = 100 – 2,3 t ; t 100 43,5 s 2,3 MOV. UNIFORME: @Utiliza el applet de Java y la animación Flash que aparece en la siguiente dirección de Internet: http://www.unalmed.edu.co/~daristiz/virtual/mecanicaparticula/applets/ap plet_mu/MU.htm http://www.walter-fendt.de/ph11s/acceleration_s.htm Ejemplo 3. El movimiento de un cuerpo obedece a la ecuación siguiente: s = a. b. c. - 12 + 5 t. Indica el tipo de movimiento del cuerpo y haz un esquema de su trayectoria. ¿Qué aspecto tendrán las gráficas s/t y v/t? ¿Cuánto tiempo tardará en pasar por el origen? Solución: El cuerpo se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme (m.r.u), ya que la ecuación s/t es del tipo s = s0 + v t , siendo los valores de las constantes, para este caso: s0 = - 12 m. El signo menos se debe a que inicialmente se encuentra situado a la izquierda del origen. v = 5 m/s. El signo positivo nos indica que se mueve hacia la derecha. t=0 t=1 t=2 t=3 2m 3m 5 m/s 12 m 7m Página 5 de 14 Unidades interactivas TEORÍA JAVIER SANZ s (m) Gráficas: v (m/s) t (s) 2,4 -12 5 t (s) t Cuando pase por el origen se cumplirá: s = 0. Luego : 0 = - 12 + 5 t ; 12 2,4 s 5 Ejemplo 5 7 m/s 3 m/s A B 30 m 10 m a. b. Escribir las ecuaciones que describen el movimiento de los puntos considerados. ¿A qué distancia del origen se encuentran? Solución Página 6 de 14 Unidades interactivas TEORÍA JAVIER SANZ MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORMEMENTE ACELERADO > La trayectoria es una recta Ecuaciones: > La aceleración es constante v = v0 + a t La aceleración mide la rapidez con la que varía la velocidad. s = s0 + v0 t + ½ a t 2 Donde: Se mide en m/s2. Así una aceleración de 5 m/s2 indica que la velocidad aumenta a razón de 5 m/s cada segundo. v0 = velocidad cuando t =0 s0 = distancia al origen cuando t =0 = distancia al origen (puede que no(1 coincida Observa sque en el mismo intervalo de tiempo s) cadacon vezel espacio recorrido) recorre más espacio, ya que la velocidad va aumentando. t = 0, significa el tiempo o 5 s cuando empieza a contarse 6s cuando se aprieta el cronómetro 1s 2s 3s 4s 1m 4m 9m 16 m 25 m 36 m 6 m/s 8 m/s 10 m/s 12 m/s 2 m/s 4 m/s La velocidad aumenta siempre lo mismo en 1 s. La aceleración es constante. La velocidad aumenta linealmente con el tiempo. v v2 ∆ v= v2 – v1 v1 ∆ t= t2 – t1 t1 a t2 v t La gráfica v - t es una recta. La inclinación de la recta depende de la aceleración. Para calcular v 0 determinar el punto de corte de la recta con el eje “v” t Página 7 de 14 Unidades interactivas TEORÍA JAVIER SANZ Para calcular la aceleración del movimiento, calcular la pendiente de la recta s a2 a1 a2 > a1 La gráfica s/t es una parábola. La aceleración es positiva si la parábola se abre hacia arriba y negativa si lo hace hacia abajo. s0 = 0 Cuanto más cerrada sea la parábola, mayor aceleración El desplazamiento inicial s 0 se determina viendo el rectilíneo y uniformemente Para escribir las ecuaciones de un movimiento punto de corte con el eje “s” acelerado: Fija el origen a partir del cual se va a medir la distancia. Fija el sentido al que se le asigna signo positivo Determina el valor de las constantes del movimiento: a, s0 , v0 Adapta las ecuaciones generales al caso particular sustituyendo los valores de a, s0 , v0 para el caso considerado. Ten en cuenta que aunque no usemos los elementos matemáticos las magnitudes que estás usando: distancia al origen, velocidad, aceleración, son lo que se llaman vectores (muy a menudo los vectores se representan por flechas). Los vectores además de un valor (el número) tienen una dirección y un sentido. Pues bien, el signo nos indica el sentido del vector (hacia adonde apunta la flecha)1. Ejemplo Escribe las ecuaciones que describen el movimiento del punto de la figura v= 20 m/s t=0 100 m a = 5 m/s2 Solución: Ecuaciones generales para el movimiento: v = v0 + a t s = s0 + v0 t + ½ a t2 Se toma como origen de distancias la línea vertical. Sentido positivo hacia la derecha. Página 8 de 14 t Unidades interactivas TEORÍA JAVIER SANZ Determinación de s0: ¿ A qué distancia del origen está el punto cuando t =0? s 0 = 100 m Determinación de v0: ¿Cuál es la velocidad del punto cuando t =0? v0 = 20 m/s Determinación de la aceleración: a = izquierda). - 5 m/s2 (signo menos, ya que apunta hacia la Ecuaciones particulares para este movimiento: v = 20 - 5 t s = 100+ 20 t - 2,5 t2 Una vez escritas las ecuaciones se pueden resolver prácticamente todas las cuestiones que se quieran plantear. Solamente hay que traducir de nuestro lenguaje al lenguaje de la ecuación que solamente sabe de valores de s, v ó t. Ejemplos: ¿Cuánto tarda en frenar el punto del ejemplo anterior?. Traducción al lenguaje ecuación: ¿Qué valor toma t cuando v =0? Si v = 0 ; 0 = 20 – 5 t ; t 20 4s 5 ¿Cuál es su velocidad al cabo de 5,3 s? Traducción al lenguaje ecuación: ¿Qué valor toma v cuando t = 5,3 s? Si t = 5,3 s ; v = 20 – 5 . 5,3 = - 6,5 m /s (el signo menos indica que se desplaza hacia la izquierda. Después de frenar ha dado la vuelta) Ejemplo 2 Un cuerpo parte del reposo y comienza a moverse. Los datos tomados se recogen en la tabla adjunta. Indicar qué tipo de movimiento tiene y determinar las ecuaciones para el mismo. Solución: Como se observa en la tabla adjunta el espacio recorrido no varía linealmente con el tiempo. Esto es: en el intervalo de un segundo recorre cada vez más espacio. Esto indica que su velocidad va aumentando. Si se trata de un movimiento uniformemente acelerado el aumento de velocidad, o lo que es lo mismo, su aceleración, será constante. t( s) 0 1 2 3 4 5 s ( m) 10 13 22 37 58 85 Si el movimiento es uniformemente acelerado deberá cumplir la ecuación: s = s 0 + v0 t + ½ a t2. Como en este caso v0 = 0, la ecuación quedará: s = s0 + ½ a t2. Despejando a : 2 s s0 1 2 a t s s0 ; a 2 t2 Usando la ecuación anterior vamos probando con datos correspondientes de t y s comprobamos si el valor de a es constante: Página 9 de 14 Unidades interactivas TEORÍA JAVIER SANZ a 2 13 10 m 1 2 2 s 6 2 22 10 m 2 37 10 m m m m ; a 6 2 ; a 6 2 2 2 2 2 2 s 2 s s 3 s s Por tanto estamos ante un movimiento uniformemente acelerado con a 6 m s2 Para obtener las ecuaciones determinamos el valor de v 0 y s0 : v0 = 0 , ya que nos lo dicen en el enunciado s0 = 10 m, ya que es el valor de s cuando t = 0 (ver tabla). Ecuaciones: v=6t s = 10 + 3 t2 @Utiliza el applet de Java y la animación Flash que aparece en la siguiente dirección de Internet: http://www.unalmed.edu.co/~daristiz/virtual/mecanicaparticula/applets/ap plet_muv/MUV.htm Puedes ampliar tus conocimientos en la siguiente presentación PPt: cinematica.ppt Consulta la siguiente dirección de Internet para realizar el test y comprobar tus conocimientos: http://web.educastur.princast.es/proyectos/fisquiweb/Cuestionarios/mrua.htm Realiza la siguiente unidad didáctica en la dirección de Internet: http://newton.cnice.mec.es/2eso/cinematica/cineobjetivos.htm Consulta la siguiente dirección para realizar la actividad en excell y comprobar tus conocimientos: (haz control-click sobre la dirección) mruexcel.xls Página 10 de 14 Unidades interactivas TEORÍA JAVIER SANZ MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME s > La trayectoria es una circunferencia. R > La velocidad es constante Si se considera un punto girando en una circunferencia es fácil concluir que es mucho más sencillo medir el ángulo girado en un intervalo de tiempo que el arco recorrido (espacio). Por esto se define la velocidad angular como la rapidez con que se describe el ángulo (): t 2 1 t 2 t1 t El ángulo (), debe medirse en radianes: (rad) longitud arco (m) s radio circunferencia (m) R Según esta definición: Para convertir vueltas o grados a radianes: 30 0 rad rad 6 180 0 De la definición de velocidad angular se deduce la relación entre la velocidad angular y el ángulo girado : =.t 1 vuelta = 360 0 = 2 radianes El movimiento circular uniforme es un movimiento periódico, ya½que se repite vuelta = 180 0a=intervalos radianesregulares de tiempo. Se denomina periodo ( T ) al tiempo que el punto tarda en dar ¼ de vuelta = 90 0 = /2 radianes una vuelta (el movimiento vuelve a repetirse). Se denomina frecuencia ( f ) al número de vueltas que el punto da en un segundo. Periodo y frecuencia son magnitudes inversamente 1 1 proporcionales: T ; f ; T . f = 1 f T El periodo se mide en segundos (s) La frecuencia se mide en s 1 o Hz (hertzios) Página 11 de 14 Si cuando empieza a contarse el tiempo (t = 0) el punto ya ha descrito un ángulo 0, entonces el ángulo girado en un tiempo t será: Teniendo en cuenta las = 0de + periodo, .t. definiciones frecuencia y velocidad angular, se puede poner: 2 1 2 2 f T T Unidades interactivas TEORÍA JAVIER SANZ Ejemplo 1 Un punto describe una trayectoria circular tardando 3,52 s en dar cinco vueltas. Calcular: a) La velocidad angular en r.p.m y en rad/s b) El periodo y la frecuencia del movimiento c) El ángulo girado al cabo de 0,85 s de iniciado el movimiento. Solución: a) b) 5 vueltas 5 vueltas 3,52 s T 3,52 s 0,704 s 5 f 1 1 1, 420 s1 1, 420 Hz T 0,704 s 3,52 s 60 s vueltas 85,23 85,23 r.p.m. 1 min min 2 rad 1 vuelta 2,84 rad 2,84 s1 s c) = . t = 2,84 s – 1 . 0,65 s = 1,85 rad 5,81 rad Ejemplo 2 En el laboratorio se estudia el movimiento de un disco, de radio 10 cm, que gira con velocidad constante, midiéndose el tiempo que tarda en dar cinco vueltas. Los valores obtenidos se dan en la tabla adjunta. a) Calcular la velocidad angular del disco. 1 t (s) . Cinco vueltas 4,252 2 4,305 3 4,221 Solución: 4 4,214 5 4,296 a) Calculamos el periodo del movimiento (tiempo que tarda en dar una vuelta), hallando la media de los valores obtenidos y dividiendo por cinco: Medida b) Determinar la velocidad lineal de un punto de su periferia y de otro situado a 3 cm del centro. c) ¿Cuánto tardará en girar 120 0? tmed = 4,258 s ; T = 0,852 s. Cálculo de la velocidad angular : 2 2 rad 2,35 s1 7,38 s1 7,38 T 0,852 s s b) Un punto situado en la periferia del disco describirá una circunferencia de radio 10 cm = 0,10 m v = . R = 2,35 s-1. 0,10 m = 0,235 s-1 0,74 m .s-1 = 0,74 m/s Par el punto situado a 3 cm del centro : R = 3 cm = 0,03 m: v = . R = 2,35 s-1. 0,03m = 0,0705 s-1 0,22 m .s-1 = 0,22 m/s Página 12 de 14 Unidades interactivas TEORÍA JAVIER SANZ Como se deduce del cálculo ambos puntos giran con idéntica velocidad angular (), ya que recorren el mismo ángulo, pero la velocidad lineal aumenta a medida que nos desplazamos hacia la periferia. c) Pasamos los grados a radianes: 1200 t ; t rad 0, 67 rad 1800 0,67 0,283 s 2,35 s1 @Utiliza el applet de Java y la animación Flash que aparece en la siguiente dirección de Internet: http://www.unalmed.edu.co/~daristiz/virtual/mecanicaparticula/applets/ap plet_mcu/MCU.htm Ejemplo 3 Un punto recorre una trayectoria circular de radio 36 cm con una frecuencia de 0,25 s -1. a) Calcular el periodo del movimiento. b) Calcular la velocidad angular y la lineal. c) Determinar el ángulo girado en 1,54 s. Solución: a) T 1 1 4s f 0,25 s1 b) = 2 f = 2 0,25 s-1 = 0,5 s-1 1,57 s-1 v = R = 0,5 s-1 0,36 m = 0,18 m s-1 = 0,18 m/s 0,57 m/s c) = t = 0,5 s-1 1,54 s = 0,77 rad 0,77 rad 1800 138,60 rad Ejemplo 4 Un punto gira describiendo círculos con velocidad constante de forma tal que describe un ángulo de 180 0 en 1,543 s. a) Calcular su velocidad angular t=0 b) Determinar el periodo y la frecuencia del movimiento c) Suponiendo que los ángulos empiezan a contarse a partir del punto más alto de la trayectoria y el cronómetro se pone en marcha cuando el punto está formando un ángulo de 300 con la vertical (ver esquema) ¿en qué posición se encuentra el punto cuando transcurran 2,500 s? Solución: a) = =0 rad rad 0, 65 0, 65 s1 1,543 s s Página 13 de 14 300 Unidades interactivas TEORÍA JAVIER SANZ b) Tarda 1,543 s en dar media vuelta (180 0), luego tardará : 2 . 1,543 = 3,086 s en dar una vuelta completa. Por tanto: T = 3,086 s. f c) 300 1 1 0,32 s1 T 3,086 s rad rad 6 180 = 0 + t = 1,79 rad 1 + 0,65 s –1 2,50 s = + 1,625 = ( + 1,625 ) = 1,79 rad 6 6 6 1800 322, 20 rad Consulta la siguiente dirección de Internet para realizar las siguientes prácticas de cinemática: http://www.iestiemposmodernos.com/diverciencia/index.htm http://br.geocities.com/saladefisica3/laboratorio.htm Puedes consultar la siguiente dirección de Internet para consultar distintos enlaces de cinemática: http://www.ies-mcatalan.com/otrasweb/orientacion/enlaces/fisica_quimica.htm Puedes consultar la siguiente dirección de Internet para consultar un completo libro virtual de Física General. http://bellota.ele.uva.es/~imartin/libro/libro.html Blog que incluye todo tipo de enlaces (animaciones, software, prácticas, webquest, vídeos, imágenes, diagramas...) a contenidos concretos de la materia. http://fisica-quimica.blogspot.com/ Página 14 de 14