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CINEMÁTICA III /MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL
CINEMÁTICA III
MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL
CONCEPTO: Es aquel tipo de movimiento donde la partícula o punto material describe una
trayectoria curva llamada circunferencia.
ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL
B
S
V
B

V
A
0
A
r
C
V
Figura 01
V
D
Figura 02
1. DESPLAZAMIENTO LINEAL (S)
Es la longitud de arco de la circunferencia que recorre el móvil entre dos puntos considerados de
la trayectoria. Se mide en
metros, kilómetros y
centímetros.

Figura 03
2. DESPLAZAMIENTO
ANGULAR (  ).
Es el ángulo central
correspondiente al arco
descrito por el cuerpo, se
mide en radianes.
r
El ángulo medido en
radianes es igual al cociente
de la longitud de arco entre
el radio de curvatura.

S
r
 S   .r
Forma diferencial:
A

B
…(1)
d S  r.d
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3. VELOCIDAD LINEAL O TANGENCIAL (V)
Es aquella magnitud física vectorial, se define como la longitud de arco recorrido por el móvil
por cada unidad de tiempo. Se representa por un vector tangente a la trayectoria.
m km
;
s h
dS
Forma diferencial: Vt 
dt
Vt 
S
t
 unidad :
…(2)
4. VELOCIDAD ANGULAR (  )
Es aquella magnitud física vectorial, se define como el desplazamiento angular que experimenta
el móvil por cada unidad de tiempo. Se representa por un vector perpendicular al plano de
rotación, el sentido se determina mediante la “regla de la mano derecha”, los dedos menores
indican el sentido de rotación y el dedo pulgar señala la dirección de la velocidad angular.
Rapidez angular:

Forma diferencial:

unidad:
t

rad
s
d
dt
o
1
s
entonces
d  .dt
5. POSICIÓN DEL PUNTO MATERIAL.
Integrando tenemos:

t
t
0
t0
t0
 d   .dt  . dt
Desarrollando la integral obtenemos que:   0   .  t  t0 
Usualmente hacemos:  0  0 y t0  0 que reemplazado en la ecuación anterior te obtiene el
desplazamiento angular:
  . t
6. RELACIÓN ENTRE LAS VELOCIDADES
S  .r   

   R   .r
t
t
t
Relación escalar: Vt   .r
…(4)
Sabemos que: Vt 
Relación vectorial entre la velocidad tangencia y angular: v    r
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MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL
UNIFORME (M.C.U.)
1. CONCEPTO. Es aquel tipo de movimiento donde la partícula o cuerpo describe una trayectoria
curva llamada circunferencia, donde la rapidez se mantiene constante y la velocidad solamente
cambia la dirección, es decir el cuerpo se mueve con aceleración centrípeta cuyo valor se
mantiene constante.
2.PERIODO (T)
Es el intervalo de tiempo constante que demora un cuerpo en recorrer la misma trayectoria. Su
valor indica el intervalo de tiempo por cada vuelta o revolución. Se mide en segundos, minutos,
hora y años.
T
Tiempo empleado
numero de vueltas
3. FRECUENCIA (f)
Se define como la inversa del periodo. Su valor indica el número de vueltas que describe el
cuerpo por cada unidad de tiempo. Se mide en revolución por segundo: R.P.S., revolución por
minuto: R.P.M. y revolución por hora: R.P.H.
f 
1 Numero de vueltas

T
tiempo empleado
4. RELACIÓN ENTRE LA VELOCIDAD ANGULAR Y LA FRECUENCIA
Si el cuerpo describe una vuelta, genera un ángulo 2 (radianes) y el tiempo empleado se
denomina periodo.
Sabemos que:


t

2
1
 2    2 f
T
T 
2
En función del periodo:  
T
En función de la frecuencia:   2 f
B
V
ac
V
5. ACELERACIÓN CENTRÍPETA (ac)
La aceleración centrípeta mide la rapidez de
cambio que experimenta la velocidad tangencial
en dirección. Se representa por vector que indica
al centro de curvatura. Su valor es directamente
proporcional al cuadrado de la velocidad
tangencial e inversamente proporcional a l radio
de curvatura. Se mide en m/s2.
V 2   .r 
ac 

  2 .r
r
r
ac
ac
A
C
0
r
V
ac
2
V
D
Fig. 01. ACELERACIÓN CENTRÍPETA
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V2
En función de la velocidad tangencial: ac 
r
2
En función de la velocidad angular: ac   .r
En el M.C.U, la velocidad angular es constante, por consiguiente la aceleración normal o
centrípeta de pude definir como sigue:
Relación vectorial entre la velocidad tangencial y la velocidad angular: V    r
d V d   r 

dt
dt
dr
Se obtiene ac   
  V
dt
RA
ac 
Finalmente:
RB
RC
B
A
C
ac       r 
Fig. 02. DISCOS TANGENTES
6. LEY DE KEPLER PARA EL M.C.U. Todo
cuerpo o partícula que tiene movimiento circunferencial uniforme, describe ángulos iguales en
intervalos de tiempos iguales, respecto de un sistema de referencia ubicado en el centro de la
circunferencia. Ley de áreas: La partícula describe áreas iguales en intervalos de tiempo iguales.
La circunferencia en un caso particular de la elipse.
7. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO:
La velocidad angular se define como la derivada de la posición angular respecto del tiempo:

d
dt
El diferencial del desplazamiento angular es:
d  .dt
Integrando en un intervalo de tiempo tenemos:
2
t2
1
t1
 d  . dt
2 1  .t2  t1 
Ecuación práctica del M.C.U:   .t
Desplazamiento angular:
Ley del movimiento: si t0  0 , entonces:
  0   . t
8. POLEAS Y DISCOS TANGENTES.
La figura 02 muestra tres discos tangentes entre sí, de radios
diferentes. Si los discos son tangentes el número de vueltas en
inversamente proporcional al radio de curvatura, es decir el disco de
mayor radio da menos vuelta y el disco de menor radio da mayor
número de vueltas. Es decir la velocidad tangencial de los puntos
periféricos tiene el mismo valor.
V   A .RA  B .RB  C .RC
a
b
A
B
Fig. 03. POLEAS
CONCÉNTRICAS
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 N. vueltas de A .RA   N. vueltas de C  .RC
9. POLEAS Y DISCOS CONCÉNTRICOS.
Se muestra dos poleas concéntricas de radios a y b en la figura 03. Si los discos son concéntricos
tienen la misma velocidad angular, por consiguiente la velocidad tangencial de sus puntos
periféricos son directamente proporcional al radio.

V
V
V
 A  B
R
RA RB
10. DESCOMPOSICIÓN DE LA ACELERACIÓN EN EL MOVIMIENTO PARABÓLICO.
Descomponemos la velocidad de una
partícula en un instante de tiempo, en
el eje horizontal la velocidad no varía,
Vy
V
pero la velocidad en el eje vertical
cambia debido al campo de gravedad.
Parábola
Calculemos el ángulo que forma la

velocidad V con el eje horizontal.
Tan 

Vy
Vx
at
Vx
Ahora observe la descomposición
rectangular de la aceleración de la
gravedad. Tiene dos componentes en
cada instante de tiempo:
La aceleración tangencial es colineal
con la velocidad instantánea V:
g
an
Fig. 04. DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR DE LA
ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD
at  g.Sen
La aceleración normal es perpendicular a la velocidad instantánea V:
an  g.Cos
El radio de curvatura se puede calcular con la ecuación:
V2
V2
an  g.Cos 
despejando tenemos  

g.Cos
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MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME (M.C.U.)
1. Dos móviles que desarrollan M.C.U. parten de A y B encontrándose en C. Si la rapidez angular de A es
4 rad/ s, calcular la rapidez angular de B en rad/s.
C
C
A
60°
A
O
O
B
B
Para el problema 02
Para el problema 01
2. Dos móviles que desarrollan M.C.U. parten de A y B encontrándose en C. Si la rapidez angular de A es
4 rad/ s y de B es 5 rad/s, ¿después de cuántos segundos se encuentran por primera vez?
3. Dos personas recorren la misma pista
circunferencial (radio 80 m) partiendo del
mismo punto en el mismo sentido, cuya rapidez
angular están en relación de 1 a 5. Calcular la
longitud de arco de circunferencia que recorre
el más lento cuando es alcanzado por el más
rápido.
4. Una partícula con M.C.U. tiene frecuencia de
1200 R.P.M. Si el radio de giro es 50 cm,
calcular su aceleración centrípeta en m/s2.
g = 10 m/s2
V

A
B
D
Para el problema 5, 6 y 7
5. Un proyectil es disparado desde el piso con
rapidez de V = 50 m/s y un ángulo de elevación
 = 53°. Determinar el radio de curvatura de su trayectoria en el instante que pasa por el punto más alto.
6. Un proyectil es disparado desde la superficie terrestre con una
rapidez de V = 100 m/s y un ángulo de elevación de 53° ¿Cuántos
segundos habrá desde el instante de lanzamiento hasta que el
módulo de su aceleración tangencial es 6 m/s2 por segunda vez?
(g = 10 m/s2)
a
b
7. Se lanza un cuerpo con una rapidez de V = 40 m/s y un ángulo de
elevación de 53°. Determine la aceleración normal (en m/s 2) en el
instante en que la rapidez del cuerpo es de 30 m/s (g = 10 m/s2)
8. Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 10 cm y b = 20
cm. Si las poleas giran en sentido horario con rapidez angular
constante de 4 rad/s, determinar la rapidez de alejamiento (en cm/s)
entre los bloques A y B.
9. La figura muestra tres discos tangentes entre sí, de radios de
curvatura R, 2R y 3R respectivamente. Cuando el disco mayor gira 4
vueltas, ¿Cuántas vueltas girara el disco de menor radio?
A
B
Para el problema 08
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10.
Una partícula realiza un movimiento circunferencial uniforme con rapidez angular

12
( rad / s ) y
radio 2,5 m. ¿En qué intervalo de tiempo (en s) la partícula realiza 7 vueltas completas?
11.
Con respecto al movimiento circunferencial, cuál o
cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas:
I. Un partícula que tiene M.C.U. tiene la aceleración
centrípeta constante en módulo.
II. La aceleración centrípeta en un movimiento
circunferencial tiene dirección variable.
III. Si la aceleración centrípeta es constante en módulo,
entonces la trayectoria en una circunferencia.
3R
2R
R
B
A
C
Para el problema 09
12.
Una partícula se desplaza en una trayectoria
circunferencial de 2 m de radio en donde su posición angular varia con el tiempo de acuerdo a la ecuación
 = 2 +2t. Si  se mide en radianes y t en segundos,
determine:
a) su recorrido (en m) entre t = 1 s y t = 3 s.
b) su rapidez angular en el mismo intervalo de
tiempo.
B

g
13.
Se muestra el movimiento curvilíneo de una
partícula. Explique la medición de la aceleración
centrípeta y la aceleración tangencial.
h
p
Para el problema 18
14.
De las siguientes afirmaciones indicar verdadero o
falso, respecto del M.C.U.
I. El móvil no tiene aceleración.
II. La velocidad del móvil es constante.
III. La velocidad angular es constante
15.
Un punto A del borde de un disco, que gira con M.C.U.
en un plano horizontal, tiene una rapidez que es el triple de
la que tiene otro punto B 4 cm más cerca del centro del
disco. Determine el radio del disco.
A
O
B
Para el problema 17
16.
Una esfera de 10 cm de radio gira uniformemente (con
eje de giro vertical y que pasa por el centro de la esfera) con un periodo de 0,2 s. Determine el módulo
de la velocidad de un punto de la superficie de la esfera que se encuentra a 6 cm de un plano horizontal
que pasa por el centro de la esfera.
17.
Dos partículas realizan un M.C.U. en sentidos opuestos tal como se muestra; si sus periodos son:
TA = 20 min y TB = 30 min ¿luego de cuántos minutos, desde la posición mostrada se cruzaran por
segunda vez?
18.
Desde una altura de h = 20 m y sobre un punto P del borde de un disco horizontal se deja caer una
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piedra. Si el radio del disco es 15 2 cm gira con frecuencia de 45 R.P.M., ¿a qué distancia (en cm) del
punto P logra chocar la piedra en el disco? (g = 10 m/s2)
19.
Se sueltan simultáneamente dos pelotitas A y B tal como se muestra. Si la plataforma gira
uniformemente con 5/3 rad/s y la primera pelotita marca el punto P en la plataforma y la segunda marca
el punto Q, calcular la medida del ángulo POQ (g = 10 m/s 2)
B
g
R
VA

A
80 cm
VB
45 cm
Para el problema 20
Para el problema 19
20.
Dos móviles A y B parten de dos puntos diametralmente opuestos de una pista circunferencial con
rapideces angulares de /2 rad/s y /3 rad/s en el mismo sentido. ¿Después de que intervalo de tiempo se
encuentran juntos por primera vez?
21.
Un disco de 20 cm de radio gira con M.C.U. en un plano horizontal. Si una hormiga se aleja del
centro del disco, a lo largo de un radio, con una rapidez constante de 12 cm/s respecto del disco, calcular
el módulo de la velocidad de la hormiga cuando se encuentra a 4 cm del centro del disco. La aceleración
de un punto del borde del disco tiene un módulo de 3,2 m/s 2.
22.
¿Con qué rapidez (en km/h) deberá volar el avión en el Ecuador de Este a Oeste para que a sus
pasajeros les parezca que el Sol está fijo en el firmamento?
Considerar: Radio de la Tierra = 6 396 km y = 3,14

A
b
a
h
B
Para el problema 23
P
Para el problema 24
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23.
Desde una altura de h = 5 m y sobre un punto B del borde de un disco horizontal se deja caer una
piedra desde A. Si el radio del disco es 5 2 cm y gira a razón de 45 R.P.M. ¿a qué distancia (en cm)
del punto B choca la piedra en el disco?. (g = 10 m/s2)
24.
Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 3 cm y b = 5 cm, que giran en sentido antihorario
a razón de 45 R.P.M. Determine la rapidez (en m/s) con que sube el bloque P.
25.
Se muestra un conjunto de poleas concéntricas, entre las poleas tangentes no hay deslizamiento. Si
el bloque P baja con rapidez de 5 cm/s, determinar la rapidez del bloque Q (en cm/s). Los radios son los
siguientes: a = 60 cm
b = 30 cm x = 40 cm
y = 20 cm
a
x
a
y
b
P
c
Q
Q
Para el problema 25
Para el problema 26
a
a
b
b
Q
Para el problema 27
Q
Para el problema 28
26.
Se muestra tres poleas concéntricas de radios a = 10 cm; c = 30 cm. Si el sistema de poleas gira
con rapidez angular constante igual a 4 rad/s, en sentido horario, determinar la rapidez en m/s con que se
mueve el bloque Q.
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27.
Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 20 cm y b = 10 cm. Si las poleas giran en sentido
antihorario con rapidez angular constante de 6 rad/s, determinar la rapidez (en m/s) del bloque Q.
28.
Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 15 cm y b = 10 cm. Si las poleas giran en sentido
horario con rapidez angular constante de 4 rad/s, determinar la rapidez (en m/s) del bloque Q.
29.
Se muestra una barra AB en posición horizontal y en reposo, cuya longitud es 1,0 m, sostenida por
dos cuerdas iguales enrolladas a dos poleas de radios a = 2,5 cm y b = 7,5 cm. Si las poleas empiezan a
girar en sentido horario con rapidez angular constante de 2 rad/s, ¿en qué intervalo de tiempo los cables
que sostienen la barra estarán en posición vertical?
b
80 cm
a
L
A
b
a
L
B
A
Para el problema 29
B
Para el problema 30
30.
Se muestra una barra AB en reposo, cuya longitud es 0,5 cm, sostenida por dos cuerdas enrolladas
a dos poleas concéntricas de radios a = 30 cm y b = 10 cm. Si las poleas empiezan a girar en sentido
antihorario con rapidez angular 45 R.P.M., ¿en qué intervalo de tiempo los cables que sostienen la barra
estarán otra vez en posición vertical?
31.
Se tiene una barra horizontal AB inicialmente en reposo
como muestra la figura cuya longitud es 100 cm, sostenida
por dos cable enrollados a dos poleas concéntricas de radios
a y b, donde (a + b = 80 cm). Si las poleas empiezan a girar
con rapidez angular constante igual a 0,3 rad/min en sentido
antihorario, ¿en qué intervalo de tiempo (en min) los cables
que sostienen la barra estarán en posición vertical? Observe
que las longitudes de las cuerdas inicialmente son iguales.
a
b
L
L
A
B
Para el problema 31
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MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME (segunda parte)
1. Se muestra dos pares de poleas concentrica, donde un punto del borde de la polea de radio a = 20 cm,
tiene una rapidez de 60 cm/s. Si las poleas de radios b = 10 cm y d = 5 cm giran en sentido horario, ¿qué
módulo tendrá la velocidad de los puntos del borde de la polea de radio c = 15 cm?
c
a
d
b
Para el problema 01
2. Dos móviles que desarrollan M.C.U parten de A y B. Si la rapidez angular de A es 2 rad/s y de B es 3
rad/s, ¿después de cuántos segundos se encuentran por primera vez?
A
60°
O
B
A
B
O
Para el problema 03
Para el problema 02
3. Dos móviles que desarrollan M.C.U parten de A y B en el mismo sentido. Si la rapidez angular de A es 2
rad/ s y de B es 3 rad/s, ¿después de cuántos segundos se encuentran por primera vez?
R
V
R
R
R
V
O


Para el problema 06
Para el problema 05
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4. Dos personas recorren la misma pista circunferencial (radio 80 m) partiendo del mismo punto en el mismo
sentido, cuya rapidez angular están en relación de 2 a 3. Calcular la longitud de arco de circunferencia
que recorre el más lento cuando es alcanzado por el más rápido.
5. Una esfera hueca de radio 1,0 m gira alrededor de un eje vertical que pasa por su centro. Un proyectil se
desplaza con velocidad de 400 i (m/s) perpendicularmente al eje, perforando a la esfera en un punto cuyo
radio forma 30° con el eje vertical. Determinar la mínima rapidez angular (en rad/s) que debe tener la
esfera par que el proyectil entre y salga por el mismo agujero.
6. Una esfera hueca de radio 0,5 m gira alrededor de un eje vertical que pasa por su centro con frecuencia
de 100 R.P.S. Un proyectil se dispara de tal modo que pasa por el centro geométrico. Determinar la
máxima rapidez (en m/s) que el proyectil tal que, atraviese haciendo un solo agujero.
7. Un cilindro hueco de radio de curvatura 0,4 m gira con frecuencia de 150 R.P.S respecto del eje vertical.
Se dispara un proyectil horizontalmente, de modo que pasa por el eje de rotación. Calcular la máxima
rapidez del proyectil (en m/s), tal que atraviese haciendo un dolo agujero.

25 cm
V
V

Para el problema 08
Para el problema 07
8. Sobre un eje horizontal que gira con frecuencia de 1 200 R.P.M se tiene montado dos discos separados
una distancia de 25 cm. Se dispara un proyectil paralelamente al eje, tal que perfora los dos discos,
notándose que el segundo agujero se desvía 12° respecto del primero. Determine la rapidez del proyectil
(en m/s).
a
a
b
b
c
c
Para el problema 10
Para el problema 11
9. Dos satélites A y B describen trayectorias circunferenciales concéntricas de radios de curvatura R y 2R.
Si los vectores posición, respecto del centro de curvatura, describen áreas iguales en intervalos de tiempo
iguales, determinar la relación entre sus respectivas rapideces angulares.
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CINEMÁTICA III /MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL
10. Se muestra tres discos A, B y C de radios a = 6 cm, b = 3 cm y c = 4 cm, donde A y B son concéntricos y
además A y C son tangentes. Si el disco de radio “b” gira a razón de 120 R.P.M, determinar la rapidez
angular (en rad/s) del disco de radio “c”.
y
y
A
2R
5m
A
O
B
C
x
R
x
6m
Para el problema 12
Para el problema 13
11. Se muestra tres discos A, B y C de radios a = 2 cm, b = 4 cm y c = 5 cm, donde A y B son concéntricos y
además A y C son tangentes. Si el disco de radio “c” gira con rapidez angular de 3 rad/s, determinar el
módulo de la velocidad (en cm/s) de los puntos periféricos del disco B.
12. Una partícula recorre la trayectoria mostrada, formada por dos semicircunferencias, con velocidad
tangencial constante en 3 segundos. Sabiendo que R = 1 m, encontrar el modulo de la aceleración
centrípeta en el punto A en m/s2.
V
V
A
R
R
37°
O
O
d
Para el problema 14
Para el problema 15
d
13. Un móvil recorre la trayectoria ABC con módulo de velocidad constante por el tramo AB y para el tramo
BC. Se sabe que el modulo de la aceleración en AB es 6 m/s2 y en BC 5 m/s2. Determinar el intervalo de
12
9
O
6
Para el problema 16
12
3
9
O
3
6
Para el problema 17
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CINEMÁTICA III /MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL
tiempo (en s) que demora en el recorrido total ABC.
14. Una piedra atada a una cuerda de 2,5 m de longitud gira
en un plano vertical con rapidez angular constante de 2
rad/s. En el instante que pasa por el punto más alto se
rompe la cuerda, determinar el desplazamiento horizontal
“d” (en m) que experimenta la piedra hasta llegar al piso.
(g = 10 m/s2)
(rad/s)

15. Una rueda de radio 5 m rota con rapidez angular
constante de 2 rad/s respecto de un eje fijo. Si en la
posición A se desprende de la rueda una partícula,
determinar la altura máxima (en m) que alcanza respecto
del piso. (g
= 10 m/s2)
(rad/s)
t(s)
0
2
4
8
Para el problema 21
16. Se tiene
un reloj de agujas, ¿a qué hora entre las tres y las cuatro, el
horario (H) y el minutero (M) forma un ángulo recto?

17. Se tiene un reloj de agujas, ¿a qué hora entre las tres y
las cuatro, el horario (H) y el minutero (M) forma un ángulo
de 180°?
18.
Sabiendo que poleas concéntricas de la izquierda
giran con rapidez angular de 3 rad/s en sentido antihorario,
desde el instante mostrado, ¿qué intervalo de tiempo
después (en s) un observador ubicado en el bloque A verá
b
0
2
4
b
d
a
B
6 cm
Para el problema 18
6
Para el problema 20
c
A
t(s)
c
d
a
A
B
6 cm
Para el problema 19
al móvil B con un ángulo de elevación de 53°? Además los radios son: a = 2 cm, b = 1 cm, c = 1 cm y d =
3 cm.
19.
Sabiendo que poleas concéntricas de la izquierda giran con rapidez angular de 3 rad/s en sentido
antihorario, desde el instante mostrado, ¿qué intervalo de tiempo después (en s) un observador ubicado
en el bloque A verá al móvil B con un ángulo de elevación de 53°?
Además los radios son: a = 2 cm, b = 1 cm, c = 1 cm y d = 3 cm.
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CINEMÁTICA III /MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL
20.
Un disco experimenta un movimiento de rotación variado, cuya rapidez angular varía en el tiempo
como muestra la grafica. Determinar el número de revoluciones que gira en los 6 primeros segundos.
21.
Un disco experimenta un movimiento de rotación variado, cuya rapidez angular varía en el tiempo
como muestra la grafica. Determinar el número de revoluciones que gira en los 8 primeros segundos.
22.
En la figura muestra dos pares de poleas concéntricas donde, a = 20 cm, b = 30 cm, c = 15 cm, d =
20 cm. Si la polea pequeña de radio r = 10 cm gira en sentido antihorario a 45 R.P.M., determinar la
rapidez (cm/s) con que se mueve el bloque P, sabiendo que entre las poleas en contacto no hay
deslizamiento.
b
B
d
r
c
A
a
Para el problema 22
Para el problema 23
P
23. Dos móviles A y B se mueven a partir de las posiciones mostradas con velocidad angular de modulo
2 rad/h y /6 rad/h respectivamente. ¿Al
cabo de que tiempo (en min) se producirá
el primer encuentro
Z
24. Una partícula describe un movimiento
circunferencial uniforme en sentido
antihorario. Si la rapidez angular es 4
rad/s y radio 2 m, determine la velocidad
en la posición A.
25. Dos partículas realizan un M.C.U. en
sentidos opuestos tal como se muestra;
si sus periodos son: TA = 40 min y TB =
60 min ¿luego de cuántos minutos, desde
la posición mostrada se cruzarán por
tercera vez?
A
Y
X
Para el problema 24
26. BIBLIOGRAFÍA VIRTUAL Y FUENTES DE INFORMACIÓN:
http://grups.es/didactika/yahoo.com
www.didactika.com
[email protected]
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CINEMÁTICA III /MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL
MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL
UNIFORMEMENTE VARIADO
(M.C.U.V.)
1. CONCEPTO.
Es aquel movimiento mecánico de la partícula que tiene como trayectoria una línea curva
llamada circunferencia, en el

Figura 01
cual el móvil aumenta o
disminuye su velocidad
angular en módulo,
progresivamente, por

consiguiente se mueve con
aceleración angular
r
constante. La velocidad
angular y la aceleración
angular son colineales.
A
B

2. ACELERACIÓN ANGULAR (  ). Es aquella magnitud vectorial, que mide la rapidez de
cambio de la velocidad angular que experimenta una partícula. Se representa por un vector
perpendicular al plano de rotación.
Definición escalar:

  f  0

t
t
Unidades :
rad rad rad
,
,
s 2 min 2 h 2
d
dt
2
d d 
d


Pero:  
entonces se obtiene:  
d t d 2t
dt
Definición vectorial de la aceleración angular:

En el movimiento circular uniformemente variado, la aceleración angular es constante:
Integrando la relación diferencial d   .dt se obtiene que:
Ecuación de la velocidad angular:
  0    t  t 0 
Haciendo que t0  0 , obtenemos la relación:
Otra vez:

d
 0   .t
dt

t
t
0
t0
t0
 d    .dt   . dt
  0   .t
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CINEMÁTICA III /MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL
Observe d   0   .t  .dt ahora integramos:
La posición angular en cualquier instante es:

t
0
t0
t
 d    .dt   . t.dt
0
t0
  0  0 . t  t0   12   t  t0 
2
3. VELOCIDAD ANGULAR MEDIA  m  : Si la aceleración angular es constante, entonces la
velocidad angular varía linealmente. Entonces la velocidad angular media (velocidad angular
constante) se define como la semisuma de la velocidad angular inicial y final.
m 
0  F
2
En el M.C.U la velocidad angular permanece constante,
entonces el desplazamiento angular es:
   F
  m .t   0
2

at

 .t

4.ACELERACIÓN LINEAL O TANGENCIAL (at):
Es aquella magnitud vectorial que mide la rapidez de
cambio que experimenta la velocidad tangencial en
módulo. Se representa mediante un vector tangente a la
circunferencia.
V V  V0
m cm km
Unidades : 2 , 2 , 2
aT 

s
s
h
t
t
Ecuación de la velocidad linéalo tangencial:
a
ac
r
V  V0  aT .t
Figura 02
Definición diferencial de la aceleración tangencial:
aT 
dV
dt
V
Se obtiene que: d V  aT .d t
integrando
t
 dV   a
T
V0
t0
t
.d t  aT . d t
t0
V  V0  aT . t  t0  entonces la velocidad varia con la ley: V  V0  aT . t  t0 
5. ACELERACIÓN NORMAL O CENTRÍPETA (ac): La aceleración centrípeta mide la rapidez
de cambio que experimenta la velocidad tangencial en dirección. Se representa por vector que
indica al centro de curvatura. Su valor es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad
tangencial e inversamente proporcional al radio de curvatura en cada instante de tiempo. Se mide
en m/s2.
V 2   .r 
ac 

  2 .r
r
r
2
6. ACELERACIÓN RESULTANTE (a): es la aceleración que resulta de adición vectorial la
aceleración tangencial y la aceleración centrípeta. El módulo se determina aplicando el teorema
de Pitágoras.
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Forma vectorial:
a  at  ac
Forma escalar:
a
 at    ac 
2
2
7. RELACIÓN ENTRE LA ACELERACIÓN ANGULAR Y TANGENCIAL:
Sabemos que: Vt   .r
at 
V f  V0

t
 f .r  0 .r
t
   0 
at   f
 .r   .r
t


at   .r
Debe observarse que la aceleración angular y la aceleración tangencial son mutuamente
perpendiculares: at    r
Considerando que la trayectoria es una circunferencia, entonces el radio tiene longitud constante,
la aceleración tangencial se define como: at 
 d 
d V d   .r 

 r.
  r.
dt
dt
d
t


8. PROPIEDAD DE LA POLEA MÓVIL.
La velocidad de la polea (punto A) es igual a la semisuma de las velocidades de los puntos B y C
que son los extremos de la cuerda:
V  VC
VA  B
2
A
DEMOSTRACIÓN
Si elegimos un sistema de referencia donde el punto “O” se
encuentra en reposo, se cumplirá que:
O
VB / O  VC / O
es decir, para nuestro observador el bloque B sube y el bloque C
baja con la misma rapidez o viceversa.

VB  VO   VC  VO
Respecto de la tierra:
VA  VO 

B
VA  VO
VB  VC
2
Fig. 03. POLEAS MÓVILES
La misma relación se cumple para la aceleración: aA 
y el desplazamiento: d A 
9.
C
aB  aC
2
d B  dC
2
ACELERACIÓN ANGULAR VARIABLE: En toda grafica aceleración angular versus tiempo,
el área bajo la curva es igual al incremento de la rapidez angular en un intervalo de tiempo.
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CINEMÁTICA III /MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL

t
0
t0
 d    .dt
t
( rad/s2)
  0    .dt
t0
En este caso la aceleración angular varía
linealmente:
t
  0    .dt
t(s)
t0
El incremento de la velocidad angular es:
t
0
CAMBIO DE LA VELOCIDAD ANGULAR
  0    .dt
t0
  0 
b.h
2
En este caso particular la integral representa el área del triángulo.
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PROBLEMAS PROPUESTOS de MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL (M. C. U. V.)
1. Si un disco parte del reposo con M.C.U.V y en 9 segundos su rapidez angular es 36 rad/s. ¿Cuál será la
rapidez angular a los 10 segundos en rad/s?
2. Una partícula gira a 33 R.P.M y al desacelerar con M.C.U.V se detiene en 8 segundos. Determinar el
número de vueltas que logró al perder su velocidad.
3. La frecuencia de una rueda cambia de 8000 R.P.M hasta 200 R.P.M en 5 segundos. Si tiene M.C.U.V,
determinar su rapidez angular (en rad/s) 2 segundos antes de detenerse.
4. Una partícula que tiene M.C.U.V con aceleración angular de módulo 80 rad/s 2. Si para girar 1500 rad
necesita 6 segundos, determinar la rapidez angular inicial en rad/s.
5. El punto periférico, de una rueda de diámetro 8 m, en un instante dado tiene aceleración tangencial de
módulo 20 m/s2 y rapidez angular 5 rad/s. Calcular la aceleración total en m/s 2 en ese instante.
6. El movimiento del rotor de un helicóptero cambia de 300 R.P.M a 225 R.P.M en un minuto. Suponiendo
que la frecuencia de rotación inicial del motor es de 300 R.P.M y que la aceleración angular permanece
constante, ¿cuánto tiempo tardará el rotor en detenerse?.
7. La trayectoria circunferencial de un automóvil esta descrita mediante la ecuación: S  10  5.t  2.t ,
donde S esta en metros y t en segundos. Si la trayectoria tiene un radio de 27 cm, hallar las aceleraciones
tangencial, centrípeta y total cuando t = 1,0 s. Dar la respuesta en m/s 2:
2
8. Desde el borde de una mesa, cuya superficie se encuentra a 1 m del suelo, se lanza horizontalmente un
objeto con una rapidez de 5 m/s. Determinar las aceleraciones centrípeta y tangencial del objeto 0,5
después del lanzamiento.
9. Una partícula realiza un movimiento circunferencial acelerado con aceleración tangencial de modulo 2
m/s2. Si la magnitud de la aceleración normal en el instante t  0 fue 1 m/s2, determine la magnitud (en
m/s2) de la aceleración normal cuando el desplazamiento angular sea de 3 radianes.
10. Un cuerpo realiza un M.C.U.V. de radio 2 m. Si su posición angular
tiempo t (en segundos) es
instante
t  4s .
  2t 

(en radianes) en función del
2
t
, determine el módulo de la velocidad tangencial (en m/s) en el
2
11. Una partícula que realiza una trayectoria circunferencial parte con una rapidez de 3 rad/s y con
aceleración angular de modulo 4 rad/s2. Determine el número de vueltas que realizó en el décimo
segundo.
12. Una partícula efectúa un M.C.U.V. con aceleración angular de 0,5 rad/s2 en una pista de radio 2 m. Si en
t = 0 s parte del reposo, determine la longitud de arco (en m) que describe en el décimo segundo de su
movimiento.
13. Una partícula describe un movimiento circunferencial uniformemente variado, radio 1,0 m y aceleración
tangencial 1 m/s2, partiendo del reposo. Determine el desplazamiento angular (en rad) hasta el instante
que el valor de la aceleración tangencial es igual a la aceleración centrípeta.
14. Un cuerpo inicialmente en reposo (θ = 0, ω = 0 en t = 0) es acelerado en sentido antihorario, en una
trayectoria circular de 1.3 m de radio de acuerdo a la ecuación:
  120t 2  48t  16.
Determinar:
a) La velocidad angular y la posición angular como funciones del tiempo.
b) Las componentes tangencial y normal de su aceleración en t = 2,0 s.
15. Una partícula se mueve en una trayectoria circular con radio R = 2 m con una velocidad angular  = 5
rad/s. Si en t = 0 s comienza a desacelerar con una aceleración angular α = 2 rad/s2, determinar:
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a) El intervalo de tiempo que demora en detenerse.
b) El módulo de la aceleración tangencial y normal al cabo de 1 segundo.
c) El módulo de la aceleración total en t = 1 s.
16.
La velocidad angular de una rueda disminuye uniformemente con aceleración angular constante
desde 900 R.P.M hasta 800 R.P.M en 5 segundos. Determinar:
a) El módulo de la aceleración angular.
b) El intervalo de tiempo más que hará falta para que la rueda se detenga.
c) El grafico de  versus t , sabiendo que en t = 0, o = 94,2 rad/s.
d) Realizar el grafico de

versus
t , si en t = 0, es  o = 0.
V
y
a
53°
R
x
O
P
O
Para el problema 18
Para el problema 16
17.
Una partícula se mueve en una trayectoria circular de radio R = 2 m con M.C.U y una frecuencia de
5 R.P.S. Si cuando t = 0 s pasa por el punto P. En el instante t = 0,15 s determinar:
a) Su posición en función al ángulo central.
b) El módulo de la velocidad tangencial.
c) El módulo de las componentes tangencial y normal de la aceleración.
18.
Una partícula que tiene trayectoria circular, en un instante tiene rapidez V = 20 m/s y aceleración
total de módulo a = 20 m/s2 como se muestra en la figura. Determinar el radio de curvatura.
V
127°
a
R
O
Para el problema 22
Para el problema 23
19.
En el movimiento circunferencial uniformemente variado se cumple:
A) La aceleración tangencial es constante.
B) La aceleración angular es perpendicular a la velocidad angular.
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C) La aceleración angular es perpendicular al plano de rotación.
D) La aceleración normal es constante.
E) El vector aceleración del cuerpo apunta hacia el centro de la circunferencia.
20.
¿Cuántas vueltas habrá dado un disco que inicia un M.C.U.V. desde el reposo si al transcurrir el
primer minuto tiene una frecuencia de 300 R.P.M.
21.
Un cuerpo inicia un M.C.U.V. desde el reposo con 3 rad/s2, luego de cierto tiempo empieza a
desacelerar a razón de 6 rad/s2 hasta que se detiene. Si el tiempo total que demora durante su
movimiento es 30 s. Calcular el módulo de la velocidad angular máxima que logra el cuerpo.
( rad/s2)
( rad/s2)


t(s)
0
2
8
Para el problema 25
t(s)
0
4
8
12
Para el problema 26
22.
En cierto instante, una partícula que realiza un M.C.U.V. tiene una aceleración total de módulo 5
m/s2 y que forma 127º con la velocidad. Determine la rapidez del móvil 2 s después del instante
mencionado. El radio de la trayectoria es de 16 m.
23.
Un partícula parte del reposo y empieza a describir una trayectoria en forma de espiral cuyo radio
varía según la ley R = k.t ( k = 1 m/s), es decir en cada segundo el radio aumenta en 1 m. El movimiento
posee aceleración angular de módulo 0,25 rad/s2. ¿Qué módulo de velocidad tangencial (en m/s) tendrá la
partícula a los 12 segundos de su partida?
24.
Un disco empieza a girar con aceleración angular constante. En determinado instante tiene una
rapidez angular de 10 rad/s y 5 s más tarde tiene 20 rad/s ¿Qué medida de ángulo (en rad) ha girado el
b
b
a
a
c
Para el problema 29
P
Q
Para el problema 28
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CINEMÁTICA III /MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL
disco en los primeros 5 s?
25.
Se muestra la variación de la aceleración angular en el tiempo de un disco. Si en el instante t = 0 su
rapidez angular es “” y para t = 8 s la rapidez angular es “3”, determinar su rapidez angular (en rad/s)
para t = 2 s.
26.
Se muestra la variación de la aceleración angular en el tiempo de un disco. Si en el instante t = 0 su
rapidez angular es “” y para t = 8 s la rapidez angular es “3”, determinar su rapidez angular (en rad/s)
para t = 6 s.
27.
Un disco que tiene M.C.U.V necesita 3 segundos para girar un ángulo de medida 234 radianes. Si
su rapidez angular a cabo de este tiempo es 108 rad/s. Determinar el módulo de la aceleración angular
(en rad/s2).
a
a
b
b
Q
Para el problema 30
Q
Para el problema 31
28.
Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 20 cm y b= 30 cm. Sabiendo que las poleas
giran en sentido horario con aceleración angular constante de modulo 4 rad/s 2, determinar el módulo de la
aceleración (en m/s2) del bloque P.
29.
Se muestra tres poleas concéntricas de radios a = 10 cm, b = 20 cm y c = 25 cm. Sabiendo que las
poleas giran en sentido horario con aceleración angular constante de módulo 4 rad/s 2, determinar el
módulo de la aceleración (en m/s2) del bloque Q.
30.
Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 20 cm y b= 30 cm. Sabiendo que las poleas
giran en sentido horario con aceleración angular constante de modulo 4 rad/s 2, determinar el módulo de la
aceleración (en m/s2) del bloque Q.
31.
Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 20 cm y b= 30 cm. Sabiendo que las poleas
giran en sentido horario con aceleración angular constante de modulo 4 rad/s 2, determinar el módulo de la
aceleración (en m/s2) del bloque Q.
32.
Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 20 cm y b= 30 cm. Sabiendo que las poleas
giran en sentido horario con aceleración angular constante de módulo 4 rad/s2, determinar el módulo de la
aceleración (en m/s2) del bloque Q.
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33.
Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 10 cm y b= 20 cm. Sabiendo que el bloque Q
sube con aceleración de módulo 0,6 m/s2, determinar el módulo de la aceleración (en m/s2) del bloque P.
a
a
b
b
Q
Para el problema 32
P
Q
Para el problema 33
34.
Si el bloque B se mueve con velocidad de 8 ĵ (m/s) y el bloque C con 10 ĵ (m/s) ¿Cuál es el módulo
de la velocidad (en m/s) con la que se mueve el punto A?
35.
Si el bloque B se mueve con velocidad de -8 ĵ (m/s) y el bloque C con 10 ĵ (m/s) ¿Cuál es el módulo
de la velocidad (en m/s) con la que se mueve el punto A?
A
B
A
C
Para el problema 34
B
A
C
Para el problema 35
B
C
Para el problema 36
36.
Si el bloque B se mueve con aceleración de -6 ĵ (m/s2) y el bloque C con 8 ĵ (m/s2) ¿Cuál es el
módulo de la aceleración (en m/s2) con la que se mueve el punto A?
37. Una partícula realiza un M.C.U.V partiendo del reposo. ¿En qué instante en (en s) el modulo de su
aceleración centrípeta será el doble de lo que era en el instante t = 2 s?
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38. Una partícula realiza un M.C.U.V partiendo del reposo. ¿En qué instante en (en s) el modulo de su
aceleración centrípeta será el doble de lo que era en el instante t = 2 s?
39. Una partícula describe un movimiento circunferencial
uniformemente variado de 1 m de radio. Si en el instante
en que el vector aceleración total hace un ángulo de 53°
con el vector velocidad de módulo es 2 m/s, determine el
modulo del vector aceleración tangencial (en m/s2) en ese
instante.
Y
X
40. Una partícula se mueve en una circunferencia de 10
cm de radio con aceleración tangencial de módulo
constante. Calcule el módulo de esta aceleración (en
m/s2) luego de 20 s de haber iniciado su movimiento,
sabiendo que al término de la quinta vuelta su rapidez
tangencial es de 10 cm/s.
41.
Una partícula realiza M.C.U.V con aceleración
tangencial de módulo 1 m/s2, partiendo del reposo. Si el
radio de la trayectoria es de 1 m, determine el
desplazamiento angular (rad) en el instante en que el
módulo de la aceleración centrípeta es 1 m/s2.
42.
Una partícula parte del reposo en movimiento
circunferencial sobre una trayectoria de radio 0,5 m y
después de 0,1 s alcanza una velocidad angular de modulo
4 rad/s. Considerando que la aceleración angular es
constante, ¿Cuál es el ángulo que forma la aceleración con
el radio en dicho instante?
43.
Un móvil parte del reposo y comienza a moverse con
M.C.U.V con aceleración angular de módulo 2 rad/s2. Si se
sabe que después de un tiempo ha barrido un ángulo
central de  rad y 2 segundos después ha barrido un
ángulo  rad tal que:
 4
 . Determinar  en rad.
 5
0
Para el problema 46
at

a
A

an
o
Para el problema 47
44.
Un disco parte con velocidad angular de modulo 0 y
realiza un M.C.U.V. Determine cuantas vueltas realiza el
disco al cabo de los 10 segundos iniciales de su movimiento, si al cabo de los primeros 2 segundos
efectuó 5 vueltas adquiriendo una velocidad angular de modulo 6 rad/s.
45.
Una partícula inicia su movimiento circunferencial con una aceleración angular constante de modulo
3 rad/s2. ¿Después de que tiempo (en s) el vector aceleración forma por primera vez un ángulo de 37° con
el vector velocidad?
46. Una partícula describe un M.C.U.V en el plano X-Y partiendo de x = 4 m con una velocidad angular
inicial ˆ  3 kˆ (rad / s ) . Si luego de 5 segundos su velocidad angular es 7 kˆ ( rad / s ) . Indique si las
siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F).
I. La aceleración angular es de 2 kˆ (rad / s ) .
II. La rapidez después de 5 segundos es 28 m/s.
III. En 5 segundos la partícula realiza cinco vueltas completas.
2
47. Un móvil parte del reposo del punto A y comienza a moverse con M.C.U.V en sentido antihorario. Si
después de un cierto intervalo de tiempo, el móvil barre un ángulo central  , determinar el ángulo  que
forma la aceleración instantánea con su componente tangencial.
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48. Si un móvil parte del reposo y se mueve con M.C.U.V, determinar el desplazamiento angular
experimenta hasta el instante en que su aceleración lineal se duplica.
49. La velocidad angular de un disco giratorio en (rad/s) es:

  20 1 


que
2t t 2 
  donde “t” se mide en
3 3
segundos. Calcular:
a) El número de radianes que gira el disco en los tres primeros segundos.
b) La aceleración angular en el instante t  3 s .

50. La velocidad angular de un punto giratorio en (rad/s) es:   30t  6t
segundos. Si cuando t  10 s la posición es
Calcular:
a) la posición inicial
2
 donde “t” se mide en
  2 601 rad
t  0 s  del punto.
b) La aceleración angular en el instante t  2 s .
51. Para el M.C.U.V:
A) Demostrar que cuando una partícula parte del reposo y gira alrededor de un punto fijo con aceleración
angular constante, la aceleración normal del punto material es directamente proporcional a su
desplazamiento angular: an  k.
B) ¿Qué ángulo  habrá girado el punto material cuando la aceleración resultante forme un ángulo de 60°
con la aceleración normal?
52.
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MOVIMIENTO del CUERPO RÍGIDO
1. CUERPO RÍGIDO.
Es aquel cuerpo cuyas dimensiones externas no cambian en el tiempo, tienen forma y
volumen constante, tal que la distancia entre dos puntos del cuerpo no cambia. Ejemplo de
cuerpo rígido: Viga, columna, tabla, rueda de acero, biela, cilindro metálico, manivela, etc.
A
V
V
A
V
V
V
C
E
V
C
D
B
V
V
B
V
TRASLACIÓN PURA
ROTACIÓN PURA
2. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO PLANO PARALELO.
Por movimiento plano paralelo se entiende el movimiento de un cuerpo sólido durante el
cual todos sus puntos se desplazan
paralelamente a un plano fijo de referencia.
A
Analicemos la traslación pura sin rotación
de una rueda, en este caso todos los puntos
V
del cuerpo rígido tienen la misma velocidad
C
respecto de la tierra. Ahora analicemos la
rotación pura de una rueda, el centro de
rotación “C” no tiene velocidad de
traslación, pero todos los puntos del cuerpo
ROTACIÓN Y TRASLACIÓN
rígido tiene igual velocidad angular y los
puntos periféricos tienen movimiento
circunferencial uniforme.
3. DETERMINACIÓN DE LAS VELOCIDADES DE LOS PUNTOS DEL CUERPO.
Si la rueda tiene movimiento de traslación y rotación tal que el punto de contacto con la
V
A
V
V
C
B(VB =
0)
SUMA DE VELOCIDADES
2V
A
V
C
B
PROPORCIÓN DE VELOCIDADES
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CINEMÁTICA III /MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL
superficie no resbala, entonces el punto B tiene velocidad de traslación nula:
La velocidad del punto B se consigue de la suma de la velocidad de traslación de C mas la
velocidad de B respecto de C : VB  VC  VB / C  0
La velocidad del punto A se consigue de la suma de la velocidad de traslación de C mas la
velocidad de A respecto de C: VA  VC  VA / C
La rapidez del punto A es el doble de la rapidez del centro C de la rueda: VA  2V
La velocidad del punto D se consigue de la suma
de la velocidad de traslación de C mas la
velocidad de D respecto de C:
A
VD  VC  VD / C
aplicado el Teorema de Pitágoras se obtiene que:
VD  V 2
C
La velocidad del punto E se consigue de la suma
de la velocidad de traslación de C mas la
velocidad de E respecto de C:
V
B
VE  VC  VE / C
V
D
E
VD
VELOCIDAD EN “D”
aplicado el Teorema de Pitágoras se obtiene que:
VE  V 2
4. CENTRO INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN.
Si en un instante un punto del cuerpo rígido tiene velocidad nula, entonces este punto se
constituye como el centro de rotación en ese
instante, entonces el cuerpo rígido experimenta
una Rotación Pura, la velocidad de cualquier
punto es perpendicular a la posición respecto del
V
VE
centro instantáneo de rotación. Este es un método,
práctico muy útil en la resolución de problemas.
Cuando analizamos el movimiento de la rueda que
se traslada y rota sin resbalar, el punto B de
E
contacto con la tierra se comporta como el centro
V
instantáneo de rotación.
B
Analicemos el movimiento de una barra de
longitud L que apoya en un pared vertical y en una
VELOCIDAD EN “E”
superficie horizontal. Sean los A y B los extremos
de la barra, entonces determinamos el Centro
Instantáneo de Rotación, trazando perpendiculares a las velocidades de A y de B. Si
observamos desde el centro instantáneo de rotación todos los puntos del cuerpo rígido
experimentan un movimiento de Rotación Pura.
Aplicamos las leyes del Movimiento Circunferencial Uniforme:

VA VB
entonces se cumple que: VA  .x

x
y
y

V
R
VB  . y
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5. TEOREMA DE LAS PROYECCIONES DE LAS VELOCIDADES DE DOS PUNTOS
DEL CUERPO.
La determinación de las velocidades de los puntos del cuerpo rígido con ayuda de la
composición de velocidades (movimiento compuesto) es habitualmente muy complicado de
resolver. Sin embargo se puede determinar mediante métodos prácticos y simples, uno de
ellos es el teorema siguiente, que dice: “las proyecciones de las velocidades de dos puntos
del cuerpo sólido sobre la recta que une
estos puntos, son iguales”.
VA .Cos  VB .Cos
y
C.I.
x
VB
VA
B

CENTRO INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN
MÉTODO DE LAS PROYECCIONES
VB.Cos

VB
VA
B

VA.Cos
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PROBLEMAS PROPUESTOS de MOVIMIENTO del CUERPO RÍGIDO
1. Una rueda gira sin resbalar y se traslada con velocidad constante de módulo V. Determine el módulo de
la velocidad del punto “A”.
2. Una rueda gira sin resbalar y se traslada con velocidad constante de módulo V. Determine el módulo de
la velocidad del punto “A”.
A
V
V
A
Para el problema 02
Para el problema 01
3. Una rueda gira sin resbalar y se traslada con velocidad constante de módulo V. Si  = 45°, determine el
módulo de la velocidad del punto “A”.
A
g
A

V
V

Para el problema 03
Para el problema 04
4. Una cilindro rueda sin resbalar sobre un plano inclinado tal que su centro de masa se traslada con una
rapidez de V = 10 m/s. Si  = 60°, determine el módulo de la velocidad resultante en el punto A.
5. Luego de abandonar a la barra sobre las superficies lisas; el punto medio “C” describirá como
trayectoria:
A) una recta B) una circunferencia
C) una elipse D) una parábola E) una hipérbola
6. Respecto del problema anterior; si el extremo A tiene una velocidad de módulo 20 cm/s, cuando  = 37,
determine el módulo de la velocidad (en m/s) del extremo B en ese instante.
7. Si el extremo A de la barra AB se desliza horizontalmente con rapidez V. Determinar la rapidez con que
se mueve el punto medio C de la barra.
8. Las ruedas de un ferrocarril, que se mueven horizontalmente hacia la derecha con rapidez V = 50 km/h,
ruedan sin resbalar sobre la línea férrea en la forma que se muestra. Determinar la rapidez (en km/h) con
que se mueve el punto más bajo (punto P) de las ruedas en cada instante, sabiendo que R = 22 cm y r =
20 cm
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9. Un helicóptero se desplaza horizontalmente con rapidez de 75 m/s. Si la frecuencia de rotación es 40
R.P.S., determinar el radio máximo de la hélice, tal que, la máxima rapidez de un punto periférico de la
hélice sea de 350 m/s.
Para el problema 05, 06 y 07
A
r
R
V
C

B
P
Para el problema 08
BIBLIOGRAFÍA VIRTUAL Y FUENTES DE INFORMACIÓN:
http://grups.es/didactika/yahoo.com
www.didactika.com
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