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Circunferencia y Círculo
Definiciones
Circunferencia: línea curva, cerrada y plana cuyos puntos
equidistan de un punto fijo llamado centro de la circunferencia.
Círculo: conjunto de puntos de un plano que se encuentran
contenidos en una circunferencia
Relaciones Métricas.
Definición:
Cuando en una figura es posible relacionar de alguna manera las medidas de sus
distintos elementos tales como: lados, alturas, diagonales, etc. Se ha obtenido una
relación métrica en dicha figura.
Proyección ortogonal: Para estudiar las relaciones métricas entre los elementos de los
triángulos es necesario tener un concepto de proyección ortogonal.

La proyección ortogonal de un punto sobre un plano es el pie de la
perpendicular que va del punto al plano.

En la siguiente figura P` es la proyección P sobre el plano.

La proyección ortogonal de un segmento sobre una recta es un segmento cuyos
extremos, son las proyecciones de los extremos del segmento dado sobre la
recta, así en la siguiente figura cada segmento A` B` es la proyección de cada
segmento A B sobre la recta R.
Clasificación.
Relaciones métricas en el triángulo rectángulo.

Al trazar una altura sobre la hipotenusa se forman dos triángulos semejantes al
lado.

Si se aumentan los catetos la hipotenusa aumenta proporcionalmente.

En un triángulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa es media
proporcional entre los segmentos que dicha altura determina sobre la
hipotenusa.

Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo se cumple. la longitud de
la hipotenusa al cuadrado es igual ala suma de los cuadrados de las longitudes
de los catetos.
Relaciones métricas en circunferencia.

Relaciones entre los segmentos de la cuerda: Si dos cuerdas se cortan en un
punto inferior de la circunferencia, entonces el producto de los segmentos de
una cuerda es igual al de los segmentos de otra cuerda

Relación entre los segmentos de dos secantes: Si trazamos dos secantes desde
un punto exterior a una circunferencia, entonces el producto de una de las
secantes por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su
segmento exterior.

Relación entre una secante y una tangente: Si desde un punto exterior a una
circunferencia trazamos una secante y una tangente, se cumple que la tangente
al cuadrado es igual al producto de la secante por su segmento exterior.
Relaciones entre los polígonos regulares.

Lado del cuadrado inscrito: El lado del cuadrado inscrito en una circunferencia
de radio es igual al producto de R por l raíz cuadrada de dos, es decir: L4 = R "2

Lado del hexágono regular inscrito: El lado del hexágono inscrito en una
circunferencia es igual al radio: L6= R

Lado del triángulo equilátero inscrito: El lado equilátero inscrito en una
circunferencia de radio F es igual al producto de radio por raíz cuadrada de tres:
L3= R"3.
Comentario:
Las relaciones métricas de la circunferencia, son importantes para resolver problemas
acerca de circunferencias, en el cual muchas veces, nos resulta difícil desarrollarlos.
GUÍA DE EJERCICIOS 
Contenido: Relaciones Métricas en una circunferencia
Teoremas sobre relaciones métricas en una circunferencia
Teorema 1: Cuerdas congruentes de una misma circunferencia determinan arcos congruentes.
Asimismo, arcos congruentes determinan cuerdas congruentes.
AB CD AB CD
Teorema 2: Cuerdas congruentes de una misma circunferencia son equidistantes (están a la misma
distancia) del centro.
AB CD_OM O_
Teorema 3: La simetral de una cuerda en una circunferencia, contiene al centro de la circunferencia.
Del mismo modo, en toda circunferencia, la recta trazada desde el centro al punto medio
de una cuerda corresponde a la simetral de la cuerda.
s simetral de AB _ O s , MB MA_OM simetral de AB
Teorema 4: Dos segmentos tangentes a una circunferencia trazados desde un mismo punto exterior a
ella son congruentes.
P: punto exterior a la circunferencia. PA y PB segmentos tangentes _ PA PB
Teorema 5: Si AB y CD son cuerdas de una circunferencia que se cortan en un punto P, entonces:
AP PB CP PD Teorema de las cuerdas
Teorema 6: Si desde un punto P, exterior a una circunferencia, se trazan dos rectas secantes,
intersectándola en los puntos A y B, C y D, respectivamente, entonces:
AP PB PD CP
Teorema 7: Si desde un punto P, exterior a un circunferencia, se traza una recta tangente en el punto T, y una
recta secante en el punto en los puntos A y B, entonces:
PT PAPB 2
Potencia de un punto: Si desde un punto P cualquiera se traza un secante que intersecta a una
circunferencia en los puntos A y B, se llama potencia del punto P con respecto a
la circunferencia, al producto de las longitudes de los segmentos PA y PB
Potencia = PAPB
Observación: La potencia de un punto con respecto a una circunferencia es constante independiente de
la secante trazada.
Propiedad: Sea ABCDE un pentágono circunscrito a una circunferencia. Entonces:
   mFBmBGmGCmCH mHDmDI mIEmEJ 
m JA m AF
Esta propiedad se puede generalizar para cualquier polígono circunscrito.

Desarrolle los siguientes ejercicios en su cuaderno:
1) En la figura, AP = 6 cm; PD = 4 cm;
2) En la figura, AP 12cm ; AB =9cm
PC = 8 cm. ¿Cuánto mide PB ? PD 4cm .
mide CD
A) 3 cm
A) 4 cm
B) 4 cm
B) 5 cm
C) 5 cm
C) 9 cm
D) 6 cm
D) 27 cm
E) 8 cm
E) 12 cm
3) Las circunferencias de centros O1 y O2 son 4) En la figura , AP 4 cm; PB 12 cm
tangentes entre sí. Sus radios miden 4 cm CP 6 cm. ¿Cuánto mide CD?
y 3 cm, respectivamente. AP = 18 cm. A) 2 cm
¿Cuánto mide PQ? B) 8 cm
A) 16 cm C) 14 cm
B) 16 3 cm D) 24 cm
C) 4 2 cm E) 48 cm
D) 4 cm
E) 8 2 cm
¿Cuánto
Relaciones métricas en un triángulo rectángulo
El punto medio de la hipotenusa es equidistante a los tres vértices.
En un triángulo rectángulo:
La medida de un cateto es media proporcional entre la medida de la hipotenusa y su proyección
sobre ella.
, también se cumple:
La medida de la altura es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre la
hipotenusa.
, es decir:
La relación entre catetos e hipotenusa se establece mediante el Teorema de Pitágoras:
donde es la medida de la hipotenusa.
Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo
En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo
con vértice en A, son:
El seno: la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,
El coseno: la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,
La tangente: la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,
[editar] Área de un triángulo rectángulo
Se puede considerar el área de un triángulo como la mitad del área de un rectángulo partido por su
diagonal.
donde y son las medidas de los catetos que coinciden con los dos lados y las correspondientes
alturas del rectángulo citado.
Además, los catetos coinciden con dos de las tres alturas del propio triángulo.