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Dioptrio esférico
Un dioptrio es una superficie que separa dos medios de distinto índice de refracción.
Criterio de signos:
Distancias: Eje óptico y dioptrio como si fueran ejes X e Y
Ángulos: Positivos si el camino más corto para hacerlo coincidir con el eje óptico
va en sentido antihorario. ¡Ojo,  es negativo!
Supongamos un rayo paraxial que sale del punto P se refracta en el punto A y llega al
punto P’. Aplicando la ley de Snell tenemos:
n1 seni  n2 senr
y al ser rayos paraxiales
En el triángulo PAC:     180  i  180
luego
n1 i  n2 r (1)
i
En el triángulo CAP’:   r  180    180 luego r    
Sustituyendo en la expresión (1) tenemos:
n1     n2    (2)
Teniendo en cuenta que estamos en zona paraxial:
h
h
h
  tg   ;   tg   ;   tg  
s
s
R
Sustituyendo en (2):
h h
h h 
1 1
1 1
n1     n2    o lo que es lo mismo n1     n2    Invariante de
 R s1 
 R s2 
 R s1 
 R s2 
Abbe o ecuación del dioptrio esférico que podemos escribir como:
n2 n1 n2  n1
 
s2 s1
R
Focos del dioptrio
Foco Imagen F’
Foco Objeto F
f2
f1
Todos los rayos que llegan paralelos al eje
Todos los rayos que pasan por un punto al
óptico se refractan y pasan por un punto al
que vamos a llamar foco objeto salen
que vamos a llamar foco imagen.
paralelos al eje óptico. A ese punto le
vamos a llamar foco objeto.
Ecuación del dioptrio con s1   y s2  f2
Ecuación del dioptrio con s1  f1 y s2  
n2 n1 n2  n1


f2 
R
n2
f2 
R
n2  n1
n2 n1 n2  n1
 
 f1
R
n1
f1  
R
n2  n1
f1
n
 1
f2
n2
Si la ecuación del dioptrio la dividimos entre el segundo miembro obtenemos una nueva
Si sumamos las distancias focales: f1  f2  R
Si las dividimos:
ecuación del dioptrio:
n2 n1 n2  n1
 
;
s2 s1
R
n2R
n1R

 1;
s2(n2  n1) s1(n2  n1)
f2 f1
  1 Ecuación de Gauss
s2 s 1
Formación de imágenes en un dioptrio
a. Rayo que va paralelo al eje óptico pasa
por el foco F2.
b. Rayo que pasa por el centro no se desvía
c. Rayo que pasa por el foco F1 sale
paralelo al eje óptico.
La imagen formada termina en el punto de
corte de las tres líneas y comienza en el eje óptico.
Aumento de un dioptrio
El aumento es la relación entre los
tamaños de la imagen y del objeto.
Si aplicamos Snell: n1 seni  n2 senr al estar
en zona paraxial seni=i=tgi:
n1 tg i  n2 tgr ;
y el aumento será A 
n1
y1
y
 n2 2 ;
s1
s2
y 2 n1s2

y1 n2s1
Lentes
Una lente es un conjunto de dos dioptrios, al menos uno esférico.
Vamos a trabajar solo con lentes delgadas; en las que la anchura
es despreciable frente al radio de curvatura.
Convergentes: Son más gruesas en el centro.
Biconvexa (R1>0 y R2<0), menisco convergente (R2>R1 y los
dos positivos), plano convexa (R1>0 y R2=  )
Divergentes: Son más gruesas en los extremos.
Bicóncava (R1<0 y R2>0), menisco divergente (R1>R2 y los dos
positivos), plano cóncava (R1=  y R2>0).
Para deducir la fórmula de las lentes solo tenemos que tener en cuenta que se trata de
dos dioptrios en el aire:
Dioptrio 1:
Dioptrio 2:
n1  1
n2  n
n1  n
n2  1
al sustituir en la ecuación del dioptrio:
n 1 n 1
 
s s1
R1
al sustituir en la ecuación del dioptrio:
1 n 1 n
 
s2 s
R2
Si sumamos las dos expresiones, tenemos:
1
1 1
1
  n  1    (3)
s2 s1
 R1 R 2 
Todos los rayos que llegan paralelos al eje óptico pasan por el foco. Para calcular la
distancia focal:
s1  
s2  f2
 1
1
1
 n  1   
f2
 R 2 R1 
(4)
Comparando las expresiones (3) y (4) tenemos la fórmula de las lentes:
1 1 1
 
s2 s1 f2
Aumento de una lente:
El aumento de la lente viene dado por una
semejanza de triángulos:
A
y 2 s2

y1 s1
Se define la potencia de una lente como la inversa de la distancia focal y se mide en
dioptrías (m-1)
P
1
f2
Lente convergente P  0

Lente divergente P  0
Formación de imágenes:
Para formar las imágenes, igual que en el dioptrio esférico:
1. Rayo paralelo al eje óptico sale por el foco.
2. Rayo que pasa por el centro no se desvía.
3. La imagen se forma desde el punto de corte hasta el eje óptico.
Lentes convergentes: Hay cinco posibilidades dependiendo de la posición del objeto:
Objeto está
Imagen se forma
Tipo de Imagen
antes de 2F
entre F2 y 2F2
menor, real, invertida
en 2F
en 2 F2
igual, real, invertida
entre 2F y F
entre 2F2 y 
mayor, real, invertida
en F
no hay
no hay imagen
entre F y la lente
entre –  y F
mayor, virtual, derecha
Lentes divergentes: Sólo hay una posibilidad. La imagen siempre es virtual y menor que
el objeto.
Espejos
Vamos a considerar un espejo como un dioptrio esférico en el que el índice de refracción
n2 es igual y de sentido contrario al n 1. El rayo llega se refleja y vuelve por el primer
medio pero en sentido contrario.
La ecuación del dioptrio es:
n2 n1 n2  n1
 
s2 s1
R
n1 n1 n1  n1
o bien:
 
s2
s1
R
que es la fórmula de los espejos. ¡Cuidado con los signos de los radios!
si
n2  n1
entonces tenemos que:
1 1 2
 
s2 s1 R
Los espejos cóncavos tienen radio negativo y los convexos positivo.
De la fórmula del espejo podemos deducir inmediatamente que la distancia focal es la
mitad del radio.
Formación de imágenes:
1. Rayo paralelo al eje óptico se refleja pasando por el foco.
2. Rayo que pasa por el foco se refleja y sale paralelo al eje óptico.
3. Rayo que pasa por el centro no se desvía.
Espejos cóncavos:
Se pueden dar cinco posibilidades dependiendo de dónde se encuentre el objeto.
Espejos convexos:
Sólo hay una posibilidad. La imagen siempre es
menor, derecha y virtual.
Aumento de un espejo:
En la fórmula del aumento de un dioptrio,
recordando que en los espejos
n2  n1 ; tenemos : A 
y2
s
 2
y1
s1
Instrumentos ópticos
El ojo
El ojo humano es una esfera de unos 25 mm de diámetro. En él se distinguen las
siguientes partes:
Esclerótica: membrana blanca, opaca y resistente. Termina en la córnea por la parte
anterior.
Coroides: Recubre la parte interior del ojo excepto la cornea.
Retina: membrana situada en el fondo del ojo llena de células nerviosas en la que se
proyectan las imágenes. En la retina hay dos tipos de células: conos y bastones.
Los bastones detectan la intensidad de luz y los conos los colores. Hay tres tipos
de conos en función del color al que son sensibles: rojo, verde y azul. Cualquier
color se forma por combinación de esos tres. La mácula es la zona en la que hay
mayor concentración de conos.
Cristalino: Lente biconvexa elástica. Está sujeto al globo ocular por los músculos ciliares
que permiten modificar el radio de curvatura.
El conjunto pupila/iris selecciona la cantidad de luz que entra en el ojo.
Un ojo normal tiene el punto próximo a 25 cm y el punto lejano en el infinito.
Defectos de visión
Miopía.
Se debe a un alargamiento del ojo. Se ven bien los objetos cercanos pero la
imagen de objetos lejanos se forma por delante de la retina por lo que se ven
borrosos. Se corrige con lentes divergentes.
Hipermetropía.
Es lo contrario de la miopía. Se ven bien los objetos lejanos pero no los cercanos
porque la imagen se forma por detrás de la retina. Se corrige con lentes
convergentes.
Astigmatismo.
La cornea normal tiene forma esférica. Si la cornea tiene forma elipsoidal se
produce el astigmatismo y los rayos paralelos no coinciden en el mismo foco. Se
pone de manifiesto porque dificulta la visión clara y simultánea de dos rectas
perpendiculares, de los radios de una bicicleta. Se corrige con lentes cilíndricas.
Presbicia.
También se llama vista cansada y aparece a partir de los 40 años. Se debe a la
pérdida de flexibilidad de los músculos ciliares o del cristalino. Consiste en un
alejamiento del punto próximo. Los que lo padecen ver bien de lejos pero mal de
cerca, necesitan alejar el texto que van a leer para verlo con claridad. Este
defecto se corrige con lentes convergentes (o bien con cristales bifocales o
progresivos).
Cataratas.
Al aumentar la edad el cristalino pierde transparencia y los objetos se ven como si
estuvieran colocados detrás de un velo o de una película acuosa. Suele aparecer a
partir de los 60 años y no admite corrección. Sólo admite cirugía en la que se
limpia el cristalino o bien se sustituye por uno sintético.
Daltonismo.
Es un defecto genético de la vista que impide distinguir ciertos colores;
generalmente el rojo y el verde. Se debe a la deficiencia de conos en la retina.
Lupa
Microscopio
Telescopio