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10. ÓPTICA GEOMÉTRICA.
Desarrollamos la unidad de acuerdo con el siguiente hilo conductor:
1. ¿De qué trata la Óptica geométrica? Conceptos básicos en Óptica geométrica.
2. ¿Cómo se forman las imágenes en sistemas ópticos sencillos?
2.1. Imágenes por refracción en dioptrios.
2.2. Imágenes por reflexión en espejos.
3. ¿Cómo se forman las imágenes en sistemas ópticos compuestos?
3.1. Imágenes por refracción en lentes delgadas.
3.2. Imágenes por reflexión y/o refracción en distintos instrumentos ópticos.
3.2.1. Ojo humano.
3.2.2. Instrumentos de proyección.
3.3.3. Instrumentos de observación.
APÉNDICE: ¿A qué se deben las aberraciones? ¿Cuántos tipos podemos distinguir?
1. ¿DE QUÉ TRATA LA ÓPTICA GEOMÉTRICA? CONCEPTOS BÁSICOS EN ÓPTICA
GEOMÉTRICA.
La Óptica geométrica estudia la formación de imágenes por reflexión y/o refracción en los llamados
sistemas ópticos (dioptrios, espejos y lentes), sin considerar la naturaleza ondulatoria o corpuscular de la luz, pues
se fundamenta en leyes compartidas por ambos modelos. Estas leyes son:
- Ley de propagación rectilínea de la luz. En un medio isótropo (mismas propiedades en todas direcciones) y
homogéneo (misma composición en todas sus partes), la luz se propaga en línea recta y en todas direcciones a
partir del foco emisor.
Lo puedes comprobar si practicas unos orificios en una caja opaca y enciendes una lámpara en su interior;
observas, gracias a la existencia en el aire de partículas en suspensión, el camino que sigue la luz en forma de
finos haces luminosos rectilíneos. Estos finos haces luminosos se aproximan a la idea teórica de rayo
luminoso 1, esa línea imaginaria, perpendicular a los frentes de onda, que indica la dirección de propagación de
la luz.
- Ley de independencia de los rayos luminosos. La acción de cada rayo es independiente de la de los demás.
Imagina que tomamos una foto de un objeto con un paisaje de fondo; a continuacion, tapamos el objeto y
volvemos a fotografiarlo; esta segunda instantánea nos permite comprobar que, al tapar el objeto del primer
plano, sólo se han interceptado los rayos que proceden de él, sin que se vea afectado el resto, por lo que los
demás rayos volverán a formar la imagen del paisaje tal y como se apreciaba en la primera fotografía.
- Leyes de reflexión y refracción de los rayos luminosos. Ya estudiadas con detalle en el tema anterior y en el
bloque de ondas, por lo que te remitimos a ellos. De estas leyes se deduce la siguiente ley.
- Ley de reversibilidad de las trayectorias de los rayos luminosos. Si se invierte el sentido del rayo reflejado o
refractado, convirtiéndolo en incidente, el nuevo rayo reflejado o refractado está situado sobre la trayectoria
del rayo incidente original, pero en sentido opuesto.
Conviene aclarar el significado de algunos conceptos que vamos a utilizar a lo largo del tema (ayúdate de
la figura 1 para clarificar lo comentado en el texto).
SISTEMA ÓPTICO.
Un sistema óptico está formado por un conjunto de superficies que separan medios de diferentes índices de
refracción. Si el sistema está formado por superficies transparentes donde sólo tiene lugar la refracción, hablamos
de dioptrio. Si el sistema está formado por superficies opacas donde sólo tiene lugar la reflexión, hablamos de
espejo.
Según el radio de curvatura de las superficies, los sistemas ópticos pueden ser planos o curvos (nosotros sólo
consideramos el caso particular de sistemas ópticos esféricos).
Podrías pensar que estrechando un orificio podríamos llegar a obtener una línea o rayo real, pero, en realidad, al achicar el orificio, el haz sólo se
comprime mientras el diámetro de aquél es mucho mayor que la longitud de onda de la luz, pues cuando el diámetro del orificio se vuelve
comparable en orden de magnitud con la longitud de onda, comenzará a apreciarse el ensanchamiento del haz debido a los efectos de la difracción.
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Un sistema óptico es sencillo cuando está formado por una sola superficie (dioptrio plano o esférico, espejo
plano o esférico,...) y es compuesto si contiene varias superficies de separación de medios (láminas transparentes,
prismas ópticos, lentes delgadas, ...). La complejidad de los sistemas ópticos aumenta cuando se construyen
asociaciones de lentes, prismas, espejos, etc.; de entre estas asociaciones destacan las utilizadas en la observación
de los objetos y que reciben el nombre de instrumentos ópticos.
El eje común perpendicular a todas las superficies que constituyen un sistema óptico se denomina eje óptico o
eje principal del sistema óptico (figura 1). Cuando el(los) centro(s) de curvatura de la(s) superficie(s) esférica(s)
(C, o C1, C2) y el(los) centro(s) de figura, centro(s) geométrico(s), polo(s) o vértice(s) (O) de un sistema óptico
forman parte del eje óptico, se habla de sistema óptico centrado, siendo este el caso más común; en caso contrario
sería un sistema óptico descentrado.
OBJETO E IMAGEN.
El objeto es la fuente de la que
proceden los rayos luminosos, ya sea por
luz propia o reflejada. Cada punto de la
superficie del objeto es una fuente puntual
de rayos divergentes.
Si después de incidir en un sistema
óptico, los rayos luminosos procedentes de
un punto del objeto S convergen en un punto S´, este
punto es la imagen real del punto objeto S. Es el caso
de las imágenes obtenidas detrás de una lente o
delante de un espejo.
Puede ocurrir que los rayos luminosos procedentes
de un punto del objeto S, salgan divergentes del
sistema óptico y que sus prolongaciones, en sentido
contrario al sentido de propagación de la luz, se corten
en un punto S´; ese punto S´ es la imagen virtual del
punto objeto S. Por ejemplo, la imagen obtenida
delante de una lente o detrás de un espejo.
Debe quedar claro que la distinción entre imágenes
reales y virtuales proviene del mecanismo de
formación (convergencia o divergencia de rayos
luminosos a la salida del sistema óptico) y no del
mecanismo de su percepción visual, que es idéntico
para ambos tipos de imágenes. En este sentido,
afirmar que tanto las imágenes virtuales como las
reales son visibles para un observador, siempre que se
coloque en la posición adecuada. Habitualmente
Figura 1. Elementos y construcción de imágenes de diversos sistemas ópticos.
observamos nuestra imagen virtual en un espejo, pero
estamos menos acostumbrados a ver directamente imágenes reales (solemos verlas proyectadas sobre un soporte o
pantalla); de aquí que nos parezca “magia física” la visión directa de la imagen
virtual de un objeto (por ejemplo, al observar un muelle imposible de tocar en una
de las maquetas del Exploratorio del Museo de las Ciencias de Valencia, figura 3).
Los puntos objeto S e imagen S´ se dice que son conjugados.
Dado que las formas reales de los objetos (y por tanto de sus imágenes) son
complejas, se representan con segmentos orientados, situados perpendicularmente al
eje principal del sistema óptico. Las distancias del objeto y de la imagen al centro
geométrico (O) del sistema óptico, medidas sobre el eje óptico, se llaman distancia
Figura 3
objeto (s) y distancia imagen (s´ ), respectivamente.
Una imagen está derecha cuando tiene el mismo sentido que el objeto y está invertida cuando su sentido es el
contrario al del objeto.
Una imagen puede ser de menor, igual o mayor tamaño que el objeto. A la relación entre el tamaño de la
imagen (y´) y el tamaño del objeto (y) se llama aumento o amplificación lateral ( A  y  ).
y
Cuando los rayos emitidos por un punto objeto originan un único punto imagen tras atravesar el sistema óptico,
dicho sistema óptico se llama estigmático, sistema que da imágenes nítidas. Por el contrario, si un punto objeto
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origina varios puntos imagen, el sistema óptico se denomina astigmático o no estigmático, sistema que da
imágenes borrosas, con aberraciones (ver explicación más detallada de este aspecto en el apéndice).
En nuestro estudio sólo consideramos sistemas ópticos que forman imágenes nítidas; para ello debemos
considerar que el tamaño de los objetos es despreciable en comparación con su distancia al sistema óptico; es lo
que llamamos aproximación paraxial; en estas circunstancias, los ángulos que forman los rayos con el eje
principal son tan pequeños ( 0,44 rad) que sus senos y tangentes son equivalentes a dichos ángulos (expresados
en radianes): sen   tg   .
Operando en la zona paraxial, los rayos procedentes de puntos objeto situados en el infinito, S, llegan al
sistema óptico paralelos al eje principal y forman sus imágenes en un punto único llamado foco imagen del
sistema óptico, F´, situado en el eje del sistema. La distancia entre el vértice (O) y el foco imagen (F´ ) se llama
distancia focal imagen (f´ ); al inverso de la distancia focal imagen se denomina potencia o convergencia (P =
1
,
f
en el SI, P se expresa en dioptrías ( 1 D = 1 m-1)).
Análogamente, trabajando en la zona paraxial, existe un punto F , llamado foco objeto, tal que todos los rayos
que parten de él salen del sistema óptico paralelos al eje, con lo que su imagen se forma en el infinito, S´,. La
distancia entre el vértice (O) y el foco objeto (F ) se llama distancia focal objeto (f ).
Como luego detallamos, en un espejo, F y F´ coinciden en el mismo punto, por lo que se habla simplemente de
foco y distancia focal. En cambio, en un dioptrio y en una lente delgada, F y F´ no coinciden en el mismo punto,
encontrándose uno a cada lado del dioptrio o de la lente.
Al construir la imagen de un objeto debemos seguir las normas DIN (Deutschen Industrie Normen) en cuanto a
símbolos a utilizar y signos a asignar a las distancias. Estas normas se resumen seguidamente:
- Si no se indica lo contrario, se considera que la luz se propaga de izquierda a derecha.
- Los puntos se representan con letras mayúsculas, las distancias con minúsculas y los ángulos con el eje
óptico con letras griegas.
- Los símbolos que llevan las imágenes son los mismos que los de los objetos, pero con apóstrofos (´). Así, SS´, F-F´ , s-s´, f-f´ , y-y´, …
- El origen de coordenadas del sistema de referencia es el centro geométrico, vértice o polo (O). Por tanto, las
distancias tanto horizontales como verticales tomarán el signo que le corresponde en un sistema cartesiano
centrado en O, o sea, positivas a la derecha y por encima de O, y negativas a la izquierda y por debajo de O.
- Los ángulos de incidencia ( iˆ ), reflexión iˆ´ y refracción ( r̂ ) son positivos si para que el rayo coincida con la
normal a la superficie por el camino más corto ha de girar en el sentido de las agujas del reloj; son
negativos en caso contrario. Sin embargo, los ángulos formados por los rayos con el eje óptico son positivos
si para hacerlos coincidir con dicho eje por el camino más corto han de girar en sentido antihorario; son
negativos cuando giran en el sentido de las agujas del reloj.
Para construir la imagen de un objeto (esquematizado mediante un segmento orientado) basta con trazar
dos de los siguientes rayos procedentes de los puntos objeto extremos y ver donde se cortan:
... para dioptrios esféricos:
- Si el rayo incidente es paralelo al eje
principal, el rayo refractado (o su
prolongación) pasa por el foco
imagen.
- Si el rayo incidente (o su
prolongación) pasa por el foco
objeto, el rayo refractado sale del
dioptrio paralelo al eje principal.
- Si el rayo incidente (o su
prolongación) pasa por el centro de
curvatura, el rayo refractado
progresa en la misma dirección.
... para espejos esféricos:
- Si el rayo incidente es paralelo al eje
principal, el rayo reflejado (o su
prolongación) pasa por el foco.
- Si el rayo incidente (o su prolongación)
pasa por el foco, el rayo reflejado sale
del espejo paralelo al eje principal.
- Si el rayo incidente (o su prolongación)
pasa por el centro de curvatura, el rayo
reflejado regresa en la misma
dirección.
- Si el rayo incidente pasa por el vértice, el
rayo reflejado regresa formando con el
eje principal el mismo ángulo que
forma el rayo incidente.
... para lentes delgadas:
- Si el rayo incidente es paralelo al eje
principal, el rayo refractado (o su
prolongación) pasa por el foco
imagen.
- Si el rayo incidente (o su
prolongación) pasa por el foco
objeto, el rayo refractado sale del
sistema óptico paralelo al eje
principal.
- Si el rayo incidente pasa por el centro
óptico o vértice, el rayo refractado
no cambia de dirección.
2. ¿CÓMO SE FORMAN LAS IMÁGENES EN SISTEMAS ÓPTICOS SENCILLOS?
Un sistema óptico es sencillo cuando está formado por una sola superficie. Estudiamos la formación de
imágenes en dioptrios (por refracción) y en espejos (por reflexión).
2.1. IMÁGENES POR REFRACCIÓN EN DIOPTRIOS.
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Las leyes de la refracción, ya estudiadas en temas anteriores, nos explican la formación de imágenes en
dioptrios, es decir, en superficies de separación de medios transparentes a la luz, homogéneos e isótropos, de
diferente índice de refracción. Si entendemos el modo en que se forman las imágenes por refracción, podremos
explicar la variación aparente de las dimensiones, la forma y la disposición de los objetos.
Los dioptrios más usuales en los sistemas ópticos suelen ser
esféricos o planos. Por ejemplo, la superficie de una bola de vidrio
transparente puede considerarse un dioptrio esférico; la superficie de
separación entre el aire y el agua de un estanque puede considerarse un
dioptrio plano. Los dioptrios esféricos pueden ser convexos (cuando el
centro de curvatura del dioptrio se encuentra a la derecha de la
superficie, o sea, r>0) o cóncavos (cuando el centro de curvatura del
Figura 2
dioptrio se encuentra a la izquierda de la superficie, o sea, r<0). Los
dioptrios planos pueden considerarse el caso límite de un dioptrio esférico (cuando r= ) (figura 2).
En cualquier situación que nos planteemos, interesa determinar una ecuación general que nos permita
localizar la imagen de un objeto, del que conocemos su posición respecto al sistema óptico, en función de las
características de dicho sistema óptico (radio(s) de curvatura o foco(s)) y de las características de los medios que
atraviesa la luz (índices de refracción).
A.1. Resuelve las siguientes actividades:
A.1.1. Con la ayuda de cualquiera de las figuras adjuntas y haciendo uso de las leyes de la
refracción y de las normas DIN, determina la ecuación o fórmula general del dioptrio
n´ n n´ n
 
esférico:
, que nos permite localizar la imagen de un objeto conociendo la
s´ s
r
posición del mismo, el radio de curvatura del dioptrio y los índices de refracción de los medios
implicados.
Recuerda que trabajamos dentro de la aproximación paraxial, situación en la que los senos
y tangentes de los ángulos que forman los rayos con el eje principal son equivalentes a dichos ángulos
expresados en radianes: sen   tg   .
- ¿Qué valor tiene la distancia focal imagen (f´ ) y la distancia focal objeto (f ) para el caso de un
dioptrio esférico? ¿Qué relación existe entre dichas distancias focales?
- ¿Qué valor tiene la potencia o convergencia de un dioptrio esférico?
- ¿Puede emplearse la ecuación deducida para describir el comportamiento de un dioptrio plano?
¿Cómo queda la fórmula en este caso?
A.1.2. Demuestra, con la ayuda de la figura adjunta,
que el aumento lateral cumple para un dioptrio la


relación: A  y  n  s .
y
n´s
A.2. Resuelve las siguientes actividades:
A.2.1. Un dioptrio esférico convexo de 10 cm de radio separa dos medios de índices de refracción de 1 y 1,5. ¿Cuáles son las distancias
focales de este dioptrio? ¿Dónde se forma la imagen de un foco luminoso situado a 30 cm a la izquierda del dioptrio?
A.2.2. Vas a bañarte en una piscina pero no sabes nadar. Observas que, aparentemente, la profundidad de la piscina es de 1,5 m. Como
eres prudente, tomas la precaución de medir la profundidad introduciendo una barra calibrada en el agua (n = 4/3) hasta tocar fondo. Hecho
esto decides no bañarte. ¿Por qué? ¿Cuál es la profundidad real de la piscina?
A.2.3. Desde el interior de una pecera de forma esférica, de 50 cm de radio, llena de agua (n= 4/3), un pez, situado a 5 cm de la superficie
de la pecera, observa a un gato que se encuentra a 20 cm de la superficie de la pecera. Despreciando la influencia de la delgada pared de
vidrio de la pecera, describe la imagen que ve el pez y la imagen que ve el gato (distancia a la que se produce, aumento y características de
dicha imagen).
A.2.4. Un pájaro está posado en un árbol situado a la orilla de un lago y a 3 m por encima de la superficie del agua (n = 4/3). Dentro del lago
se encuentra un pez a 4 m de profundidad. ¿A qué distancia ve el pájaro al pez? ¿Y el pez al pájaro?
A.2.5. Un submarinista lleva una máscara de buceo cuya parte delantera está curvada hacia el exterior con un radio de curvatura de 0,5 m.
Existe así una superficie esférica convexa entre el agua (n= 4/3) y el aire que llena la máscara. Un pez se encuentra realmente a 2,5 m
delante de la máscara. ¿Dónde parece estar? ¿Cuál es la amplificación lateral de la imagen?
A.2.6. Un objeto se mira a través de una esfera de vidrio (n= 1,5) de 10 cm de radio. Determina la posición de la imagen y su amplificación
sabiendo que el objeto, que está a la izquierda de la esfera, dista 40 cm del centro de ésta.
2.2. IMÁGENES POR REFLEXIÓN EN ESPEJOS.
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Las leyes de la reflexión, ya estudiadas en temas anteriores, nos
explican la formación de imágenes en espejos, es decir, en superficies pulidas
y opacas a la luz 2. Atendiendo a la forma de su superficie, los espejos pueden
ser planos o esféricos (figura 3). Los espejos planos reflejan en una sola
dirección un haz de rayos paralelos. Los espejos esféricos hacen diverger (los
convexos, r>0) o converger (los cóncavos, r<0) dichos rayos paralelos.
Figura 3
Todos utilizamos espejos planos en nuestra vida cotidiana, como
medio para ver nuestra imagen; también se emplean en la fabricación de caleidoscopios, periscopios, cámaras
réflex, etc. Por su parte, los espejos convexos se utilizan como espejos retrovisores en los automóviles, en curvas o
esquinas de mala visibilidad, o para controlar la seguridad en un supermercado, porque proporcionan un campo
visual más amplio; los espejos cóncavos sirven para proyectar luz, aplicándose en linternas y faros de coches, para
concentrar la luz que proviene de lejos, aplicándose en antenas parabólicas y en telescopios reflectores, o para dar
imágenes más amplias de objetos cercanos, en espejos de maquillaje.
Aplicando el criterio de signos establecido por las normas DIN a la reflexión, resulta que iˆ e
ˆi ´ son siempre de signo contrario (figura 4), por lo que la ley de la reflexión se debe escribir como:
 iˆ = iˆ´ , o lo que es lo mismo: iˆ = - iˆ´ . Esto hace que la reflexión pueda considerarse como una
refracción en la que el rayo luminoso pasa de un medio con índice de refracción n a otro medio con
índice de refracción n´ = - n, ya que el rayo reflejado viaja en sentido contrario al establecido, por
convenio, como positivo para la propagación de la luz.
Figura 4
A.3. Si la reflexión de la luz puede considerarse como una refracción en la que la luz pasa de un medio de índice de refracción
n a un medio de índice de refracción n´ = - n, podremos aplicar a los espejos las relaciones deducidas para los dioptrios.
- Determina la ecuación o fórmula de los espejos:
1 1 2 1
  
P.
s s  r f´
¿Puede emplearse la ecuación deducida para describir el comportamiento de un espejo plano?. ¿Cómo
queda la fórmula en este caso?
- Demuestra, con la ayuda de la figura adjunta, que el aumento lateral cumple en los espejos la relación: A  y   s
y
s
A.4. Resuelve las siguientes actividades: (Nota: Traza los diagramas de rayos con precisión, ayudándote del instrumental
adecuado -papel milimetrado o cuadriculado, regla, escuadra, ...)
A.4.1. Determina las características de la imagen de un objeto en un espejo plano, construyendo el diagrama de rayos correspondiente.
- ¿Por qué se dice que la imagen formada en un espejo plano presenta inversión lateral (izquierda-derecha)?
- Si al mirarse en el espejo hay poca luz, ¿qué debe hacerse, iluminar nuestra cara o iluminar el espejo?
- Para ver la imagen de un objeto en un espejo plano, ¿es absolutamente necesario que el objeto esté frente al espejo? Razona tu
repuesta.
- ¿Qué dimensiones mínimas debe tener un espejo plano vertical para que veamos en él nuestra imagen completa?. ¿Y a qué altura del
suelo debe colocarse?. Aplicación: Resuelve el problema numéricamente
Espejo
Situación del objeto
Características de la imagen
aplicado a tus dimensiones. ¿Qué datos necesitas?
Real, menor e invertida
s > 2f
A.4.2. ¿Cómo se ve la imagen de un objeto de altura h a diferentes distancias
Real, igual e invertida
s = 2f
de un espejo esférico cóncavo o convexo? El cuadro adjunto resume los Cóncavo f < s < 2f
Real, mayor e invertida
casos posibles de imágenes en espejos esféricos. Comprueba las
No se forma imagen
s=f
características de la imagen construyendo el diagrama de rayos para cada
Virtual, mayor y derecha
s<f
uno de los casos señalados.
Convexo En cualquier punto
Virtual, menor y derecha
Existe la posibilidad de combinar espejos planos para producir una imagen sin inversión lateral. Por
ejemplo, situando dos espejos planos de modo que formen un ángulo de 90º entre ellos (figura 5), se obtienen las
imágenes S1´ y S2´, con inversión lateral,
por reflexión directa de los rayos
procedentes del objeto S en los espejos A
y B, respectivamente; sin embargo, la
imagen S3´, resultante de la doble
reflexión de los rayos procedentes del
objeto S, ya no presenta inversión lateral.
Observa en la figura 5 que todas
las imágenes y el objeto se encuentran en
Figura 5
Los espejos pueden consistir simplemente en una superficie metálica muy pulida, aunque tradicionalmente se han hecho con vidrio y un
recubrimiento de plata. En tiempos más recientes se ha conseguido fabricar espejos de una gran calidad utilizando un recubrimiento de aluminio
por evaporación en vacío sobre superficies altamente pulidas.
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una circunferencia centrada en el punto de corte del sistema de espejos y que el número de imágenes que se
forman (N), si el ángulo que forman los espejos (φ) es divisor de 360º, viene dado por: N =
360
- 1.

A.5. Resuelve los siguientes problemas:
A.5.1. Un espejo esférico cóncavo tiene una distancia focal de 10 cm. Estudia, gráfica y analíticamente, la naturaleza de la imagen (real o
virtual, mayor o menor, derecha o invertida) para un objeto de 2 cm de altura situado a una distancia objeto de: a) 25 cm; b) 20 cm; c) 15
cm; d) 10 cm; e) 5 cm. ¿En qué condiciones podrá ser vista la imagen por nuestro ojo de forma directa?
A.5.2. Un espejo esférico convexo tiene un radio de 1 m. Estudia, gráfica y analíticamente, la naturaleza de la imagen (real o virtual, mayor
o menor, derecha o invertida) para un objeto de 20 cm de altura si éste se encuentra a: a) 2 m; b) 0,75 m; c) 0,25 m del espejo.
A.5.3. Un espejo esférico cóncavo tiene una distancia focal de 40 cm. Determina la posición del objeto para la cual la imagen resultante es:
a) derecha y cuatro veces el tamaño del objeto; b) invertida y doble del tamaño del objeto; c) igual al tamaño del objeto.
A.5.4. Un espejo esférico convexo tiene una distancia focal de valor 20 cm. Determina la posición del objeto para la cual la imagen tendrá la
mitad del tamaño que el objeto. ¿Qué naturaleza tendrá la imagen?
A.5.5. La altura de la imagen real de un espejo esférico es cuatro veces más grande que la altura del objeto cuando éste se encuentra a 30
cm frente al espejo. a) ¿Cuál es el radio de curvatura del espejo y cuál es su convergencia?. b) Utiliza un diagrama de rayos para localizar
la posición de la imagen que corresponde a la posición dada del objeto y al radio de curvatura calculado en a).
A.5.6. Deduce el tipo y el radio de un espejo esférico de modo que colocando un objeto a una distancia de 45 cm de él, se obtenga una
imagen derecha y de tamaño 5 veces menor que el objeto. ¿Qué naturaleza tendrá la imagen (real o virtual)?
A.5.7. Un objeto de 2 cm de altura se coloca a 10 cm frente a un espejo. ¿Qué tipo de espejo y cuál debe ser su potencia para formar una
imagen derecha y de 4 cm de altura?. ¿Qué naturaleza tendrá la imagen (real o virtual)?
A.5.8. Determina las características de un espejo esférico si un objeto situado a 3 m de él presenta una imagen que es, en tamaño, la mitad
del objeto e invertida. ¿Qué naturaleza tendrá la imagen (real o virtual)?
A.5.9. Halla la convergencia de un espejo esférico convexo sabiendo que la imagen obtenida de un objeto que está a 30 cm del espejo es 6
veces menor que él.
A.5.10. Halla la distancia focal de un espejo esférico sabiendo que, al alejar 1,5 cm un objeto colocado a 50 cm del mismo, la distancia entre
el espejo y la imagen se reduce a la mitad.
A.5.11.¿Dónde hay que poner un objeto respecto a un espejo esférico cóncavo de 1,8 m de radio para que la imagen sea...: a) la mitad de
grande que dicho objeto?; b) el triple de grande que dicho objeto e invertida?; c) el doble de grande que dicho objeto y derecha? ¿Qué
naturaleza tendrá la imagen (real o virtual) en cada caso?
A.5.12. Desea usarse un espejo esférico para configurar una imagen 4 veces mayor que el objeto a visionar en una pantalla situada a 4 m
de dicho objeto. Describe el tipo de espejo que se requiere y dónde deberá colocarse dicho espejo con relación al objeto.
A.5.13. Sea un espejo esférico en el cual la distancia entre el objeto y la imagen (derecha) es de 28 cm y el aumento lateral es de 0,5. ¿De
qué tipo de espejo se trata? ¿Cuál es la posición del objeto y de la imagen respecto al espejo? ¿Cuál es la naturaleza de la imagen (real o
virtual)?
A.5.14. Un espejo esférico tiene 12 cm de distancia focal. Determina la posición del objeto y de la imagen respecto al espejo, si: a) la
distancia entre un objeto y su imagen (real y menor) es de 18 cm; b) la distancia entre un objeto y su imagen (real y mayor) es de 40 cm.
¿De qué tipo de espejo se trata en cada caso?
3. ¿CÓMO SE FORMAN LAS IMÁGENES EN SISTEMAS ÓPTICOS COMPUESTOS?
Un sistema óptico es compuesto si contiene varias superficies de separación de medios. Estudiamos la
formación de imágenes en lentes delgadas (por refracción) y en distintos instrumentos ópticos (aparatos destinados
a la mejora de la visión asociando lentes, prismas, espejos, etc., con lo que la reflexión y/o la refracción están
implicadas en la formación de la imagen).
3.1. IMÁGENES POR REFRACCIÓN EN LENTES DELGADAS.
Una lente es un sistema óptico centrado formado por la asociación de dos dioptrios, de los que al menos
uno es esférico, que limitan un medio transparente y en donde se produce la refracción de la luz. Si, además, su
grosor es despreciable en comparación a los radios de curvatura de los dioptrios, recibe el nombre de lente delgada
(esto implica que podemos tomar los puntos A y B del dibujo que muestra la figura 6 como un solo punto O, el
centro óptico de la lente).
Las lentes se clasifican en:
- Convergentes o convexas, conocidas
también como positivas por ser éste el
signo de su potencia o convergencia, si
tienen la propiedad de hacer converger
rayos luminosos paralelos al eje en un
punto único, el foco imagen (F´ ) de la
Figura 6
lente (considerando siempre que el
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índice de refracción de la lente es mayor que el del medio que la rodea). Las lentes convergentes son más
gruesas en el centro que en la periferia. Un ejemplo muy conocido de lente convergente es la lupa.
- Divergentes o cóncavas, conocidas también como negativas por ser éste el signo de su potencia o convergencia, si
tienen la propiedad de hacer divergir rayos luminosos paralelos al eje, como si procedieran de un único punto,
el foco imagen (F´ ) (considerando siempre que el índice de refracción de la lente es mayor que el del medio
que la rodea). Las lentes divergentes son menos gruesas en el centro que en la periferia. Las lentes de las
mirillas de las puertas y las que se utilizan para corregir la miopía son divergentes.
Las lentes delgadas tienen múltiples usos en la vida cotidiana, solas o asociadas a otros sistemas ópticos:
en lupas, gafas graduadas, telescopios refractores, objetivos de cámara, prismáticos, etc.
Para calcular la posición de la imagen en una lente tenemos que considerar la refracción de cada superficie esférica
por separado. El principio básico para localizar la imagen final de una lente es usar la imagen formada por la
primera superficie refractora como objeto virtual de la segunda superficie (figura 7).
A.6. Considera la lente delgada de la figura 7, de índice de refracción
n, rodeada de aire, y de radios de curvatura r1 y r2. Haciendo uso del
principio básico dado en el párrafo anterior y de la fórmula general
del dioptrio esférico:
- Deduce la ecuación fundamental de las lentes delgadas o fórmula del
fabricante de lentes delgadas para su uso en el aire:
1 1 1
1 1=

(n  1)     = f  = P.
s´ s
 r1 r2 
Figura 7
¿Cuál sería la ecuación general de las lentes delgadas para su uso en otro medio
cualquiera distinto del aire?
- Demuestra, con la ayuda de las figuras adjuntas, que la amplificación lateral
cumple en las lentes delgadas la relación: A  y  s .
y s
A.7. ¿Cómo se ve la imagen de un objeto de altura h a diferentes Clase de lente
distancias de una lente convergente o convergente? El cuadro
adjunto resume los casos posibles de imágenes en lentes
delgadas. Comprueba las características de la imagen Convergente
construyendo el diagrama de rayos para cada uno de los casos
señalados.
Divergente
Situación del objeto
s > 2f
s = 2f
f < s < 2f
s=f
s<f
En cualquier punto
¡Importante! Observa que las lentes convergentes proyectan la imagen de
un objeto igual que los espejos cóncavos, y las lentes divergentes la proyectan igual que los espejos convexos.
Características de la imagen
Real, menor e invertida
Real, igual e invertida
Real, mayor e invertida
No se forma imagen
Virtual, mayor y derecha
Virtual, menor y derecha
A.8. Resuelve los siguientes problemas:
A.8.1. Una lente delgada biconvexa de índice de refracción 1,54 tiene de radios de curvatura 25 cm y 20 cm. Calcula su distancia focal y su
potencia o convergencia? ¿Es distinta la distancia focal si la luz incide por el otro lado de la lente?
A.8.2. Una lente bicóncava de -4 dioptrías está hecha de un plástico con un índice de refracción de 1,5. Determina los radios de curvatura
de la lente, sabiendo que es simétrica.
A.8.3. Una lente menisco-cóncava, fabricada en vidrio de índice de refracción 1,5, tiene una potencia de -2 dioptrías. Sabiendo que el radio
de curvatura de la parte cóncava es de 10 cm, ¿cuál es el radio de curvatura de la parte convexa de la lente?
A.8.4. Una lente biconvexa simétrica, fabricada en poliestireno de índice de refracción 1,6, tiene radios de curvatura de 20 cm. Determina:
a) La distancia focal y la potencia de la lente; b) las características de la imagen de un objeto de 2 cm de altura situado a: b1) 35 cm; b2) 25
cm; b3) 15 cm de la lente.
A.8.5. Una lente plano-cóncava, fabricada en vidrio de índice de refracción 1,45, tiene 9 cm de radio de curvatura. Se pide: a) La distancia
focal y la potencia de la lente; b) las características de la imagen de un objeto de 10 cm de altura si se coloca éste a: b1) 30 cm; b2) 10 cm
de la lente.
A.8.6. Un objeto localizado a 32 cm frente a una lente forma una imagen sobre una pantalla a 8 cm atrás de la lente. ¿Se trata de una lente
convergente o divergente? ¿Cuál es su distancia focal? ¿Y su amplificación?.
A.8.7. Una lente delgada tiene una distancia focal objeto f. Encuentra la distancia objeto si la imagen es dos veces el tamaño del objeto y: a)
real; b) virtual.
A.8.8. Una lente divergente se utiliza para formar una imagen virtual de un objeto real. El objeto se encuentra a 80 cm a la izquierda de la
lente, y la imagen se localiza a 40 cm, también a la izquierda. Determina: a) La potencia de la lente. b) Si las superficies de la lente tienen
radios de curvatura r1= -40 cm y r2= 50 cm, ¿cuál es el valor del índice de refracción de la lente?.
A.8.9. Un objeto se localiza a 36 cm a la izquierda de una lente biconvexa de índice de refracción 1,5. La superficie izquierda de la lente
tiene un radio de curvatura de 20 cm. La superficie derecha se debe pulir de tal manera que se obtenga una imagen real a 72 cm a la
derecha de la lente. ¿Cuál debe ser el radio de curvatura de la segunda superficie?
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Optica
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A.8.10. Un haz paralelo de luz entra perpendicular a la cara plana de un hemisferio de vidrio. El radio es 6 cm y tiene un índice de refracción
1,56. Determina el punto donde se enfoca el haz.
A.8.11. Se fabrica una lente biconvexa hueca (llena de aire) con superficies de vidrio de grosor despreciable y de radios de curvatura de 15
cm y 20 cm. Determina la distancia focal y el comportamiento de la lente si: a) se trabaja en el aire, llenando la lente de agua (n=4/3). b) se
sumerge la lente, llena de aire, en agua.
A.8.12. ¿En qué posiciones se puede colocar una lente de 20/3 dioptrías para obtener la imagen de un objeto sobre una pantalla situada a
0,8 m de él?
A.8.13. Dos lentes con la misma distancia focal de 10 cm distan 15 cm entre sí. Halla la imagen final de un objeto situado a 15 cm de una
de las lentes.
A.8.14. Se colocan en contacto entre sí dos lentes delgadas de distancias focales f1´ y f2´. Demuestra que la distancia focal equivalente de
1
1
1
la combinación, f´ , viene dada por:
=
+
, y que, por tanto: P = P1 + P2.
f´ f 1´ f 2´
3.2. IMÁGENES POR REFLEXIÓN Y/O REFRACCIÓN EN DISTINTOS INSTRUMENTOS ÓPTICOS.
Los instrumentos ópticos son aparatos cuya finalidad consiste en proporcionar imágenes de objetos. El ojo
humano es nuestro instrumento óptico más importante. Además, la invención de otros instrumentos ópticos ha
permitido ampliar enormemente nuestro campo de visión (telescopios y microscopios), modificar nuestros hábitos
de vida (fotografía, cine, proyectores, holografías –fotos en tres dimensiones-, etc.) y desarrollar nuevas técnicas
(periscopios, fibras ópticas, ...).
Los instrumentos ópticos, según proporcionen imágenes reales o virtuales, se clasifican en:
- Instrumentos de proyección (u objetivos). Proporcionan imágenes reales, las cuales son recogidas en una pantalla.
Ejemplos: el proyector de diapositivas, el proyector de transparencias, el proyector cinematográfico, la cámara
fotográfica, nuestro ojo, ...
- Instrumentos de observación (o subjetivos). Proporcionan imágenes virtuales, las cuales son observadas
directamente a través del ojo humano. Ejemplos: la lupa, el microscopio, el anteojo, el telescopio, los
prismáticos, el periscopio, ...
Utilizamos lo que hemos aprendido sobre formación de imágenes en espejos y lentes para analizar el modo
de funcionamiento de diversos instrumentos ópticos, comenzando por el ojo humano.
3.2.1. OJO HUMANO.
El ojo humano es un órgano sensible a ciertos rayos luminosos, los
cuales determinan impulsos nerviosos que, canalizados por el nervio óptico,
llegan al cerebro, donde se transforman en la sensación fisiológica de la
visión.
El ojo (figura 8) consiste básicamente en una esfera gelatinosa de unos
2,5 cm de diámetro y está constituido por tres capas diferentes:
- La esclerótica, cubierta exterior protectora, fibrosa, muy dura y opaca, de
Figura 8
aspecto blanquecino. Presenta en su parte anterior un abombamiento, en
forma de vidrio de reloj, la córnea, membrana transparente que actúa como lente convergente.
- La coroides, membrana intercalada entre la esclerótica y la retina, pigmentada en negro, absorbe la luz dispersa.
En su parte anterior, al nivel de la córnea, forma el iris, un disco pigmentado responsable del color de los ojos
y que actúa como un diafragma muscular cuya abertura regula el paso de la luz a través del orificio central,
conocido como pupila 3.El iris se sitúa en la cámara anterior del globo ocular, entre la córnea y el cristalino,
inmerso en el humor acuoso, un líquido de índice de refracción casi idéntico al del agua.
El cristalino es una lente biconvexa o convergente elástica constituida por unas 22.000 láminas transparentes
de índice de refracción variable (desde 1,38 en las láminas periféricas a 1,40 en las láminas del núcleo).
Situado inmediatamente detrás del iris, está sujeto por sus extremos al globo ocular mediante los músculos
ciliares que, según la presión que ejercen, hacen que el cristalino se abombe más o menos, variando así su
curvatura y, en definitiva, su distancia focal, lo que permite la adaptación de la vista y el enfoque adecuado de
la imagen del objeto sobre la retina. El cristalino separa la cámara anterior del globo ocular de la posterior,
rellena del humor vítreo, una sustancia gelatinosa transparente de índice de refracción muy similar al del agua
y que constituye la mayor parte de la masa ocular.
- La retina, la capa más interna, consiste en una membrana muy fina (de unos 0,5 mm) constituida por unos 125
millones de células fotorreceptoras (bastones y conos); es la pantalla en la que se forman las imágenes de los
La razón por la que la pupila es de color negro es la misma que explica que veamos de ese color el interior de una vivienda lejana contemplado a
través de sus ventanas: la práctica totalidad de los rayos que entran no salen reflejados. Sin embargo, la pupila no es más que un orificio a través del
cual se observa la retina, de color rojizo, que se hace visible en algunas fotos disparadas con flash.
3
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Optica
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objetos observados. Los bastones (células fotosensibles cilíndricas) son excitados por luz de baja intensidad y
no son sensibles al color; son responsables de la visión nocturna. Los conos (células fotosensibles de forma
cónica) son excitados por luz de alta intensidad y son sensibles al color; son responsables de la visión diurna.
La zona donde se concentran más conos es la fóvea, una depresión sobre la retina situada en el eje óptico del
cristalino; el ojo, al mirar un objeto, siempre se orienta para que la imagen se forme en esta zona.
En el punto ciego, llamado así por no tener células fotoreceptoras, convergen las tres capas y es el punto de
partida del nervio óptico, que transmite toda la información visual recogida en la retina al cerebro.
Como sistema óptico, el ojo consiste básicamente en un sistema de lentes convergentes (córnea-cristalino)
que enfocan una imagen real, invertida y menor sobre la retina. Un ojo normal (emetrope) es capaz de formar
imágenes nítidas en la retina de objetos situados en un amplio intervalo de distancias. Es lo que se llama poder de
acomodación del ojo, y es posible por la capacidad de los músculos ciliares de variar la curvatura del cristalino
(cuando los músculos ciliares están relajados, la curvatura del cristalino es máxima, lo que permite enfocar objetos
lejanos; cuando los músculos están tensos, contraídos, la curvatura del cristalino es mínima, lo que permite enfocar
objetos cercanos). El intervalo de acomodación es variable de unas personas a otras y con la edad, debido a la
pérdida de flexibilidad de las lentes oculares; está comprendido entre:
- El punto próximo, punto más cercano al ojo que puede verse con nitidez. Para un niño es de unos 7 cm; para un
adulto es de unos 25 cm; con la edad se va alejando (es lo que se llama presbicia o vista cansada 4).
- El punto remoto, punto situado en el infinito para un ojo normal.
Defectos visuales.
El ojo que no es normal en cuanto a su convergencia se llama amétrope. Los
defectos más comunes del ojo son la miopía, la hipermetropía y el astigmatismo.
- Miopía (figura 9). En el caso del ojo miope el globo ocular es demasiado largo en
comparación con el radio de curvatura del sistema córnea-cristalino y, por tanto, la
imagen de un objeto lejano se forma delante de la retina; el punto remoto del ojo se
acerca y los objetos lejanos se ven borrosos.
Figura 9
La miopía se corrige mediante el uso de lentes divergentes que formen la imagen virtual de objetos lejanos a
una distancia del ojo no superior al punto remoto, es decir, tales que su foco imagen coincida con dicho punto
remoto (de esta manera se consigue que los rayos paralelos al eje óptico, procedentes del infinito, entren en el
ojo, tras refractarse en la lente divergente, como si procedieran del punto remoto).
- Hipermetropía (figura 10). En el caso del ojo hipermétrope el globo ocular es demasiado
corto, o bien el radio de curvatura del sistema córnea-cristalino es muy elevado y, por lo
tanto, la imagen de un objeto lejano se forma sin acomodación detrás de la retina; el
punto próximo del ojo se aleja y los objetos cercanos se ven borrosos, aunque los
lejanos se vean nítidos con acomodación.
La hipermetropía se corrige mediente el uso de lentes convergentes que formen la
Figura 10
imagen virtual de objetos próximos a una distancia del ojo no inferior al punto próximo.
- Astigmatismo. Es originado porque la córnea no es perfectamente esférica, sino que tiene diferente curvatura en
una dirección que en otra, con lo que no se forman imágenes nítidas en la retina. Se pone de manifiesto en que
no se pueden ver simultáneamente y con claridad dos rectas perpendiculares situadas en el mismo plano.
El astigmatismo se corrige mediante lentes cilíndricas de convergencia adecuada.
Las cataratas o el daltonismo no se deben a defectos en la convergencia del ojo:
- Las cataratas son debidas a la pérdida de transparencia del cristalino, lo que produce una visión borrosa que
puede llegar a anular la visión. Dada su naturaleza, este problema visual sólo puede corregirse mediante la
cirugía, sustituyendo el cristalino por otro sintético.
- El daltonismo consiste en la imposibilidad de distinguir determinados colores (generalmente se confunde el rojo
y el verde) y se asocia a deficiencias (o ausencia) de los conos en la retina. Es un defecto visual generalmente
hereditario y ligado al sexo (el hombre lo padece en cuanto el cromosoma X contenga este carácter; para
padecerlo la mujer los dos cromosomas X deben contener este gen anormal; es por ello que lo padecen un 8%
de hombres y sólo un 0,4% de mujeres).
La presbicia no es realmente un defecto de la visión, pues se produce en la misma proporción en todas las personas por la pérdida de la
capacidad de acomodación debida a la fatiga de los músculos ciliares o a la pérdida de flexibilidad del cristalino, que se queda en su posición menos
convergente. Consecuencia de la presbicia el punto próximo del ojo se aleja con la edad (por esta razón, las personas mayores alejan los objetos
para poder verlos más nítidamente). Se corrige como la hipermetropía, con lentes convergentes que actúan de lupa.
4
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A.9. Resuelve las siguientes actividades:
A.9.1. ¿Por qué la visión del mar o de un horizonte lejano, sin detalles, descansa la vista?. ¿Qué provocan los músculos ciliares sobre el
cristalino (más abombamiento o más aplanamiento): a) para enfocar bien un objeto próximo; b) para enfocar bien un objeto lejano?
A.9.2. ¿En cuanto debe variar la distancia focal del sistema córnea-cristalino del ojo cuando un objeto se mueve desde el infinito hasta el
punto próximo a 25 cm? ¿Entre qué valores oscila la potencia o convergencia del sistema córnea-cristalino?. Dato: La distancia del sistema
córnea-cristalino a la retina es de 2,5 cm.
A.9.3. A cierta persona se le prescriben gafas con una potencia de 2 dioptrías. ¿Es miope o hipermétrope? ¿Qué objetos no ve con nitidez,
los cercanos o los lejanos?.
A.9.4. Al mirar un dedo a través de las gafas que lleva una persona miope, empezando con el dedo en contacto con la lente y alejándolo
progresivamente, se observa que mientras se separa el dedo, su imagen es cada vez menor, pero siempre es derecha. Justifica estas
observaciones y di qué tipo de lente llevan las personas miopes. Razona cuál es la naturaleza de la imagen observada.
A.9.5. Una mujer tiene el punto próximo de su ojo a 1 m, de tal forma que no ve con claridad los objetos situados por debajo de esa
distancia. Determina la potencia de las lentes a utilizar para ver de forma nítida un objeto a 25 cm.
A.9.6. Un joven que “pierde visión” se da cuenta que no ve con claridad los objetos situados a más de 2 m. Determina las lentes que debe
utilizar para ver con nitidez los objetos alejados.
A.9.7. Un profesor, ya mayor, puede ver, sin gafas, los objetos situados entre 50 cm y 200 cm. Prescribe al profesor unas gafas que le
permita ver con nitidez objetos a cualquier distancia entre el infinito y 25 cm.
3.2.2. INSTRUMENTOS DE PROYECCIÓN.
CÁMARA FOTOGRÁFICA.
La cámara fotográfica es un instrumento de proyección en el que el
objeto es el elemento a fotografiar. Las partes fundamentales son un sistema
de lentes convergentes llamado objetivo, la cámara o compartimiento oscuro
y la película fotográfica donde se recoge la imagen real, menor e invertida del
objeto (figura 11).
Figura 11
El enfoque de la imagen sobre la película se realiza moviendo el objetivo, proceso de gran importancia
pues determina la nitidez de la imagen obtenida.
La cantidad de luz que llega a la película puede controlarse mediante el diafragma, que es una abertura
variable, y variando el tiempo durante el cual la luz llega a la película mediante un obturador.
La película está fabricada en material sintético, un poliéster, recubierto de una emulsión fotográfica,
pequeños cristales de bromuro de plata o de bromuro y yoduro de plata suspendidos en gelatina. Dependiendo de
su composición y del tamaño de los cristales, la película es más o menos
sensible (a mayor tamaño de grano, mayor sensibilidad).
PROYECTORES.
Estos instrumentos de proyección sirven para obtener sobre una
pantalla la imagen real, mayor e invertida de un objeto, la cual puede ser
Figura 12
observada simultáneamente por muchas personas. Esencialmente constan
de (figura 12):
-Un sistema óptico convergente que concentra sobre el objeto (diapositiva o transparencia) la luz de un potente
foco luminoso.
- Un objetivo, sistema óptico convergente que produce sobre una pantalla una imagen ampliada de un objeto. El
enfoque de la imagen sobre la pantalla se realiza moviendo el objetivo, para variar de esta forma la distancia
objeto-lente. El objeto a proyectar se coloca invertido, con lo que la imagen aparece derecha en la pantalla.
A.10. El objetivo (sistema de lentes convergentes) de una cámara fotográfica tiene una distancia focal de +50 mm. Determina:
a) Para fotografiar a un niño de 1,2 m de altura situado a 3 m de distancia, ¿qué distancia debe haber entre el objetivo y la película para
que se forme sobre esta una imagen nítida? ¿Cuál será la altura de la imagen del niño en la película fotográfica?
b) ¿Cuánto deberá moverse la lente de forma que pase de estar enfocando un objeto muy alejado a otro situado a 2 m?.
3.2.3. INSTRUMENTOS DE OBSERVACIÓN.
LUPA (MICROSCOPIO SIMPLE).
La lupa, microscopio simple o lente de aumento consiste en una lente
convergente de pequeña distancia focal (generalmente no mayor de 10 cm) y, por
tanto, de gran potencia, que se interpone entre el ojo y el objeto a observar, para
Figura 13
aumentar el tamaño de la imagen formada en la retina. Si el objeto se coloca entre
el foco y la lente convergente, la imagen es virtual, derecha y mayor que el objeto observado (figura 13).
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Con la lupa aumentamos el ángulo de visión ya que nos permite acercar el objeto a distancias inferiores al
punto próximo; como consecuencia, la imagen es mayor y se puede apreciar con más detalle. El máximo aumento
que puede conseguirse con una lupa, sin forzar el ojo, es del orden de 25x (25 aumentos o 25 veces el tamaño del
objeto). Se emplean como cuentahilos, lupa de relojero y en oculares de instrumentos ópticos más complejos
(microscopios compuestos, anteojos o telescopios).
MICROSCOPIO COMPUESTO 5.
El microscopio compuesto es un instrumento ocular de amplificación que se utiliza para examinar objetos
muy pequeños a distancias muy cortas. En su forma más simple está formado por dos lentes convergentes que van
colocadas a los extremos de un tubo de paredes opacas, de modo que el eje principal de las lentes es común. La
lente llamada objetivo, la más cercana al objeto, tiene pequeña distancia focal (potencia grande), y el ocular, la
lente más cercana al observador, posee una distancia focal mayor (potencia pequeña).
La imagen real dada por el objetivo (figura 14) sirve de
objeto para el ocular, cuya imagen virtual, ampliada e invertida es la
que se observa finalmente, lo cual no supone mayor inconveniente,
puesto que con un microscopio nunca se observa un objeto en su
conjunto, sino una parte de la superficie del mismo.
El aumento total del microscopio es igual al producto de los
aumentos que son capaces de proporcionar las dos lentes. En
general, cuanto mayor es el aumento menor es la luminosidad de la
imagen (la iluminación del objeto debe repartirse en una superficie
Figura 14
mayor en la imagen). Este es el motivo por el que se ilumina el objeto
a observar.
TELESCOPIOS EN EL VISIBLE (ANTEOJOS CELESTES).
El telescopio es un instrumento ocular de aproximación,
utilizado para observar objetos que no son pequeños pero que se
presentan como tales por estar muy lejos 6.
El sistema óptico de los telescopios refractores
(constituidos sólo por lentes) es muy semejante al del microscopio
Figura 15
compuesto, pero el foco imagen del objetivo y el foco objeto del ocular se encuentran en el mismo punto (se dice
que el intervalo óptico es nulo; por eso son tan largos). También, a diferencia del microscopio, aquí es el objetivo
el que tiene mayor distancia focal (menor potencia) (figura 15). La imagen final es virtual, mayor e invertida, lo
cual no supone mayor inconveniente cuando se observan objetos astronómicos (estrellas o planetas).
Dado que con el telescopio observamos objetos lejanos, que no es posible iluminar, debemos recurrir a
otra solución: aumentar el diámetro del objetivo, con lo que se aumenta la cantidad de luz que recibe el
instrumento. Sin embargo es difícil fabricar lentes muy grandes sin aberraciones (ver apéndice); además, se
plantean serios problemas mecánicos a la
hora de sujetar y soportar lentes muy
grandes por los bordes. Por todo ello, los
telescopios reflectores (figura 16)
utilizan un espejo cóncavo en lugar de
una lente como objetivo (el espejo no
produce aberración cromática, pesa
bastante menos y puede sujetarse en toda
su superficie trasera).
Figura 16
ANTEOJO TERRESTRE Y PRISMÁTICOS.
El anteojo terrestre soluciona el problema de la imagen invertida
dada por el telescopio o anteojo celeste realizando la inversión de la
misma utilizando como ocular una lente divergente. Esta lente está
colocada de tal forma que su foco objeto coincide con el foco imagen de
la lente convergente que hace de objetivo. Produce así una imagen virtual,
Figura 17
derecha y mayor (figura 17). Los gemelos de teatro o binoculares de
El microscopio electrónico consigue aumentos muy superiores a los microscopios ópticos convencionales. En vez de luz, utiliza un haz de
electrones a gran velocidad, y en lugar de lentes, utiliza potentes campos magnéticos.
6 En la actualidad, la investigación astronómica se extiende a todas las franjas del espectro electromagnético, de modo que se habla de
radiotelescopios, telescopios de infrarrojo, de ultravioleta, etc. Aquí hacemos referencia a los principios ópticos de los telescopios tradicionales, los
que trabajan con la luz del visible.
5
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ópera son dos anteojos terrestres, uno para cada ojo.
Los prismáticos son dos anteojos, uno para cada ojo, que resuelven el
problema de la imagen invertida dada por el telescopio realizando la inversión de la
misma con dos prismas de reflexión total (figura 18).
A. Final. Realiza un resumen de las ideas más importantes aprendidas en esta unidad, así
como un cuadro con las ecuaciones y fórmulas que has manejado a lo largo de la misma.
APÉNDICE: ¿A QUÉ SE DEBEN LAS ABERRACIONES?
¿CUÁNTOS TIPOS PODEMOS DISTINGUIR?
Figura 18
Como se observa en la figura adjunta, sólo los rayos paraxiales, rayos que inciden en el sistema óptico en puntos próximos
al eje principal, concurren (o divergen) pasando (ellos o sus prolongaciones) por el punto imagen. Los rayos no paraxiales
determinan puntos diferentes próximos al punto imagen, dando lugar a una imagen borrosa, efecto denominado aberración.
Las aberraciones más importantes son de tres tipos:
- Aberraciones referentes a la calidad de la imagen, como: la aberración esférica que
difumina los contornos de la imagen, con la natural pérdida de nitidez y contraste;
el coma que da origen a una imagen dispersa como la cola de un cometa; y el
astigmatismo, cuando la imagen de un punto es un trazo.
- Aberraciones referentes a la deformación que experimenta la imagen, como la
curvatura de imagen, en donde, aunque la imagen de un punto es otro punto,
ocurre que las imágenes de los puntos del plano objeto no están todas en el plano
imagen paraxial, sino en una superficie curva. Otro tipo es la distorsión cuando la
imagen no es semejante al objeto y es debido a la falta de constancia del aumento
lateral del sistema óptico.
- Aberración cromática originada por la dispersión de la luz blanca en diferentes
colores al atravesar el sistema óptico (por la distinta refracción, con lo que sólo
afecta a dioptrios y lentes), lo que origina un ensanchamiento de una imagen
puntual en un intervalo de colores.
Las aberraciones pueden ser minimizadas por medio de un manejo adecuado Rayos paraxiales y no paraxiales incidiendo en un espejo
de los parámetros físicos del sistema óptico como la potencia de las lentes, formas (la esférico cóncavo y en una lente convergente.
forma parabólica es preferible a la esférica), espesores, radios de curvatura, tipos de vidrio, tipo de lentes, separación entre lentes,
colocación de diafragmas, etc. De esta forma, se puede obtener una configuración donde se lleven las aberraciones a valores tan
pequeños, que dentro de ciertas tolerancias, la imagen resulte satisfactoria desde un punto de vista geométrico.
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Aprovecha los recursos informáticos recogidos en soporte digital, en la Web del Departamento y en la Web personal
de los autores. Te facilitarán el estudio y la comprensión de los conocimientos tratados en esta unidad.
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PLANTEADAS EN LA UNIDAD.
A.1.1: En aproximación paraxial (ángulos en radianes equivalentes al valor de sus senos o tangentes), resulta que (nos fijamos en el dioptrio esférico
cónvexo): α= O I ; β= O I ; γ= O I . Triángulo SIC: α + π -  iˆ  + β = π ; iˆ = β - α . Triángulo S´IC: π - β +  r̂  + γ = π ; r̂ = β - γ .
s
r
s´

n´
Como debe cumplirse la ley de Snell (en aproximación paraxial): i =
, si sustituimos los valores de iˆ y r̂ resulta: n·( β - α ) = n´·( β - γ) . Llegamos a:
r
n
n´ n n´ n
 
s´ s
r
Si s =∞ → s´=f´, con lo que: f´ = n´ ·r . Si s=f → s´=∞, con lo que: f = - n ·r . La relación que existe entre ellas es: f´ = - n´ ,o sea, la relación
n´-n
n
n´-n
f
entre las distancias focales imagen y objeto está en la misma proporción que la relación entre los índices de refracción de los respectivos medios en que se
encuentran dichos puntos (a lados opuestos del dioptrio, como indica el signo menos). La potencia de un dioptrio vale: P =
La ecuación anterior describe un dioptrio plano, siendo r =∞ . Queda
1 n´-n
=
f´ n´·r
n´ = n o s´ = n´ , o sea, la relación entre las distancias objeto e imagen es
s´ s
s
n
igual a la relación entre los índices de refracción de los medios respectivos donde están situados el objeto y la imagen.
y
y  . Como la ley de Snell, en aproximación paraxial, se puede
A.1.2. De la figura se deduce que, en aproximación paraxial: iˆ = AB = ; r̂ = A´B´ =
BO s
B´O s 

n´ , resulta: s´ · y = n´ . Teniendo en cuenta el convenio de signos establecido, puede afirmarse que:
y n  s . De aquí se deduce
escribir: i =
A 
r n
s y
n
y n´s
que, en un dioptrio esférico:
- El tamaño relativo imagen-objeto está directamente relacionado con sus posiciones o distancias al dioptrio e inversamente relacionado con los índices de
refracción de los respectivos medios donde éstas se encuentran.
- Si la imagen es real (o sea, s y s´ son de distinto signo por estar objeto e imagen en lados opuestos del dioptrio), también es invertida.
- Si la imagen es virtual (o sea, s y s´ son del mismo signo por estar objeto e imagen en el mismo lado del dioptrio), también es derecha.
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A.2. Hacemos uso de las ecuaciones obtenidas en la A.1.
A.2.1. f´ =30 cm; f = -20 cm; s´= 90 cm.
A.2.2. 2 m de profundidad (figura 1).
A.2.3. Imagen que ve el pez del gato: más lejana (a 30,77 cm de la superficie de la pecera), más grande (amplificada 1,15 veces)
y derecha. Imagen que ve el gato del pez: más cercana (a 3,85 cm de la superficie de la pecera), prácticamente igual (amplificada
1,03 veces) y derecha.
A.2.4. A 3 m de profundidad; a 4 m de altura.
A.2.5. Más cerca (a 0,83 m de la superficie de la máscara) y más pequeño (0,44 veces menor).
A.2.6. A 24 cm del centro de la esfera; A = - 0,6.
A.3. Partiendo de
n´ n n´ n , con n´= -n, se llega inmediatamente a la ecuación de los espejos: 1 1 2 . Si s =∞ →
 
 
s´ s
r
s s´ r
s´=f´; si s=f → s´=∞; en uno u otro caso, resulta que: f´=f =
31
Figura 1
r
(en un espejo, el foco imagen y el foco objeto coinciden en el mismo punto), con lo que:
2
1 1 2 1
  
 P . Para que P esté en dioptrías, f debe medirse en metros.
s s r
f´
La ecuación anterior describe un espejo plano, siendo r =∞ . Queda s = - s´, o sea, el objeto y la imagen están en lados opuestos (imagen virtual) y a la
misma distancia del espejo.
De la fórmula general obtenida para el aumento lateral, A  y  n  s , o de la figura adjunta (los triángulos ABO y A´B´O son semejantes, por lo que
y n´s
A´B´
B´O , teniendo en cuenta el convenio de signos establecido), se deduce que, para un espejo:
y
s . De aquí se deduce que, en un espejo

A 
AB
BO
y
s
esférico:
- El tamaño relativo imagen-objeto está directamente relacionado con sus posiciones o distancias al espejo.
- Si la imagen es real (o sea, s y s´ son del mismo signo por estar objeto e imagen en el mismo lado del espejo), también es invertida.
- Si la imagen es virtual (o sea, s y s´ son de distinto signo por estar objeto e imagen en lados opuestos del espejo), también es derecha.
A.4.1. La imagen de un objeto en un espejo plano (figura 2) es virtual, del mismo tamaño que el objeto, derecha y presenta
inversión lateral (izquierda-derecha) (esto significa que si, por ejemplo, colocas la mano izquierda frente a un espejo plano
observas una imagen similar a la visión directa de la mano derecha).
Si al mirarse en el espejo hay poca luz, debemos iluminar nuestra cara, pues de ella parten los rayos que deben
reflejarse en el espejo.
El objeto no es necesario que esté frente al espejo. Podemos
verlo si nuestro ojo ocupa la posición adecuada para recibir los
rayos reflejados en el espejo (figura 3).
Apoyándonos en la figura 4 se deduce que la dimensión
Figura 2
mínima del espejo plano es la mitad de nuestra altura, cuando se
sitúa verticalmente sobre el suelo y a una altura sobre él igual a la
mitad de la distancia entre nuestros ojos y dicho suelo. La
dimensión del espejo no depende de la distancia del objeto al
mismo.
Altura del espejo = OC/2+ OP/2 =BH =CP/2; altura del espejo
sobre el suelo = BS =OP/2 ; independientemente de la distancia PS.
A.4.2. Imágenes en espejos esféricos (figura 5).
Figura 4
Figura 3
A.5. Hacemos uso de las ecuaciones obtenidas en la A.3. Para el estudio gráfico seguir las instrucciones dadas en la
actividad A.4.
A.5.1. a) s´= -16,67 cm; y´= -1,33 cm; imagen real, menor e inversa; b) s´= -20 cm; y´= -2 cm; imagen real, igual e inversa; c) s´= -30 cm; y´= -4 cm;
imagen real, mayor e inversa; d) s´= ∞; No se forma imagen; e) s´=10 cm; y´=4 cm; imagen virtual, mayor e derecha; en los casos en los que la imagen es
virtual, es posible la visión directa por el ojo, mientras que habrá que recurrir a una pantalla en aquellos casos en los que la imagen es real.
A.5.2. a) s´= 0,4 m; A=0,2; y´=4 cm; b) s´=0,3 m; A=0,4; y´=8 cm; c) s´=0,17 m; A=0,67; y´=13,3 cm; siempre imagen virtual, menor y derecha.
A.5.3. a) s= -30 cm; s´=120 cm; imagen virtual, mayor y derecha; b) s= -60 cm; s´= -120 cm; imagen real, mayor e invertida; c) s=s´= -80 cm; imagen real,
igual e invertida.
A.5.4. s= -20 cm; s´=10 cm; imagen virtual, menor y derecha.
A.5.5. r= -48 cm; P= -4,17 D.
A.5.6. s´=9 cm; r=22,5 cm; imagen virtual, menor y derecha; espejo convexo.
A.5.7. s´=20 cm; P= -5 D; imagen virtual, mayor y derecha; espejo cóncavo.
A.5.8. Espejo cóncavo; si s= -3 m, s´= -1,5 m, imagen real, r= -2 m.
A.5.9. P=16,67 D.
A.5.10. Espejo cóncavo; f= -48,58 cm.
A.5.11. a) s= -2,70 m; s´= -1,35 m; real; b) s= -1,2 m; s´= -3,6 m; real; c) s= -0,45 m; s´=0,90 m; virtual.
A.5.12. Espejo cóncavo; r= -2,13 m; s= -1,33 m.
A.5.13. Espejo convexo; s= -18,7 cm; s´= 9,3 cm; virtual.
A.5.14. Espejo cóncavo; a) s= -36 cm; s´= -18 cm; b) s= -15,3 cm; s´= -55,3 cm.
A.6. Para calcular la posición de la imagen en una lente tenemos que considerar la refracción de cada superficie esférica por separado, siendo la imagen
formada por la primera superficie refractora el objeto virtual de la segunda superficie. Por tanto, al aplicar la ecuación general del dioptrio esférico en ambas
superficies, resulta:
Primera superficie refractora (medio de partida, el aire; medio final, la lente): n  1 = n - 1 (La imagen S´1 no llega realmente a formarse porque la luz se
s1
s
r1
refracta de nuevo en la segunda superficie. Pero nosotros podemos considerar dicha imagen como un objeto virtual del que parten los rayos que inciden
directamente en la segunda superficie refractora. Como el grosor de la lente es despreciable, consideramos s2 = s´1).
Segunda superficie refractora (medio de partida, la lente; medio final, el aire): n 1 = 1 - n .

s  s1
r2
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Optica
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Figura 5
Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones anteriores, queda: 1  1 = (n  1)   1  1  . Como s =∞ → s´=f´, resulta: 1 = (n  1)   1  1  = P,
r r 
r r 
f
s´ s
 1 2
 1 2
con lo que podemos escribir:
resulta:
1 1 1
1 1=

(n  1)     = f  = P, ecuación general de las lentes delgadas para su uso en el aire. Como s=f → s´= ∞,
s´ s
 r1 r2 
1=1
1
(n  1)     , de donde se observa que f´= -f, o sea, la distancia focal imagen y la distancia focal objeto de una lente son iguales y se
f
r
r
2 
 1
hayan en lados opuestos de la lente.
En otro medio cualquiera distinto del aire, siendo n´ el índice de refracción del medio externo a la lente (cuyo índice de refracción es n), resulta:
n n =
 1 1  = 1 = P.

(n  n)     f 
s´ s
 r1 r2 
De la fórmula general obtenida para el aumento lateral, A  y  n  s , o de las figuras adjuntas (los triángulos ABO y A´B´O son semejantes, por lo que
y n´s
A´B´ B´O , teniendo en cuenta el convenio de signos establecido), se deduce que, para una lente delgada:
y s . De aquí se deduce que, en una

A 
AB
BO
y s
lente delgada:
- El tamaño relativo imagen-objeto está directamente relacionado con sus posiciones o distancias a la lente.
- Si la imagen es real (o sea, s y s´ son de distinto signo por estar objeto e imagen en lados opuestos de la lente), también es invertida.
- Si la imagen es virtual (o sea, s y s´ son del mismo signo por estar objeto e imagen en el mismo lado de la lente), también es derecha.
A.7. Imágenes en lentes delgadas (figura 6).
A.8. Hacemos uso de las ecuaciones obtenidas en la A.6. Para el estudio gráfico seguir las instrucciones dadas en la actividad A.7.
A.8.1. f´= 20,57 cm; la distancia focal es una característica de la lente independiente del lado de incidencia de la luz)
A.8.2. r1 = -0,25 m; r2 = 0,25 m
A.8.3. r1 = 16,67 cm
A.8.4. a) f´= 16,67 cm; P= 6 dioptrías; b1) s´= 31,8 cm; A= -0,9; y´=-1,8 cm; imagen real, menor e invertida; b2) s´= 50 cm; A= -2; y´= -4 cm; imagen real,
mayor e invertida; b3) s´= -150 cm; A= 10; y´=20 cm; imagen virtual, mayor y derecha.
A.8.5. a) f´= -20 cm; P= -5 dioptrías; b1) s´= -12 cm; A= 0,4; y´= 4 cm; imagen virtual, menor y derecha; b2) s´= -6,67 cm; A= 0,67; y´= 6,67 cm; imagen
virtual, menor y derecha
A.8.6. Lente convergente; f´= 6,4 cm; A= -0,25; imagen real, menor e invertida
A.8.7. Teniendo en cuenta que f´es positiva en una lente convergente y, por tanto, f es negativa: a) s=1,5f; b) s=0,5f.
A.8.8. P= -1,25 dioptrías; n= 1,28
A.8.9. r2= -30 cm
A.8.10. f´=s´= 10,7 cm
A.8.11. a) f´= 25,7 cm; P= 3,9 dioptrías; convergente; b) f´= –34,3 cm; P= -2,9 dioptrías; divergente
A.8.12. A 10 cm y a 60 cm del objeto.
A.8.13. Imagen real situada a 6 cm del centro óptico de la segunda lente, menor (0,8 veces el tamaño del objeto) e invertida.
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Optica
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A.8.14. Se trata de aplicar la ecuación general de las lentes dos veces, pero como las lentes están juntas, la distancia objeto para la segunda lente es igual a la
1
1 ; sumando miembro a miembro las dos ecuaciones obtenemos la ecuación
1 ; 1
distancia imagen de la primera lente(s2 = s´1): 1 1


s´1

s

f´1
s´
s´1
f´ 2
resultante planteada.
Figura 6
A.9.1. Los músculos ciliares ejercen más presión y provocan más abombamiento del cristalino (menor radio de curvatura en el cristalino, menor distancia
focal) para ver objetos cercanos. Para ver los lejanos, los músculos ciliares se relajan (descansa la vista) y provocan más aplanamiento (mayor radio de
curvatura en el cristalino, mayor distancia focal).
A.9.2. La distancia focal disminuye en 0,23 cm, se abomba el sistema córnea-cristalino. La potencia del sistema córnea-cristalino oscila entre 40 y 44 D.
A.9.3. Hipermétrope. No ve con nitidez los objetos cercanos al formarse la imagen detrás de la retina, de ahí que se corrija el defecto visual con una lente
convergente.
A.9.4. Lente divergente; imagen virtual.
A.9.5. Necesita una lente que, para un objeto situado a 25 cm del ojo, forme su imagen a 1 m del ojo, posición de su punto próximo. Esta imagen virtual y
mayor será formada por una lente convergente de 3 dioptrías
A.9.6. Necesita una lente que forme la imagen de objetos alejados (como máximo, en el infinito) a 2 m del ojo. Esta imagen virtual y menor será formada por
una lente divergente de –0,5 dioptrías
A.9.7. Combinando los razonamientos de las dos actividades anteriores, necesitará gafas trifocales: -0,5 /0 /2 dioptrías
A.10. (a) La película está a 51 mm del objetivo. La imagen real, menor e invertida tendrá un tamaño de 2 cm sobre la película. B) Hay que mover el objetivo
1,3 mm, alejándolo de la película).
A. Final. Trabajo personal.
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