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Óptica geométrica
Instituto Ramón y Cajal. Zaragoza
La Luz y la óptica geométrica
¿Qué es la luz?
Actualmente, los físicos utilizan dos modelos para describir el comportamiento de la luz: el modelo
ondulatorio y el modelo corpuscular. Ninguno de los dos explica totalmente las propiedades de la
luz. Los aspectos relacionados con la propagación de la luz se explican convenientemente
mediante el modelo ondulatorio que acabas de estudiar, mientras que el análisis de la interacción
de la luz con la materia se lleva a cabo mediante el modelo corpuscular.
Antes de que se aceptase totalmente este comportamiento dual, pasaron muchos años durante los
cuales se mantuvo viva la controversia sobre la naturaleza de la luz.
Un poco de historia: desde el año 500 a. de C. hasta el siglo XVI
Los chinos y los griegos, independientemente, usaron espejos curvos y lentes cóncavas y
convexas. Sin embargo, es muy probable que los conocimientos de ambas culturas sobre este
tema derivasen de una fuente común vinculada a Mesopotamia, la India o Egipto, ya que las referencias a éstos se remontan a los orígenes de la historia.
No obstante, la formulación empírica de las leyes que rigen el comportamiento de la luz y el
desarrollo de teorías (inicialmente especulativas) acerca de la naturaleza de ésta fueron
emprendidos, principalmente, por griegos y árabes (tabla 1).
Autor
Fecha
Aportación
Pitágoras s. VI a. de C.
La luz está formada por rayos que viajan en línea recta
del ojo a los objetos.
Euclides
s. IV a. de C.
Establece la ley de la reflexión. Comparte las ideas
pitagóricas.
Epicuro
ss. IV-III a. de
C.
Juega con la idea de que la luz es emitida por una
fuente y que llega hasta el ojo tras ser reflejada.
Ptolomeo
s. I a. de C.
Mide los ángulos de incidencia y refracción y observa
que un rayo luminoso se acerca a la normal al pasar
de un medio menos denso a otro más denso.
Alhacen
s. X
Contribuye a que se abandone la teoría pitagórica y se
imponga el concepto de rayos viajeros desde los objetos
al ojo.
Leonardo ss. XV-XVI
da Vinci
Desarrolla en forma de teoría la aplicación práctica de la
propagación rectilínea de la luz a la pintura y el dibujo.
Tabla 1 Aportaciones teóricas y prácticas sobre la naturaleza de la luz hasta el siglo XVI.
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Figura
Máquina para la fabricación de espejos cóncavos diseñada por Leonardo da Vinci. El autor de la Gioconda fue, además de pintor, arquitecto,
escultor e inventor. Soñaba con un arte científico, perfecto como las matemáticas.
Los siglos XVII y XVIII
Durante el siglo XVII se llevaron a cabo numerosos descubrimientos acerca del comportamiento de
la luz (tabla 2). Por entonces, la mecánica newtoniana cosechaba sus primeros triunfos. Los
científicos de la época se preguntaban si podían aplicarse sus leyes a los fenómenos lu minosos.
Tabla 2
Aportaciones teóricas y prácticas durante el siglo XVII sobre la naturaleza de la luz.
Autor
Fecha
Aportación
Johannes
Kepler
1604
Da una descripción completa de las sombras,
basándose en la idea de la propagación rectilínea de la
luz. Aplica dicha idea a la medida de la intensidad
luminosa (fotometría).
Willebrod
Snel
1621
Descubre la ley de la refracción (ley de Snell),
aunque no la publica.
Rene
Descartes
1637
Publica su libro Óptica, donde propone una
primera teoría corpuscular de la luz.
Robert Hooke
1665
Descubre la difracción y propone una primera teoría
ondulatoria para explicarla.
Erasmus
Bartholin
1669
Descubre la polarización de la luz por doble
refracción en cristales de espato de Islandia.
Robert Hooke
1672
Descubre los colores de interferencia en películas finas
(en las alas de una mariposa o en las películas de
aceite).
Ole Römer
1676
Mide por primera vez la velocidad de la luz,
demostrando que no es infinita.
Christian
Huygens
1690
En su libro Traite de la lumiére rechazó el carácter
corpuscular de la luz.
Isaac Newton
1704
Publica un libro titulado Opticks, en el que recopila
todos sus descubrimientos y teorías sobre la luz.
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Figura
Los llamativos colores de las plumas del pavo real son colores de interferencia, como los de las alas de algunas mariposas, los observados en
las pompas de jabón o en un disco compacto.
Como se ve en la tabla 2, surgieron dos teorías contrapuestas que
intentaban explicar todos los fenómenos luminosos conocidos: la teoría
ondulatoria y la teoría corpuscular de la luz.
La teoría corpuscular
Figura
Newton suponía que, cuando la luz
pasaba de un medio menos denso a
otro más denso, las partículas de luz
sufrían un «tirón» vertical hacia
abajo, mientras la componente
horizontal de su momento
permanecía constante. Ello explicaría
por qué la luz, se acerca a la normal
(observa la dirección de pA y la de
p'B). Además, el momento total
aumentaría, es decir, la luz se
movería más deprisa en el medio de
mayor densidad
Fue introducida inicialmente por Rene Descartes, quien supuso que la
luz era una perturbación que se propagaba en un medio mecánico.
Newton no sólo heredó estas ideas sino que las llevó mucho más lejos
suponiendo que la luz era una corriente de corpúsculos que se propagaba a través de un éter lumínico. Con estas ideas conseguía explicar
la reflexión de la luz (las partículas rebotaban en la superficie de sepa ración entre medios), pero tuvo que introducir una extraña periodicidad con el fin de explicar por qué la luz no sólo se refleja sino que se
refracta parcialmente: las partículas luminosas cambiarían regularmente entre dos estados: en uno de ellos serían reflejadas por las superficies cristalinas y en el otro serían transmitidas. Todo bastante artificial, pero pensaba que la teoría ondulatoria era incompatible con la
idea de propagación rectilínea de la luz, firmemente establecida por
entonces.
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La teoría ondulatoria
Introducida inicialmente por Robert Hooke, fue desarrollada y
mejorada por el matemático, físico y astrónomo holandés
Christian Huygens. No se trataba de una teoría ondulatoria en el
sentido moderno, pues aún no reconocía el carácter periódico de
la luz (lo que sí hacía, paradójicamente, al menos en parte, la
teoría newtoniana), pero conseguía explicar la refracción de la
luz de una forma más natural. Por otra parte, suponía que la luz
era una onda longitudinal y, en consecuencia, dejaba sin explicar
el fenómeno de la polarización.
Ambas teorías explicaban la refracción de la luz, pero mientras la
teoría corpuscular predecía que la luz tenía que moverse más
deprisa en los medios más densos (figura pág anterior) la teoría
ondulatoria predecía justamente lo contrario. Así pues, bastaría con medir la velocidad de la luz
en diferentes medios para decidir cuál de los dos era la teoría correcta.
Se trataba de un experimento muy difícil de realizar: de hecho, eran muchos los científicos que
pensaban que la luz se movía a una velocidad infinita, trasladándose instantáneamente de un
lugar a otro. Pese a que el astrónomo danés Ole Römer demostró, en 1676, que la velocidad de la
luz es finita, hasta mediados del siglo XIX no se pudo medir la velocidad de la luz en distintos
medios.
Durante el siglo XVIII, la gran autoridad de Newton fue esgrimida como aval de la teoría
corpuscular, que pareció imponerse definitivamente a la ondulatoria.
El siglo XIX
Durante los primeros años del siglo XIX las tornas se cambiaron. El físico británico Thomas Young
y el francés Augustin Fresnel reformularon la teoría ondulatoria para explicar los experimentos de
interferencia, cosa que no podía hacer la teoría corpuscular. Es sorprendente que Huygens no se
valiera de ellos para reforzar su teoría. Fíjate en la experiencia de la doble rendija, llevada a cabo
por T. Young y que estudiamos en el tema de ondas. La luz monocromática, a pasar por dos
pequeños orificios muy próximos generaba en un apantalla máximos y mínimos, como
consecuencia de la interferencia constructiva y destructiva de las ondas luminosas que
atravesaban por cada uno de los orificios y que se convertían en
focos emisores de luz coherentes. Solamente si la luz estuviese
constituida por ondas podría generar procesos de difracción.
En este nuevo marco conceptual, todos los resultados
experimentales encontraban una explicación minuciosa. La teoría
corpuscular comenzó a perder peso
Quien validó definitivamente la teoría ondulatoria fue el francés
Jean-Bernard Léon Foucault al demostrar que la luz viaja más
rápidamente cuanto menos denso es el medio, en contra de las
conclusiones que establecía la teoría corpuscular sobre la
refracción.
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Así pues, todo esto llevó a una consolidación absoluta de la teoría ondulatoria.
Pero un nuevo problema fue tomando forma. La explicación de la polarización de la luz requería
suponer que la luz era una onda transversal. Cualquier onda transversal de las conocidas hasta
entonces requería un medio sólido para propagarse. Así que el éter lumínico newtoniano tenía que
ser ¡sólido! Para explicar otros datos empíricos hubo que suponer características sorprendentes
para el éter. Por otro lado, todos los procedimientos para detectar su presencia daban resultados
negativos. Hoy, eliminada la necesidad de explicar los fenómenos mediante modelos mecánicos,
aquellas características del éter nos parecen increíbles. Sin embargo, frecuentemente, paradojas de
este tipo son las que sirven de estímulo para el desarrollo de la ciencia.
Finalmente, fue James Clerk Maxwell quien demostró que la luz es una onda electromagnética que
viaja en el vacío con una velocidad igual a c = 3 x 108 ms-1 valor acorde con los valores
experimentales medidos. Las teorías de Maxwell fueron confirmadas por el alemán Heinrich Rudolph
Hertz, de manera que la luz visible pasó a ser considerada sólo una ínfima parte del espectro
electromagnético, dentro del cual encontramos todas las radiaciones conocidas ordenadas por su
frecuencia, longitud de onda o energía.
El debate parecía que había concluido definitivamente. Pero...
Ideas sobre la naturaleza de la luz en el siglo XX
Durante el siglo XX se llevaron a cabo numerosos descubrimientos
que conmocionaron el mundo de la física. Un par de ellos, el efecto
fotoeléctrico y el efecto Compton, sirvieron para reabrir el debate en
torno a la teoría corpuscular de la luz.
Actualmente se admite un carácter dual para la radiación electromagnética. Que uno u otro carácter predomine depende de las
características de la situación contemplada:
1. En los fenómenos relacionados con la propagación de la luz se
manifiesta el carácter ondulatorio de ésta.
2. Cuando la luz interacciona con la materia, se manifiesta su
carácter corpuscular.
El modelo corpuscular actual
El comportamiento de la luz cuando interacciona con la materia se describe considerando que la
luz está compuesta por diminutos «paquetes» de energía a los que llamamos fotones. La energía
de cada uno de esos fotones se calcula mediante la expresión:
donde h es la constante de Planck, igual a h = 6,63 x 10-34 Js, y f, la frecuencia de la onda. Es una
ecuación curiosa, pues integra aspectos corpusculares (la energía, E, de los fotones) y aspectos
ondulatorios (la frecuencia, f).
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Toda radiación de frecuencia superior a la correspondiente al color azul tiene suficiente energía
para destruir células humanas o producir mutaciones genéticas de consecuencias imprevisibles;
por lo que es muy peligrosa.
Escintilografía de un hígado: el paciente ingiere pequeñas cantidades de una sustancia que emite
rayos y, que son los que se detectan desde el exterior.
La radiación y también se utiliza en medicina para destruir células cancerígenas, más sensibles a
este tipo de radiación que las normales.
Como has estudiado en la unidad anterior, la intensidad luminosa se define como la energía
incidente por unidad de tiempo y por unidad de superficie:
La intensidad media de la luz solar en la superficie terrestre es del orden de 103 Js-1m-2. Es decir,
1m2 de superficie terrestre recibe, por término medio, una potencia de 1 kW, o sea, 1.000 J de
energía por segundo. Es la denominada constante solar. Su valor se ve disminuido por factores
como la absorción de radiación por parte de la atmósfera, la hora del día, la estación del año, la
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latitud y altitud de la región, la nebulosidad, la polución atmosférica, etcétera.
Actividades
1. Se ha sugerido que si el precio de los paneles solares disminuyese mucho (hasta 150 ptas.
W-1), podrían competir efectivamente con otros métodos de generación de electricidad a
gran escala. Haz una estimación realista de la superficie que se requeriría para conseguir
una producción equivalente a la de una central eléctrica modesta de 50 MW, capaz de
proporcionar energía eléctrica a una población de unos 25 000 habitantes: a) En la zona
sur del Reino Unido, en la que la radiación solar media por metro cuadrado y año es de
1150 kWh. b) En la zona norte del Reino Unido, en la que la radiación solar media por metro
cuadrado y año es de 850 kWh. ¿Cómo solucionarías el hecho de que el Sol no brilla las 24
horas del día?
2. Explica por qué la intensidad luminosa de una fuente puntual disminuye con el cuadrado de
la distancia.
Un poco de repaso y algunos ejercicios complicados
Reflexión. Refracción. Reflexión total
Reflexión y aplicaciones
Leyes de la reflexión
1) El rayo incidente, el reflejado y la normal están
en un mismo plano.
2) El ángulo de incidencia, i, es igual al ángulo de
reflexión, r.
Aplicaciones
Ángulo de visón de la imagen en un espejo plano
En la figura se representa un objeto situado en A, un espejo PQ y un observador O en dos posiciones,
O1 y O2.
Estando el observador en la posición O1, un rayo de luz emitido por
el objeto se refleja en el espejo y le llega al observador en dicha
posición. El observador interpreta que la imagen está en la
dirección A’O1. Si el observador está en la posición O2, el rayo
emitido por el objeto y reflejado en el espejo tiene la dirección A’O2
cuando le llega al observador. Éste interpreta que l imagen está en
la dirección A’O2. El único punto común a ambas direcciones, A’O1
y A’O2 es el punto A’.
El observador interpreta que la imagen está en A’.
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Analizando la simetría de la imagen se puede concluir que la distancia d del objeto a la recta en la que
está el espejo PQ es igual a la distancia d’ del punto donde está la imagen respecto de la recta en la
que está el espejo PQ.
d=d’
Del análisis anterior se puede deducir que si el ojo está en el ángulo AA’P, el observador no verá la
imagen A’. Y si el observador está por debajo de la recta infinita A’Q, aunque estuviera a la izquierda
del espejo, tampoco vería la imagen.
El ángulo de visión de la imagen sería PA’Q.
Refracción. Ley de la refracción (Ley de Snell)
El índice de refracción de la luz en un medio por el seno del
ángulo que forma el rayo incidente con la normal de separación
entre dos medios es igual al índice de refracción en el segundo
medio por el seno del ángulo de refracción.
El índice de refracción en cada medio es igual a la velocidad de la
luz en el vacío, c, entre la velocidad de la luz en el medio, v. Su
valor es siempre mayor que 1.
n=c/v
Se puede analizar el fenómeno de la refracción haciendo clic en
este enlace. Se simula una experiencia típica de laboratorio de
óptica para la obtención de la ley de refracción. Si en la
simulación se hace incidir un rayo perpendicularmente a la
superficie curva, puede observarse el fenómeno de la reflexión
total.
La refracción de la luz puede verse en la formación de líneas más
iluminadas en el fondo de un estanque o de un lago. Este
fenómeno se produce porque las ondas que se forman en el agua
curvan la superficie de la misma actuando a modo de lentes
convergentes sobre el fondo.
Reflexión total. Ángulo límite
Teniendo en cuenta la ley de Snell: ni sen i = nr sen r
Pueden darse casos en que al variar el ángulo de incidencia el ángulo de refracción sea 90º y, por tanto
el sen r =1. En estos casos, no se produce refracción del rayo, sino que la totalidad del rayo incidente
se refleja. Este ángulo de incidencia se denomina ángulo límite.
ni sen iL = nr sen 90º; ni sen iL = nr 1; sen iL= nr/ ni;
iL=arc seno(nr/ni)
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Para que se cumpla esta condición nr<ni
La apariencia rutilante de un diamante tallado como el de la figura, proviene de la reflexión interna. La
luz que entra por arriba se refleja nuevamente hacia fuera dirigiéndose hacia el observador, saliendo de
nuevo por las caras superiores. El diamante tiene un índice de refracción n d=2,417 mucho mayor que el
del vidrio. El ángulo límite es
iL=arc seno(1,00/2,417)=24,4º
Este ángulo es bastante menor que el de la superficie
de separación vidrio-aire, que es de 41,8º. Este es el
motivo por el cual la luz que ha penetrado en el
diamante sufre un proceso de reflexión interna mayor
que en caso del vidrio. El brillo de diamante también
está en la habilidad del joyero para cortar el diamante
en numerosas caras que provoquen numerosas
reflexiones internas antes de salir la luz al exterior.
En 1870 John Tyndal demostró que un chorro de agua era capaz de conducir un haz de luz debido a la
reflexión total. El agua tiene un índice de refracción n=1,33. El aire tiene un índice de refracción n’=1. A
partir de cierto ángulo de incidencia de un rayo en el interior del agua se producirá la reflexión total.
1,33·sen i = 1·sen 90º
ángulo límite= i = arc sen (1/1,33) = 48,75º
A partir de este ángulo de incidencia se producirá la reflexión total.
Experimento de Tyndall
Si un rayo de luz, como se muestra en la figura, incide sobre
la superficie interior de un chorro de agua, el rayo puede
refractarse y pasar al aire o reflejarse si el ángulo de
incidencia es superior al ángulo límite.
La reflexión total se utiliza en las fuentes luminosas. La luz se
va reflejando en la superficie interna de los chorros de agua y
va saliendo del agua cuando el ángulo de incidencia es menor
que el ángulo límite.
Aplicación Fibras ópticas
Una fibra óptica es un fino hilo de material transparente, llamado núcleo, rodeado por otro material,
llamado revestimiento, de menor índice de refracción. La luz se propaga por el núcleo sufriendo
sucesivas reflexiones totales como se observa en la figura.
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Si los índices de refracción del núcleo y del revestimiento son nnúcleo=1,47 y nrevestimiento=1,46;
¿cuál será el mínimo ángulo épsilon (ε) con el que puede viajar la luz dentro del núcleo para que se
produzcan reflexiones totales al alcanzar el revestimiento?.
1,47·seno ε = 1,46· seno 90º
ε = 83,31º
Observando la primera de las figuras se puede calcular el máximo ángulo z con el que podrá viajar la
luz sin que se refracte al revestimiento. Los ángulos ε y z son complementarios, luego
z =90º- 83,31º=6,7º
naire
z=6,7º
6,7º
αmáx
La luz incidente desde el exterior, aire, a la fibra de vidrio sufre una refracción en ésta. ¿Para qué
ángulo de iluminación ,amáximo , desde el exterior , en donde naire=1,00, corresponde esta situación?
naire· seno amáx = nnúcleo·seno z
naire
z=6,7º
αmáx
1·seno amáx = 1,47·seno 6,7º
6,7º
amáx=9,875º
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Dispersión. El prisma óptico.
Cuando un haz de luz blanca incide sobre un
prisma de vidrio, como se indica en la figura
adjunta, la luz se descompone en un conjunto
de colores o espectro. Esta descomposición en
colores se denomina dispersión. La luz violeta
es la que más se desvía, mientras que la roja
es la que menos se desvía. El cambio en la
dirección de la luz es mayor cuanto mayor es el
índice de refracción. Por lo tanto, el prisma de
vidrio no tiene un índice de refracción único, es
mayor para la luz violeta que para la roja. La dependencia del índice de refracción de una sustancia con
la longitud de onda se denomina dispersión.
En la tabla adjunta se puede ver la variación del índice de refracción del vidrio “crown”, un tipo de
vidrio con especial poder dispersivo
Índice de refracción para el vidrio “crown"
COLOR:
Violeta
Índice de refracción: 1,532
Azul
Verde
Amarillo
Naranja
1,528
1,519
1,517
1,514
Añil
1,513
Si la luz amarilla emitida por una lámpara de descarga eléctrica que contiene vapor de sodio a baja
presión se hace pasar por una rendija y después por un prisma, podremos observar dos líneas
brillantes próximas amarillas. Estas líneas no pueden descomponerse. Los colores individuales del
espectro no pueden descomponerse. La luz amarilla se desviará siempre del mismo modo. Este
fenómeno se utiliza para analizar las longitudes de onda de la luz y para determinar, por ejemplo, los
átomos que la emiten en sus desexcitaciones.
Una actividad complicada
En la figura adjunta se muestra un prisma de un
material transparente de índice de refracción
n1=n inmerso en el aire, de índice de refracción
no=1. Si un rayo incide con un ángulo i con la
normal en la cara izquierda del prisma, ¿cuál
será el ángulo de desviación δ que tendrá el
rayo?
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Las ecuaciones que permiten hallar el ángulo i’ a partir del ángulo de incidencia i, del ángulo del prisma φ y del
índice de refracción n del prisma, suponiendo que está en el aire, son:
1·seno i = n·seno r ; φ= r + r’ ; n·seno r’ = 1·seno i
El ángulo de desviación del prisma es
δ = α + β = i – r + i’ - r’ = i + i’ –(r + r’)= i + i’ – φ
Aplicación: sobre un prisma de vidrio de ángulo φ=40º se hace incidir un rayo monocromático sobre una de sus
caras con un ángulo de incidencia i=30º. Para dicho rayo monocromático el índice de refracción es n=1,55.
Calcular la desviación que tiene el rayo saliente respecto del incidente.
1º) En la primera refracción se aplica la ley de Snell:
1·seno 30º=1,55·seno r; r=arco seno (0,50/1,55)=18,8 º
2º) El ángulo de incidencia r’ en la segunda refracción se halla mediante la ecuación:
φ =r + r’ ; r’ = φ – r = 40 – 18,8º = 21,2º
3º) Se vuelve a aplicar la ley de Snell para la segunda refracción:
1,55·seno 21,2º = 1·seno i’ ; i’ = arco seno (0,68)= 34,09º
4º) Se calcula la desviación δ=α+β=i–r+i’-r’ = i+i’–(r+r’)=i+i’-φ=30º+34,09º-40º=24,1º
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0ptica geométrica
Al estudiar la refracción de la luz hemos visto que un objeto alargado
parecía doblarse cuando se introducía en agua. Esto es debido a que el
ojo percibe una imagen óptica ficticia del objeto real, imagen que se encuentra en la prolongación de los rayos refractados (fig ). Resulta así
que la superficie de separación del agua y el aire se comport.a como
una especie de espejo, pero con la diferencia curiosa de que en este
caso la imagen se encuentra del mismo lado que el objeto.
El estudio de los tamaños y posiciones de este tipo de imágenes,
producidas por refracción o por reflexión de la luz en superficies frontera de dos medios distintos, es el
objetivo de la llamada Óptica geométrica. Se denomina de esta manera a la parte de la Óptica que se
ocupa únicamente de las trayectorias de los rayos luminosos, despreciando los efectos propios de la
luz como movimiento ondulatorio, es decir, la polarización, las interferencias y la difracción. Conviene
aclarar que estos efectos sólo se pueden despreciar cuando la longitud de onda sea muy pequeña en
comparación con el tamaño de los objetos o barreras que encuentre la luz a su paso.
Por esta razón la Óptica geométrica, en tanto que teoría aproximada,
tiene una validez importante, debido a que las longitudes de onda de la
luz visible (400 nm-700 nm) son ya de por sí muy pequeñas. No
obstante, sólo es estrictamente correcta cuando la longitud de onda
tiende hacia cero, o lo que es lo mismo, cuando la frecuencia tiende
hacia infinito. Se puede comprobar, por ejemplo, que los efectos de la
difracción se debilitan a medida que aumenta la frecuencia (fig.) cuando
se pasa de la luz roja a la luz azul.
Un objeto completamente sumergido en agua parece estar menos
profundo de lo que en realidad está,
ya que se observa su imagen.
Conceptos básicos: rayo, dioptrio, objeto imagen. Normas DIN
Rayo.- cada dirección de propagación de la luz.
Dioptrio.- es conjunto formado por dos medios de diferente índice de refracción separados por una
superficie.
Dioptrio plano.- es aquél cuya superficie de separación es plana, por lo tanto su radio de curvatura es
infinito.
Dioptrio esférico.-, es el dioptrio cuya superficie de separación es esférica.
Centro de curvatura C.- es el centro de la superficie esférica a la que pertenece un dioptrio esférico.
Sistema óptico.- es conjunto de varios dioptrios.
Lente.- es un sistema formado por dos dioptrios con un medio con un índice de refracción.
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Eje óptico.- de un sistema óptico es el eje común de simetría de los dioptrios que componen un
sistema.
Espacio objeto.- Espacio que queda a la izquierda del dioptrio.
Espacio imagen.- Espacio que queda a la izquierda del dioptrio.
Punto objeto.- Cualquier punto perteneciente a un objeto real situado en el espacio objeto.
Punto imagen de un punto objeto.- Punto A’ que resulta de la intersección de dos rayos refractados
procedentes del punto objeto A. Por comodidad, es habitual tomar uno de los rayos coincidentes con el
eje óptico que contiene al objeto, ya que al tener un ángulo de incidencia cero no se desvía de su
dirección inicial.
Imagen real e imagen virtual. A pesar del carácter ficticio de una imagen, se dice que una imagen es real
si está formada por dos rayos refractados convergentes. Se dice que es virtual si se forma por la
prolongación de dos rayos refractados divergentes. Las imágenes formadas por un dioptrio plano son
siempre virtuales.
Centro óptico: punto de intersección del dioptrio y el eje óptico
nr>ni
ni
Espacio objeto
normal
nr
αr
Espacio imagen
αi
Eje óptico
A’
O: centro óptico
A
Dioptrio plano
Fig a
En el caso de dioptrios esféricos
αi
Espacio objeto
normal
Dioptrio plano
αr
objeto
O
A’
Eje óptico
C Imagen real
A
Dioptrio esférico
Centro de curvatura
Fig b
En la Fig b, los rayos emitidos por un punto luminoso A se cortan en el punto A'. A es el objeto y A' es
la imagen que es una imagen real porque se forma por la intersección de los rayos. La imagen A'
emitirá rayos que se refractarán a través de la superficie del dioptrio plano y los rayos refractados o sus
prolongaciones se cortarán en un nuevo punto A''. El punto A' es el nuevo objeto para la segunda
superficie de refracción y el punto A'' es la nueva imagen a través de dicha superficie.
En la Fig c, los rayos emitidos por el punto A se refractan en el dioptrio esférico cortándose sus
prolongaciones a la izquierda del dioptrio, en sentido opuesto a la marcha de los rayos, en el punto A'.
Se dice que A' es una imagen virtual de A.
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objeto
normal
αi
objeto
Imagen
Dioptrio esférico
virtual
A
Centro de curvatura
O
αr
Dioptrio plano
C
Eje óptico
A’
Dioptrio esférico
Dioptrio esférico
Centro de curvatura
Fig c
Convenio de signos. Normas DIN.
1. Las letras que hacen referencia al primer objeto se ponen sin primas. La imagen se simboliza
con las mismas letras pero con prima.
2. Las figuras se ponen de modo que la luz incidente viaja de izquierda a derecha.
3. Para cada refracción se considera al eje óptico como eje de coordenadas con origen en el
centro óptico O. La coordenada de un objeto puntual A situada sobre el eje se
denomina distancia objeto y es negativa si el punto A está a la izquierda de O y positiva si
está a la derecha de O. La coordenada de una imagen puntual A’ situada sobre el eje óptico se
denomina distancia imagen y es positiva si el punto A’ está situado a la derecha de O y
negativa si está a la izquierda de O.
4. Si un segmento AB, de altura “y”, está perpendicular al eje óptico y el punto B está por encima
del eje, la altura “y” del segmento es positiva. Si B está por debajo del eje óptico, la altura “y” es
negativa.
5. El ángulo que forma un rayo con el eje óptico o con la normal al dioptrio es positivo si al girar el
rayo hacia el eje lo hace en el sentido contrario al de giro de las agujas de un reloj. El ángulo
que forma una recta con el eje óptico es positivo si al girar la recta hacia el eje óptico, el
sentido de giro es contrario al de giro de las agujas de un reloj.
Imágenes por refracción
En relación con la noción de punto imagen es importante dejar claro que,
en general, a cada punto objeto le corresponden varios puntos imagen.
Así, si consideramos diferentes rayos que proceden de un único punto
objeto, resulta que una vez refractados no confluyen todos en el mismo
punto imagen (fig.), fenómeno que se conoce con el nombre de
aberración.
Punto imagen real formado por
rayos refractados convergentes
(a). Punto imagen virtual formado
por las prolongaciones de rayos
refractados divergentes (b)
Afortunadamente no se produce aberración cuando los ángulos de incidencia son pequeños, es decir, cuando los rayos que surgen de un punto
objeto se desvían poco respecto del eje óptico que contiene a ese punto
objeto (figura pag sig). Por ello, y para eliminar el fenómeno de
aberración, nos limitaremos a este tipo de rayos, que reciben el
nombre de rayos paraxiales de Gauss en honor al matemático
alemán Karl F. Gauss (1777-1855).
15
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De acuerdo con esto es importante señalar que en la zona paraxial los ángulos de incidencia y de
refracción, medidos en radianes, se pueden identificar con sus senos y sus tangentes, es decir:
αi≈sen αi ≈tg αi
αr≈sen αr ≈tg αr
con lo cual la ley de Snell de la refracción se puede escribir
simplemente:
n αi = n’ αr
En general, un único punto
objeto tiene vahas imágenes,
dando lugar a la aberración
óptica.
Utilizando estas aproximaciones veamos, pues, cómo se puede calcular
la posición de un punto imagen en un dioptrio plano cuando se conoce la
posición del punto objeto correspondiente. Teniendo en cuenta la figura a
y la igualdad de los ángulos indicados, se tiene lo siguiente:
i
tg i 
OI
; r
x
tg r 
OI
x '
donde los signos menos proceden de que las abscisas de los puntos
P y P' son negativas y los ángulos se suponen siempre positivos.
Dividiendo ahora miembro a miembro las relaciones anteriores se
obtiene:
i x '

r x
Cuando los ángulos de
incidencia son pequeños se
puede suponer que existe una
correspondencia biunívoca
entre puntos objeto y puntos imagen.
y teniendo en cuenta la ley de Snell en su forma n αi = n’ αr, resulta
finalmente:
n n'

x x'
que es la fórmula buscada, que relaciona la posición del punto imagen
con la posición del punto objeto y con los índices de refracción.
Fig a Elementos necesarios
para obtener la ecuación del
dioptrio plano.
16
Óptica geométrica
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Dioptrio esférico
Un caso interesante más general que el anterior es el de un dioptrio esférico, es decir, una superficie
refractora con forma esférica. En este caso se toma como eje óptico cualquier recta que contenga al
centro de la esfera y como origen se sigue tomando la intersección del eje óptico con el dioptrio
(figura)
Elementos
fundamentales del
dioptrio esférico.
De acuerdo con esto y recordando el sentido positivo de propagación de la luz
(izquierda-derecha) tendremos dos tipos de dioptrios esféricos:
• Convexos. La posición del centro se encuentra a la derecha del
origen, es decir, su abscisa R es positiva (fig. ).
• Cóncavos. La posición del centro se encuentra a la izquierda del
origen, es decir, su abscisa^ es negativa (fig. ).
Dioptrio convexo
Por lo que se refiere a las nociones de espacio objeto e imagen, punto imagen
de un punto objeto, etc., se utilizan las mismas que en el caso del dioptrio plano.
Así, por ejemplo, una imagen real corresponderá a la situación de la figura a,
mientras que una imagen virtual a la de la figura b.
Dioptrio cóncavo
Busquemos ahora la ecuación del dioptrio esférico, es decir, la relación entre las
abscisas de un punto objeto y su imagen cuando nos restringimos a la zona
paraxial de Gauss. Para fijar las ideas consideraremos un dioptrio convexo y
supondremos que el segundo medio es más denso que el primero (figura pag.
sig.), aunque el resultado final será independiente de estas características, pues
una abscisa cualquiera es un número real con su signo.
De acuerdo con la figura de la pag 18, tenemos las siguientes relaciones en los triángulos rectángulos que se
indican:
h
IJP :  tg 
PO PJ
x
h
IJP ' :  ' tg ' 
P 'O P ' J
x'
h
IJC :  tg 
CO CJ
R






17
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Elementos necesarios para la obtención de la ecuación del dioptrio esférico.
Imagen real en un dioptrio esférico convexo (a). Imagen
virtual en un dioptrio esférico
cóncavo (b).
En ambos casos el segundo
medio tiene un índice de
refracción mayor que el primero.
Ahora bien, por otro lado se tienen las siguientes igualdades entre ángulos en los triángulos
correspondientes:
PIC : αi =σ+φ
PIC : φ = αr + σ’;
αr = φ - σ’
con lo cual, sustituyendo la segunda en la primera, se obtienen las siguientes expresiones para los ángulos
de incidencia y de refracción respectivamente:
h h

R x
h h
r  
R x'
i 
Teniendo en cuenta ahora la ley de Snell para la zona paraxial resulta finalmente
 1 1
1 1
A  n     n '  
R x
 R x'
igualdad que pone de manifiesto que la cantidad A tiene el mismo valor numérico en el espacio objeto y en
el imagen, es decir, se trata de un invariante. Recibe el nombre de invariante de Abbe, pues fue obtenido
por el físico alemán Ernest Abbe (1840-1905).
El invariante de Abbe ya permite obtener la posición del punto imagen a partir de la posición del punto
objeto; sin embargo es costumbre utilizar como ecuación del dioptrio esférico la siguiente:
18
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n ' n n ' n
 
x' x
R
que se obtiene de dicho invariante por simple trasposición de términos. Notemos que si en esta ecuación
n n'
hacemos R —> ∞ recuperamos la ecuación 
del dioptrio plano, como era de esperar.
x x'
Focos y distancias focales. Fórmula de Gauss
Dos puntos interesantes del eje óptico de un dioptrio esférico son el foco objeto y el foco imagen. Estos
puntos se definen como sigue:
Foco objeto. Punto F del eje óptico cuya imagen se encuentra en el infinito
del espacio imagen (fig.) Así, si designamos por f la abscisa de posición de
este punto, tendremos:
F:
Por definición, todo rayo que
corta al eje óptico en el foco
objeto se refracta paralelamente
a este eje, ya que la imagen se
encuentra en el infinito.
El foco objeto puede encontrarse
en el espacio imagen. En este
caso se refractan paralelamente al
eje aquellos rayos incidentes cuya
prolongación corta al foco objeto.
x=f (<0 en el dibujo)
x’=+∞
Valores que introducidos en la ecuación
 1 1
1 1
A  n     n '  
R x
 R x'
del dioptrio conducen a:
n n ' n

f
R
de donde se deduce la siguiente expresión para la abscisa del foco objeto:
nR
f 
n ' n

Notemos que este valor puede ser positivo, lo que significaría que el foco
objeto se encuentra en el espacio imagen. Esto ocurre, por ejemplo, si el
dioptrio es cóncavo y el segundo medio es más denso que el primero (n' > n)
(fig. ). En cualquier caso, es costumbre llamar a f distancia focal objeto.
Foco imagen
Foco imagen. Punto F' del eje óptico que es la imagen de un punto del infinito del espacio objeto
(fig. ). Si designamos por f’ la abscisa de posición de este punto, se tiene:
F’:
x=-∞
x’=f’ (>0 en el dibujo)
Valores que introducidos en la ecuación
 1 1
1 1
A  n     n '  
R x
 R x'
del dioptrio conducen a:
Por definición, todo rayo
que incide paralelamente
al eje óptico se refracta
cortando a este eje en el
foco imagen, ya que es la
imagen del infinito.
n ' n ' n

f'
R
19
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de donde se deduce la siguiente expresión para la abscisa del foco imagen:
n'R
f '
n ' n
Notemos que también f’ puede tener un valor negativo, lo que significaría
que el foco imagen se encuentra en el espacio objeto. Esto ocurre, por
ejemplo, si el dioptrio es convexo y el segundo medio es menos denso
que el primero (n' < n) (fig. adjunta). A esta abscisa f’' se la llama distancia
focal imagen.
El foco imagen puede
encontrarse en el espacio
objeto. En este caso los
rayos que inciden paralelamente al eje se refractan
de
manera
que
su
prolongación corta al foco
imagen.
El conocimiento de las distancias focales permite escribir la ecuación
n ' n n ' n
 
del dioptrio de una manera bastante sencilla. En efecto,
x' x
R
multiplicando ambos miembros de dicha ecuación por R/(n — n’) y
nR
n'R
teniendo en cuenta las expresiones f  
y f '
de las
n ' n
n ' n
distancias focales, resulta fácilmente:
f f'

1
x x'
relación entre las posiciones de un punto objeto y su imagen que se conoce con el nombre de
fórmula de Gauss.
nR
n'R
Notemos por otro lado que a partir de f  
y f '
se obtiene la siguiente ecuación:
n ' n
n ' n
f
n

f'
n'
que permite determinar una de las distancias focales cuando se conoce la otra y los índices de
refracción de ambos lados del dioptrio.
Aumento lateral de un dioptrio
Hasta ahora hemos supuesto que los objetos eran puntuales y que, por tanto, lo mismo ocurría con
las imágenes. En consecuencia el problema de un dioptrio se reducía
a calcular la posición de las imágenes en función de la posición de los
objetos. Ahora bien, como en la práctica los objetos tienen un cierto
tamaño, se hace preciso saber calcular el tamaño y la posición de
las imágenes a partir del tamaño y la posición de los objetos.
Buscamos las imágenes de
objetos perpendiculares al
eje y cuyas dimensiones
transversales
son
despreciables.
Para simplificar nos limitaremos al caso de objetos bidimensionales
perpendiculares al eje óptico, que representaremos mediante
vectores (fig.), y además supondremos lo siguiente:
• El segmento imagen se encuentra en el plano definido por el
segmento objeto y el eje óptico, siendo también
20
Óptica geométrica
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perpendicular a este último (fig. ).
• El tamaño del segmento objeto es lo suficientemente pequeño como para poder aplicar la
aproximación paraxial.
Suponemos que el segmento objeto y el
segmento imagen se encuentran en un plano
que contiene al eje óptico.
Rayos principales: paralelo, radial y focal. Son de gran
utilidad en la construcción de imágenes.
Elementos necesarios para la obtención del invariante de
Helmholtz.
Con estas hipótesis la construcción de imágenes es muy sencilla si se utilizan los rayos principales
(fig.), es decir:
• Rayo paralelo. Rayo paralelo al eje óptico que parte de la «cabeza» del objeto. Como corta al eje
en el infinito del espacio objeto, después de refractarse pasa por el foco imagen.
• Rayo focal. Rayo que parte de la cabeza del objeto y pasa por el foco objeto, con lo cual se
refracta de manera que sale paralelo al eje óptico.
• Rayo radial. Rayo que parte de la cabeza del objeto y está dirigido hacia el centro de curvatura
del dioptrio. Este rayo no se refracta y continúa en la misma dirección, ya que el ángulo de
incidencia es igual a cero.
Veamos ahora la relación entre los tamaños del objeto y de la imagen. Según la figura número dos
tendremos:
21
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y
x
y'
 r tg  r 
x'
y por tanto, si recordamos la ley de Snell para la zona paraxial (n βi = n’ βr), resulta
inmediatamente
i
tg  i 
H
ny n ' y '

x
x'
que es la fórmula buscada. Recibe el nombre de invariante de Helmholtz.
Una cantidad importante es el cociente entre el tamaño de la imagen y el tamaño del objeto, es
decir,
y'
AL 
y
cantidad que recibe el nombre de aumento lateral producido por el dioptrio. De acuerdo con el
invariante anterior, este aumento se puede escribir también como sigue:
AL 
nx '
n'x
22
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Sistemas ópticos centrados. Lentes
Normalmente no se utilizan simples dioptrios para la formación de
imágenes, sino los llamados sistemas ópticos centrados, es decir,
una sucesión dioptrios esféricos que separan varios medios y cuyos
centros de curvatura se encuentran todos alineados (fig. ).
Ejemplo de sistema óptico
centrado. Todos los centros de los
diferentes dioptrios esféricos se
encuentran en el mismo eje, que
se toma como eje óptico.
Entre estos sistemas los más utilizados son las lentes, formadas por
un trozo de un material transparente, como el vidrio, delimitado por
dos superficies esféricas (fig. ). Así, el sistema óptico centrado que
definen está constituido por tres medios, habitualmente aire-vidrioaire, y dos dioptrios esféricos, que son las caras de la lente.
En un sistema óptico centrado los elementos fundamentales son el
eje óptico, que es la recta que une los centros de los dioptrios, y los
focos. Esto se define de manera análoga a los focos de un dioptrio
(fig.):
1. Ejemplo de lente. Sus caras
son dos dioptrios esféricos: el de la
izquierda cóncavo y el de la derecha convexo.
2. Los focos de una lente se definen de manera similar a los de un
solo dioptrio esférico, considerando los rayos incidentes y los rayos
salientes.
• Foco objeto. Punto del eje óptico cuya imagen respecto del
sistema se encuentra en el infinito positivo de dicho eje.
Todos los rayos que par ten de este foco emergen paralelos
al eje.
• Foco imagen. Punto del eje óptico que es la imagen
respecto del sistema de un punto del infinito negativo de
dicho eje. Todos los rayos que inciden paralelos al eje
emergen confluyendo en el foco imagen.
También son de utilidad los planos focales, que son los planos
perpendiculares al eje óptico que pasan por los focos. El plano
focal objeto contiene todos los puntos cuyas imágenes se
encuentran en el infinito del espacie imagen, mientras que el plano
focal imagen contiene todos los puntos que son imagen de algún
punto del infinito del espacio objeto.
Nosotros nos limitaremos al estudio de las lentes, y más
concretamente a de las lentes delgadas, que son aquellas cuyo
grosor en el eje es despreciable frente a los radios de los dioptrios que las forman (fig.1).
Para obtener la relación entre la posición de un punto objeto P del eje y 1; de su punto imagen P',
respecto de la lente, tendremos que aplicar dos veces una para cada dioptrio, la ecuación general
del dioptrio esférico
Si suponemos, como es lo habitual, que la lente está inmersa en el aire y aquí el índice de
refracción del vidrio de la lente es nL , resulta según la figura 2 el siguiente par de relaciones:
23
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Elementos necesarios para la obtención de la
ecuación de las lentes delgadas
En una lente delgada se supone que su espesor es
muy pequeño comparado con los radios de las caras.
Donde el punto imagen P1’ respecto del primer dioptrio se ha tomado como punto objeto para el
segundo.
Teniendo en cuenta ahora que el grosor de la lente es despreciable, se tiene:
x2  x1 ' e
x1 '
con lo cual, restando las dos ecuaciones anteriores, se obtiene la relación buscada:
1 1 
1 1
   nL  1   
x' x
 R1 R2 
Lente delgada convergente
que recibe el nombre de ecuación de las lentes delgadas.
Notemos que las abscisas x y x’ se toman en la práctica a partir de
un origen único del eje óptico: C = O1 ≈ O2, que se llama centro de
la lente.
La ecuación anterior de las lentes delgadas se suele escribir
haciendo aparecer explícitamente la distancia focal objeto f o la
distancia focal imagen f', las cuales están respectivamente
determinadas por las condiciones:
F:
x=f
x’=+∞
que sustituidas en
siguiente expresión:
F’:
x=-∞
x’= f’
1 1 
1 1
   nL  1    proporcionan la
x' x
 R1 R2 
1 1 
1
1
  nL  1)      
f'
f
 R1 R2 
Así, la ecuación de las lentes delgadas se puede escribir simplemente:
1 1 1
 
x' x f '
24
Óptica geométrica
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Construcción de imágenes
La construcción de imágenes con lentes delgadas se hace mediante unos rayos principales que son
similares a los rayos utilizados para el caso de un dioptrio esférico:
• Rayo paralelo. Rayo que incide paralelamente al eje óptico y que, por tanto, emerge cortando
al foco imagen.
• Rayo central. Rayo que incide en el centro de la lente, por lo que emerge sin desviarse, ya
que sufre dos refracciones idénticas muy próximas.
En la figura siguiente se puede observar la utilización de estos rayos para la construcción de
imágenes, tanto en lentes convergentes (/' > 0) como en lentes divergentes (/' < 0). En ambos
casos se han considerado las dos posibilidades para situar el objeto, es decir, más lejos de la lente
que el foco objeto o bien entre ambos. Es de destacar que en el caso de lentes divergentes todas las
imágenes son virtuales.
Por otro lado, de estas figuras se desprende, por semejanza de triángulos, que el aumento lateral de
una lente delgada se puede escribir como sigue
AL 
y' x'

y x
En consecuencia, si el aumento es positivo, la imagen es virtual y
los rayos divergen, mientras que si es negativo la imagen es real
y los rayos son convergentes.
Construcción de imágenes en
lentes delgadas convergentes
y divergentes utilizando rayos
paralelos y centrales.
Clases de lentes
Como ya se ha indicado, hay dos tipos genéricos de lentes: las convergentes y las divergentes. Sin
embargo, se pueden clasificar de una manera más exhaustiva como sigue:
• Lentes convergentes: biconvexas, plano-convexas y
meniscos convergentes (fig. ).
• Lentes divergentes: bicóncavas, plano-cóncavas y
meniscos divergentes (fig. pág siguiente).
Se puede observar que todas las lentes convergentes son más
gruesas por el centro que por los extremos, mientras que las
divergentes son más gruesas por los extremos que por el centro.
Lentes convergentes
25
Óptica geométrica
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Lentes divergentes
Potencia de una lente
Se define la potencia de una lente como la inversa de su distancia focal imagen, es decir, de
1 1 
1
1
acuerdo con
  nL  1)       :
f'
f
 R1 R2 
1 1 
1
1
  nL  1)      
f'
f
 R1 R2 
y por tanto mide la mayor o menor convergencia de los rayos emergentes: a mayor potencia de la
lente, mayor convergencia de los rayos. Como es natural, esta potencia será positiva para lentes
convergentes y negativa para lentes divergentes.
P
La unidad de potencia de una lente es la dioptría, que se define como la potencia de una lente
cuya distancia focal imagen es de un metro. Por ejemplo, si dicha distancia focal es de 20 cm la
potencia será de 5 dioptrías.
Con frecuencia se utilizan dos o más lentes alineadas para obtener una potencia diferente. Como
un ejemplo simple vamos a estudiar el caso de dos lentes yuxtapuestas, es decir, tales que la
distancia entre sus centros sea despreciable (fig.). Para calcular la potencia del conjunto es
necesario determinar el foco imagen del sistema:
  F1'  F '
Ahora bien, en la segunda refracción se tiene:
x
f1 '
x'  f '
con lo cual, aplicando la ecuación
1 1 1
de las lentes, resulta:
 
x' x f '
1 1
1
 ' '
f ' f1
f2
donde se deduce que la potencia total del sistema es la siguiente:
26
Óptica geométrica
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P
1
1 1
 '  '  P1  P2
f ' f1 f 2
En el caso de que las lentes no estén yuxtapuestas, se puede demostrar que la potencia total
vale lo siguiente:
P = P1 + P2 – d P1P2
siendo d la distancia entre las lentes
Sistema de dos lentes no yuxtapuestas.
Espejos. Imágenes por reflexión
La reflexión se puede considerar como una refracción de
ángulo negativo que invierte el
sentido del rayo refractado.
Los espejos son superficies muy pulimentadas, generalmente
metálicas, con una capacidad reflectora superior al 95 % de la
intensidad de la luz incidente. La formación de imágenes en
espejos se podría estudiar con un procedimiento similar al que
hemos utilizado para las imágenes por refracción, es decir,
aplicando las leyes de la reflexión y restringiéndolas a la zona
paraxial. Sin embargo, todas las leyes de la formación de
imágenes en espejos pueden obtenerse muy fácilmente a partir
de los resultados que ya hemos obtenido en el caso de
imágenes por refracción.
Consideremos para ello un rayo de luz que se refracta desde un
medio de índice n a otro hipotético que tuviera un índice
negativo igual a —n. Aplicando a esta refracción hipotética la ley de Snell, resulta:
n sen αi = - n sen αr
de donde se deduce lo siguiente:
α r = - αi
Por tanto, si convenimos en que un ángulo de refracción negativo equivale a una inversión del
sentido del rayo, se recupera la ley fundamental de la reflexión (fig.).
En consecuencia, las leyes que rigen la formación de imágenes por reflexión se obtienen a partir
de las leyes relativas a la refracción, sin más que suponer que el índice del segundo medio es
igual al del primero con signo cambiado.
27
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Espejos planos
El primer ejemplo donde se puede aplicar el resultado anterior es un espe jo plano (fig.).
Recordando la fórmula de un dioptrio plano, resulta que las posiciones x y x' de un objeto y su
imagen están relacionadas como sigue:
de donde se deduce:
que es justamente lo que se obtiene aplicando las leyes de la
reflexión. Notemos que la imagen es virtual, pues se forma con
las prolongaciones de los rayos reflejados.
La formación de imágenes por
reflexión en espejos se obtiene
a partir de la formación de
imágenes por refracción en
dioptrios suponiendo que n' =
—n.
Espejos esféricos
Elementos necesarios para la
obtención de la ecuación de
los espejos esféricos a partir
de la ecuación de los
dioptrios esféricos.
Consideremos ahora un espejo esférico, es decir, una superficie reflectora con forma esférica
(fig.). De acuerdo con lo que hemos dicho anteriormente, la formación de imágenes se regirá por
n ' n n ' n
la
ecuación
 
del dioptrio esférico para el caso n’ = -n, es decir
x' x
R
n n 2n
1 1 2
 
 
y de aquí se deduce inmediatamente:
que es la ecuación de un
x' x
R
x' x R
espejo esférico de radio R
El foco de un espejo esférico
se encuentra en el punto
medio entre el centro del
espejo y el vértice del mismo.
28
Óptica geométrica
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En este caso sólo existe un punto focal F = F’ que recibe el nombre de foco principal del
espejo, y cuya posición se obtiene haciendo o bien x o bien x igual a → ∞, lo que proporciona
el siguiente valor:
f ≡ f’ = R/2
es decir, el foco se encuentra en el punto medio entre el centro del espejo y el vértice del
mismo. Además se encontrará a la izquierda (f < 0) o a la derecha (f > 0) del vértice según que
el espejo sea respectivamente cóncavo (R < 0) o convexo (R > 0), como se observa en la
figura superior.
Construcción de imágenes en
un espejo esférico convexo
utilizando los rayos paralelo,
radial y focal. Todas las
imágenes son virtuales.
El aumento lateral del espejo también se puede calcular
nx '
mediante la regla n’ = —n a partir de la fórmula AL 
del
n'x
y'
x'
dioptrio. Tendremos, pues: AL   
y
x
1 1 2
  , resulta que el aumento,
y por tanto, teniendo en cuenta
x' x R
al igual que la posición de la imagen, depende únicamente de la
curvatura del espejo y de la posición del objeto.
Formación de imágenes
La construcción de imágenes en el caso de los espejos esféricos se
hace como en los dioptrios esféricos, es decir, con la ayuda de los
rayos principales: paralelo, radial y focal. Por otro lado, conviene
distinguir entre los espejos cóncavos y los convexos:
• Espejos cóncavos. Se producen las cinco situaciones siguientes:
a) Objeto situado a la izquierda del centro de curvatura (fig. a). La
imagen es real (debe observarse en una pantalla), invertida y
situada entre el centro y el foco. Su tamaño es menor que el del
objeto.
b) Objeto situado en el centro de curvatura (fig. b). La imagen se
forma, invertida, en el mismo punto, por lo que también ahora es
real. El tamaño es idéntico al del objeto.
objeto.
c) Objeto situado entre el centro de curvatura y el foco (fig. c). La
imagen también es real e invertida, pero situada a la izquierda del
centro de curvatura. En este caso, el tamaño es mayor que el del
d) Objeto situado en el foco del espejo (fig. d). Los rayos reflejados son aproximadamente
paralelos y la imagen se forma en el infinito del espacio objeto.
29
Óptica geométrica
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e) Objeto situado a la derecha del foco (fig. e). Se trata del único caso en que la imagen es virtual
y además conserva su orientación. El tamaño es mayor que el del objeto.
• Espejos convexos. Se produce esencialmente una única situación (fig.), en la que la imagen es
virtual, derecha y más pequeña que el objeto
Construcción de imágenes en un espejo esférico cóncavo utilizando
los rayos paralelo, radial y focal. Todas las imágenes son reales.
El ojo humano
El ojo humano es un órgano muy complejo, aunque ópticamente se puede
considerar como un sistema óptico centrado.
Pupila
Humor
acuoso
El ojo humano es un
órgano muy complejo,
aunque ópticamente se
puede considerar como un
sistema óptico centrado.
Desde un punto de vista estrictamente óptico el ojo humano puede
considerarse como un sistema óptico centrado formado por cuatro
medios transparentes y una pantalla donde se forman las imágenes
(fig. ):
• Córnea. Es una primera lente de una cierta dureza que sirve
para proteger el ojo de los agentes externos. Su curvatura es
pequeña, es decir, se trata de una lente relativamente plana,
con objeto de corregir la aberración esférica.
Tiene un índice de refracción de 1,38, lo cual implica un cambio importante respecto del aire.
• Humor acuoso. Se trata de un líquido que, como su nombre indica, tiene un aspecto similar al del
agua. Su índice de refracción también tiene un valor parecido, concretamente 1,34.
Alberga un diafragma variable llamado iris que es el que da el color a los ojos y cuya misión es
delimitar y modificar la intensidad luminosa que el ojo recibe. La abertura del iris se denomina
pupila y su tamaño puede oscilar entre 2 y 8 mm de diámetro.
• Cristalino. Es una lente convergente de carácter flexible que se sujeta en el globo ocular
mediante los denominados músculos ciliares. Estos músculos se pueden relajar y tensar a
30
Óptica geométrica
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voluntad para modificar la convergencia del cristalino, es decir, su distancia focal, proceso que
recibe el nombre de acomodación del ojo.
El índice de refracción del cristalino varía desde un valor de 1,41 en el centro hasta 1,39 en los
bordes.
• Humor vítreo. Este líquido tiene aspecto vidrioso y ocupa la mayor parte del globo ocular. Su
índice de refracción es de 1,34.
• Retina. Es la pantalla donde teóricamente tienen que formarse todas las imágenes de los
objetos externos.
Está formada esencialmente por dos tipos de células: los bastones, que tienen forma cilíndrica
y son extremadamente sensibles a la luz, aunque no pueden distinguir los colores; y por otro
lado los conos, con forma cónica y menos sensibles a la luz que los bastones, pero con
capacidad para distinguir los tres colores fundamentales, es decir, el rojo, el verde y el azul. La
mayor densidad de estas células se encuentra en la mácula y particularmente en la fóvea.
Desde la retina arranca el nervio óptico, que transmite toda la información óptica al cerebro,
donde recibe el procesado final.
Un ojo normal, en estado de relajación, se puede simplificar a efectos ópticos id entificándolo con un
dioptrio esférico convexo, cuyas distancias focales objeto e imagen valen respectivamente 15 mm y
20 mm, y cuyo radio de curvatura es de 5 mm (fig.). La retina se situaría entonces en el foco
imagen, donde deben converger todos los rayos que proceden del infinito. Cuando los objetos se
sitúan a una distancia menor de 13 m (punto remoto), es necesario acomodar el ojo para que la
imagen se forme en la retina, es decir, actuar sobre los músculos ciliares para aumentar la curvatura del cristalino. En un ojo normal de una persona adulta de treinta años el poder de acomodación
de estos músculos se extiende hasta los 25 cm (punto próximo), siendo imposible ver con claridad
objetos más cercanos
El ojo se puede simplificar y reducir a un dioptrio esférico con los
parámetros que se indican en la figura.
Un ojo normal debe acomodar entre los 13 m y los 25 cm, es decir, en ese
intervalo los músculos ciliares deben modificar continuamente la convergencia
del cristalino para que la imagen se forme en la retina.
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Defectos de acomodación
Presbicia. En realidad la distancia a la que se sitúa el punto próximo
varía mucho con la edad, desde los 7 cm para un niño de diez años
hasta incluso 2 m para una persona de sesenta años. Este
alejamiento paulatino del punto próximo se llama presbicia o vista
cansada y se debe a la incapacidad de los músculos ciliares para
curvar el cristalino.
Un présbita necesita que la imagen
producida por la lente correctora se
forme en su punto próximo y con
un tamaño mayor.
La presbicia se corrige con lentes convergentes. En efecto,
deseamos, por ejemplo, que colocando un objeto a 25 cm, la
imagen se forme a 50 cm, de manera que el présbita vea el
«objeto» en su punto próximo, es decir, a 50 cm (fig.). Aplicando la
1 1 1
fórmula
tendremos:
 
x' x f '
P
En los hipermétropes la imagen se forma detrás de la retina,
como consecuencia de un
acortamiento del eje horizontal
del ojo.
Los miopes tienen un eje ocular
horizontal más largo de lo normal, por lo que la imagen se
forma delante de la retina.
1
1 1
1
1
1
  

 0
f ' x ' x 50 25 50
lo que indica que la lente necesaria debe ser convergente. Por otro
y' x'
lado, teniendo en cuenta AL   , resulta que el aumento
y x
lateral es mayor que la unidad, que es lo deseable.
Hipermetropía. Se trata de un defecto del globo ocular, que
consiste en un acortamiento del eje horizontal, adquiriendo el
aspecto de una lenteja (fig. ). Como consecuencia, las imágenes de
los objetos situados en el infinito se forman naturalmente detrás de
la retina, por lo que el ojo debe acomodar incluso en esta situación.
Esto provoca que el punto próximo se sitúa mucho más lejos que lo
normal, como en el caso de la presbicia, y por tanto la corrección se
efectúa de manera idéntica.
Miopía. Es el defecto contrario a la hipermetropía, es decir, el eje del globo ocular es más largo
de lo normal (fig. ). Cuando los rayos vienen del infinito, las imágenes se forman delante de la
retina y el miope no consigue relajar los músculos ciliares todo lo necesario. Sin embargo, si el
objeto se acerca, llega un momento en el que la imagen P' se forma en la retina y entonces la
posición del objeto determina el punto remoto del miope.
La corrección de la miopía se
consigue con una lente que lleve
los puntos del infinito del espacio
objeto hasta el punto remoto del
miope (fig. ). La potencia de esta
lente valdrá, pues:
La miopía se corrige con una lente divergente que
acerca los puntos del infinito al punto próximo del
miope
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Instrumentos ópticos elementales
Lupa o microscopio simple
La lupa es una lente convergente, de pequeña distancia focal, que permite ver un objeto bajo un
ángulo a' mayor que el ángulo a con el que se vería a ojo desnudo
si se le colocara en el punto próximo (fig.).
Normalmente se coloca el objeto en el foco objeto, de manera que
los rayos salen paralelos y el ojo no tiene necesidad de efectuar
ninguna acomodación (fig.) En la zona paraxial tendremos, pues:
El tamaño angular de un
objeto a ojo desnudo es el
ángulo bajo el cual se ve el
objeto situado en el punto
próximo y sin ninguna lente
interpuesta.
con lo cual el aumento angular deseado será el siguiente:
donde se ha supuesto que la distancia focal imagen es más
pequeña que la distancia al punto próximo.
Con una lupa los objetos se
ven con mayor tamaño
angular que a ojo desnudo y
sin
necesidad
de
acomodación.
El microscopio compuesto
El
microscopio
es
un
instrumento óptico que sirve
para aumentar el ángulo bajo el
cual se ve un objeto muy
pequeño.
Consta
de
dos
lentes
convergentes
de
pequeña
distancia focal denominadas
objetivo y ocular. La primera, el
objetivo, es la que se sitúa frente
al objeto, mientras que el ocular
se coloca delante del ojo para
ver la imagen final (figura).
Esquema de un microscopio compuesto. Los objetos se ven invertidos, con mayor
tamaño angular que a ojo desnudo y sin necesidad de acomodar.
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Como se observa en la figura, se debe regular la posición relativa de ambas lentes para que la
imagen / que genera el objetivo se sitúe en el foco objeto F2 del ocular, de manera que esta segunda
lente funcione como una lupa y el ojo no necesite acomodar.
Calculemos el aumento que se obtiene con esta configuración. Teniendo en cuenta la semejanza de
los triángulos rayados se tiene lo siguiente:
I


y f ob
Con lo cual resulta
Y por tanto el aumento angular valdrá:
Este aumento es mayor que la unidad, incluso mucho mayor, cuando la distancia focal del ocular es
menor que la distancia del punto próximo y además A es mayor que la distancia focal del objetivo,
para lo cual es muy conveniente que ésta sea más pequeña que la del ocular. Resumiendo, deben
verificarse las siguientes relaciones:
fob < Δ;
foc < D,
fob < foc
El anteojo astronómico
Este instrumento óptico está diseñado para observar los astros, por lo que se supone que los objetos
se sitúan siempre en el infinito del espacio objeto. Está formado, al igual que el microscopio
compuesto, por dos lentes convergentes que también se llaman, por razones idénticas, objetivo y
ocular. Sin embargo, en este caso la distancia focal del objetivo ha de ser mayor que la distancia
focal del ocular.
La disposición relativa de las lentes debe ser tal que el foco imagen del objetivo coincida con el
foco objeto del ocular (fig. 48). De esta manera, el ojo puede ver a través del ocular y sin
acomodación (como si viniera del infinito) la imagen / del astro observado que genera el ob jetivo.
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El aumento del anteojo se define como en casos anteriores:
Aa 
'

aunque en esta ocasión a es el ángulo con el que se ve el objeto a ojo desnudo pero, como
es natural, situado en el infinito, no en el punto próximo. Tendremos, pues, de acuerdo con la
figura:
con lo cual el aumento se escribirá
Aa = fob / foc > 1
Conviene señalar que los grandes telescopios actuales (fig. 49)
difieren bastante de esta configuración. En particular, el objetivo es
un espejo en vez de una lente (fig. 50), pues presenta menos
dificultades técnicas para grandes tamaños, los cuales son
necesarios para asegurar una entrada de energía luminosa que
permita diferenciar con claridad («resolver») los distintos objetos
estelares observados.
Telescopio reflector
Los telescopios modernos usan grandes espejos que sustituyen al objetivo clásico
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El anteojo terrestre
Un anteojo astronómico no sirve para realizar observaciones terrestres, pues las imágenes se ven
invertidas, circunstancia ésta que no tiene importancia en el caso de las estrellas. En el anteojo
terrestre se corrige esta dificultad mediante un objetivo convergente y un ocular divergente cuya
distancia focal sea más pequeña que la del objetivo (foc <fob).
El esquema de disposición de las lentes es el de la figura siguiente, donde se observa que el foco
imagen F¡ del objetivo coincide con el foco objeto F2 del ocular, que se sitúa entonces a la izquierda
de este punto por ser una lente divergente. De esta manera el ojo no tiene que acomodar cuando los
objetos están muy lejanos, y al mismo tiempo la imagen final no está invertida.
De acuerdo con la figura tendremos, pues, para el aumento:
Los anteojos terrestres sitúan la imagen producida por el objetivo en el plano
focal objeto de una lente divergente. El resultado es que el ojo ve los objetos
derechos y sin necesidad de acomodar.
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Imagen
virtual
Dioptrio plano
objeto
C
A
Eje óptico
A’
Dioptrio esférico
Centro de curvatura
Imagen
virtual
objeto
Dioptrio plano
A
Eje óptico
A’
Dioptrio esférico
Centro de curvatura
Dioptrio plano
objeto
A’
Eje óptico
Imagen real
A
Dioptrio esférico
Centro de curvatura
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