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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL AVELLANEDA ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA AÑO 2009 – PARCIAL IA Tema 5 Apellido y nombres del alumno: ……………………………………………………………… Especialidad: ………………………………………………………………………………….. Apellido y nombres del docente: ………………………………………………………........... La condición suficiente para aprobar este parcial es resolver bien tres ejercicios completos. 1 2 3 4 5 Calificación IMPORTANTE: No presente este examen en lápiz. Es fundamental que entregue todos los desarrollos de los ejercicios para justificar sus respuestas. ........................................................................................................................................................... 1.a.- Compruebe que existe un vector de norma 2 perpendicular a los vectores v 2; 1; 0 y w 3; 2; 1 , y tal que forme con el eje de abscisas un ángulo obtuso. b.- Sean los vectores a 2; 3 y b 1; 5 , obtenga un vector c de la misma dirección pero de sentido opuesto al vector a y tal que su norma coincida con la norma del vector b 2.- Sean los vectores: v 1; x 2; 0 , w 1; x 2; 2 y u x 2; 0; 2 . Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Si son verdaderas, demuéstrelo, si fueran falsas, demuestre o brinde un contraejemplo. a.- Si x 0 el conjunto de vectores es linealmente dependiente. b.- Existen dos valores para x R tal que los vectores v y w formen un paralelogramo de área 4. 3.- Sea el haz de rectas: H x y 1 x y 3 0 . 3a.- Encuentre la ecuación de la recta que pertenece al haz cuya distancia al punto A 0; 0; 2 es 2 3b.- Halle la medida del menor ángulo, aproximando al grado más cercano entre la recta: x y 3 0 y la recta del haz que es perpendicular al eje de ordenadas. 4.- Sea la recta r : x; y; z 0;1; 0 k; 1;1 y el plano : x y 2 z h 0 4a.-Encuentre k R y h R para que la recta r esté incluida en el plano 4b.-Considerando k 0 , halle la ecuación de un plano que sea perpendicular al plano y que contenga a la recta r z 5 y el punto P0 a;a;a siendo a 0 . Sea r la recta que pasa por ax ay 7 5.- Sean la recta: r1 : el punto P0 y es paralela a la recta r1 a.- Explique cómo halla una ecuación de la recta r . Obtenga la ecuación de la recta r b.- Analice si la recta r es paralela al eje de cotas.