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Bachillerato
Departamento de Matemáticas
Propuestos de Geometría
Nombre y Apellidos:
Nº
Trigonometría de ángulos agudos.
1.- Expresa en radianes los ángulos 75º y 300º, y en grados los ángulos
3
5
y
Curso:
13
.
3
3
2.- Halla las razones de un ángulo  sabiendo que cos  .
5
3.- Halla las restantes razones trigonométricas de un ángulo agudo  cuya cotangente es 0,65.
Resolución de triángulos rectángulos
1.- Resuelve un triángulo rectángulo si el cateto b = 43 cm y el ángulo opuesto B = 35º.
2.- Resuelve un triángulo isósceles si el lado desigual mide 24 m y el ángulo opuesto 65º.
3.- Resuelve un triángulo rectángulo si la hipotenusa mide 17 m y uno de los catetos 15 m.
4.- A 10 m de la base de un árbol se observa la copa con un ángulo de elevación de 31º 30’. Halla su altura y el ángulo
de depresión con el que nos vería un pájaro situado en la copa.
Triángulo de ángulos generales
1.- Halla todas las razones de un ángulo  del segundo cuadrante si cos 
2.- Halla el seno y el coseno de los ángulos siguientes: 495º,
3.- Resuelve: a) cot2 x  30 º   cotx  60 º ; b)
1
.
5
5
y 960º.
3
1  tan 2 x
 sec x.
2 tan x
Razones de las operaciones con ángulos
1.- A partir de las razones de 30º y 45º calcula: a) sin 22º30’; b) sin 75º; c) tan 37º30’.
2.- Resuelve: a) sin x  cos2x  0; b) sin 2x  3 sin x.
3.- El seno de un ángulo  del cuarto cuadrante es -1/3. Calcula tan
4.- Calcula sin 2a

2
.
y cos 2a siendo  un ángulo del tercer cuadrante cuya cotangente es 2.
Resolución de triángulos generales
1.- Resuelve un triángulo ABC sabiendo que B = 30º; C = 50º y a = 40 m.
2.- Dos lados de un triángulo miden, respectivamente, 32 y 21 m y el ángulo que forman es de 61º. Halla los ñángulos
opuestos a los lados conocidos y el lado que se desconoce.
3.- Resuelve un triángulo ABS con los datos a = 25 m; b = 30 m y A = 50º.
4.- Halla los ángulos de un triángulo cuyos lados miden a = 5 m, b = 6 m y c = 3 m.
5.- Una finca triangular tiene dos lados de 70 y 100 m, formando ambos un ángulo de 30 º. Halla su perímetro y su área.
6.- Un poste de teléfono está inclinado 10º sobre la vertical y arroja una sombra de 8 m cuando el ángulo de elevación
del Sol es de 35º. Halla su longitud a.
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7.- La gran pirámide de Egipto es regular y de base cuadrada, y el ángulo de inclinación de las caras con respecto a la
base es de 52º. Desde una distancia de 100 m perpendicular al punto medio de un lado de la base, se ve la punta con un
ángulo de elevación de 34º. Calcula la altura de la pirámide.
Los vectores del plano
1.- ¿Cuáles de las siguientes magnitudes son vectoriales y cuales escalares?
a) Posición de un barco en el radar de un submarino.
b) Precio de una acción en bolsa;
c) Disposición de los carteles en el Camino de Santiago;
d) Hora del día;
e) Posición del minutero en un reloj de pulsera analógico.
2.- ¿Qué verifican los extremos de los vectores aplicados en un punto P y con un módulo r?
Operaciones con coordenadas
1.- Dados los puntos A(2,0), B(-1,3) y C(2,-1), halla las coordenadas de lso vectores: a) AB ; b) Con origen en C y
extremo en A; c) CB si se aplica en A; d) Opuesto de 2CA .
 1
2.- Si u  (3,1); v   0, 
 2


3

1

y w    2, ; halla: a) 3u  2v  4w; b)   u  v   2 v  w .
2

2

Producto Escalar
1.- Un submarino con rumbo norte se encuentra en (2,2) en el momento de esquivar un iceberg cuyos puntos extremos
son: al este (3,4) y al oeste (-1,7), ¿Hacia dónde debe virar para que el ángulo de giro sea el menor posible?


2.- ¿Es el triángulo de vértices A 2,0; B  3, 3 ;


y C  1, 3 equilátero?
Las rectas del plano
1.- Estudia si los puntos están alineados: a) A(2,1), B(-3,0), C(12,3); b) A(0,1), B(3,1), C(1,3).
2.- Si tres vértices consecutivos de un paralelogramo ABCD son A(-1,-5); B(2,-4) y C(3,-1): a) ¿Cuál es el cuarto
vértice?; b) ¿En qué punto se cortan las diagonales?
Problemas Métricos
1.- a) Plantea ecuaciones para el lugar geométrico de los puntos P a distancia AB de A(1,0) y de B(2,1); b) Hállalos.
2.- Halla las coordenadas del punto simétrico de A(1,1) respecto de la recta 2x+y=8.
3.- Se conocen los vértices A(1,3) y C(3,-1) y el baricentro G(1,2) de un triángulo ABC. Halla B.
4.- Dos exploradores parten del punto (3,0), a la misma velocidad constante, uno hacia el norte y el otro en la dirección
del vector (-1,1). Un tercer explorador sale al mismo tiempo del mismo punto, con velocidad constante, y quiere
mantenerse a la misma distancia de los otros dos en cada momento, y que esa distancia sea la mínima a sus trayectorias.
¿Cuál es la ecuación implícita de su trayectoria?.
5.- a) Calcula la distancia del origen a la rectas x+y=1 y –x+y=1; b) Halla los puntos A y B de dichas rectas para los que
la distancia es mínima; c) Halla el baricentro del triángulo OAB.
Coordenadas Polares. Complejos en forma polar.
1.- Si z1 = 230º, z2 = -i; z3 = 4300º, calcula: a) z1z2 z3 ; b)3  2i  z1; c)
1  i 4 .
z13
; d)
z2 z3
z3
2.- Un planeta (situado en el origen de coordenadas) tiene un satélite a 100 000 km que sigue una órbita circular sobre la
que recorre 30º cada mes. Si inicialmente la posición del satélite forma un ángulo de 90º con el eje real: a) Expresa su
posición cada mes como un número complejo en forma polar; b) ¿En qué punto cardinal se encontrará al cabo de año y
medio?; c) ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer tres veces su órbita completa?
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La circunferencia
1.- Halla la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (-3,1) que es tangente al eje de ordenadas.
2.- Halla la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (-3,4) sabiendo que pasa por el origen de coordenadas.
3.- Estudia si las ecuaciones corresponden a circunferencias y, en su caso, di cuál es el centro y el radio:
a) x2  y 2  10x  2 y  27  0; b)4x2  4 y 2  12 y  5  0; c) x2  y 2  10x  25  0.
4.- Halla la ecuación de las rectas tangentes a la circunferencia de centro el punto (1,2) y radio
intersección con la bisectriz del primer cuadrante y = x.
5 , en sus puntos de
5.- Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1,-4); (4,0) y (-1,0).
6.- Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1,-4) y (4,0) y que tiene su centro en la recta
r-4x+4y+11=0.
7.- Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (-2,0) y (0,4) y que es tangente a la recta x-y+4=0.
La elipse
1.- Halla la ecuación reducida y al excentricidad de una elipse con longitud del eje mayor 10 y distancia focal 6.
1  2 

2.- Una elipse centrada en el origen y con ejes en los ejes coordenados pasa por los puntos  ,

2 2 
Halla su ecuación y su excentricidad.
y
 1,0 .
3.- Halla la ecuación de una elipse con focos en (-8,2) y (4,2) y excentricidad 2/3.
4.- Un satélite describe una órbita elíptica alrededor de la Tierra, estando ésta situada en uno de sus focos, cuyo eje
mayor tiene 6500 km de longitud. Si la distancia más pequeña a la que se acerca a la Tierra es 500 km, clacula la
ecuación de la órbita.
5.- Halla la ecuación de la recta tangente a la elipse
x2 y2

 1 en el punto de abscisa 3 y ordenada negativa.
25 9
La hipérbola
1.- Halla los focos, vértices, excentricidad y asíntotas e la hipérbola 5x2-7y2=35.
2.- Dos estaciones distantes 8 km emiten sonidos con 1 segundo de diferencia. ¿Dónde se escucharán los sonidos a la
vez?
3.- Halla la ecuación de la hipérbola con focos en (0,3) y (0,-3) y vértices en (0,2) y (0,-2).
La parábola
1.- Halla la ecuación, el eje y el
a) F (0,3); r  y  5; b) F (2,1); r  x  2;
vértice
de
las
parábolas
cuyo
foco
y
directriz
2.- Halla la directriz, eje, vértice y foco de las parábolas: a) y 2  7 x; b) y  x 2  5x  1.
3.- Halla las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la parábola 2y2=3x+1 en el punto de ordenada y=1.
Autoevaluación de Geometría
Trigonometría de ángulos agudos
1.- Calcula las razones trigonométricas de un ángulo agudo cuya cotangente es 15/8.
2.- Simplifica al máximo la expresión cot 2   sec2   csc2  .
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son:
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Resolución de Triángulos rectángulos
1.- Un pentágono regular tiene 5 m de lado. Calcula su área.
2.- Resuelve un triángulo rectángulo si su hipotenusa mide 5 m y un ángulo agudo 35º.
Trigonometría de ángulos generales
1.- Calcula todas las razones trigonométricas de 600º.
2.- Resuelve la ecuación trigonométrica: cot 2 x  csc x  1 .
3.- Calcula las razones trigonométricas de un ángulo del cuarto cuadrante si su coseno vale 1/3.
Razones de las Operaciones con ángulos
1.- Resuelve la ecuación: sin 2 x cos x  6 sin 3 x .
2.- Calcula tan 2 siendo  un ángulo del segundo cuadrante cuyo seno vale 2/3.
3.- Calcula las razones trigonométricas de 75º a partir de las de 150º.
Resolución de Triángulos generales
1.- Resuelve un triángulo ABC siendo B = 43º, C = 22º y a = 8 m.
2.- Desde dos pueblos distante 5 km se observa un globo, que está sobre la lñinea recta que los une, con ángulos de
elevación de 20º y 35º, respectivamente. ¿A qué altura está el globo?
3.- Halla el área de una finca triangular cuyos lados miden 4, 6 y 7 metros.
Los vectores del Plano
1.- El viento sopla en dirección norte y se lanza un avión de papel en dirección este, ¿en qué dirección volará el avión?
Operaciones en coordenadas
 1 
1.- Si u  3,1 y v  1,  , halla: a)  u  2v  ; b) el módulo de 2u  3v ; c) los números a, b tales que
 3 
au  bv  0 .
2.- Halla un vector de módulo 1 con la misma dirección y sentido que u  (3,4) .
3.- Si sobre un cuerpo actúa la fuerza (-1,3) y se quiere mantener en reposo:
a) ¿Se puede conseguir ejerciendo una fuerza proporcional al vector (1,3)?
b) ¿Qué vector fuerza v lo conseguirá?
Producto Escalar
1.- Si A(2,1), B(1,0), C(3,0) y D(6,-1), calcula: AB·CD  AC·DB  AD·BC
2.- Halla el ángulo que forman los vectores u  (1,0)
y v  (2,2) . Calcula sus pendientes.
3.- a) ¿Qué verifica el producto escalar de dos vectores que forman un ángulo agudo?; b) ¿Y ángulo obtuso?
Las rectas del plano
1.- Halla ecuaciones vectorial e implícita de la recta perpendicular al vector (1,-1) que pasa por el origen.
2.- Expresa de todas las formas posibles la recta que pasa por (-1,3) y (3,1)
3.- ¿Cual es la posición relativa entre las rectas r  3x  9 y  10; s  ( x, y)  (0,1)  t (3,1); q 
Problemas métricos
1.- ¿Cuál es la distancia entre las rectas: x-2y=10; -3x+6y=15?
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x y 3
?

2 3/ 2
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2.- Calcula la ecuación vectorial de la mediatriz del segmento que une los puntos A(-1,3) y B(3,1) y los puntos que
forman un triángulo equilátero con A y B.
3.- Halla la bisectriz del ángulo C en el triángulo de vértices A(2,4); B(1,1) y C(0,3).
Coordenadas polares. Complejos en forma polar
1.- Calcula la forma binómica o polar, según proceda, de: a) 2150º; b) -2-2i; c)-3i; d)360º.


2.- Expresa en forma binómica: a) 3  i ; b)120º 220º 2 330º 3 440º 4 ; c)
5
245º 3
415º
.
La Circunferencia
1.- Halla la ecuación de una circunferencia sabiendo que el origen de coordenadas y el punto (-1,7) son los extremos de
un diámetro.
2.- Halla el centro y el radio de la circunferencia x 2  y 2  4x  2 y  1  0 .
3.- Halla la ecuación de la circunferencia qu epasa por los puntos (-1,0), (1,2) y (3,2)4.- halla la ecuación de la tangente a la circunferencia x2  y 2  6c  16  0 en los puntos de abscisa 6.
5.- Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1,0) y (0,-3) y tiene su centro en la recta y = 2x.
La elipse
1.- Halla la ecuación reducida y los parámetros significativos de una elipse de excentricidad 2/3 y focos en los puntos
(-5,0) y (5,0).
2.- Una elipse con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas pasa por el punto (3,1) y tiene
excentricidad ½. Halla su ecuación.
3.- Una elipse tiene los focos en los puntos (-1,0) y (3,0) y la longitud de su eje mayor es 8. Halla su ecuación, los
vértices y la excentricidad.
4.- Halla la ecuación de la recta tangente a la elipse 5x 2  9 y 2  45 en el punto de abscisa -2 y ordenada negativa.
La hipérbola
1.- Halla los vértices, focos y asíntotas de la hipérbola x 2  16 y 2  1 .
2.- Halla la ecuación y la excentricidad de la hipérbola con focos en los puntos (5,0) y (-5,0) y vértices en (3,0) y (-3,0).



3.- Halla la ecuación, la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola con focos en los puntos 0, 2 y 0, 2 y vértices
en los puntos (0,1) y (0,-1).
La Parábola
1.- Halla la ecuación, el eje y el vértice de la parábola de foco el punto (2,-1) y directriz x=-3.
2.- Halla la irectriz, el eje y el foco de la parábola x = y2 - 5y + 3.
3.- Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la parábola y2 = 5x + 3 en punto de ordenada y=-2.
Prueba TEST
1.- El coseno de un ángulo es un número:
a) Mayor que 1;
b) Entre -1 y 1;
2.- Dos ángulos suplementarios tienen igual:
a) Tangente;
b) Coseno;
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c) Real cualquiera
c) Seno
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3.- Si dos ángulos menores de 360º tienen la misma tangente:
a) Son complementarios;
b) Son suplementarios;
c) Difieren en 180º
4.- Los ángulos agudos ,  de un triángulo rectángulo verifican:
a) tan   tan  ;
b) sin   sin  ;
c) sec  csc
5.- Un cuerpo sobre el que actúan dos fuerzas distintas en la dirección del vector u puede
a) mantenerse en reposo.
b) desplazarse según u ;
c) Los apartados a) y b) son ciertos
6.- Si dos vectores son paralelos y tienen el mismo sentido, su producto escalar es:
a) cero;
b) uno;
c) El producto de sus módulos.
7.- Si Pepe y María se desplazan por dos rectas que se cortan en un punto P y en el sentido hacia P:
a) Se encuentran en P.
b) Pasarán ambos por P.
c) Nunca se encuentran.
8.- ¿Cuál es el lugar geométrico que forman los puntos que están a distancia dada de una recta?
a) dos puntos;
b) Dos rectas;
c) Un recta;
9.- Si la distancia entre dos rectas distintas es 0:
a) Son la misma;
b) Son paralelas;
c) No son paralelas;
10.- La tangente a la circunferencia en un punto y el radio en ese punto:
a) son perpendiculares;
b) Forman un ángulo /3;
c) Forman 45º;
11.- La ecuación x2 + y2 + Ax + By + C = 0 es la de una circunferencia si:
a) C < 0;
b) A > 0; B > 0.
c) A2 + B2 - 4C > 0
12.- La excentricidad de una elipse está más próxima a 1 cuanto más:
a) Cerca están los focos;
b) Achatada está;
c) Más redonda es.
13.- Un rayo que sale de un foco de una elipse y se refleja en ella pasa por:
a) el otro foco;
b) El centro;
c) Un vértice.
14.- Dos sonidos emitidos en puntos y en instantes distintos se oyen simultáneamente en puntos de:
a) una hipérbola;
b) Una parábola;
c) Una elipse.
Auto-Evaluación 1
1.- Simplifica al máximo la expresión
1
1
.

1  sin x 1  sin x
2.- Halla las razones de un ángulo  del tercer cuadrante cuya tangente es 3.
3.- Calcula cos    sabiendo que  está en el primer cuadrante con tan  
con sin  
1
.
3
1
y  es un ángulo del cuarto cuadrante
5
4.- Resuelve un triángulo rectángulo del que se sabe que un cateto mide 5 m y su ñangulo agudo adyacente, 34º.
5.- Cuando el ángulo de elevación del Sol es de 33º, un poste arroja una sombra de 4 m. ¿Qué altura tiene el poste?
6.- Resuelve un triángulo sabiendo que dos de sus lados miden a = 8 m y b = 9 m y que el ángulo opuesto alprimero de
ellos es A = 20º.
7.- Desde un acantilado, a 50 m de altura sobre el nivel del mar, se observa con un ángulo de depresión de 25º una
lancha que se acerca en dirección a nosotros. ¿Qué distante ha recorrido la lancha desde ese instante hasta que se ve con
un ángulo de depresión de 50º?
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8.- Un veterinario y su ayudante tiran cada uno de dos cuerdas que han atado a las piernas de un ternero en el vientre de
su madre para ayudarle a nacer. Si quieren conseguir la mayor fuerza posible en dirección sur y tirar los dos con la
misma intensidad, ¿En qué dirección tirará cada uno?
9.- ¿Son u  (1,1)
y v
 3,1 paralelos? ¿son perpendiculares? Halla el ángulo que forman.
10.- a) Halla todas las formas de expresar la recta r que para por (1,2) y es perpendicular al vector; b) Halla una recta
paralela a r que pase por el punto (7,1); c) Halla una recta perpendicular a r que pase por el punto (-2,-3).
11.- a) Calcula la distancia del punto (3,1) a la recta r que para por (1,-4) con vector directos (-1,-1); b) Halla el punto
de r más cercano al punto (3,1).
12.- Dos corredores salen del punto (1,1) siguiendo, a la misma velocidad, trayectorias rectilíneas en las direcciones y
sentidos determinados por los vectores (3,1) y (1,3). Halla la ecuación de la trayectoria que sigue un tercer corredor si se
halla siempre a la misma distancia de los dos primeros y marcha a la misma velocidad que ellos.
13.- De un triángulo ABC se conocen dos vértices A(1,-2) y B(0,1), y el ortocentro H(3,0). Halla el tercer vértice y el
área del triángulo.
14.- Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1,0), (-3,1) y (0,-2).
15.- Halla la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2 + y2 - 2x – 1 = 0 en el punto de abscisa 2 y ordenada
positiva.
16.- Halla la ecuación reducida y la excentricidad de una elipse con longitud de eje menor 5 y distancia focal 8.
17.- Halla la ecuación de una hipérbola con focos en los puntos (5,0) y (-5,0) y un vértice en el punto (-2,0).
18.- Halla el vértice, el foco, el eje y la directriz de la parábola y2 – 5y + 3 = x.
Auto-Evaluación 1
1.- Simplifica la expresión
1  cot 2 x
.
1  tan 2 x
2.- Resuelve un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 6 m y un ángulo agudo 25º.
3.- Halla las razones de un ángulo  del segundo cuadrante cuya secante es -3.
4.- Resuelve la ecuación cot(120 º  x)  cot(2 x  75º ) .
5.- Calcula sin 2 si  es un ángulo del segundo cuadrante con tan   3 / 2 .
6.- El ángulo que forman los lados iguales de un triángulo isósceles es de 35º y cada uno de estos mide 10 m. Calcula el
área del triángulo.
7.- Halla los ángulos de un triángulo cuyos lados miden 9, 11 y 13 m.
8.- Dos puntos A y B de la orilla de un lago son observados dese otro punto C que dista 90 y 110 m de cada uno de
ellos. Las visuales desde C a dichos puntos forman un ángulo de 63º. Halla la distancia entre A y B.
9.- Si u  (2,1) , calcula: a) El extremo de u si se aplica en el punto A(-1,5); b) el origen P del vector PQ = u si Q(7,1);
c) El módulo de 3u; d) Un vector de módulo 1 en la dirección y sentido de u y otro en el sentido opuesto; e) tres
vectores perpendiculares a u; f) el producto escalar de u por un vector de módulo 1 que forma un ángulo de 30º con el.
10.- ¿Cuántas rectas pertenecen simultáneamente a los haces de rectas r  y  3  m( x  5); s  2 x  3 y  k ?
Determínelas. Halla su distancia al origen.
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11.- a) Halla la mediatriz del segmento que une los puntos A(3,0) y B(0,3); b) Determina los dos puntos sobre la
mediatriz tales que al unirlos con A y B determinan un cuadrado.
12.- Halla las longitudes de los lados del triángulo de vértices A(8,2), B(3,1) y C(-1,-1), la longitud de la altura
correspondiente al vértice A y el área del triángulo.
13.- Halla el punto P’ simétrico de P(3,5) respecto de la recta (x,y) = (0,4) + t(-2,1).


4
14.- Calcula y expresa en forma binómica: a)i 7  230º ; b) 3120º ; c)
130º
2330º 
2

; d )3i 3 210º
.
2
15.- Halla la ecuación de una circunferencia que pasa por los puntos (-1,0) y (4,3) y tiene su centro en la recta x+y+1=0.
16.- Halla la ecuación de una circunferencia que pasa por los puntos (1,0) y (0,-3) y es tangente a la recta 3x – y = 8.
17.- Halla la ecuación reducida de una elipse de excentricidad ½ y longitud de eje menor igual a 8.
18.- Halla la ecuación de la recta tangente a la elipse 8x2 + 9y2 = 72 en el punto de abscisa 1 y ordenada positiva.
19.- Halla la ecuación de una hipérbola con focos en los puntos (0,1) y (0,-1) y excentricidad 3/2.
20.- Halla la ecuación de una parábola de foco el punto (3,-5) y directriz la recta x = -1.
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