Download Colección de problemas de álgebra para la capacitación intensiva
Document related concepts
Transcript
GEOMETRÍA Halle el perímetro de la figura. Un cuadrado tiene un área de 144 cm2. Si el cuadrado se parte en seis rectángulos iguales, ¿cuál es el perímetro de cada uno de estos seis rectángulos? Calcular el perímetro de la región sombreada. Calcular el área del cuadrilátero, si se sabe que el cuadrito sombreado mide 5 cm2. El cuadrado ABCD y el rectángulo AEFG tienen cada uno un área de 36m2. Si E es el punto medio de AB, ¿cuál es el perímetro de AEFG? La figura que se muestra se ha construido con cuadrados iguales. Si el área de la figura es 52 cm2, ¿cuánto mide su perímetro? Un cuadrado tiene 100m2 de área. Si se disminuye cada lado del cuadrado en un 10%, ¿en qué porcentaje disminuye el área? Un cuadrado se divide en tres rectángulos congruentes. Si el perímetro de uno de los tres rectángulos es 16 m, ¿cuál es el perímetro del cuadrado? Se tiene una hoja de papel de forma cuadrada. Si se corta por la mitad formando dos rectángulos iguales, el perímetro de cada uno de ellos es 18 cm. ¿Cuál es el perímetro de la hoja original? Sea ABC un triángulo equilátero y P, Q y R los puntos medios de AB, BC y CA respectivamente. Sean los vértices del triángulo los centros de los arcos PR, PQ y QR. Si un lado del triángulo mide 6 ¿Cuál es el perímetro de la región PQR? Calcula el área de la región del problema anterior. Sea el triángulo equilátero CDE ( CDE), el cuadrado ABCD comparte con el triángulo el lado CD y el cuadrado DEFG comparte el DE. Encuentra el valor del ángulo ADG (ADG) Sea el triángulo ABC, tal que, AC = BC; prolongamos el lado BC y trazamos por C una paralela al lado AB. Si el ACB = 50, encuentra el valor del ángulo que se forma con la paralela y la prolongación del lado BC. Sean en el triángulo ABC, AY y BX las alturas por A y B respectivamente y T la intersección de dichas alturas. Si el ángulo ABC mide 50° y el ángulo BAC mide 60°, ¿cuánto mide el ángulo BTY? Sea el triángulo escaleno ABC, sea S un punto en el lado AB tal que SC = SB. SBC = 55 y SCA = 20. Encuentra el valor del BAC. En un cuadrado ABCD de lado 1, E es punto medio de la diagonal BD y F punto medio de ED. ¿Cuál es el área del triángulo CFD? Construye un semicírculo con diámetro AB, selecciona un punto D en el diámetro. Construye los semicírculos con diámetros AD y DB, de tal manera que éstos estén insertados en el primer semicírculo. La región delimitada por los tres semicírculos es llamada: Cuchillo del zapatero. Comprueba que su área es igual al área del círculo que tiene como diámetro el segmento perpendicular a AB que parte de D y termina en el otro punto de intersección con el semicírculo. Cada lado del cuadrado ABCD mide 1m. Construye el cuadrado de lado sobre e igual a la diagonal AC y llama K y P a los otros dos vértices del nuevo cuadrado. ¿Cuál es el área del cuadrado AKPC? La figura que se muestra es un cuadrado de 1m. de lado. Si el punto M se encuentra a la mitad del lado AD, ¿cuál es el área de la región sombreada? Se tiene un cubo de 2cm. de arista del cual hemos sacado un cilindro de 2 cm. de diámetro y 2 cm. de altura. ¿Cuál es el volumen de la parte sobrante del cubo? La figura es un rectángulo de 3m x 4m. Se corta la diagonal AC en 3 pedazos iguales por los puntos E y F. ¿Cuál es el área del triángulo BEC? Dibujar la siguiente figura a escala 2:3 y 5:2. Las siguientes figuras son simétricas con respecto a un eje n, que no aparece en el dibujo. Encuentra la posición de dicho eje y trázalo. En forma individual, realiza la traslación de la figura trazada a continuación; para ello, considera la directriz d. En forma individual, aplica la simetría central a la siguiente figura: Dadas dos de sus diagonales, construye el rombo. Dado el lado, construye el cuadrado. Construye un polígono regular de 9 lados Trazar los ejes de simetría de las siguientes figuras: Trazar los simétricos de las siguientes figuras: Trazar el incentro y el circuncentro de los siguientes triángulos. Hallar el área del rectángulo ABCD en la siguiente figura Un parque rectangular de 14m x 21m tiene un borde de concreto de 3 m. de ancho. ¿Qué área tiene el borde? La figura que se muestra tiene 4 unidades de alto y el área que encierra es de 10 unidades cuadradas. Si se construye una figura semejante que tenga 12 unidades de alto, ¿cuántas unidades cuadradas encerraría? A un terreno cuadrado se le quitó una franja de 3 m de ancho en su costado oriental y una franja de 4 m de ancho en su costado norte, con lo cual su superficie quedó reducida a la mitad. ¿De qué tamaño era el terreno? La figura representa un cuadrado de lado 4, en el que dos de sus lados se han dividido en cuatro partes iguales por los puntos A, B, C y D, E, F, respectivamente. Hallar el área de la figura sombreada. o ARITMÉTICA, CONTEO, PROBABILIDAD Un total de 350kg. De queso es empacado en varias cajas, cada una de las cuales contiene 1 ¾ kg. de queso. Cada caja es sellada y el sello cuesta $1.75. ¿Cuál es el precio total de los sellos que se deben utilizar para colocarlos en cada una de las cajas de queso? Los integrantes del equipo de básquetbol de una comunidad han acordado adquirir sus uniformes (short y playera) para participar en el torneo regional. Al acudir a una tienda de artículos deportivos, reciben la información de que al comprar 10 uniformes o más hay un descuento del 12 por ciento. Cada uniforme cuesta $45.00. ¿Cuánto cuestan diez uniformes con el descuento del 12 por ciento? La suma de los primeros 25 números naturales es 325, es decir: 1 + 2 + 3 + … +25 = 325 ¿Cuál es la suma de los siguientes 25 números naturales: 26 + 27 + … + 50 = ? El 70% de la población de un país habla un idioma X y el 60% de la misma población habla un idioma Y. ¿Qué porcentaje de la población habla los dos idiomas, si cada habitante habla por lo menos uno? Dos engranes A y B fijos en su centro, con 630 y 180 dientes respectivamente, funcionan acoplados. ¿Cuál es el menos número de vueltas completas que debe dar B para que A dé también un número entero de vueltas? Se sabe que el peso de un hombre en la luna corresponde a una sexta parte de su peso en la Tierra. Un astronauta y su equipaje pesan en la luna 20kg. Si el equipaje pesa en la Tierra 40kg, ¿cuál es el peso del astronauta en la Tierra? Se tienen dos cajas de canicas; una contiene canicas blancas y la otra de color verde. Si por cada dos canicas blancas hay tres verdes, y en total son 100 canicas, ¿Cuántas canicas blancas hay? Mi edad es un múltiplo de 7. El año entrante será un múltiplo de 5. Tengo más de 20 años y menos de 80. ¿Cuál será mi edad dentro de seis años? ¿Cuántos mosaicos cuadrados de 2/5 m por lado se necesitan para cubrir una superficie de 1 1/5 m de ancho y 8 2/5 m de largo? La rueda delantera de una bicicleta tiene una circunferencia de 3 m. y la rueda trasera tiene una circunferencia de 4m. Al recorrer 5280m, ¿cuántas vueltas más da la rueda delantera que la trasera? Hallar dos números que estén entre 1/3 y ½ tales que cuando los cuatro números son ordenados por tamaño, la diferencia entre dos cualesquiera de ellos que sean vecino es la misma. Un pastel se corta quitando cada vez la tercera parte del pastel que hay en el momento de cortar. ¿Qué fracción del pastel original quedó después de cortar tres veces? Un contenedor de 5 litros se llena con jugo de naranja. Se le quitan 2 litros de jugo y se llena nuevamente con agua. Se mezcla muy bien y nuevamente se quitan 2 litros de mezcla y se vuelve a llenar con agua. ¿Qué porcentaje de jugo hay en la mezcla final? Se suma el mismo número entero tanto al numerador como al denominador de la fracción 2/5. La nueva fracción tiene un valor de 2/3. ¿Qué número fue sumado tanto al numerador como al denominador de 2/5? Calcula lo siguiente 3/8 + ¼ + 1/5 = 5/7 - 1/3 = ¾ X ½ = 4/5 : 1/3 = Un electricista hizo una extensión a una instalación de luz y dispuso de dos cables, uno de 10.30 m y otro de 3 ¾ de m, ¿cuál es la longitud total de esa extensión? Una camioneta repartidora de material didáctico debe realizar en dos días un recorrido de 48.5 km. Si el primer día recorrió 27 4/10 km, ¿cuánto debe recorrer el segundo día? Se tienen 4.5 m. de listón y se dividirán en trozos de o.25 m. ¿Cuántos trozos saldrán? Un boticario tiene dos recipientes que contienen 19 3/8 l. de aceite de almendras cada uno y debe distribuirlo en envases de 0.4 l. ¿Cuántos envases puede llenar exactamente y qué cantidad de aceite le sobra? Un marchista recorre 6 ½ km el lunes, 8 5/7 km. el martes, 10 km. el miércoles y 3/7 km el jueves. ¿cuánto ha recorrido en los cuatro días? Tenía $350.00 de los cuales perdí 2/5 partes y presté 2/7, ¿qué cantidad me queda? Una escuela tiene una población estudiantil de 175 alumnos, de los cuales 7/25 son mujeres, ¿cuántos hombres hay? ¿Cuál es el número cuyo cuadrado equivale a los ¾ de 12? La base cuadrada de una pirámide mide 2 704 m2, ¿cuánto mide cada lado de la base? Un reloj de pulso no digital se atrasa un minuto cada hora. Si en este momento muestra la hora correcta, ¿al cabo de cuánto tiempo volverá a mostrar la hora correcta? Una imprenta tiene los números de las páginas de un libro desde la 1 hasta la 150. Si la impresora usa una pieza para cada dígito de cada número, ¿cuántas piezas tiene que usar la impresora? Un bloque formado por 16 cubos de 1 cm2 tiene 4cm. De largo, 4cm de ancho y 1cm. De alto. Se pintan las seis caras del bloque y luego se separan los 16 cubos. ¿Cuántos de los cubos tienen pintadas un número par de caras? ¿Qué día de la semana será el día número 365 a partir de hoy si se sabe que hace dos días fue domingo? Si multiplico un número por 4, al resultado le sumo 8 y divido este nuevo resultado entre 3, obtengo 28. ¿Cuál es el número inicial? Se escriben los números del 1 a 999 en forma consecutiva, así: 1234567891011…998999 ¿Cuántas cifras se escribieron? ¿Cuántos ceros y cuántos ochos se escribieron? ¿Qué cifra ocupa el puesto 540 en la serie de números escritos? En la siguiente sucesión de números, cada número tiene un uno más que el anterior: 1, 11, 111, 1111, … ¿Cuál es la cifra de las decenas de la suma de los primeros 30 números de la sucesión? De la suma de los primeros 80 enteros positivos pares se resta la suma de los primeros 80 enteros positivos impares. ¿Cuál es el resultado final? ¿Cuántos múltiplos de 3 hay entre 10 y 226? Una imprenta tiene los números de las páginas de un libro desde la 1 hasta la 150. Si la impresora usa una pieza para cada dígito de cada número, ¿cuántas piezas tiene que usar la impresora? Se elige al azar un número entre 100 y 999 (incluidos éstos dos) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los dígitos del número sean impares? Si se escoge al azar un número entre 2 y 100 ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea primo? (Un número primo es aquél que sólo es divisible entre sí mismo y entre el 1) Una cafetería sirve un lunch especial, que consiste en sopa o ensalada, un sándwich, café o té y un postre. La carta incluye 3 sopas, 2 ensaladas, 7 sándwiches y 8 postres, uno de los cuales es helado de chocolate. ¿Cuál es la probabilidad de que un lunch elegido al azar incluya helado de chocolate? En una fila de 100 personas, Alejandra ocupa el lugar 37 y Néstor el 67. Si se elige al azar una persona de la fila, ¿cuál es la probabilidad de que esté entre Alejandra y Néstor? En una jarra hay 5 canicas, cada una de un color distinto: rojo, blanco, azul, verde y amarillo. Si se sacan 4 canicas, ¿cuál es la probabilidad de que entre ellas esté la amarilla? Una jarra contiene 20 canicas: 4 rojas, 6 blancas y 10 azules. Si sacas una canica por vez, al azar, ¿cuál es el mínimo número de canicas que debes sacar para estar seguro de que tienes al menos dos de cada color? Hay 27 estudiantes en un salón. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos tres de ellos cumplan años el mismo mes? En la selva, la hiena miente los lunes, martes y miércoles; la zorra miente los jueves, viernes y sábados. En los días que no mienten, dicen la verdad. Un día se encontraron la hiena y la zorra y sostuvieron este diálogo: Hiena: ¡Hola zorra! Ayer yo mentí, Zorra: ¡Hola hiena! Yo también mentí ayer. ¿En qué día sucedió este encuentro? ALGEBRA Una granjera lleva al mercado cierto número de huevos, que piensa vender a 10 centavos cada uno; rompe 6, pero vende los otros a 15 centavos cada uno y regresa a su casa con 1 peso de más de lo que pensaba obtener. ¿Cuántos huevos tenía al principio? En la compra de tres cuadernos y seis lápices se pagaron $21.00; después se compraron cinco cuadernos y tres lápices iguales que los primeros y se pagaron $28.00. ¿Cuál es el precio de cada cuaderno y de cada lápiz? Martín lleva en su cartera entre billetes de $50.00 y de $100.00, un total de $350.00 Si tiene cinco billetes en total, ¿cuántos de $50.00 y cuántos de $100.00 tendrá? Carlos acuerda con Memo que realizará 10 tiros a la canasta, por cada uno que acierte recibirá $10.00 y pagará $15.00 por cada tiro fallido. Si al término de los lanzamientos Carlos recibe $25.00, ¿cuántos tiros buenos realizó y cuántos fueron fallidos? Jacinto tiene 3 canicas más que Martín; pero si Martín tuviera dos veces más canicas, tendría 5 más que Jacinto, ¿cuántas canicas tiene cada uno? Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: “De qué te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si te doy un saco, tu carga igualaría a la mía”. Decidme, doctos matemáticos, ¿cuántos sacos llevaba el caballo, y cuántos el mulo? Un voceador vende dos tipos de revistas, una cuesta 25 pesos y otro 40 pesos. Si un día vende 100 revistas y obtiene 2800 pesos, ¿cuántas revistas vendió de cada una? En la compra de tres cuadernos y seis lápices se pagaron $21.00; después se compraron cinco cuadernos y tres lápices iguales que los primeros y se pagaron $28.00. ¿Cuál es el precio de cada cuaderno y de cada lápiz? Martín lleva en su cartera entre billetes de $50.00 y de $100.00, un total de $350.00 Si tiene cinco billetes en total, ¿cuántos de $50.00 y cuántos de $100.00 tendrá? Calcula lo siguiente: (3x2 + 3x – 5) + (7x + x2) + (8 – 4x + 6x2) = Hallar la diferencia entre los perímetros de las siguientes figuras: a–1 a–1 a + b De x3 + 8x2y + 7y3 restar el polinomio que resulte de sumar: o x3 + 8x2y – 3xy2 con –6x2y + 2xy2 – 4y3 Calcula lo siguiente: a3 + 7a2 + 7a - 7 a+5 Un terreno rectangular tiene un área de 476 m2 y un fondo de 28 m; ¿cuánto mide de frente? Juan tiene necesidad de adquirir tres paquetes de hojas y un libro de poesías para sus trabajos escolares. Pagó en la papelería $58.00 en total. El costo del libro es de $31.00; cuánto pagó por cada paquete de hojas? Sandra y Josefina recibieron una gratificación al terminar su trabajo. A Sandra le entregaron 6 vales y $10.00 y Josefina recibió 4 vales y $50.00. Si los vales son de la misma denominación y las dos recibieron igual pago, ¿de qué cantidad son los vales? ¿cuánto recibió cada una? Entre Javier y Alex tienen $100.00. Si Javier gasta $40.00, el doble de lo que le queda equivale al triple de lo que tiene Alex. ¿Cuánto tiene cada uno? Resuelve y comprueba la ecuación siguiente: (x + 2) (x + 2) = (x + 3) (x + 4) El número de días que trabajó Juan es cuatro veces el número de días que ha trabajado Carlos. Sin Juan hubiera trabajado 9 días menos y Carlos 15 días más, los dos habrían trabajado igual número de días. ¿Cuántos días trabajó cada uno? Encuentra tres números enteros impares consecutivos cuya suma sea 45 El precio de 3 kilogramos de carne y un litro de aceite es $68.00; el litro de aceite cuesta $3.50; ¿Cuánto cuesta cada kilogramo de carne? Margarita compra dos cuadernos y paga con un billete de $10.00; le dan de cambio $3.40. ¿Cuánto costó cada cuaderno? La edad de Toño más 45 años es igual al triple de su edad más 5; ¿cuál es la edad de Toño? La suma de tres números es 90. Si el segundo es 5 unidades mayor que el primero, y el tercero ocho unidades mayor que el segundo, ¿cuáles son esos tres números? Un kilogramo de huevos y 2 kg de azúcar cuestan en total $8.00. ¿Cuánto podría costar el kg. de huevos y cuánto el de azúcar? El triple de un número menos el doble de otro es 58; ¿cuáles podrían ser esos números? Una persona que compra tres ramos de rosas y cuatro de claveles al reunirlas cuenta 280 flores en total. ¿Cuántos claveles y cuántas rosas podría tener cada ramo? (Señala cuatro respuestas) Andrea compra en la papelería cinco cuadernos y dos lápices y paga $29.00. Julio compra un cuaderno y cuatro lápices del mismo precio y paga $13.00. Al salir comentan sobre sus adquisiciones y se preguntan cuál será el costo de cada cuaderno y de cada lápiz. Hallar dos números cuya suma sea 22 y su diferencia 8. En la compra de dos productos se pagan $8.00. ¿cuál será el precio de cada uno si la diferencia entre ambos es de $4.00? El triple de un número más el séxtuplo de otro es igual a 3, y la diferencia del doble del primero con el segundo es igual a ¼. Encuentra esos números.. A José y a Lupe su tío les heredó un terreno rectangular dividido de la siguiente forma: para José hay un área de 25x2 y para Lupe una de 15x2. Si el terreno tiene de ancho 5x, ¿cuál será el largo total del terreno? Obtén el área de las siguientes figuras geométricas: un cuadrado de lado 2a un rectángulo con base 2x + 3 y altura ¼ x un triángulo con base 3x + 1 y altura 2x – 5 Se tiene un terreno cuadrangular de 225 m2 de área y se desea bardear con malla. ¿Cuántos metros de malla serán necesarios para bardearlo? Se desea colocar plantas en un terreno circular que mide de área 28.26 m 2. Las plantas estarán distribuidas en cuatro de los diámetros del círculo a una distancia de 50 cm. cada una. ¿Cuántas plantas serán necesarias? Un ladrón se apoderó de una bicicleta y huyó por carretera a velocidad de 20 km por hora; se advierte el robo 3 minutos después de la salida del ladrón y un ciclista se lanza en su persecución a una velocidad de 22 km por hora. ¿Al cabo de cuánto tiempo lo alcanza? Un ciclista avanza a una velocidad de 25 km por hora en terreno plano; 15 km por hora en subida y de 30 km por hora en bajada. ¿Cuánto recorrió en plano, en subida y en descenso, en una carretera de 100 km, sabiendo que empleó 4 horas con 24 minutos en la ida y 4 horas con 36 minutos en el regreso? Un rectángulo tiene dos lados que miden 4 m y 7m respectivamente. ¿Cuánto debemos aumentar a uno de los dos lados para que, disminuyendo al mismo tiempo el otro lado la misma longitud, la superficie sea de 24 metros cuadrados? Un campo tiene la forma de un cuadrado; se pregunta cuánto mide un lado de este cuadrado, sabiendo que si se agregan 2m a uno de los lados y que se disminuyen 10m al otro, se obtiene un rectángulo cuya superficie es de 88 áreas. Un informe tiene que ser mecanografiado con urgencia y sólo hay 2 secretarias para hacerlo. Una de ellas lo haría sola en 2 horas, ésta trabaja 1.5 veces más rápido que la otra, ¿cómo tendremos que dividir el informe entre ellas para que esté listo lo más rápido posible? Verónica tenía algunos libros en su cuarto que decidió regalar a sus amigos. A Juan le dio la mitad de los libros más la mitad de un libro; a Pablo le dio la mitad de los libros que le quedaban más la mitad de un libro y a Andrés le regaló el único libro que le quedaba, ¿cuántos libros regaló Verónica? Pedro lee en promedio 30 páginas por hora. Mientras que María lee un promedio de 40 páginas por hora. Si Pedro empieza a leer una novela a las 4:30 pm y María empieza la misma novela a las 5:20 pm, a qué hora van a estar leyendo la misma página? Un análisis demostró que 40 litros de una solución tenía desinfectante al 20%. Si se necesita una solución al 40%, ¿cuántos litros de una solución al 60% se tendrá que agregar? En un pueblo, dos terceras partes de los hombres están casados con dos quintas partes de las mujeres. ¿Qué fracción de la gente del pueblo es casada? Dos árboles de 20m y 30m de altura tienen unas cuerdas colgando desde lo más alto de cada árbol hasta la parte más baja del árbol contrario. Si los árboles están separados por 40m, ¿a qué altura de la tierra las cuerdas se cortan? Una obra vende boletos de preventa en $40 y a $50 el día del espectáculo. Un total de 480 personas entraron a la obra y se obtuvieron $21 000. ¿Cuántas personas compraron boleto de preventa y cuántas el día del espectáculo? Para crear tinta naranja se necesita mezclar 3 partes de tinta roja con 2 partes de tinta amarilla. Para hacer tinta verde se necesitan mezclar 2 partes de tinta azul con 1 parte de tinta amarilla. Si la misma cantidad de tinta verde y naranja es mezclada, cuál es la proporción de tinta amarilla en la nueva mezcla. TEOREMA DE LOS SENOS Sea ABC un triángulo y a, b, c los lados opuestos a los vértices A, B y C respectivamente. Entonces: (a / sen A) = (b / sen B) = (c / sen C) = 2R Veamos la demostración del teorema en el caso en que el centro del círculo que circunscribe a ABC queda dentro del triángulo: Sea el ∆ABC inscrito en una circunferencia de centro O y radio R, CJ diámetro y BJ cuerda. <CBJ es recto, por tanto: sen J = a/CJ = a/2R <J = <A, por tanto: (a / sen A) = 2R Con construcciones similares tenemos que: (b / sen B) = 2R (c / sen C) = 2R Se concluye entonces que: (a / sen A) = (b / sen B) = (c / sen C) = 2R 1) Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. Sea el triángulo rectángulo ABC, con ángulo recto en C, traza la altura sobre el lado AB. Llama D al pie de esta altura. Los triángulos ADC y CDB son semejantes, lo mismo ocurre con los triángulos BCA y CDA. Como los triángulos CDB y ABC son semejantes, obtenemos: CB/AB = DB/CB, de donde (CB)2 = (AB)(DB). Como los triángulos BCA y CDA son semejantes, tenemos que CA/AD=AB/CA, de donde (CA) 2 =(AB)( AD). Al sumar, tenemos que: (CB)2 + (CA) 2 = (AB)(DB) + (AB)(AD) De esta igualdad, al factorizar y sustituir, se obtiene que: (CB)2 + (CA) 2 = (AB)2 2) Determina la altura del árbol que se muestra en la figura de dos maneras distintas. Construct a regular pentagon. This is a difficult and beautiful problem, for which several solutions are available. The following solution is quite straight- forward and starts with an analysis of a regular decagon. Then, when that has been constructed, we can easily get the pentagon by joining alternate vertices of the decagon. Suppose such a regular decagon has been inscribed in a unit circle (radius = 1) and that we have drawn radii OA, OB to the ends of one side AB. Then, in this isosceles ΔAOB we have OA = OB = 1, and ‹AOB = 36º (Why?). Then each base angle will have measure 72º and AC, the bisector of ‹BAO, will form two isosceles triangles, ∆AOC and ∆BAC. (Show why). Thus, BA = AC = CO = X and CB = 1- X. But, since ∆AOB ~ ∆BAC (Why?), we have the proportion 1/X = X/(1 – X), which leads to the equation X² + X – 1 = 0. This equation has two roots, one of which has geometric significance: X = ½(√5 – 1), since it is the length of a segment that we can construct, as follows. At any point A of a line, erect a perpendicular of legth 1 = OA, and construct the unit circle (O,1) tangent to that line at A. On the line, make AP = 2 and then draw OP. Then OP = √5 and PQ = √5 – 1. Finally, the perpendicular bisector of PQ gives us QR = ½ (√5 - 1) = X, and we can now lay off on the circle: X = QR = AB = BC = ... = IJ. Of course, the regular pentagon is found by joining alternate vertices A, C, E, G, I.