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Computación para ingenieros Ing. Jaime Alfonso Reyes Cortés Serie 5. Diseño de programas En las secciones siguientes se presentan una serie de problemas para los cuáles el alumno tendrá que leer cuidadosamente cada uno de ellos; después diseñará sus correspondientes algoritmos, en pseudocódigo y en diagrama de flujo, y deberá realizar, también, las correspondientes pruebas de escritorio. Nota importante: En los casos que se requiera revise la correspondiente teoría matemática. Algoritmos con estructura secuencial 1. Truco matemático. He aquí un truco matemático para planteárselo a un amigo. Dígale: Piense en un número (entero). Súmele 3. Multiplique el resultado por 2. Al resultado réstele 4. Divídalo entre 2. f. Réstele el número que pensó. Sea cual sea el número en que se piense, al seguir correctamente las instrucciones el resultado final siempre es igual 1. Este truco puede explicarse por medio del simbolismo algebraico o mediante figuras, como a continuaci6n se expone en la figura 1. a. b. c. d. e. Figura 1 Diseñar un algoritmo que simule que la computadora juegue con el usuario, mostrando en pantalla solamente los pasos que debe hacer el usuario. 2. Distancia entre dos puntos. Diseñar un algoritmo que calcule la distancia entre dos puntos. Considere que se le deben pedir al usuario los puntos y . Use la distancia euclidiana y muestre en pantalla el resultado. 3. Conversión de coordenadas polares a rectangulares. Diseñar un algoritmo que realice la conversión de coordenadas polares a coordenadas rectangulares. Las coordenadas polares se pedirán al usuario por vía teclado y las coordenadas rectangulares se mostrarán en pantalla. 4. Error absoluto. Diseñar un algoritmo que calcule el error absoluto. Pida al usuario por vía teclado los valores del valor real y el valor leído. Muestre en pantalla el error obtenido. 5. Consumo de luz. Para una lámpara incandescente de x Watts (W ) que al día se prende durante y horas (h) , se puede obtener su consumo diario de la siguiente manera: x h x * y kWh kWh y 1000 día 1000 día Considere un precio de $0.635 por cada kWh. Realice un algoritmo que pida al usuario por vía teclado la cantidad de Watts que consume la residencia del usuario y la cantidad de horas durante las cuáles se hace uso de esos Watts. Con base en ésto calcule el costo diario que realiza el usuario y lo muestre en pantalla. Deduzca también el costo mensual y complete el algoritmo para que también devuelva el costo mensual del usuario (Consumo de luz). 6. Dobleces y agujeros. Paso 1. Tómese una hoja de papel y dóblese a la mitad. Paso 2. Dóblese de nuevo a la mitad y córtese la esquina en la que han concurrido los dobleces. Al desdoblar la hoja tendrá un aspecto como el que se, muestra en el resultado de la figura 2, es decir, con dos dobleces y el corte hemos obtenido un agujero. Repita el mismo proceso, pero esta vez haciendo tres dobleces antes de cortar la esquina. Trate de predecir el número de agujeros que se obtendrán. ¿Cuántos agujeros se obtendrán con cuatro dobleces? ¿Con n dobleces? Obtenga una fórmula que represente el número de agujeros que se obtendrán con base en el número de dobleces. Diseñe un algoritmo que le pida al usuario el número de dobleces y que muestre en pantalla la cantidad de agujeros que se obtendrán. Paso 3 Paso 2 Resultado Figura 2 7. Suma de enteros. Gauss, famoso matemático alemán, siendo joven, encontró la suma de los primeros 100 números consecutivos por él siguiente procedimiento: Dedujo que había 50 parejas de números, cada una de las cuales sumaría 101, como se observa en la figura 3. Figura 3 Por consiguiente la suma total sería 50 * 101 es decir, 5050. Con base en esto se puede saber que la suma de los n primeros números enteros consecutivos es: n n 1 2 Diseñe el algoritmo que le pida al usuario el número n de enteros que se desean sumar y que muestre en pantalla la suma obtenida por la ecuación anterior. Después realice las pruebas de escritorio para resolver los incisos a y b. a. b. La suma de los primeros 80, números consecutivos. La suma de los primeros 200 números consecutivos. 8. Suma de enteros pares e impares. Realice un análisis similar al del ejercicio 7 y determine una fórmula para la suma de: a. b. los n primeros números pares,es decir, 2 + 4 + 6 + ... + (2n - 4)+ (2n -2) +2n. los n primeros números impares (es decir, 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 3) + (2n - 1)). Diseñe el respectivo algoritmo que le pida al usuario el valor de n y devuelva la correspondiente suma de números pares o impares. Según corresponda realice como pruebas de escritorio: La suma de todos los números impares desde 1 hasta 49. La suma de todos los números impares desde 1 hasta 199. La suma de todos los números pares desde 2 hasta 400. Algoritmos con decisiones 1. Coordenadas rectangulares a polares. Diseñar un algoritmo que realice la conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas polares. Se deben de pedir al usuario por vía teclado las coordenadas rectangulares y mostrar en pantalla sus correspondientes coordenadas polares. 2. Error relativo. Diseñar un algoritmo que calcule el error relativo. Pida al usuario por vía teclado los valores del valor real y el valor leído. Muestre en pantalla el error obtenido. 3. Caracteres numéricos. Diseña un algoritmo que le pida al usuario un carácter por vía teclado y en caso de que el carácter sea numérico muestre en pantalla el valor entero equivalente que le corresponda. En caso de cualquier otro carácter indicar que ha habido un error. 4. Valor absoluto. Diseñar un algoritmo que calcule el valor absoluto de un número real sin usar funciones matemáticas de los lenguajes de programación. 5. La línea recta. Diseñar un algoritmo que dados dos puntos, y , de una recta calcule la ecuación que define dicha recta. Muestre en pantalla la ecuación obtenida. Después pedir al usuario por vía teclado un valor de la abscisa para obtener su correspondiente ordenada y mostrarla en pantalla. 6. Triángulos. Diseñar un algoritmo que dados tres puntos, , y , que definen un triangulo en el plano coordenado x-y. Indique en pantalla si se trata de un triángulo o no lo es. En caso de que sea un triángulo deberá mostrar en pantalla el tipo de triángulo al que se refiere (isósceles, equilátero, escaleno) y también determine los ángulos de cada triangulo usando la ley de cosenos. Nota: Para ver si dos lados son iguales considere que podría existir un error de redondeo, es decir, asuma que dos lados son iguales si la diferencia entre sus longitudes es menor de 0.00001 (error absoluto <= 0.00001 o error relativo <= 0.001). Realiza como pruebas de escritorio los siguientes incisos. 7. a. Prueba con los puntos (0,0), (2,4) y (6,0) b. Prueba con los puntos (1,2), (4,5) y (7,2) c. Prueba con los puntos (0,0), (3,5.196152) y (6,0) d. Define tres puntos que no formen un triángulo. Operaciones con racionales. Diseñe un algoritmo que me permita elegir el tipo de operación a realizar entre dos números racionales. Las operaciones que pueden realizarse son: suma, resta, multiplicación o división. Algoritmos que emplean ciclos 9. Tabular una línea recta. Diseñar un algoritmo que dados dos puntos, y , de una recta calcule la ecuación que define dicha recta. Muestre en pantalla la ecuación obtenida. Tabule en pantalla los valores de con respecto a desde hasta . Considera que el valor del incremento ( ) se le deberá pedir al usuario por vía teclado. 10. Tabular la función sinc. Diseñar un algoritmo que tabule la función en el intervalo de x Considera que el valor del incremento ( ) se le deberá pedir al usuario por vía teclado.para cada valor de , que es fracción de (p.ej 32 ) y que . 11. Cronómetro digital. Diseñar un algoritmo que se comporte como un cronómetro que sólo cuente minutos y segundos, es decir, mm:ss. 12. Suma de enteros con ciclos. Diseñar los respectivos algoritmos que, mediante ciclos, obtengan las respectivas sumatorias y las muestren en pantalla para: a. la suma de los n primeros enteros consecutivos. b. la suma de los n primeros enteros pares. c. la suma de los n primeros enteros impares. En cada caso el valor de n se le deberá pedir al usuario y se deberá comparar las sumas obtenidas con la expresiones obtenidas por Gauss para comprobar que se cumplen. 13. Pirámide numérica. Realice un algoritmo que le pida un número entero al usuario y muestre en pantalla la pirámide correspondiente. Por ejemplo, para el número 5 se tiene la siguiente salida: 1 121 12321 1234321 123454321 Figura 4 14. Serie numérica. Estudie el modelo de la figura 5. Observe que se expresa el cuadrado de un número entero como una suma de números consecutivos. Diseñe el algoritmo que pida el número entero al usuario que se desea y muestre en pantalla su correspondiente renglón. Realice las pruebas de escritorio para expresar los cuadrados de 6, 7 y 8 del mismo modo. 12 = 1 22 = 1 + 2 + 1 32 = 1 + 2 + 3 + 2 + 1 42 = 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 52 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 Figura 5 15. Trucos con el número 9. En la figura 6 se muestra un modelo matemático relacionado con el número 9. Verificar, si se desea, que cada una de las siguientes igualdades es correcta: 1*9+2 12 * 9 + 3 123 * 9 + 4 1234 * 9 + 5 12345 * 9 + 6 = = = = = 11 111 1111 11111 111111 Figura 6 Trate de determinar una correspondencia entre el número de unos que componen al número de la derecha y uno de los números que se utilizan a la izquierda. Ahora desarrolle el algoritmo que sin efectuar el cálculo, obtenga los unos indicados en el resultado de la operación. Pida al usuario el número de unos que se quieren obtener y despliegue en pantalla todos los renglones anteriores hasta llegar a la operación deseada. Realice las siguientes operaciones como prueba de escritorio: a. 123456 * 9 + 7 = ? b. 1234567 * 9 + 8 = ? 16. El gato. Un gato está en el sótano de un edificio de 30 pisos. Por el día sube tres pisos y por la noche baja dos. ¿Cuánto tiempo tardará en llegar a la azotea del edificio? Realizar un algoritmo que simule los pisos que el gato sube de día y baja por la noche hasta llegar a su destino. Üselo para contestar a la pregunta anterior. Considere a la planta baja como un piso también. 17. Número perfecto. Se llama número perfecto al que es igual a la suma de sus divisores, no incluido el númeral mismo. El 6 es número perfecto dado que 6 = 1 + 2 + 3. A la fecha nadie ha determinado un número perfecto impar, pero nadie ha demostrado que todo número perfecto es par. ¿Puede usted determinar el siguiente número perfecto que sigue al 6? Algoritmos con arreglos 1. Determinar si un número natural es capícula, es decir, se lee igual de derecha a izquierda que de izquierda a derecha. 2. Estudie cada una de las igualdades mostradas en la figura 7. 152= 1 * 200 + 25 = 225 252 = 2 * 300 + 25 = 625 352 = 3 * 400 + 25 = 1225 452 = 4 * 500 + 25 = 2025 Figura 7 Enuncie un método abreviado para elevar al cuadrado un número de dos dígitos de los cuales el de las unidades sea 5. Realice un algoritmo que le pida al usuario un número que desee elevar al cuadrado, como el lado izquierdo de las igualdades y a partir de ése número determine el renglón restante con base en el método enunciado. Nota: Alamacene el número pedido como una cadena y tome los primeros caracteres para determinar la operación a realizar.. 3. Después de estudiar el modelo matemático de la figura 8, desarrolla un algoritmo que le pida al usuario el número de unos y que permita construir dicho modelo. l*l 11 * 11 111 * 111 1111 * 1111 11111 * 11111 = = = = = 1 121 12321 1 234 321 123454321 Figura 8 Considera que el modelo expuesto continúa hasta que el usuario decida terminarlo. Use como prueba de escritorio al producto de 1111111111 * 1111111111.. 4. Consideremos los números del 1 al 12 de un reloj de 12 horas. Se sabe que la suma, en dicho reloj, se basa en el conteo según la dirección de sus manecillas. Así por ejemplo, para determinar la suma de 9 + 5, empezamos en las 9 y contamos 5 unidades en la dirección de las manecillas del reloj obteniéndose 2 como resultado. Diseñar un algoritmo que cree una tabla de sumas para un reloj de 12 horas como la a. siguiente: + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6. 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 5 6 7 ·8 9 10 11 12 b. 1 Haciendo uso de la tabla anterior diseñe un algoritmo que obtenga la suma de dos horas dadas por el usuario. Por ejemplo: 8+7=3 5 + 12 = 5 3+11 =2 5. Una matriz escasamente poblada es aquella cuyos elementos son en su mayoría cero. Diseñe un algoritmo para determinar si una matriz de m*n es escasamente poblada o no lo es. Los valores de dicha matriz se le deberán pedir al usuario y después determinar si es escasamente poblada o no lo es. 6. Podemos dar una aproximación de una matriz de n*n es positiva definida si todos sus elementos son mayores que cero. Una matriz de n*n es positiva semidefinida si todos sus elementos son mayores o iguales que cero. Una matriz de n*n es negativa definida si todos sus elementos son menores que cero. Diseñe un algoritmo que le pida al usuario el valor de n y los valores de la matriz cuadrada. Después determine si la matriz dada es positiva definida, positiva semidefinida o ninguna de las dos.